Conversia numerelor zecimale în fracții. Conversia unei fracții în zecimală și invers, reguli, exemple

S-ar părea că transformarea unei fracții zecimale într-o fracție obișnuită este un subiect elementar, dar mulți elevi nu o înțeleg! Prin urmare, astăzi vom arunca o privire detaliată asupra mai multor algoritmi simultan, cu ajutorul cărora veți înțelege orice fracțiuni într-o secundă.

Permiteți-mi să vă reamintesc că există cel puțin două forme de scriere a aceleiași fracții: comună și zecimală. Fracțiile zecimale sunt tot felul de construcții de forma 0,75; 1,33; și chiar −7,41. Iată exemple de fracții obișnuite care exprimă aceleași numere:

Acum să ne dăm seama: cum să trecem de la notația zecimală la notația obișnuită? Și cel mai important: cum să faci asta cât mai repede posibil?

Algoritm de bază

De fapt, există cel puțin doi algoritmi. Și acum ne vom uita la amândouă. Să începem cu primul - cel mai simplu și mai ușor de înțeles.

Pentru a converti o zecimală într-o fracție, trebuie să urmați trei pași:

Notă importantă despre numere negative. Dacă în exemplul original există un semn minus în fața fracției zecimale, atunci în ieșire ar trebui să existe și un semn minus în fața fracției comune. Iată mai multe exemple:

Exemple de trecere de la notația zecimală a fracțiilor la cele obișnuite

Aș dori să acord o atenție deosebită ultimului exemplu. După cum puteți vedea, fracția 0,0025 conține multe zerouri după virgulă zecimală. Din această cauză, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu 10 de până la patru ori. Este posibil să simplificați cumva algoritmul în acest caz?

Desigur că poți. Și acum ne vom uita la un algoritm alternativ - este puțin mai greu de înțeles, dar după puțină practică funcționează mult mai rapid decât cel standard.

Un mod mai rapid

Acest algoritm are și 3 pași. Pentru a obține o fracție dintr-o zecimală, procedați în felul următor:

1. Numărați câte cifre sunt după virgulă zecimală. De exemplu, fracția 1,75 are două astfel de cifre, iar 0,0025 are patru. Să notăm această cantitate cu litera $n$.
2. Rescrieți numărul inițial ca o fracție de forma $\frac(a)(((10)^(n)))$, unde $a$ sunt toate cifrele fracției inițiale (fără zerourile „începătoare” de pe stânga, dacă există), și $n$ este același număr de cifre după virgulă pe care l-am calculat în primul pas. Cu alte cuvinte, trebuie să împărțiți cifrele fracției inițiale cu una, urmate de $n$ zerouri.
3. Dacă este posibil, reduceți fracția rezultată.

Asta este! La prima vedere, această schemă este mai complicată decât cea anterioară. Dar, de fapt, este și mai simplu și mai rapid. Judecă singur:

După cum puteți vedea, în fracția 0,64 sunt două cifre după virgulă - 6 și 4. Prin urmare, $n=2$. Dacă eliminați virgula și zerourile din stânga (în în acest caz,— doar un zero), apoi obținem numărul 64. Să trecem la pasul al doilea: $((10)^(n))=((10)^(2))=100$, deci numitorul este exact o sută. Ei bine, atunci tot ce rămâne este să reduceți numărătorul și numitorul :)

Un alt exemplu:

Aici totul este puțin mai complicat. În primul rând, există deja 3 numere după virgulă, adică. $n=3$, deci trebuie să împărțiți la $((10)^(n))=((10)^(3))=1000$. În al doilea rând, dacă scoatem virgula din notația zecimală, obținem așa: 0,004 → 0004. Amintiți-vă că zerourile din stânga trebuie eliminate, așa că de fapt avem numărul 4. Atunci totul este simplu: împărțiți, reduceți și obțineți răspunsul.

În sfârșit, ultimul exemplu:

Particularitatea acestei fracțiuni este prezența unei părți întregi. Prin urmare, rezultatul pe care îl obținem este o fracție improprie de 47/25. Puteți, desigur, să încercați să împărțiți 47 la 25 cu un rest și astfel să izolați din nou întreaga parte. Dar de ce să-ți complici viața dacă acest lucru se poate face în stadiul transformării? Ei bine, hai să ne dăm seama.

Ce să faci cu toată partea

De fapt, totul este foarte simplu: dacă dorim să obținem o fracție adecvată, atunci trebuie să scoatem întreaga parte din ea în timpul transformării și apoi, când obținem rezultatul, să o adăugăm din nou la dreapta înainte de linia fracției. .

De exemplu, luați în considerare același număr: 1,88. Să punctăm cu unu (întreaga parte) și să ne uităm la fracția 0,88. Poate fi ușor convertit:

Apoi ne amintim despre unitatea „pierdută” și o adăugăm în față:

\[\frac(22)(25)\la 1\frac(22)(25)\]

Asta este! Răspunsul s-a dovedit a fi același ca după selectarea întregii părți data trecută. Încă câteva exemple:

\[\begin(align)& 2.15\to 0.15=\frac(15)(100)=\frac(3)(20)\to 2\frac(3)(20); \\& 13,8\la 0,8=\frac(8)(10)=\frac(4)(5)\la 13\frac(4)(5). \\\end(align)\]

Aceasta este frumusețea matematicii: indiferent în ce direcție mergi, dacă toate calculele sunt făcute corect, răspunsul va fi întotdeauna același :)

În concluzie, aș dori să iau în considerare încă o tehnică care îi ajută pe mulți.

Transformări „după ureche”

Să ne gândim ce este o zecimală chiar. Mai precis, cum o citim. De exemplu, numărul 0,64 - îl citim ca „punctul zero 64 sutimi”, nu? Ei bine, sau doar „64 de sutimi”. Cuvântul cheie aici este „sutimi”, adică. numarul 100.

Ce zici de 0,004? Acesta este „punctul zero 4 miimi” sau pur și simplu „patru miimi”. Într-un fel sau altul, cuvântul cheie este „mii”, adică. 1000.

Deci, care este marea problemă? Și adevărul este că aceste numere sunt cele care „apar” în cele din urmă în numitori în a doua etapă a algoritmului. Aceste. 0,004 este „patru miimi” sau „4 împărțit la 1000”:

Încercați să vă exersați - este foarte simplu. Principalul lucru este să citiți corect fracția originală. De exemplu, 2,5 este „2 întregi, 5 zecimi”, deci

Și vreo 1,125 este „1 întreg, 125 de miimi”, deci

ÎN ultimul exemplu, desigur, cineva va obiecta, spunând că nu este evident pentru fiecare elev că 1000 este divizibil cu 125. Dar aici trebuie să rețineți că 1000 = 10 3 și 10 = 2 ∙ 5, prin urmare

\[\begin(align)& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\ cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end(align)\]

Astfel, orice putere a lui zece poate fi descompusă doar în factorii 2 și 5 - acești factori trebuie căutați la numărător, astfel încât în ​​final totul să fie redus.

Aceasta încheie lecția. Să trecem la o operație inversă mai complexă - vezi "

Numere zecimale, cum ar fi 0,2; 1,05; 3.017 etc. precum sunt auzite, așa sunt scrise. Punctul zero doi, obținem o fracție. Un virgulă cinci sutimi, obținem o fracție. Trei virgulă șaptesprezece miimi, obținem fracția. Numerele dinaintea virgulei zecimale reprezintă întreaga parte a fracției. Numărul de după virgulă este numărătorul fracției viitoare. Dacă după virgulă zecimală număr cu o singură cifră- numitorul va fi 10, dacă două cifre - 100, trei cifre - 1000 etc. Unele fracții rezultate pot fi reduse. În exemplele noastre

Transformarea unei fracții într-o zecimală

Acesta este inversul transformării anterioare. Care este caracteristica unei fracții zecimale? Numitorul său este întotdeauna 10, sau 100, sau 1000, sau 10000 și așa mai departe. Dacă fracția ta comună are un numitor ca acesta, nu este nicio problemă. De exemplu, sau

Dacă fracția este, de exemplu . În acest caz, este necesar să folosim proprietatea de bază a unei fracții și să convertim numitorul la 10 sau 100, sau 1000... În exemplul nostru, dacă înmulțim numărătorul și numitorul cu 4, obținem o fracție care poate fi scris ca număr zecimal 0,12.

Unele fracții sunt mai ușor de împărțit decât de transformat numitorul. De exemplu,

Unele fracții nu pot fi convertite în zecimale!
De exemplu,

Transformarea unei fracții mixte într-o fracție improprie

O fracție mixtă, de exemplu, poate fi ușor convertită într-o fracție necorespunzătoare. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți întreaga parte cu numitorul (jos) și să o adăugați cu numărătorul (sus), lăsând numitorul (jos) neschimbat. Adică

La conversie fracție mixtă la cea greșită, vă puteți aminti că puteți utiliza adăugarea de fracții

Transformarea unei fracții improprie într-o fracție mixtă (evidențiind întreaga parte)

O fracție necorespunzătoare poate fi convertită într-o fracție mixtă prin evidențierea întregii părți. Să ne uităm la un exemplu. Determinăm de câte ori întreg „3” se potrivește în „23”. Sau împărțiți 23 la 3 pe un calculator, numărul întreg până la virgulă zecimală este cel dorit. Acesta este „7”. În continuare, determinăm numărătorul fracției viitoare: înmulțim „7” rezultat cu numitorul „3” și scădem rezultatul din numărătorul „23”. Cum găsim în plus care rămâne de la numărătorul „23” dacă eliminăm cantitate maxima„3”. Lăsăm numitorul neschimbat. Totul este făcut, notează rezultatul

Sunt utilizate extrem de larg, și în cele mai multe diverse domenii activitatea umană fie că este vorba de calcul științific și aplicat, dezvoltarea și funcționarea diferitelor echipamente, calcule economice etc. Din diverse motive, este adesea necesar să se efectueze conversie zecimală, precum și procesul invers. Trebuie remarcat faptul că similar transformare sunt produse relativ ușor și în conformitate cu anumite reguli și tehnici care au existat în matematică de multe sute de ani.

Transformarea unei fracții zecimale într-o fracție primă

Conversie zecimalăîn fracția „obișnuită” este destul de ușor și simplu. Pentru a face acest lucru, se folosește următoarea tehnică: numărul situat în dreapta punctului zecimal al numărului inițial este luat ca numărător al noii fracții se folosește ca numitor numărul zece, la o putere egală cu numărul; de cifre ale numărătorului. În ceea ce privește întreaga parte rămasă, aceasta rămâne neschimbată. Dacă partea întreagă este egală cu zero, atunci după transformare este pur și simplu omisă.

EXEMPLUL 1

Cincizeci virgulă douăzeci și cinci este egal cu cincizeci virgulă unu și douăzeci și cinci împărțit la o sută este egal cu cincizeci virgulă unu patru.

Transformarea unei fracții într-o zecimală

Conversia unei fracții într-o zecimală, de fapt, este inversul conversia unei fracții zecimale într-o fracție primă. De asemenea, implementarea sa nu provoacă dificultăți și este, de fapt, o operație aritmetică destul de simplă. Pentru a converti o fracție într-o zecimală trebuie să împărțiți numărătorul la numitorul său în conformitate cu anumite reguli.

EXEMPLUL 1

Trebuie implementat conversia fracțiunilor cinci optimi în zecimal.

Împărțirea cinci la opt dă zecimal zero virgulă șase sute douăzeci și cinci de miimi.

=

0.625

Rotunjirea rezultatului conversiei unei fracții la zecimală

Trebuie remarcat faptul că, spre deosebire de un proces precum conversie zecimală, această procedură poate dura adesea la nesfârșit. În astfel de cazuri ei spun că rezultatul procedurii conversia unei fracții în zecimală poate să nu fie exactă. Cu toate acestea, practica arată că în marea majoritate a cazurilor nu este necesară obținerea unui rezultat perfect exact. De regulă, procesul de împărțire se încheie atunci când a obținut deja valorile acelor fracții zecimale care prezintă interes practic în fiecare caz specific.

EXEMPLUL 1

Trebuie să tăiați o bucată de unt care cântărește un kilogram în nouă bucăți de greutate egală. La efectuarea acestei proceduri, se dovedește că masa fiecăruia dintre ele este de 1/9 kilogram. Dacă se efectuează conform tuturor regulilor transformare acest fracție comună V fracție zecimală, atunci se dovedește că masa fiecăreia dintre părțile rezultate este egală cu zero întreg și unu în perioada unui kilogram.

Rotunjirea se efectuează conform regulilor standard prevăzute în aritmetică: dacă prima dintre cifrele „aruncate” are o valoare de 5 sau mai mult, atunci ultima dintre cele semnificative este mărită cu unu. În caz contrar, rămâne neschimbat.

EXEMPLUL 2

Convertiți fracția o optime la o fracție zecimală.

La împărțirea unu la opt, rezultatul este zero virgulă o sută douăzeci și cinci de miimi sau rotunjit - zero virgulă treisprezece sutimi.

Foarte des în programa școlară Copiii matematici se confruntă cu problema cum să transforme o fracție în zecimală. Pentru a converti o fracție comună într-o zecimală, să ne amintim mai întâi ce sunt o fracție comună și o zecimală. O fracție obișnuită este o fracție de forma m/n, unde m este numărătorul și n este numitorul. Exemplu: 8/13; 6/7 etc. Fracțiile sunt împărțite în numere regulate, improprii și mixte. O fracție proprie este atunci când numărătorul este mai mic decât numitorul: m/n, unde m 3. O fracție improprie poate fi întotdeauna reprezentată ca număr mixt și anume: 4/3 = 1 și 1/3;

Transformarea unei fracții într-o zecimală

Acum să ne uităm la cum se transformă o fracție mixtă într-o zecimală. Orice fracție obișnuită, proprie sau improprie, poate fi convertită într-o zecimală. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți numărătorul la numitor. Exemplu: fracție simplă(corect) 1/2. Împărțiți numărătorul 1 la numitorul 2 pentru a obține 0,5. Să luăm exemplul 45/12 este imediat clar că aceasta este o fracție neregulată. Aici numitorul este mai mic decât numărătorul. Transformarea unei fracții improprie într-o zecimală: 45: 12 = 3,75.

Conversia numerelor mixte în zecimale

Exemplu: 25/8. Mai întâi ne transformăm număr mixtîntr-o fracție improprie: 25/8 = 3x8+1/8 = 3 și 1/8; apoi împărțiți numărătorul egal cu 1 la numitorul egal cu 8, folosind o coloană sau pe un calculator și obțineți o fracție zecimală egală cu 0,125. Articolul oferă cele mai simple exemple de conversie în fracții zecimale. După ce a înțeles tehnica traducerii în exemple simple, le puteți rezolva cu ușurință pe cele mai dificile dintre ele.

O fracție este un număr format din una sau mai multe unități. În matematică, există trei tipuri de fracții: comune, mixte și zecimale.

• 
  Fracții comune

O fracție obișnuită este scrisă ca un raport în care numărătorul reflectă câte părți sunt luate din număr, iar numitorul arată în câte părți este împărțită unitatea. Dacă numărătorul este mai mic decât numitorul, atunci avem o fracție proprie De exemplu: ½, 3/5, 8/9.

Dacă numărătorul este egal sau mai mare decât numitorul, atunci avem de-a face cu o fracție improprie. De exemplu: 5/5, 9/4, 5/2 Împărțirea numărătorului poate avea ca rezultat un număr finit. De exemplu, 40/8 = 5. Prin urmare, orice număr întreg poate fi scris ca o fracție improprie obișnuită sau o serie de astfel de fracții. Să luăm în considerare intrările aceluiași număr sub forma unui număr de altele diferite.

• Fracții mixte

ÎN vedere generală o fracție mixtă poate fi reprezentată prin formula:

Astfel, o fracție mixtă este scrisă ca un întreg și o fracție proprie obișnuită, iar o astfel de notație este înțeleasă ca suma întregului și a părții sale fracționale.

• zecimale

O zecimală este un tip special de fracție în care numitorul poate fi reprezentat ca o putere a lui 10. Există zecimale infinite și finite. La scrierea acestui tip de fracție se indică mai întâi întreaga parte, apoi se înregistrează partea fracționară printr-un separator (punct sau virgulă).

Notarea unei părți fracționale este întotdeauna determinată de dimensiunea acesteia. Notație zecimală arata asa:

Reguli de conversie între diferite tipuri de fracții

• Transformarea unei fracții mixte într-o fracție comună

O fracție mixtă poate fi convertită doar într-o fracție improprie. Pentru a traduce, este necesar să aduceți întreaga parte la același numitor cu partea fracțională. În general, va arăta astfel:
Să ne uităm la utilizarea acestei reguli folosind exemple specifice:

• Traducere fracție comună amestecat

O fracție improprie poate fi convertită într-o fracție mixtă prin simplă împărțire, rezultând întreaga parte și restul (partea fracțională).

De exemplu, să convertim fracția 439/31 în mixt:
​​

• Conversia fracțiilor

În unele cazuri, conversia unei fracții într-o zecimală este destul de simplă. În acest caz, se aplică proprietatea de bază a unei fracții: numărătorul și numitorul sunt înmulțite cu același număr pentru a aduce divizorul la o putere de 10.

De exemplu:

În unele cazuri, poate fi necesar să găsiți coeficientul împărțind prin colțuri sau folosind un calculator. Și unele fracții nu pot fi reduse la o zecimală finală. De exemplu, fracția 1/3 atunci când este împărțită nu va da niciodată rezultatul final.