Teorema lui Menel, dovada raportului de suprafață. Teoremele lui Cheva și Menelaus privind examenul de stat unificat

Semne de sarcină după implantarea embrionului

teorema lui Menelaus sau teorema despre un patrulater complet este cunoscută încă din vremuri Grecia antică. Și-a primit numele în onoarea autorului său, un matematician și astronom grec antic. Menelau al Alexandriei(în jurul anului 100 d.Hr.). Această teoremă este foarte frumoasă și simplă, dar, din păcate, nu i se acordă atenția cuvenită în cursurile școlare moderne. Între timp, în multe cazuri ajută la rezolvarea problemelor geometrice destul de complexe foarte ușor și elegant.

Teorema 1 (teorema lui Menelaus). Fie ∆ABC intersectat de o dreaptă care nu este paralelă cu latura AB și care intersectează cele două laturi ale sale AC și, respectiv, BC, în punctele F și E, și fie dreapta AB în punctul D (Fig. 1),

apoi A F FC * CE EB * BD DA = 1

Notă. Pentru a vă aminti cu ușurință această formulă, puteți utiliza următoarea regulă: deplasați-vă de-a lungul conturului triunghiului de la vârf la punctul de intersecție cu dreapta și de la punctul de intersecție la următorul vârf.

Dovada. Din vârfurile A, B, C ale triunghiului se trasează, respectiv, trei drepte paralele până se intersectează cu dreapta secante. Primim trei perechi triunghiuri asemănătoare(semn de asemănare în două unghiuri). Următoarele egalități rezultă din asemănarea triunghiurilor:

Acum să înmulțim aceste egalități rezultate:

Teorema a fost demonstrată.

Pentru a simți frumusețea acestei teoreme, să încercăm să rezolvăm problema geometrică propusă mai jos cu două căi diferite: folosind construcția auxiliară si cu ajutorul teorema lui Menelaus.

Sarcina 1.

În ∆ABC, bisectoarea AD împarte latura BC în raport 2:1 În ce raport mediana CE împarte această bisectoare?

Soluţie.

Utilizarea construcției auxiliare:

Fie S punctul de intersecție al bisectoarei AD și medianei CE. Să construim ∆ASB la paralelogram ASBK. (Fig. 2)

Evident, SE = EK, deoarece punctul de intersecție al paralelogramului traversează diagonalele. Să considerăm acum triunghiurile ∆CBK și ∆CDS. Este ușor de observat că sunt asemănătoare (un semn de similitudine în două unghiuri: și ca unghiuri interne unilaterale cu drepte paralele AD și KB și o secantă CB). Din asemănarea triunghiului rezultă următoarele:

Folosind condiția, obținem:

CB CD = CD + DB CD = CD + 2CD CB = 3CD CD = 3

Acum observați că KB = AS, ca laturile opuse ale unui paralelogram. Apoi

AS SD = KB SD = CB CD = 3

Folosind teorema lui Menelaus.

Să considerăm ∆ABD și să-i aplicăm teorema lui Menelaus (dreapta care trece prin punctele C, S, E este o dreaptă secantă):

BE EA * AS SD * DC CB = 1

Conform condițiilor teoremei, avem BE/EA = 1, deoarece CE este mediana și DC/CB = 1/3, așa cum am calculat deja mai devreme.

1 * AS SD * 1 3 = 1

De aici obținem AS/SD = 3 La prima vedere, ambele soluții sunt destul de compacte și aproximativ echivalente. Cu toate acestea, ideea unei construcții suplimentare pentru școlari se dovedește adesea a fi foarte complexă și deloc evidentă, în timp ce, cunoscând teorema lui Menelaus, trebuie doar să o aplice corect.

Să luăm în considerare o altă problemă în care teorema lui Menelaus funcționează foarte elegant.

Sarcina 2.

Pe laturile AB și BC ∆ABC există puncte M și, respectiv, N, astfel încât să fie valabile următoarele egalități:

AM MB = CN NA = 1 2

În ce raport punctul de intersecție S al segmentelor BN și CM împarte fiecare dintre aceste segmente (fig. 3)?

Soluţie.

Să luăm în considerare ∆ABN. Să aplicăm teorema lui Menelaus pentru acest triunghi (dreapta care trece prin punctele M, S, C este o dreaptă secantă)

AM MB * BC SN * CN CA = 1

Din condițiile de problemă avem: AM MB = 1 2

NC CA = NC CN + NA = NC CN + 2NC = NC 3 NC = 1 3

Să înlocuim aceste rezultate și să obținem:

1 2 * BS SN * 1 3 = 1

Prin urmare, BS/SN = 6. Și, prin urmare, punctul S de intersecție a segmentelor BN și CM împarte segmentul BN într-un raport de 6: 1.

Să considerăm ∆ACM. Să aplicăm teorema lui Menelaus pentru acest triunghi (dreapta care trece prin punctele N, S, B este o dreaptă secantă):

AN NC * CS SM * MB BA = 1

Din condițiile problemei avem: AN NC = 2

MB BA = MB BM + MA = 2MA 2MA + MA = 2MB 3MA = 2 3

Să înlocuim aceste rezultate și să obținem:

2 * CS SM * 2 3 = 1

Prin urmare CS/SM = 3/4

Și, prin urmare, punctul S de intersecție a segmentelor BN și CM împarte segmentul CM într-un raport de 3: 4.

Teorema inversă cu teorema lui Menelaus este de asemenea adevărată. De multe ori se dovedește a fi și mai util. Funcționează bine mai ales în problemele cu dovezi. Adesea, cu ajutorul lui, chiar și problemele olimpiadelor sunt rezolvate frumos, ușor și rapid.

Teorema 2(Teorema inversă a lui Menelaus). Fie dat triunghiul ABC și punctele D, E, F aparțin dreptelor BC, AC, AB, respectiv (rețineți că ele pot fi situate atât pe laturile triunghiului ABC, cât și pe prelungirile lor) (Fig. 4).

Atunci, dacă AF FC * CE EB * BD DA = 1

atunci punctele D, E, F se află pe aceeași linie.

Dovada. Să demonstrăm teorema prin contradicție. Să presupunem că relația din condițiile teoremei este satisfăcută, dar punctul F nu se află pe dreapta DE (Fig. 5).

Să notăm punctul de intersecție al dreptelor DE și AB cu litera O. Acum aplicăm teorema lui Menelaus și obținem: AE EC * CD DB * BO OA = 1

Dar, pe de altă parte, egalitatea BF FA = BO OA

nu poate fi executat.

Prin urmare, relația din condițiile teoremei nu poate fi satisfăcută. Avem o contradicție.

Teorema a fost demonstrată.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Clasă: 9

Obiectivele lecției:

  1. generalizarea, extinderea și sistematizarea cunoștințelor și abilităților elevilor; învață cum să folosești cunoștințele atunci când rezolvi probleme complexe;
  2. promovează dezvoltarea abilităților de aplicare independentă a cunoștințelor la rezolvarea problemelor;
  3. dezvolta gandire logicași vorbirea matematică a elevilor, capacitatea de a analiza, compara și generaliza;
  4. insufla elevilor încrederea în sine și munca grea; capacitatea de a lucra în echipă.

Obiectivele lecției:

  • Educational: repetă teoremele lui Menelaus și Cheva; aplicați-le la rezolvarea problemelor.
  • Dezvoltare:învață să prezinți o ipoteză și să-ți aperi cu pricepere opinia cu dovezi; testați-vă capacitatea de a vă generaliza și sistematiza cunoștințele.
  • Educational: creste interesul pentru subiect si pregateste-te pentru rezolvarea unor probleme mai complexe.

Tip de lecție: lectie de generalizare si sistematizare a cunostintelor.

Echipament: carduri pentru lucru colectiv într-o lecție pe această temă, carduri individuale pentru muncă independentă, computer, proiector multimedia, ecran.

În timpul orelor

Etapa I. Moment organizatoric (1 min.)

Profesorul anunță tema și scopul lecției.

Etapa II. Actualizarea cunoștințelor și abilităților de bază (10 min.)

Profesor:În timpul lecției, ne vom aminti teoremele lui Menelaus și Cheva pentru a trece cu succes la rezolvarea problemelor. Să aruncăm o privire la ecranul în care este prezentat. Pentru ce teoremă este dată această cifră? (teorema lui Menelaus). Încercați să formulați clar teorema.

Poza 1

Fie punctul A 1 să se afle pe latura BC a triunghiului ABC, punctul C 1 pe latura AB, punctul B 1 pe continuarea laturii AC dincolo de punctul C. Punctele A 1 , B 1 și C 1 se află pe aceeași dreaptă dacă și numai dacă egalitatea este valabilă

Profesor: Să ne uităm împreună la următoarea poză. Spuneți o teoremă pentru acest desen.


Figura 2

Linia AD intersectează două laturi și prelungirea celei de-a treia laturi a triunghiului DIU.

Conform teoremei lui Menelaus

Linia dreaptă MB intersectează două laturi și prelungirea celei de-a treia laturi a triunghiului ADC.

Conform teoremei lui Menelaus

Profesor: Cărei teoreme îi corespunde imaginea? (teorema lui Ceva). Prezentați teorema.


Figura 3

Fie punctul A 1 din triunghiul ABC să se afle pe latura BC, punctul B 1 pe latura AC, punctul C 1 pe latura AB. Segmentele AA 1, BB 1 și CC 1 se intersectează într-un punct dacă și numai dacă egalitatea este valabilă

Etapa III. Rezolvarea problemelor. (22 min.)

Clasa este împărțită în 3 echipe, fiecare primind un cartonaș cu două sarcini diferite. Este dat timp pentru a decide, apoi pe ecran apare următoarele:<Рисунки 4-9>. Pe baza desenelor finalizate pentru sarcini, reprezentanții echipei își explică pe rând soluțiile. Fiecare explicație este urmată de o discuție, de răspuns la întrebări și de verificarea corectitudinii soluției pe ecran. La discuție iau parte toți membrii echipei. Cu cât echipa este mai activă, cu atât este mai bine evaluată atunci când însumăm rezultatele.

Cardul 1.

1. În triunghiul ABC, punctul N este luat pe latura BC astfel încât NC = 3BN; pe continuarea laturii AC, punctul M este luat drept punct A astfel încât MA = AC. Linia MN intersectează latura AB în punctul F. Aflați raportul

2. Demonstrați că medianele unui triunghi se intersectează într-un punct.

Soluția 1


Figura 4

Conform condițiilor problemei, MA = AC, NC = 3BN. Fie MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Linia MN intersectează două laturi ale triunghiului ABC și continuarea celui de-al treilea.

Conform teoremei lui Menelaus

Răspuns:

Dovada 2


Figura 5

Fie AM 1, BM 2, CM 3 medianele triunghiului ABC. Pentru a demonstra că aceste segmente se intersectează la un moment dat, este suficient să arătăm că

Apoi, după teorema lui Ceva (conversa), segmentele AM ​​1, BM 2 și CM 3 se intersectează într-un punct.

Avem:

Deci, s-a dovedit că medianele unui triunghi se intersectează într-un punct.

Cardul 2.

1. Punctul N este luat pe latura PQ a triunghiului PQR, iar punctul L este luat pe latura PR, iar NQ = LR. Punctul de intersecție al segmentelor QL și NR împarte QL în raportul m:n, numărând din punctul Q. Aflați

2. Demonstrați că bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct.

Soluția 1


Figura 6

După condiție, NQ = LR, Fie NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Linia NR intersectează două laturi ale triunghiului PQL și continuarea celui de-al treilea.

Conform teoremei lui Menelaus

Răspuns:

Dovada 2


Figura 7

Să arătăm asta

Apoi, după teorema lui Ceva (conversa), AL 1, BL 2, CL 3 se intersectează într-un punct. Prin proprietatea bisectoarelor triunghiului

Înmulțind egalitățile obținute termen cu termen, obținem

Pentru bisectoarele unui triunghi, egalitatea lui Cheva este satisfăcută, prin urmare, ele se intersectează într-un punct.

Cardul 3.

1. În triunghiul ABC, AD este mediana, punctul O este mijlocul medianei. Linia dreaptă BO intersectează latura AC în punctul K. În ce raport punctul K împarte AC, numărând din punctul A?

2. Demonstrați că, dacă un cerc este înscris într-un triunghi, atunci segmentele care leagă vârfurile triunghiului cu punctele de contact ale laturilor opuse se intersectează într-un punct.

Soluția 1


Figura 8

Fie BD = DC = a, AO = OD = m. Linia dreaptă BK intersectează două laturi și prelungirea celei de-a treia laturi a triunghiului ADC.

Conform teoremei lui Menelaus

Răspuns:

Dovada 2


Figura 9

Fie A 1, B 1 și C 1 punctele tangente ale cercului înscris al triunghiului ABC. Pentru a demonstra că segmentele AA 1, BB 1 și CC 1 se intersectează într-un punct, este suficient să arătăm că egalitatea lui Cheva este valabilă:

Folosind proprietatea tangentelor trasate la un cerc dintr-un punct, introducem urmatoarea notatie: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Egalitatea lui Cheva este satisfăcută, ceea ce înseamnă că bisectoarele triunghiului se intersectează într-un punct.

Etapa IV. Rezolvarea problemelor (muncă independentă) (8 min.)

Profesor: Munca echipelor s-a încheiat și acum vom începe lucrul independent pe cartonașe individuale pentru 2 opțiuni.

Materiale de lecție pentru munca independentă a elevilor

Opțiunea 1.Într-un triunghi ABC, a cărui aria este 6, pe latura AB există un punct K, împărțind această latură în raportul AK:BK = 2:3, iar pe latura AC există un punct L, împărțind AC în raportul AL:LC = 5:3. Punctul Q de intersecție a dreptelor СК și BL este îndepărtat din dreapta AB la distanță. Aflați lungimea laturii AB. (Răspuns: 4.)

Opțiunea 2. Pe latura AC din triunghiul ABC se ia punctul K AK = 1, KS = 3. Pe latura AB, punctul L este luat AL:LB = 2:3, Q este punctul de intersecție al dreptelor BK și CL. Aflați lungimea altitudinii triunghiului ABC căzut de la vârful B. (Răspuns: 1.5.)

Lucrarea se transmite profesorului spre verificare.

etapa V. Rezumatul lecției (2 min.)

Sunt analizate erorile făcute, se notează răspunsurile și comentariile originale. Rezultatele muncii fiecărei echipe sunt însumate și se atribuie note.

Etapa VI. Tema pentru acasă (1 min.)

Tema pentru acasă este alcătuită din problemele nr. 11, 12 p. 289-290, nr. 10 p. 301.

Cuvintele finale de la profesor (1 min).

Astăzi ați auzit discursul matematic al celuilalt din exterior și v-ați evaluat capacitățile. Pe viitor, vom folosi astfel de discuții pentru o mai bună înțelegere a subiectului. Argumentele din lecție erau prieteni cu faptele, iar teoria cu practica. Va multumesc tuturor.

Literatură:

  1. Tkachuk V.V. Matematică pentru solicitanți. – M.: MTsNMO, 2005.

Cursul de geometrie conține teoreme care nu sunt studiate suficient de detaliat la școală, dar care pot fi utile pentru rezolvarea celor mai complexe probleme ale Examenului Unificat de Stat și Examenului Unificat de Stat. Acestea includ, de exemplu, teorema lui Menelaus. În mod tradițional, se studiază în clase cu studiu aprofundat al matematicii în clasa a VIII-a, iar în programul obișnuit (conform manualului lui Atanasyan), teorema lui Menelaus este inclusă în manualul pentru clasele 10-11.
Între timp, rezultatul studierii resurselor de pe Internet care menționează teorema lui Menelaus arată că aceasta este de obicei formulată incomplet și, prin urmare, inexact, și nu sunt date toate cazurile de utilizare a acesteia, precum și demonstrația teoremei inverse. Scopul acestui articol este de a înțelege ce este teorema lui Menelaus, cum și de ce este utilizată și, de asemenea, de a împărtăși cu studenții metodologia de predare a acestei teoreme în lecțiile individuale de tutore.
Să luăm în considerare o problemă tipică (Sarcina nr. 26, OGE), care apare la examene în multe variante, diferind doar prin cifrele din condiție.


Soluția problemei în sine este simplă - o puteți găsi mai jos. În acest articol, ne interesează în principal un punct ușor diferit, care este adesea omis și considerat de la sine înțeles, ca fiind evident. Dar evident este ceea ce se poate dovedi. Și acest lucru poate fi dovedit în diferite moduri - de obicei, ele sunt dovedite exclusiv prin similitudine - dar se poate face și folosind teorema lui Menelaus.
Rezultă din condiția că, deoarece unghiurile de la baza inferioară a trapezului se adună până la 90°, atunci dacă extindeți laturile, veți obține triunghi dreptunghic. Apoi, din punctul de intersecție rezultat al prelungirilor laturilor laterale, trageți un segment care trece prin mijlocul bazelor. De ce acest segment trece prin toate aceste trei puncte? De obicei, soluțiile la problema găsită pe Internet nu spun un cuvânt despre asta. Nu există nici măcar o referire la teorema trapezului în patru puncte, darămite o dovadă a acestei afirmații. Între timp, poate fi dovedit folosind teorema lui Menelaus, care este o condiție pentru apartenență trei puncte la o linie dreaptă.

Formulări ale teoremei lui Menelaus
Este timpul să formulăm teorema. Trebuie remarcat faptul că în diverse manuale și manuale există formulări destul de diferite ale acestuia, deși esența rămâne neschimbată. În manualul lui Atanasyan și colab. pentru clasele 10-11, este dată următoarea formulare a teoremei lui Menelaus, să o numim „vector”:

În manualul „Geometrie clasa 10-11” Aleksandrov și colab., precum și în manual aceiaşi autori „Geometrie. Clasa a VIII-a” oferă o formulare ușor diferită a teoremei lui Menelaus și este aceeași atât pentru clasele 10-11, cât și pentru clasa a 8-a:
Trei note trebuie făcute aici.
Nota 1. Nu există probleme la examene care trebuie rezolvate doar folosind vectori, pentru care se folosește „minus unu”. Prin urmare, pentru utilizare practică, formularea cea mai convenabilă este cea care este în esență un corolar al teoremei pentru segmente (aceasta este a doua formulare, evidențiată cu litere aldine). Ne vom limita la aceasta pentru a studia în continuare teorema lui Menelaus, deoarece scopul nostru este să învățăm cum să o aplicăm pentru a rezolva probleme.
Nota 2. În ciuda faptului că toate manualele prevăd în mod clar cazul când toate cele trei puncte A 1, B 1 și C 1 se pot afla pe prelungirile laturilor triunghiului (sau pe linii drepte care conțin laturile triunghiului), pe mai multe site-uri de tutorat de pe Internet doar cazul este formulat când două puncte se află pe două laturi, iar al treilea se află pe continuarea celei de-a treia părți. Acest lucru cu greu poate fi justificat prin faptul că la examene se întâlnesc doar probleme de primul tip și nu pot fi întâlnite probleme când toate aceste puncte se află pe prelungiri de trei laturi.
Nota 3. Teorema inversă, i.e. condiția ca trei puncte să se afle pe aceeași linie de obicei nu este luată în considerare deloc, iar unii tutori chiar sfătuiesc (???) să studieze doar teorema directă și să nu ia în considerare teorema inversă. Între timp, demonstrația afirmației inverse este destul de instructivă și vă permite să demonstrați afirmații similare cu cele date în soluția problemei 1. Experiența de a demonstra teorema inversă va oferi, fără îndoială, beneficii tangibile studentului la rezolvarea problemelor.

Desene și modele

Pentru a-l învăța pe elev să vadă teorema lui Menelaus în probleme și să o folosească atunci când ia decizii, este important să acorde atenție imaginilor și modelelor din scrierea teoremei pentru un caz specific. Și întrucât teorema în sine este în forma ei „pură”, i.e. fără a fi înconjurate de alte segmente, laturile diferitelor figuri nu se găsesc de obicei în probleme, atunci este mai potrivit să se arate teorema pe probleme specifice. Și dacă arătați desene ca explicație, atunci faceți-le multivariate. În acest caz, evidențiați într-o culoare (de exemplu, roșu) linia dreaptă care este formată din trei puncte, iar în albastru - segmentele triunghiului implicate în scrierea teoremei lui Menelaus. În acest caz, acele elemente care nu participă rămân negre:

La prima vedere, poate părea că formularea teoremei este destul de complexă și nu întotdeauna de înțeles; la urma urmei, implică trei fracții. Într-adevăr, dacă studentul nu are suficientă experiență, atunci poate face cu ușurință o greșeală în scris și, ca urmare, poate rezolva incorect problema. Și aici încep uneori problemele. Ideea este că manualele nu se concentrează, de obicei, pe cum să „rezolvați” atunci când scrieți o teoremă. Nu se spune nimic despre legile înregistrării teoremei în sine. De aceea, unii tutori chiar desenează diferite săgeți pentru a indica ordinea în care trebuie scrisă formula. Și le cer elevilor să respecte cu strictețe astfel de îndrumări. Acest lucru este parțial corect, dar este mult mai important să înțelegeți esența teoremei decât să o scrieți pur mecanic, folosind „regula de ocolire” și săgețile.
De fapt, este important să înțelegeți doar logica „ocolirii” și este atât de precis încât este imposibil să faceți o greșeală în scrierea formulei. În ambele cazuri a) și b) scriem formula pentru triunghiul AMC.
În primul rând, definim pentru noi înșine trei puncte - vârfurile triunghiului. Pentru noi acestea sunt punctele A, M, C. Apoi determinăm punctele situate pe linia de intersectare (linia roșie), acestea sunt B, P, K. Începem „mișcarea” de la vârful triunghiului, de exemplu, din punctul C. Din acest punct „mergem „în punctul care este format de intersecția, de exemplu, a laturii AC și a dreptei de intersectare - pentru noi acesta este punctul K. Scriem în numărătorul primei fracții - SK . Apoi din punctul K „mergem” la punctul rămas de pe dreapta AC - la punctul A. Scriem KA la numitorul primei fracții. Deoarece punctul A aparține și dreptei AM, procedăm la fel cu segmentele de pe dreapta AM. Și din nou, pornim de la vârf, apoi „mergem” la un punct pe dreapta de intersectare, după care trecem la vârful M. „După ce ne-am găsit” pe dreapta BC, facem același lucru cu segmentele de pe această linie. De la M „mergem”, bineînțeles, la B, după care revenim la C. Acest „ocol” se poate face fie în sensul acelor de ceasornic, fie în sens invers acelor de ceasornic. Este important doar să înțelegeți regula traversării - de la un vârf la un punct pe o linie și de la un punct pe o linie la un alt vârf. Cam așa se explică de obicei regula de scriere a produsului fracțiilor. Rezultatul este:
Vă rugăm să rețineți că întregul „ocol” este reflectat în înregistrare și, pentru comoditate, este afișat cu săgeți.
Cu toate acestea, înregistrarea rezultată poate fi obținută fără a efectua nicio „traversare”. După ce punctele sunt scrise - vârfurile triunghiului (A, M, C) și punctele - situate pe linia de intersectare (B, P, K), scrieți și triplete de litere care indică punctele situate pe fiecare dintre cele trei linii. În cazurile noastre, acestea sunt I) B, M, C; II) A, P, M și III) A, C, K. După aceea sunt credincios partea stanga formulele pot fi scrise fără să se uite măcar la desen și în orice ordine. Este suficient să scriem fracții adevărate din fiecare trei litere care respectă regula - în mod convențional, literele „de mijloc” sunt punctele liniei de intersectare (roșu). În mod convențional, literele „exterioare” sunt punctele vârfurilor triunghiului (albastru). Când scrieți o formulă în acest fel, trebuie doar să vă asigurați că orice literă „albaștră” (vârful triunghiului) apare o dată atât la numărător, cât și la numitor.
Această metodă este utilă în special pentru cazurile de tip b), precum și pentru autotestare.

teorema lui Menelaus. Dovada
Sunt câteva în diverse moduri dovada teoremei lui Menelaus. Uneori o demonstrează folosind asemănarea triunghiurilor, pentru care din punctul M este trasat un segment paralel cu AC (ca în acest desen). Alții desenează o linie suplimentară care nu este paralelă cu linia de intersectare, iar apoi, folosind drepte paralele cu linia de intersectare, par să „proiecteze” toate segmentele necesare pe această dreaptă și, folosind o generalizare a teoremei lui Thales (de ex. , teorema pe segmente proporționale) derivă formula. Cu toate acestea, poate cea mai simplă metodă de demonstrare se obține prin trasarea unei drepte din punctul M paralel cu cel care se intersectează. Să demonstrăm teorema lui Menelaus în acest fel.
Dat: Triunghiul ABC. Linia PK intersectează laturile triunghiului și continuarea laturii MC în punctul B.
Demonstrați că egalitatea este valabilă:
Dovada. Să desenăm raza MM 1 paralelă cu BK. Să notăm relațiile în care participă segmentele care sunt incluse în formula teoremei lui Menelaus. Într-un caz, luați în considerare liniile care se intersectează în punctul A, iar în celălalt caz, care se intersectează în punctul C. Să înmulțim părțile din stânga și din dreapta acestor ecuații:

Teorema a fost demonstrată.
Teorema este demonstrată în mod similar pentru cazul b).


Din punctul C trasăm un segment CC 1 paralel cu dreapta BK. Să notăm relațiile în care participă segmentele care sunt incluse în formula teoremei lui Menelaus. Într-un caz, luați în considerare liniile care se intersectează în punctul A, iar în celălalt caz, care se intersectează în punctul M. Deoarece teorema lui Thales nu spune nimic despre locația segmentelor pe două drepte care se intersectează, segmentele pot fi situate pe laturile opuse ale punctului M. Prin urmare,

Teorema a fost demonstrată.

Acum să demonstrăm teorema inversă.
Dat:
Demonstrați că punctele B, P, K se află pe aceeași dreaptă.
Dovada. Fie ca dreapta BP să intersecteze AC într-un punct K 2 care nu coincide cu punctul K. Deoarece BP este o dreaptă care conține punctul K 2 , atunci teorema lui Menelaus tocmai dovedită este valabilă pentru aceasta. Deci, hai să-l notăm pentru ea
Cu toate acestea, tocmai am dovedit asta
Rezultă că punctele K și K 2 coincid, deoarece împart latura AC în același raport.
Pentru cazul b) teorema este demonstrată în mod similar.

Rezolvarea problemelor folosind teorema lui Menelaus

Mai întâi, să revenim la problema 1 și să o rezolvăm. Să o citim din nou. Hai sa facem un desen:

Dat un trapez ABCD. ST - linia mediană a trapezului, adică una dintre distanțele date. Unghiurile A și D se adună până la 90°. Noi extindem laturi AB și CD și la intersecția lor obținem punctul K. Conectați punctul K cu punctul N - mijlocul lui BC. Acum demonstrăm că punctul P, care este punctul de mijloc al bazei AD, aparține de asemenea dreptei KN. Să luăm în considerare triunghiurile ABD și ACD secvenţial. Două laturi ale fiecărui triunghi sunt intersectate de dreapta KP. Să presupunem că dreapta KN intersectează baza AD într-un punct X. După teorema lui Menelaus:
Deoarece triunghiul AKD este dreptunghic, punctul P, care este mijlocul ipotenuzei AD, este echidistant de A, D și K. În mod similar, punctul N este echidistant de punctele B, C și K. Unde o bază este egală cu 36 și cealaltă egală cu 2.
Soluţie. Luați în considerare triunghiul BCD. Este străbătută de raza AX, unde X este punctul de intersecție al acestei raze cu prelungirea laturii BC. Conform teoremei lui Menelaus:
Înlocuind (1) în (2) obținem:

Soluţie. Să notăm cu literele S 1 , S 2 , S 3 și S 4 ariile triunghiurilor AOB, AOM, BOK și, respectiv, patrulaterul MOKC.

Deoarece BM este mediana, atunci S ABM = S BMC.
Aceasta înseamnă S 1 + S 2 = S 3 + S 4.
Deoarece trebuie să găsim raportul dintre zonele S 1 și S 4, împărțim ambele părți ale ecuației la S 4:
Să înlocuim aceste valori în formula (1): Din triunghiul BMC cu secanta AK, conform teoremei lui Menelaus, avem: Din triunghiul AKC cu secanta BM, după teorema lui Menelaus avem: Toate relațiile necesare sunt exprimate prin k și acum le puteți substitui în expresia (2):
Soluția la această problemă folosind teorema lui Menelaus este discutată pe pagină.

Nota profesorului de matematică. Aplicarea teoremei lui Menelaus în această problemă este chiar cazul în care această metodă vă permite să economisiți timp semnificativ la examen. Această sarcină este oferită în versiunea demo a examenului de admitere la Liceu la Școala Superioară de Științe Economice pentru clasa a IX-a (2019).

© Tutor de matematică la Moscova, Alexander Anatolyevich, 8-968-423-9589.

Decide pentru tine

1) Sarcina este mai simplă. Pe mediana BD a triunghiului ABC se marchează un punct M astfel încât BM: MD = m: n. Linia AM intersectează latura BC în punctul K.
Găsiți raportul BK:KC.
2) Sarcina este mai dificilă. Bisectoarea unghiului A a paralelogramului ABCD intersectează latura BC în punctul P și diagonala BD în punctul T. Se știe că AB: AD = k (0 3) Sarcina nr. 26 OGE. În triunghiul ABC, bisectoarea BE și mediana AD sunt perpendiculare și au aceeași lungime egală cu 36. Aflați laturile triunghiului ABC.
Sugestie pentru profesor de matematică. Pe Internet se poate găsi o soluție la o astfel de problemă folosind construcție suplimentară și apoi fie asemănarea, fie găsirea zonelor și numai după aceea laturile triunghiului. Acestea. ambele metode necesită construcție suplimentară. Cu toate acestea, rezolvarea unei astfel de probleme folosind proprietatea bisectoarei și teorema lui Menelaus nu necesită construcții suplimentare. Este mult mai simplu și mai rațional.

Clasă: 9

Obiectivele lecției:

  1. generalizarea, extinderea și sistematizarea cunoștințelor și abilităților elevilor; învață cum să folosești cunoștințele atunci când rezolvi probleme complexe;
  2. promovează dezvoltarea abilităților de aplicare independentă a cunoștințelor la rezolvarea problemelor;
  3. dezvoltarea gândirii logice și a vorbirii matematice a elevilor, capacitatea de a analiza, compara și generaliza;
  4. insufla elevilor încrederea în sine și munca grea; capacitatea de a lucra în echipă.

Obiectivele lecției:

  • Educational: repetă teoremele lui Menelaus și Cheva; aplicați-le la rezolvarea problemelor.
  • Dezvoltare:învață să prezinți o ipoteză și să-ți aperi cu pricepere opinia cu dovezi; testați-vă capacitatea de a vă generaliza și sistematiza cunoștințele.
  • Educational: creste interesul pentru subiect si pregateste-te pentru rezolvarea unor probleme mai complexe.

Tip de lecție: lectie de generalizare si sistematizare a cunostintelor.

Echipament: carduri pentru lucru colectiv într-o lecție pe această temă, carduri individuale pentru muncă independentă, computer, proiector multimedia, ecran.

În timpul orelor

Etapa I. Moment organizatoric (1 min.)

Profesorul anunță tema și scopul lecției.

Etapa II. Actualizarea cunoștințelor și abilităților de bază (10 min.)

Profesor:În timpul lecției, ne vom aminti teoremele lui Menelaus și Cheva pentru a trece cu succes la rezolvarea problemelor. Să aruncăm o privire la ecranul în care este prezentat. Pentru ce teoremă este dată această cifră? (teorema lui Menelaus). Încercați să formulați clar teorema.

Poza 1

Fie punctul A 1 să se afle pe latura BC a triunghiului ABC, punctul C 1 pe latura AB, punctul B 1 pe continuarea laturii AC dincolo de punctul C. Punctele A 1 , B 1 și C 1 se află pe aceeași dreaptă dacă și numai dacă egalitatea este valabilă

Profesor: Să ne uităm împreună la următoarea poză. Spuneți o teoremă pentru acest desen.


Figura 2

Linia AD intersectează două laturi și prelungirea celei de-a treia laturi a triunghiului DIU.

Conform teoremei lui Menelaus

Linia dreaptă MB intersectează două laturi și prelungirea celei de-a treia laturi a triunghiului ADC.

Conform teoremei lui Menelaus

Profesor: Cărei teoreme îi corespunde imaginea? (teorema lui Ceva). Prezentați teorema.


Figura 3

Fie punctul A 1 din triunghiul ABC să se afle pe latura BC, punctul B 1 pe latura AC, punctul C 1 pe latura AB. Segmentele AA 1, BB 1 și CC 1 se intersectează într-un punct dacă și numai dacă egalitatea este valabilă

Etapa III. Rezolvarea problemelor. (22 min.)

Clasa este împărțită în 3 echipe, fiecare primind un cartonaș cu două sarcini diferite. Este dat timp pentru a decide, apoi pe ecran apare următoarele:<Рисунки 4-9>. Pe baza desenelor finalizate pentru sarcini, reprezentanții echipei își explică pe rând soluțiile. Fiecare explicație este urmată de o discuție, de răspuns la întrebări și de verificarea corectitudinii soluției pe ecran. La discuție iau parte toți membrii echipei. Cu cât echipa este mai activă, cu atât este mai bine evaluată atunci când însumăm rezultatele.

Cardul 1.

1. În triunghiul ABC, punctul N este luat pe latura BC astfel încât NC = 3BN; pe continuarea laturii AC, punctul M este luat drept punct A astfel încât MA = AC. Linia MN intersectează latura AB în punctul F. Aflați raportul

2. Demonstrați că medianele unui triunghi se intersectează într-un punct.

Soluția 1


Figura 4

Conform condițiilor problemei, MA = AC, NC = 3BN. Fie MA = AC =b, BN = k, NC = 3k. Linia MN intersectează două laturi ale triunghiului ABC și continuarea celui de-al treilea.

Conform teoremei lui Menelaus

Răspuns:

Dovada 2


Figura 5

Fie AM 1, BM 2, CM 3 medianele triunghiului ABC. Pentru a demonstra că aceste segmente se intersectează la un moment dat, este suficient să arătăm că

Apoi, după teorema lui Ceva (conversa), segmentele AM ​​1, BM 2 și CM 3 se intersectează într-un punct.

Avem:

Deci, s-a dovedit că medianele unui triunghi se intersectează într-un punct.

Cardul 2.

1. Punctul N este luat pe latura PQ a triunghiului PQR, iar punctul L este luat pe latura PR, iar NQ = LR. Punctul de intersecție al segmentelor QL și NR împarte QL în raportul m:n, numărând din punctul Q. Aflați

2. Demonstrați că bisectoarele unui triunghi se intersectează într-un punct.

Soluția 1


Figura 6

După condiție, NQ = LR, Fie NA = LR =a, QF = km, LF = kn. Linia NR intersectează două laturi ale triunghiului PQL și continuarea celui de-al treilea.

Conform teoremei lui Menelaus

Răspuns:

Dovada 2


Figura 7

Să arătăm asta

Apoi, după teorema lui Ceva (conversa), AL 1, BL 2, CL 3 se intersectează într-un punct. Prin proprietatea bisectoarelor triunghiului

Înmulțind egalitățile obținute termen cu termen, obținem

Pentru bisectoarele unui triunghi, egalitatea lui Cheva este satisfăcută, prin urmare, ele se intersectează într-un punct.

Cardul 3.

1. În triunghiul ABC, AD este mediana, punctul O este mijlocul medianei. Linia dreaptă BO intersectează latura AC în punctul K. În ce raport punctul K împarte AC, numărând din punctul A?

2. Demonstrați că, dacă un cerc este înscris într-un triunghi, atunci segmentele care leagă vârfurile triunghiului cu punctele de contact ale laturilor opuse se intersectează într-un punct.

Soluția 1


Figura 8

Fie BD = DC = a, AO = OD = m. Linia dreaptă BK intersectează două laturi și prelungirea celei de-a treia laturi a triunghiului ADC.

Conform teoremei lui Menelaus

Răspuns:

Dovada 2


Figura 9

Fie A 1, B 1 și C 1 punctele tangente ale cercului înscris al triunghiului ABC. Pentru a demonstra că segmentele AA 1, BB 1 și CC 1 se intersectează într-un punct, este suficient să arătăm că egalitatea lui Cheva este valabilă:

Folosind proprietatea tangentelor trasate la un cerc dintr-un punct, introducem urmatoarea notatie: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Egalitatea lui Cheva este satisfăcută, ceea ce înseamnă că bisectoarele triunghiului se intersectează într-un punct.

Etapa IV. Rezolvarea problemelor (muncă independentă) (8 min.)

Profesor: Munca echipelor s-a încheiat și acum vom începe lucrul independent pe cartonașe individuale pentru 2 opțiuni.

Materiale de lecție pentru munca independentă a elevilor

Opțiunea 1.Într-un triunghi ABC, a cărui aria este 6, pe latura AB există un punct K, împărțind această latură în raportul AK:BK = 2:3, iar pe latura AC există un punct L, împărțind AC în raportul AL:LC = 5:3. Punctul Q de intersecție a dreptelor СК și BL este îndepărtat din dreapta AB la distanță. Aflați lungimea laturii AB. (Răspuns: 4.)

Opțiunea 2. Pe latura AC din triunghiul ABC se ia punctul K AK = 1, KS = 3. Pe latura AB, punctul L este luat AL:LB = 2:3, Q este punctul de intersecție al dreptelor BK și CL. Aflați lungimea altitudinii triunghiului ABC căzut de la vârful B. (Răspuns: 1.5.)

Lucrarea se transmite profesorului spre verificare.

etapa V. Rezumatul lecției (2 min.)

Sunt analizate erorile făcute, se notează răspunsurile și comentariile originale. Rezultatele muncii fiecărei echipe sunt însumate și se atribuie note.

Etapa VI. Tema pentru acasă (1 min.)

Tema pentru acasă este alcătuită din problemele nr. 11, 12 p. 289-290, nr. 10 p. 301.

Cuvintele finale de la profesor (1 min).

Astăzi ați auzit discursul matematic al celuilalt din exterior și v-ați evaluat capacitățile. Pe viitor, vom folosi astfel de discuții pentru o mai bună înțelegere a subiectului. Argumentele din lecție erau prieteni cu faptele, iar teoria cu practica. Va multumesc tuturor.

Literatură:

  1. Tkachuk V.V. Matematică pentru solicitanți. – M.: MTsNMO, 2005.

— Ce au în comun teorema lui Menelaus și medicamentele?
- Toată lumea știe despre ei, dar nimeni nu vorbește.
Conversație tipică cu un student

Aceasta este o teoremă cool care vă va ajuta într-un moment în care se pare că nimic nu vă poate ajuta. În această lecție vom formula teorema în sine, vom lua în considerare mai multe opțiuni pentru utilizarea ei și, ca desert, veți avea niște teme grele. Merge!

În primul rând, formularea. Poate că nu voi oferi cea mai „frumoasă” versiune a teoremei, ci cea mai înțeleasă și mai convenabilă.

teorema lui Menelaus. Să considerăm un triunghi arbitrar $ABC$ și o anumită dreaptă $l$ care intersectează două laturi ale triunghiului nostru în interior și o latură în continuare. Să notăm punctele de intersecție ale lui $M$, $N$ și $K$:

Triunghi $ABC$ și secanta $l$

Atunci următoarea relație este adevărată:

\[\frac(AM)(MB)\cdot \frac(BN)(NC)\cdot \frac(CK)(KA)=1\]

Aș dori să remarc: nu este nevoie să înghesuiți plasarea literelor în această formulă rea! Acum vă voi spune un algoritm prin care puteți restaura oricând toate cele trei fracții literalmente din mers. Chiar și în timpul unui examen sub stres. Chiar dacă stai la geometrie la 3 dimineața și nu înțelegi absolut nimic.

Schema este simplă:

  1. Desenați un triunghi și o secanta. De exemplu, așa cum se arată în teoremă. Desemnăm vârfurile și punctele cu câteva litere. Poate fi un triunghi arbitrar $ABC$ și o linie dreaptă cu puncte $M$, $N$, $K$ sau altul - nu acesta este ideea.
  2. Așezați un pix (creion, marker, pix) la orice vârf al triunghiului și începeți să traversați laturile acestui triunghi cu intrare obligatorie în punctele de intersecţie cu dreapta. De exemplu, dacă mergem mai întâi de la punctul $A$ la punctul $B$, vom obține segmentele: $AM$ și $MB$, apoi $BN$ și $NC$ și apoi (atenție!) $CK$ și $KA$ . Deoarece punctul $K$ se află pe continuarea laturii $AC$, atunci când treceți de la $C$ la $A$ va trebui să părăsiți temporar triunghiul.
  3. Și acum pur și simplu împărțim segmentele adiacente unul în celălalt exact în ordinea în care le-am primit atunci când parcurgem: $AM/MB$, $BN/NC$, $CK/KA$ - obținem trei fracții, al căror produs va da-ne una.

În desen va arăta astfel:

Schema simpla, care ne permite să refacem formula de la T. Menelaus

Și doar câteva comentarii. Mai precis, acestea nu sunt nici măcar comentarii, ci răspunsuri la întrebări tipice:

  • Ce se întâmplă dacă linia $l$ trece prin vârful triunghiului? Răspuns: nimic. Teorema lui Menelaus nu funcționează în acest caz.
  • Ce se întâmplă dacă alegi un alt vârf pentru a începe sau a merge în cealaltă direcție? Răspuns: va fi la fel. Secvența fracțiilor se va schimba pur și simplu.

Cred că am rezolvat formularea. Să vedem cum toate aceste lucruri sunt folosite pentru a rezolva probleme geometrice complexe.

De ce este nevoie de toate acestea?

Avertizare. Folosirea excesivă a teoremei lui Menelaus pentru a rezolva problemele planimetrice poate provoca daune ireparabile psihicului tău, deoarece această teoremă accelerează semnificativ calculele și te obligă să-ți amintești alte fapte importante dintr-un curs de geometrie școlar.

Dovada

Nu voi dovedi.

Bine, o să dovedesc:

Acum rămâne să comparăm cele două valori obținute pentru segmentul $CT$:

\[\frac(AM\cdot BN\cdot CK)(BM\cdot CN\cdot AK)=1;\]

\[\frac(AM)(BM)\cdot \frac(BN)(CN)\cdot \frac(CK)(AK)=1;\]

OK, totul sa terminat acum. Tot ce rămâne este să „pieptănați” această formulă plasând corect literele în interiorul segmentelor - și formula este gata :)

Publicații pe această temă