Nivel de intrare

Progresie aritmetică. Teorie detaliată cu exemple (2019)

Secvență de numere

Deci, hai să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:
Puteți scrie orice numere și pot fi atâtea câte doriți (în cazul nostru, există). Indiferent câte numere am scrie, putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și tot așa până la ultimul, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere:

Secvență de numere
De exemplu, pentru secvența noastră:

Numărul atribuit este specific unui singur număr din succesiune. Cu alte cuvinte, nu există trei numere secunde în succesiune. Al doilea număr (ca și al-lea număr) este întotdeauna același.
Numărul cu număr se numește al treilea termen al șirului.

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

In cazul nostru:

Să zicem că avem succesiune de numere, în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.
De exemplu:

etc.
Această secvență de numere se numește progresie aritmetică.
Termenul „progresie” a fost introdus de autorul roman Boethius încă din secolul al VI-lea și a fost înțeles într-un sens mai larg ca o succesiune numerică infinită. Denumirea „aritmetică” a fost transferată din teoria proporțiilor continue, care a fost studiată de grecii antici.

Aceasta este o secvență de numere, fiecare membru al căruia este egal cu cel anterior adăugat la același număr. Acest număr se numește diferența unei progresii aritmetice și este desemnat.

Încercați să determinați care secvențe de numere sunt o progresie aritmetică și care nu sunt:

o)
b)
c)
d)

Am înţeles? Să comparăm răspunsurile noastre:
este progresie aritmetică - b, c.
nu este progresie aritmetică - a, d.

Să revenim la progresia dată () și să încercăm să găsim valoarea celui de-al treilea termen. Există două mod de a-l găsi.

1. Metoda

Putem adăuga numărul de progresie la valoarea anterioară până ajungem la al treilea termen al progresiei. Este bine că nu avem multe de rezumat - doar trei valori:

Deci, al treilea termen al progresiei aritmetice descrise este egal cu.

2. Metoda

Ce se întâmplă dacă ar trebui să găsim valoarea celui de-al treilea termen al progresiei? Însumarea ne-ar lua mai mult de o oră și nu este un fapt că nu am greși atunci când adunăm numere.
Desigur, matematicienii au venit cu un mod în care nu este necesar să adăugați diferența unei progresii aritmetice la valoarea anterioară. Aruncă o privire mai atentă la imaginea desenată... Cu siguranță ai observat deja un anumit tipar și anume:

De exemplu, să vedem în ce constă valoarea celui de-al treilea termen al acestei progresii aritmetice:


Cu alte cuvinte:

Încercați să găsiți singur valoarea unui membru al unei anumite progresii aritmetice în acest fel.

ai calculat? Comparați notele cu răspunsul:

Vă rugăm să rețineți că ați obținut exact același număr ca în metoda anterioară, când am adăugat secvențial termenii progresiei aritmetice la valoarea anterioară.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă - să o introducem vedere generalăși obținem:

Ecuația de progresie aritmetică.

Progresiile aritmetice pot fi crescătoare sau descrescătoare.

În creștere- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mare decât cea anterioară.
De exemplu:

Descendent- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mică decât cea anterioară.
De exemplu:

Formula derivată este utilizată în calculul termenilor atât în ​​termeni crescanți, cât și în termeni descrescători ai unei progresii aritmetice.
Să verificăm acest lucru în practică.
Suntem dat progresie aritmetică, constând din următoarele numere: Să verificăm care va fi al-lea număr al acestei progresii aritmetice dacă folosim formula noastră pentru a o calcula:

De atunci:

Astfel, suntem convinși că formula funcționează atât în ​​progresie aritmetică descrescătoare, cât și în creștere.
Încercați să găsiți singuri termenii al treilea și al treilea ai acestei progresii aritmetice.

Să comparăm rezultatele:

Proprietatea progresiei aritmetice

Să complicăm problema - vom deriva proprietatea progresiei aritmetice.
Să presupunem că ni se oferă următoarea condiție:
- progresie aritmetică, găsiți valoarea.
Ușor, spui și începi să numeri după formula pe care o știi deja:

Să, ah, atunci:

Absolut adevărat. Se pare că mai întâi găsim, apoi îl adăugăm la primul număr și obținem ceea ce căutăm. Dacă progresia este reprezentată de valori mici, atunci nu este nimic complicat, dar dacă ni se dau numere în stare? De acord, există posibilitatea de a face o greșeală în calcule.
Acum gândiți-vă dacă este posibil să rezolvați această problemă într-un singur pas folosind orice formulă? Bineînțeles că da, și asta vom încerca să scoatem acum.

Să notăm termenul necesar al progresiei aritmetice, deoarece formula pentru a-l găsi este cunoscută - aceasta este aceeași formulă pe care am derivat-o la început:
, Atunci:

• termenul anterior al progresiei este:
• următorul termen al progresiei este:

Să rezumam termenii anteriori și următori ai progresiei:

Rezultă că suma termenilor anteriori și următori ai progresiei este valoarea dublă a termenului de progresie situat între ei. Cu alte cuvinte, pentru a găsi valoarea unui termen de progresie cu valori anterioare și succesive cunoscute, trebuie să le adunați și să împărțiți la.

Așa e, avem același număr. Să asigurăm materialul. Calculați singur valoarea progresiei, nu este deloc dificil.

Bine făcut! Știi aproape totul despre progres! Rămâne să aflăm o singură formulă, care, conform legendei, a fost ușor dedusă pentru el însuși de unul dintre cei mai mari matematicieni ai tuturor timpurilor, „regele matematicienilor” - Carl Gauss...

Când Carl Gauss avea 9 ani, un profesor, ocupat să verifice munca elevilor din alte clase, a atribuit următoarea sarcină în clasă: „Calculează suma tuturor numerelor naturale de la la (conform altor surse la) inclusiv.” Imaginați-vă surpriza profesorului când unul dintre elevii săi (acesta era Karl Gauss) un minut mai târziu a dat răspunsul corect la sarcină, în timp ce majoritatea colegilor temerului, după lungi calcule, au primit rezultatul greșit...

Tânărul Carl Gauss a observat un anumit model pe care și tu îl poți observa cu ușurință.
Să presupunem că avem o progresie aritmetică constând din --i termeni: Trebuie să găsim suma acestor termeni ai progresiei aritmetice. Desigur, putem să însumăm manual toate valorile, dar ce se întâmplă dacă sarcina necesită găsirea sumei termenilor săi, așa cum căuta Gauss?

Să descriem progresul care ni s-a dat. Aruncați o privire atentă la numerele evidențiate și încercați să efectuați diverse operații matematice cu ele.


L-ai incercat? Ce ai observat? Corect! Sumele lor sunt egale

Acum spuneți-mi, câte astfel de perechi sunt în total în progresia care ne este dată? Desigur, exact jumătate din toate numerele, adică.
Pe baza faptului că suma a doi termeni ai unei progresii aritmetice este egală, iar perechile similare sunt egale, obținem că suma totală este egală cu:
.
Astfel, formula pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

În unele probleme nu cunoaștem al treilea termen, dar știm diferența de progresie. Încercați să înlocuiți formula celui de-al treilea termen în formula sumei.
Ce ai primit?

Bine făcut! Acum să revenim la problema care i-a fost pusă lui Carl Gauss: calculați singur cu ce este egală suma numerelor care încep de la th și suma numerelor începând de la th.

Cât ai primit?
Gauss a descoperit că suma termenilor este egală, iar suma termenilor. Asta ai decis?

De fapt, formula pentru suma termenilor unei progresii aritmetice a fost dovedită de omul de știință grec antic Diophantus încă din secolul al III-lea și, de-a lungul acestui timp, oamenii plini de spirit au folosit pe deplin proprietățile unei progresii aritmetice.
De exemplu, imaginați-vă Egiptul Antic și cel mai mare proiect de construcție din acea vreme - construcția unei piramide... Imaginea arată o parte a acesteia.

Unde este progresul aici, zici? Privește cu atenție și găsește un model în numărul de blocuri de nisip din fiecare rând al peretelui piramidei.


De ce nu o progresie aritmetică? Calculați câte blocuri sunt necesare pentru a construi un perete dacă cărămizi bloc sunt plasate la bază. Sper că nu veți număra în timp ce vă mutați degetul pe monitor, vă amintiți ultima formulă și tot ce am spus despre progresia aritmetică?

ÎN în acest caz, Progresia arată astfel: .
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul de termeni ai unei progresii aritmetice.
Să substituim datele noastre în ultimele formule (calculați numărul de blocuri în 2 moduri).

Metoda 1.

Metoda 2.

Și acum puteți calcula pe monitor: comparați valorile obținute cu numărul de blocuri care se află în piramida noastră. Am înţeles? Bravo, ai stăpânit suma celor n-ai termeni ai unei progresii aritmetice.
Desigur, nu poți construi o piramidă din blocuri de la bază, dar din? Încercați să calculați câte cărămizi de nisip sunt necesare pentru a construi un zid cu această condiție.
Te-ai descurcat?
Răspunsul corect este blocurile:

Antrenamentul

Sarcini:

1. Masha se pune în formă pentru vară. În fiecare zi crește numărul de genuflexiuni cu. De câte ori va face Masha genuflexiuni într-o săptămână dacă a făcut genuflexiuni la primul antrenament?
2. Care este suma tuturor numerelor impare conținute în.
3. Când stochează jurnalele, loggers-ul le stivuiește în așa fel încât fiecare strat superior să conțină un buștean mai puțin decât cel anterior. Câți bușteni sunt într-o zidărie, dacă fundația zidăriei sunt bușteni?

Raspunsuri:

1. Să definim parametrii progresiei aritmetice. În acest caz
   (săptămâni = zile).

   Răspuns:În două săptămâni, Masha ar trebui să facă genuflexiuni o dată pe zi.

2. Primul nu este număr par, ultimul număr.
   Diferența de progresie aritmetică.
   Numărul de numere impare din este jumătate, totuși, să verificăm acest fapt folosind formula pentru găsirea celui de-al treilea termen al unei progresii aritmetice:

   Numerele conțin numere impare.
   Să înlocuim datele disponibile în formula:

   Răspuns: Suma tuturor numerelor impare conținute în este egală.

3. Să ne amintim de problema piramidelor. Pentru cazul nostru, a , deoarece fiecare strat superior este redus cu un buștean, atunci în total există o grămadă de straturi, adică.
   Să înlocuim datele în formula:

   Răspuns: Sunt bușteni în zidărie.

Să rezumam

1. - o succesiune de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală. Poate fi în creștere sau în scădere.
2. Găsirea formulei Al treilea termen al unei progresii aritmetice se scrie cu formula - , unde este numărul de numere din progresie.
3. Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice- - unde este numărul de numere în progresie.
4. Suma termenilor unei progresii aritmetice poate fi găsit în două moduri:
   
   , unde este numărul de valori.

PROGRESIA ARITMETICĂ. NIVEL MEDIU

Secvență de numere

Să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:

Puteți scrie orice numere și pot fi atâtea câte doriți. Dar putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și așa mai departe, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere.

Secvență de numere este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.

Cu alte cuvinte, fiecare număr poate fi asociat cu un anumit număr natural și cu unul unic. Și nu vom atribui acest număr niciunui alt număr din acest set.

Numărul cu număr se numește al-lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

Este foarte convenabil dacă al treilea termen al secvenței poate fi specificat printr-o formulă. De exemplu, formula

stabilește secvența:

Și formula este următoarea succesiune:

De exemplu, o progresie aritmetică este o succesiune (primul termen aici este egal, iar diferența este). Sau (, diferență).

al n-lea termen formulă

Numim o formulă recurentă în care, pentru a afla al treilea termen, trebuie să-i cunoști pe anterior sau mai multe anterioare:

Pentru a găsi, de exemplu, cel de-al treilea termen al progresiei folosind această formulă, va trebui să-i calculăm pe cei nouă anteriori. De exemplu, lasa-l. Apoi:

Ei bine, este clar acum care este formula?

În fiecare linie adăugăm, înmulțită cu un număr. Care? Foarte simplu: acesta este numărul membrului curent minus:

Mult mai convenabil acum, nu? Verificăm:

Decide pentru tine:

Într-o progresie aritmetică, găsiți formula pentru al n-lea termen și găsiți al sutelea termen.

Soluţie:

Primul termen este egal. Care este diferența? Iată ce:

(De aceea se numește diferență deoarece este egală cu diferența de termeni succesivi ai progresiei).

Deci, formula:

Atunci al sutelea termen este egal cu:

Care este suma tuturor numerelor naturale de la până la?

Potrivit legendei, mare matematician Karl Gauss, ca un băiețel de 9 ani, a calculat această sumă în câteva minute. A observat că suma primului și ultimului număr este egală, suma celui de-al doilea și penultimul este aceeași, suma celui de-al treilea și al 3-lea de la sfârșit este aceeași și așa mai departe. Câte astfel de perechi există în total? Așa este, exact jumătate din numărul tuturor numerelor, adică. Aşa,

Formula generală pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

Exemplu:
Găsiți suma tuturor numere cu două cifre, multipli.

Soluţie:

Primul astfel de număr este acesta. Fiecare număr următor se obține prin adăugarea la numărul anterior. Astfel, numerele care ne interesează formează o progresie aritmetică cu primul termen și diferența.

Formula celui de-al treilea termen pentru această progresie:

Câți termeni există în progresie dacă toți trebuie să fie din două cifre?

Foarte usor: .

Ultimul termen al progresiei va fi egal. Apoi suma:

Raspuns: .

Acum decideți singuri:

1. În fiecare zi, sportivul aleargă mai mulți metri decât în ​​ziua precedentă. Câți kilometri în total va alerga într-o săptămână dacă a alergat km m în prima zi?
2. Un biciclist parcurge mai mulți kilometri în fiecare zi decât în ​​ziua precedentă. În prima zi a parcurs km. Câte zile trebuie să călătorească pentru a parcurge un kilometru? Câți kilometri va parcurge în ultima zi a călătoriei?
3. Prețul unui frigider într-un magazin scade cu aceeași sumă în fiecare an. Determinați cât de mult a scăzut prețul unui frigider în fiecare an dacă, scos la vânzare pentru ruble, șase ani mai târziu a fost vândut pentru ruble.

Raspunsuri:

1. Cel mai important lucru aici este să recunoașteți progresia aritmetică și să determinați parametrii acesteia. În acest caz, (săptămâni = zile). Trebuie să determinați suma primilor termeni ai acestei progresii:
   .
   Răspuns:
2. Aici este dat: , trebuie găsit.
   Evident, trebuie să utilizați aceeași formulă de sumă ca în problema anterioară:
   .
   Înlocuiți valorile:

   În mod evident, rădăcina nu se potrivește, așa că răspunsul este.
   Să calculăm calea parcursă în ultima zi folosind formula celui de-al treilea termen:
   (km).
   Răspuns:

3. Având în vedere: . Găsiți: .
   Mai simplu nu poate fi:
   (freca).
   Răspuns:

PROGRESIA ARITMETICĂ. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Aceasta este o secvență de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.

Progresia aritmetică poate fi crescătoare () și descrescătoare ().

De exemplu:

Formula pentru găsirea celui de-al n-lea termen al unei progresii aritmetice

se scrie prin formula, unde este numărul de numere în progresie.

Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice

Vă permite să găsiți cu ușurință un termen al unei progresii dacă termenii învecinați sunt cunoscuți - unde este numărul de numere din progresie.

Suma termenilor unei progresii aritmetice

Există două moduri de a găsi suma:

Unde este numărul de valori.

Unde este numărul de valori.

Nivel de intrare

Progresie aritmetică. Teorie detaliată cu exemple (2019)

Secvență de numere

Deci, hai să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:
Puteți scrie orice numere și pot fi atâtea câte doriți (în cazul nostru, există). Indiferent câte numere am scrie, putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și tot așa până la ultimul, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere:

Secvență de numere
De exemplu, pentru secvența noastră:

Numărul atribuit este specific unui singur număr din succesiune. Cu alte cuvinte, nu există trei numere secunde în succesiune. Al doilea număr (ca și al-lea număr) este întotdeauna același.
Numărul cu număr se numește al treilea termen al șirului.

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

In cazul nostru:

Să presupunem că avem o secvență de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.
De exemplu:

etc.
Această secvență de numere se numește progresie aritmetică.
Termenul „progresie” a fost introdus de autorul roman Boethius încă din secolul al VI-lea și a fost înțeles într-un sens mai larg ca o succesiune numerică infinită. Denumirea „aritmetică” a fost transferată din teoria proporțiilor continue, care a fost studiată de grecii antici.

Aceasta este o secvență de numere, fiecare membru al căruia este egal cu cel anterior adăugat la același număr. Acest număr se numește diferența unei progresii aritmetice și este desemnat.

Încercați să determinați care secvențe de numere sunt o progresie aritmetică și care nu sunt:

o)
b)
c)
d)

Am înţeles? Să comparăm răspunsurile noastre:
este progresie aritmetică - b, c.
nu este progresie aritmetică - a, d.

Să revenim la progresia dată () și să încercăm să găsim valoarea celui de-al treilea termen. Există două mod de a-l găsi.

1. Metoda

Putem adăuga numărul de progresie la valoarea anterioară până ajungem la al treilea termen al progresiei. Este bine că nu avem multe de rezumat - doar trei valori:

Deci, al treilea termen al progresiei aritmetice descrise este egal cu.

2. Metoda

Ce se întâmplă dacă ar trebui să găsim valoarea celui de-al treilea termen al progresiei? Însumarea ne-ar lua mai mult de o oră și nu este un fapt că nu am greși atunci când adunăm numere.
Desigur, matematicienii au venit cu un mod în care nu este necesar să adăugați diferența unei progresii aritmetice la valoarea anterioară. Aruncă o privire mai atentă la imaginea desenată... Cu siguranță ai observat deja un anumit tipar și anume:

De exemplu, să vedem în ce constă valoarea celui de-al treilea termen al acestei progresii aritmetice:


Cu alte cuvinte:

Încercați să găsiți singur valoarea unui membru al unei anumite progresii aritmetice în acest fel.

ai calculat? Comparați notele cu răspunsul:

Vă rugăm să rețineți că ați obținut exact același număr ca în metoda anterioară, când am adăugat secvențial termenii progresiei aritmetice la valoarea anterioară.
Să încercăm să „depersonalizăm” această formulă - să o punem în formă generală și să obținem:

Ecuația de progresie aritmetică.

Progresiile aritmetice pot fi crescătoare sau descrescătoare.

În creștere- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mare decât cea anterioară.
De exemplu:

Descendent- progresii în care fiecare valoare ulterioară a termenilor este mai mică decât cea anterioară.
De exemplu:

Formula derivată este utilizată în calculul termenilor atât în ​​termeni crescanți, cât și în termeni descrescători ai unei progresii aritmetice.
Să verificăm acest lucru în practică.
Ni se oferă o progresie aritmetică constând din următoarele numere: Să verificăm care va fi al-lea număr al acestei progresii aritmetice dacă folosim formula noastră pentru a o calcula:

De atunci:

Astfel, suntem convinși că formula funcționează atât în ​​progresie aritmetică descrescătoare, cât și în creștere.
Încercați să găsiți singuri termenii al treilea și al treilea ai acestei progresii aritmetice.

Să comparăm rezultatele:

Proprietatea progresiei aritmetice

Să complicăm problema - vom deriva proprietatea progresiei aritmetice.
Să presupunem că ni se oferă următoarea condiție:
- progresie aritmetică, găsiți valoarea.
Ușor, spui și începi să numeri după formula pe care o știi deja:

Să, ah, atunci:

Absolut adevărat. Se pare că mai întâi găsim, apoi îl adăugăm la primul număr și obținem ceea ce căutăm. Dacă progresia este reprezentată de valori mici, atunci nu este nimic complicat, dar dacă ni se dau numere în stare? De acord, există posibilitatea de a face o greșeală în calcule.
Acum gândiți-vă dacă este posibil să rezolvați această problemă într-un singur pas folosind orice formulă? Bineînțeles că da, și asta vom încerca să scoatem acum.

Să notăm termenul necesar al progresiei aritmetice, deoarece formula pentru a-l găsi este cunoscută - aceasta este aceeași formulă pe care am derivat-o la început:
, Atunci:

• termenul anterior al progresiei este:
• următorul termen al progresiei este:

Să rezumam termenii anteriori și următori ai progresiei:

Rezultă că suma termenilor anteriori și următori ai progresiei este valoarea dublă a termenului de progresie situat între ei. Cu alte cuvinte, pentru a găsi valoarea unui termen de progresie cu valori anterioare și succesive cunoscute, trebuie să le adunați și să împărțiți la.

Așa e, avem același număr. Să asigurăm materialul. Calculați singur valoarea progresiei, nu este deloc dificil.

Bine făcut! Știi aproape totul despre progres! Rămâne să aflăm o singură formulă, care, conform legendei, a fost ușor dedusă pentru el însuși de unul dintre cei mai mari matematicieni ai tuturor timpurilor, „regele matematicienilor” - Carl Gauss...

Când Carl Gauss avea 9 ani, un profesor, ocupat să verifice munca elevilor din alte clase, a atribuit următoarea sarcină în clasă: „Calculează suma tuturor numerelor naturale de la la (conform altor surse la) inclusiv.” Imaginați-vă surpriza profesorului când unul dintre elevii săi (acesta era Karl Gauss) un minut mai târziu a dat răspunsul corect la sarcină, în timp ce majoritatea colegilor temerului, după lungi calcule, au primit rezultatul greșit...

Tânărul Carl Gauss a observat un anumit model pe care și tu îl poți observa cu ușurință.
Să presupunem că avem o progresie aritmetică constând din --i termeni: Trebuie să găsim suma acestor termeni ai progresiei aritmetice. Desigur, putem să însumăm manual toate valorile, dar ce se întâmplă dacă sarcina necesită găsirea sumei termenilor săi, așa cum căuta Gauss?

Să descriem progresul care ni s-a dat. Aruncați o privire atentă la numerele evidențiate și încercați să efectuați diverse operații matematice cu ele.


L-ai incercat? Ce ai observat? Corect! Sumele lor sunt egale

Acum spuneți-mi, câte astfel de perechi sunt în total în progresia care ne este dată? Desigur, exact jumătate din toate numerele, adică.
Pe baza faptului că suma a doi termeni ai unei progresii aritmetice este egală, iar perechile similare sunt egale, obținem că suma totală este egală cu:
.
Astfel, formula pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

În unele probleme nu cunoaștem al treilea termen, dar știm diferența de progresie. Încercați să înlocuiți formula celui de-al treilea termen în formula sumei.
Ce ai primit?

Bine făcut! Acum să revenim la problema care i-a fost pusă lui Carl Gauss: calculați singur cu ce este egală suma numerelor care încep de la th și suma numerelor începând de la th.

Cât ai primit?
Gauss a descoperit că suma termenilor este egală, iar suma termenilor. Asta ai decis?

De fapt, formula pentru suma termenilor unei progresii aritmetice a fost dovedită de omul de știință grec antic Diophantus încă din secolul al III-lea și, de-a lungul acestui timp, oamenii plini de spirit au folosit pe deplin proprietățile unei progresii aritmetice.
De exemplu, imaginați-vă Egiptul Antic și cel mai mare proiect de construcție din acea vreme - construcția unei piramide... Imaginea arată o parte a acesteia.

Unde este progresul aici, zici? Privește cu atenție și găsește un model în numărul de blocuri de nisip din fiecare rând al peretelui piramidei.


De ce nu o progresie aritmetică? Calculați câte blocuri sunt necesare pentru a construi un perete dacă cărămizi bloc sunt plasate la bază. Sper că nu veți număra în timp ce vă mutați degetul pe monitor, vă amintiți ultima formulă și tot ce am spus despre progresia aritmetică?

În acest caz, progresia arată astfel: .
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul de termeni ai unei progresii aritmetice.
Să substituim datele noastre în ultimele formule (calculați numărul de blocuri în 2 moduri).

Metoda 1.

Metoda 2.

Și acum puteți calcula pe monitor: comparați valorile obținute cu numărul de blocuri care se află în piramida noastră. Am înţeles? Bravo, ai stăpânit suma celor n-ai termeni ai unei progresii aritmetice.
Desigur, nu poți construi o piramidă din blocuri de la bază, dar din? Încercați să calculați câte cărămizi de nisip sunt necesare pentru a construi un zid cu această condiție.
Te-ai descurcat?
Răspunsul corect este blocurile:

Antrenamentul

Sarcini:

1. Masha se pune în formă pentru vară. În fiecare zi crește numărul de genuflexiuni cu. De câte ori va face Masha genuflexiuni într-o săptămână dacă a făcut genuflexiuni la primul antrenament?
2. Care este suma tuturor numerelor impare conținute în.
3. Când stochează jurnalele, loggers-ul le stivuiește în așa fel încât fiecare strat superior să conțină un buștean mai puțin decât cel anterior. Câți bușteni sunt într-o zidărie, dacă fundația zidăriei sunt bușteni?

Raspunsuri:

1. Să definim parametrii progresiei aritmetice. În acest caz
   (săptămâni = zile).

   Răspuns:În două săptămâni, Masha ar trebui să facă genuflexiuni o dată pe zi.

2. Primul număr impar, ultimul număr.
   Diferența de progresie aritmetică.
   Numărul de numere impare din este jumătate, totuși, să verificăm acest fapt folosind formula pentru găsirea celui de-al treilea termen al unei progresii aritmetice:

   Numerele conțin numere impare.
   Să înlocuim datele disponibile în formula:

   Răspuns: Suma tuturor numerelor impare conținute în este egală.

3. Să ne amintim de problema piramidelor. Pentru cazul nostru, a , deoarece fiecare strat superior este redus cu un buștean, atunci în total există o grămadă de straturi, adică.
   Să înlocuim datele în formula:

   Răspuns: Sunt bușteni în zidărie.

Să rezumam

1. - o succesiune de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală. Poate fi în creștere sau în scădere.
2. Găsirea formulei Al treilea termen al unei progresii aritmetice se scrie cu formula - , unde este numărul de numere din progresie.
3. Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice- - unde este numărul de numere în progresie.
4. Suma termenilor unei progresii aritmetice poate fi găsit în două moduri:
   
   , unde este numărul de valori.

PROGRESIA ARITMETICĂ. NIVEL MEDIU

Secvență de numere

Să ne așezăm și să începem să scriem câteva numere. De exemplu:

Puteți scrie orice numere și pot fi atâtea câte doriți. Dar putem spune întotdeauna care este primul, care este al doilea și așa mai departe, adică le putem numerota. Acesta este un exemplu de succesiune de numere.

Secvență de numere este un set de numere, fiecăruia cărora li se poate atribui un număr unic.

Cu alte cuvinte, fiecare număr poate fi asociat cu un anumit număr natural și cu unul unic. Și nu vom atribui acest număr niciunui alt număr din acest set.

Numărul cu număr se numește al-lea membru al secvenței.

De obicei, numim întreaga secvență printr-o literă (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru: .

Este foarte convenabil dacă al treilea termen al secvenței poate fi specificat printr-o formulă. De exemplu, formula

stabilește secvența:

Și formula este următoarea succesiune:

De exemplu, o progresie aritmetică este o succesiune (primul termen aici este egal, iar diferența este). Sau (, diferență).

al n-lea termen formulă

Numim o formulă recurentă în care, pentru a afla al treilea termen, trebuie să-i cunoști pe anterior sau mai multe anterioare:

Pentru a găsi, de exemplu, cel de-al treilea termen al progresiei folosind această formulă, va trebui să-i calculăm pe cei nouă anteriori. De exemplu, lasa-l. Apoi:

Ei bine, este clar acum care este formula?

În fiecare linie adăugăm, înmulțită cu un număr. Care? Foarte simplu: acesta este numărul membrului curent minus:

Mult mai convenabil acum, nu? Verificăm:

Decide pentru tine:

Într-o progresie aritmetică, găsiți formula pentru al n-lea termen și găsiți al sutelea termen.

Soluţie:

Primul termen este egal. Care este diferența? Iată ce:

(De aceea se numește diferență deoarece este egală cu diferența de termeni succesivi ai progresiei).

Deci, formula:

Atunci al sutelea termen este egal cu:

Care este suma tuturor numerelor naturale de la până la?

Potrivit legendei, marele matematician Carl Gauss, pe când era un băiețel de 9 ani, a calculat această sumă în câteva minute. A observat că suma primului și ultimului număr este egală, suma celui de-al doilea și penultimul este aceeași, suma celui de-al treilea și al 3-lea de la sfârșit este aceeași și așa mai departe. Câte astfel de perechi există în total? Așa este, exact jumătate din numărul tuturor numerelor, adică. Aşa,

Formula generală pentru suma primilor termeni ai oricărei progresii aritmetice va fi:

Exemplu:
Aflați suma tuturor multiplilor de două cifre.

Soluţie:

Primul astfel de număr este acesta. Fiecare număr următor se obține prin adăugarea la numărul anterior. Astfel, numerele care ne interesează formează o progresie aritmetică cu primul termen și diferența.

Formula celui de-al treilea termen pentru această progresie:

Câți termeni există în progresie dacă toți trebuie să fie din două cifre?

Foarte usor: .

Ultimul termen al progresiei va fi egal. Apoi suma:

Raspuns: .

Acum decideți singuri:

1. În fiecare zi, sportivul aleargă mai mulți metri decât în ​​ziua precedentă. Câți kilometri în total va alerga într-o săptămână dacă a alergat km m în prima zi?
2. Un biciclist parcurge mai mulți kilometri în fiecare zi decât în ​​ziua precedentă. În prima zi a parcurs km. Câte zile trebuie să călătorească pentru a parcurge un kilometru? Câți kilometri va parcurge în ultima zi a călătoriei?
3. Prețul unui frigider într-un magazin scade cu aceeași sumă în fiecare an. Determinați cât de mult a scăzut prețul unui frigider în fiecare an dacă, scos la vânzare pentru ruble, șase ani mai târziu a fost vândut pentru ruble.

Raspunsuri:

1. Cel mai important lucru aici este să recunoașteți progresia aritmetică și să determinați parametrii acesteia. În acest caz, (săptămâni = zile). Trebuie să determinați suma primilor termeni ai acestei progresii:
   .
   Răspuns:
2. Aici este dat: , trebuie găsit.
   Evident, trebuie să utilizați aceeași formulă de sumă ca în problema anterioară:
   .
   Înlocuiți valorile:

   În mod evident, rădăcina nu se potrivește, așa că răspunsul este.
   Să calculăm calea parcursă în ultima zi folosind formula celui de-al treilea termen:
   (km).
   Răspuns:

3. Având în vedere: . Găsiți: .
   Mai simplu nu poate fi:
   (freca).
   Răspuns:

PROGRESIA ARITMETICĂ. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Aceasta este o secvență de numere în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală.

Progresia aritmetică poate fi crescătoare () și descrescătoare ().

De exemplu:

Formula pentru găsirea celui de-al n-lea termen al unei progresii aritmetice

se scrie prin formula, unde este numărul de numere în progresie.

Proprietatea membrilor unei progresii aritmetice

Vă permite să găsiți cu ușurință un termen al unei progresii dacă termenii învecinați sunt cunoscuți - unde este numărul de numere din progresie.

Suma termenilor unei progresii aritmetice

Există două moduri de a găsi suma:

Unde este numărul de valori.

Unde este numărul de valori.

Probleme privind progresia aritmetică existau deja în cele mai vechi timpuri. Au apărut și au cerut o soluție pentru că aveau o nevoie practică.

Deci, într-unul din papirusuri Egiptul antic„, care are un conținut matematic – papirusul Rhind (sec. XIX î.Hr.) – conține următoarea sarcină: împărți zece măsuri de pâine între zece persoane, cu condiția ca diferența dintre fiecare dintre ele să fie de o opteme din măsură”.

Și în lucrările de matematică ale grecilor antici există teoreme elegante legate de progresia aritmetică. Astfel, Hypsicles din Alexandria (secolul al II-lea, care a compilat multe probleme interesante și a adăugat cartea a XIV-a la Elementele lui Euclid), a formulat ideea: „Într-o progresie aritmetică care are un număr par de termeni, suma termenilor din a doua jumătate. este mai mare decât suma termenilor primului de pe pătrat 1/2 numere de membri.”

Secvența este notată cu un. Numerele unei secvențe sunt numite membrii acesteia și sunt de obicei notate cu litere cu indici care indică număr de serie acest membru (a1, a2, a3 ... citește: „un 1”, „un 2”, „un 3” și așa mai departe).

Secvența poate fi infinită sau finită.

Ce este o progresie aritmetică? Prin ea se înțelege pe cel obținut prin adăugarea termenului anterior (n) cu același număr d, care este diferența de progresie.

Dacă d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, atunci această progresie este considerată în creștere.

O progresie aritmetică se numește finită dacă sunt luați în considerare doar primii săi termeni. La foarte cantitati mari membrii este deja progresie nesfârșită.

Orice progresie aritmetică este definită de următoarea formulă:

an =kn+b, b și k fiind niște numere.

Afirmația opusă este absolut adevărată: dacă o secvență este dată de o formulă similară, atunci este exact o progresie aritmetică care are proprietățile:

1. Fiecare termen al progresiei este media aritmetică a termenului anterior și a celui următor.
2. Revers: dacă, începând cu al 2-lea, fiecare termen este media aritmetică a termenului anterior și a celui următor, i.e. dacă condiția este îndeplinită, atunci această secvență este o progresie aritmetică. Această egalitate este în același timp un semn al progresiei, de aceea este de obicei numită o proprietate caracteristică a progresiei.
   În același mod, teorema care reflectă această proprietate este adevărată: o secvență este o progresie aritmetică numai dacă această egalitate este adevărată pentru oricare dintre termenii șirului, începând cu al 2-lea.

Proprietatea caracteristică pentru oricare patru numere ale unei progresii aritmetice poate fi exprimată prin formula an + am = ak + al, dacă n + m = k + l (m, n, k sunt numere de progresie).

Într-o progresie aritmetică, orice termen necesar (N-lea) poate fi găsit folosind următoarea formulă:

De exemplu: primul termen (a1) dintr-o progresie aritmetică este dat și egal cu trei, iar diferența (d) este egală cu patru. Trebuie să găsiți al patruzeci și cincilea termen al acestei progresii. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) ne permite să determinăm al n-lea termen o progresie aritmetică prin oricare dintre cei ce-lea termeni ai săi, cu condiția să fie cunoscută.

Suma termenilor unei progresii aritmetice (adică primii n termeni ai unei progresii finite) se calculează după cum urmează:

Sn = (a1+an) n/2.

Dacă primul termen este de asemenea cunoscut, atunci o altă formulă este convenabilă pentru calcul:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Suma unei progresii aritmetice care conține n termeni se calculează după cum urmează:

Alegerea formulelor pentru calcule depinde de condițiile problemelor și de datele inițiale.

Serii naturale ale oricăror numere, cum ar fi 1,2,3,...,n,...- cel mai simplu exemplu progresie aritmetică.

Pe lângă progresia aritmetică, există și o progresie geometrică, care are proprietăți și caracteristici proprii.

Înainte să începem să decidem probleme de progresie aritmetică, să considerăm ce este o secvență de numere, deoarece este o progresie aritmetică caz special succesiune de numere.

O secvență de numere este un set de numere, fiecare element având propriul său număr de serie. Elementele acestei mulțimi sunt numite membri ai secvenței. Numărul de serie al unui element de secvență este indicat printr-un index:

Primul element al secvenței;

Al cincilea element al secvenței;

- elementul „n-lea” al secvenței, adică elementul „stă la coadă” la numărul n.

Există o relație între valoarea unui element de secvență și numărul său de secvență. Prin urmare, putem considera o secvență ca o funcție al cărei argument este numărul ordinal al elementului secvenței. Cu alte cuvinte, putem spune asta secvența este o funcție a argumentului natural:

Secvența poate fi setată în trei moduri:

1 . Secvența poate fi specificată folosind un tabel.În acest caz, pur și simplu setăm valoarea fiecărui membru al secvenței.

De exemplu, Cineva a decis să se ocupe de gestionarea personală a timpului și, pentru început, să numere cât timp petrece pe VKontakte în timpul săptămânii. Înregistrând timpul în tabel, el va primi o secvență formată din șapte elemente:

Prima linie a tabelului indică numărul zilei săptămânii, a doua - timpul în minute. Vedem că, adică luni, Cineva a petrecut 125 de minute pe VKontakte, adică joi - 248 de minute și, adică, vineri doar 15.

2 . Secvența poate fi specificată folosind formula a n-a termen.

În acest caz, dependența valorii unui element de secvență de numărul său este exprimată direct sub forma unei formule.

De exemplu, dacă , atunci

Pentru a găsi valoarea unui element de secvență cu un număr dat, înlocuim numărul elementului în formula celui de-al n-lea termen.

Facem același lucru dacă trebuie să găsim valoarea unei funcții dacă valoarea argumentului este cunoscută. Inlocuim valoarea argumentului in ecuatia functiei:

Dacă, de exemplu, , Asta

Permiteți-mi să notez încă o dată că în ordine, spre deosebire de arbitrar functie numerica, argumentul poate fi doar un număr natural.

3 . Secvența poate fi specificată folosind o formulă care exprimă dependența valorii numărului membru al secvenței n de valorile membrilor anteriori.

În acest caz, nu este suficient să cunoaștem doar numărul membrului secvenței pentru a-i găsi valoarea. Trebuie să specificăm primul membru sau primii câțiva membri ai secvenței. ,

De exemplu, luați în considerare succesiunea Putem găsi valorile membrilor secvenței unul câte unul

, începând cu a treia: Adică, de fiecare dată, pentru a găsi valoarea celui de-al n-lea termen al șirului, revenim la cei doi anteriori. Această metodă de specificare a unei secvențe este numită recurent , din cuvânt latin recurro

- întoarce-te.

Acum putem defini o progresie aritmetică. O progresie aritmetică este un caz special simplu al unei secvențe de numere. Progresie aritmetică

este o succesiune numerică, fiecare membru al căruia, începând cu al doilea, este egal cu precedentul adăugat la același număr. Numărul este sunat diferența de progresie aritmetică

. Diferența unei progresii aritmetice poate fi pozitivă, negativă sau egală cu zero.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Dacă title="d>0.

crescând

De exemplu, 2; 5; 8; 11;... Dacă , atunci fiecare termen al unei progresii aritmetice este mai mic decât cel precedent, iar progresia este.

în scădere

De exemplu, 2; -1; -4; -7;... Dacă , atunci toți termenii progresiei sunt egali cu același număr, iar progresia este.

staţionar

De exemplu, 2;2;2;2;...

Principala proprietate a unei progresii aritmetice:

Să ne uităm la poză.

Vedem asta

, și în același timp

.

Adăugând aceste două egalități, obținem:

Să împărțim ambele părți ale egalității la 2:

Deci, fiecare membru al progresiei aritmetice, începând de la al doilea, este egal cu media aritmetică a celor două învecinate:

Vedem asta

Mai mult, din moment ce

, Asta

, și prin urmare">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Fiecare termen al unei progresii aritmetice, începând cu title="k>l

Vedem că termenii progresiei aritmetice satisfac următoarele relații:

si in sfarsit

Am primit formula celui de-al n-lea termen.

IMPORTANT! Orice membru al unei progresii aritmetice poate fi exprimat prin și. Cunoscând primul termen și diferența unei progresii aritmetice, puteți găsi oricare dintre termenii săi.

Suma a n termeni ai unei progresii aritmetice.

Într-o progresie aritmetică arbitrară, sumele termenilor echidistanți de cei extremi sunt egale între ele:

Considerăm o progresie aritmetică cu n termeni. Fie suma n termeni ai acestei progresii să fie egală cu .

Să aranjam mai întâi termenii progresiei în ordine crescătoare a numerelor, apoi în ordine descrescătoare:

Să adăugăm în perechi:

Suma din fiecare paranteză este , numărul de perechi este n.

Primim:

Aşa, suma n termeni ai unei progresii aritmetice poate fi găsită folosind formulele:

Să luăm în considerare rezolvarea problemelor de progresie aritmetică.

1 . Secvența este dată de formula celui de-al n-lea termen: . Demonstrați că această succesiune este o progresie aritmetică.

Să demonstrăm că diferența dintre doi termeni adiacenți ai șirului este egală cu același număr.

Am constatat că diferența dintre doi membri adiacenți ai secvenței nu depinde de numărul lor și este o constantă. Prin urmare, prin definiție, această secvență este o progresie aritmetică.

2 . Având în vedere o progresie aritmetică -31; -27;...

a) Găsiți 31 de termeni ai progresiei.

b) Stabiliți dacă numărul 41 este inclus în această progresie.

O) Vedem că;

Să scriem formula pentru al n-lea termen pentru progresia noastră.

În general

În cazul nostru , De aceea

Primim:

b) Să presupunem că numărul 41 este un membru al secvenței. Să-i găsim numărul. Pentru a face acest lucru, să rezolvăm ecuația:

Am obținut valoarea naturală a lui n, prin urmare, da, numărul 41 este membru al progresiei. Dacă valoarea găsită a lui n nu ar fi număr natural, atunci am răspunde că numărul 41 NU este membru al progresiei.

3 . a) Între numerele 2 și 8, introduceți 4 numere astfel încât ele, împreună cu aceste numere, să formeze o progresie aritmetică.

b) Aflați suma termenilor progresiei rezultate.

O) Să inserăm patru numere între numerele 2 și 8:

Avem o progresie aritmetică cu 6 membri.

Să găsim diferența acestei progresii. Pentru a face acest lucru, folosim formula pentru al n-lea termen:

Acum este ușor să găsiți semnificațiile numerelor:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Răspuns: a) da; b) 30

4. Camionul transportă o încărcătură de piatră spartă cu o greutate de 240 de tone, crescând rata de transport cu același număr de tone în fiecare zi. Se știe că 2 tone de piatră zdrobită au fost transportate în prima zi. Stabiliți câte tone de piatră zdrobită au fost transportate în a douăsprezecea zi dacă toată lucrarea a fost finalizată în 15 zile.

În funcție de starea problemei, cantitatea de piatră zdrobită pe care o transportă camionul crește cu același număr în fiecare zi. Prin urmare, avem de-a face cu o progresie aritmetică.

Să formulăm această problemă în termenii unei progresii aritmetice.

În prima zi au fost transportate 2 tone de piatră zdrobită: a_1=2.

Toate lucrările au fost finalizate în 15 zile: .

Camionul transportă un lot de piatră zdrobită cu o greutate de 240 de tone:

Trebuie să găsim.

Mai întâi, să găsim diferența de progresie. Să folosim formula pentru suma n termeni ai unei progresii.

In cazul nostru:

Unii oameni tratează cuvântul „progresie” cu prudență, ca pe un termen foarte complex din ramurile matematicii superioare. Între timp, cea mai simplă progresie aritmetică este munca contorului de taxi (unde există încă). Și înțelegerea esenței (și în matematică nu este nimic mai important decât „înțelegerea esenței”) a unei secvențe aritmetice nu este atât de dificilă, având în vedere câteva concepte elementare.

Succesiunea de numere matematice

O secvență numerică este de obicei numită o serie de numere, fiecare dintre ele având propriul său număr.

a 1 este primul membru al secvenței;

și 2 este al doilea termen al secvenței;

și 7 este al șaptelea membru al secvenței;

şi n este al n-lea membru al secvenţei;

Cu toate acestea, nu ne interesează niciun set arbitrar de numere și numere. Ne vom concentra atenția asupra unei secvențe numerice în care valoarea celui de-al n-lea termen este legată de numărul său ordinal printr-o relație care poate fi formulată clar matematic. Cu alte cuvinte: valoare numerică Al n-lea număr este o funcție a lui n.

a este valoarea unui membru al unei secvențe numerice;

n este numărul său de serie;

f(n) este o funcție, unde numărul ordinal din șirul numeric n este argumentul.

Definiţie

O progresie aritmetică se numește de obicei o succesiune numerică în care fiecare termen ulterior este mai mare (mai mic) decât cel anterior cu același număr. Formula pentru al n-lea termen al unei secvențe aritmetice este următoarea:

a n - valoarea membrului curent al progresiei aritmetice;

a n+1 - formula următorului număr;

d - diferenta (numar anumit).

Este ușor de determinat că dacă diferența este pozitivă (d>0), atunci fiecare membru ulterior al seriei luate în considerare va fi mai mare decât precedentul și o astfel de progresie aritmetică va crește.

În graficul de mai jos este ușor de văzut de ce succesiunea de numere se numește „creștere”.

În cazurile în care diferența este negativă (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Valoarea specificată pentru membru

Uneori este necesar să se determine valoarea oricărui termen arbitrar a n al unei progresii aritmetice. Acest lucru se poate face prin calcularea succesivă a valorilor tuturor membrilor progresiei aritmetice, începând de la primul până la cel dorit. Cu toate acestea, această cale nu este întotdeauna acceptabilă dacă, de exemplu, este necesar să se găsească valoarea celui de cinci mii sau opt milioane. Calculele tradiționale vor dura mult timp. Cu toate acestea, o anumită progresie aritmetică poate fi studiată folosind anumite formule. Există și o formulă pentru al n-lea termen: valoarea oricărui termen al unei progresii aritmetice poate fi determinată ca suma primului termen al progresiei cu diferența progresiei, înmulțită cu numărul termenului dorit, redusă cu unul.

Formula este universală pentru creșterea și scăderea progresiei.

Un exemplu de calcul al valorii unui termen dat

Să rezolvăm următoarea problemă de găsire a valorii celui de-al n-lea termen al unei progresii aritmetice.

Condiție: există o progresie aritmetică cu parametrii:

Primul termen al secvenței este 3;

Diferența în seria de numere este 1,2.

Sarcină: trebuie să găsiți valoarea a 214 termeni

Soluție: pentru a determina valoarea unui termen dat, folosim formula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Înlocuind datele din enunțul problemei în expresie, avem:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Răspuns: Al 214-lea termen al secvenței este egal cu 258,6.

Avantajele acestei metode de calcul sunt evidente - întreaga soluție nu necesită mai mult de 2 linii.

Suma unui număr dat de termeni

Foarte des, într-o serie aritmetică dată, este necesar să se determine suma valorilor unora dintre segmentele sale. Pentru a face acest lucru, nu este nevoie să calculați valorile fiecărui termen și apoi să le adăugați. Această metodă este aplicabilă dacă numărul de termeni a căror sumă trebuie găsită este mic. În alte cazuri, este mai convenabil să folosiți următoarea formulă.

Suma termenilor unei progresii aritmetice de la 1 la n este egală cu suma primului și al n-lea termen, înmulțită cu numărul termenului n și împărțită la doi. Dacă în formulă valoarea celui de-al n-lea termen este înlocuită cu expresia din paragraful anterior al articolului, obținem:

Exemplu de calcul

De exemplu, să rezolvăm o problemă cu următoarele condiții:

Primul termen al secvenței este zero;

Diferența este de 0,5.

Problema necesită determinarea sumei termenilor seriei de la 56 la 101.

Soluţie. Să folosim formula pentru a determina valoarea progresiei:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

În primul rând, determinăm suma valorilor a 101 termeni ai progresiei prin înlocuirea condițiilor date ale problemei noastre în formula:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2.525

Evident, pentru a afla suma termenilor progresiei de la 56 la 101, este necesar să scădem S 55 din S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Astfel, suma progresiei aritmetice pentru acest exemplu este:

s 101 - s 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Exemplu de aplicare practică a progresiei aritmetice

La sfârșitul articolului, să revenim la exemplul unei secvențe aritmetice prezentate în primul paragraf - un taximetru (contor de mașină de taxi). Să luăm în considerare acest exemplu.

Urcarea într-un taxi (care include 3 km de călătorie) costă 50 de ruble. Fiecare kilometru următor este plătit la rata de 22 de ruble/km. Distanta de parcurs este de 30 km. Calculați costul călătoriei.

1. Să renunțăm la primii 3 km, al căror preț este inclus în costul aterizării.

30 - 3 = 27 km.

2. Calculul suplimentar nu este altceva decât analizarea unei serii de numere aritmetice.

Număr membru - numărul de kilometri parcurși (minus primii trei).

Valoarea membrului este suma.

Primul termen din această problemă va fi egal cu 1 = 50 de ruble.

Diferența de progresie d = 22 r.

numărul care ne interesează este valoarea termenului (27+1) al progresiei aritmetice - citirea contorului la sfârșitul celui de-al 27-lea kilometru este 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Calculele datelor din calendar pentru o perioadă arbitrar de lungă se bazează pe formule care descriu anumite secvențe numerice. În astronomie, lungimea orbitei depinde geometric de distanța dintre corpul ceresc și stea. În plus, diverse serii de numere sunt utilizate cu succes în statistică și în alte domenii aplicate ale matematicii.

Un alt tip de succesiune de numere este geometric

Progresia geometrică este caracterizată de rate mai mari de schimbare în comparație cu progresia aritmetică. Nu întâmplător, în politică, sociologie și medicină, pentru a arăta viteza mare de răspândire a unui anumit fenomen, de exemplu, o boală în timpul unei epidemii, ei spun că procesul se dezvoltă în progresie geometrică.

Al N-lea termen al seriei de numere geometrice diferă de cel precedent prin faptul că este înmulțit cu un număr constant - numitorul, de exemplu, primul termen este 1, numitorul este în mod corespunzător egal cu 2, apoi:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - valoarea termenului curent al progresiei geometrice;

b n+1 - formula următorului termen al progresiei geometrice;

q este numitorul progresiei geometrice (un număr constant).

Dacă graficul unei progresii aritmetice este o linie dreaptă, atunci o progresie geometrică pictează o imagine ușor diferită:

Ca și în cazul aritmeticii, progresia geometrică are o formulă pentru valoarea unui termen arbitrar. Orice al n-lea termen al unei progresii geometrice este egal cu produsul primului termen și numitorul progresiei la puterea lui n redus cu unu:

Exemplu. Avem o progresie geometrică cu primul termen egal cu 3 și numitorul progresiei egal cu 1,5. Să găsim al 5-lea termen al progresiei

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Suma unui număr dat de termeni este de asemenea calculată folosind o formulă specială. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice este egală cu diferența dintre produsul celui de-al n-lea termen al progresiei și numitorul său și primul termen al progresiei, împărțit la numitorul redus cu unu:

Dacă b n este înlocuit folosind formula discutată mai sus, valoarea sumei primilor n termeni ai seriei de numere luate în considerare va lua forma:

Exemplu. Progresia geometrică începe cu primul termen egal cu 1. Numitorul este setat la 3. Să aflăm suma primilor opt termeni.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280