Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare, metode de rezolvare, exemple. Sistem de ecuații

Soluţie. A= . Să găsim r(A). Deoarece matriceȘi are ordinul 3x4, atunci cel mai mare ordin al minorilor este 3. Mai mult, toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero (verificați-l singur). Mijloace, r(A)< 3. Возьмем главный minor de bază = -5-4 = -9 ≠ 0. Prin urmare r(A) =2.

Să luăm în considerare matrice CU = .

a treia minoră comanda ≠ 0. Deci r(C) = 3.

Deoarece r(A) ≠ r(C), atunci sistemul este inconsecvent.

Exemplul 2. Determinați compatibilitatea unui sistem de ecuații

Rezolvați acest sistem dacă se dovedește a fi consistent.

Soluţie.

A = , C = . Este evident că r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Deoarece detC = 0, atunci r(C)< 4. Să luăm în considerare minor treilea comanda, situat în colțul din stânga sus al matricei A și C: = -23 ≠ 0. Deci r(A) = r(C) = 3.

Număr necunoscut în sistemul n=3. Aceasta înseamnă că sistemul are o soluție unică. În acest caz, a patra ecuație reprezintă suma primelor trei și poate fi ignorată.

Conform formulelor lui Cramer obținem x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23.

2.4. Metoda matricei. metoda gaussiana

sistem n ecuații liniare Cu n necunoscutele pot fi rezolvate metoda matricei conform formulei X = A -1 B (la Δ ≠ 0), care se obține din (2) prin înmulțirea ambelor părți cu A -1.

Exemplul 1. Rezolvați un sistem de ecuații

metoda matricei (în secțiunea 2.2 acest sistem a fost rezolvat folosind formulele lui Cramer)

Soluţie. Δ = 10 ≠ 0 A = - matrice nedegenerată.

= (verificați singur acest lucru făcând calculele necesare).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Răspuns: .

Din punct de vedere practic metoda si formulele matriceale Kramer sunt asociate cu o cantitate mare de calcule, deci se acordă preferință metoda gaussiana, care constă în eliminarea secvenţială a necunoscutelor. Pentru a face acest lucru, sistemul de ecuații este redus la un sistem echivalent cu o matrice triunghiulară extinsă (toate elementele de sub diagonala principală sunt egale cu zero). Aceste acțiuni se numesc mișcare înainte. Din sistemul triunghiular rezultat, variabilele se găsesc folosind substituții succesive (invers).

Exemplul 2. Rezolvați sistemul folosind metoda Gauss

(Mai sus, acest sistem a fost rezolvat folosind formula lui Cramer și metoda matricei).

Soluţie.

Mișcare directă. Să notăm matricea extinsă și, folosind transformări elementare, să o reducem la vedere triunghiulară:

~ ~ ~ ~ .

Primim sistem

Mișcare inversă. Din ultima ecuație găsim X 3 = -6 și înlocuiți această valoare în a doua ecuație:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Răspuns: .

2.5. Rezolvarea generală a unui sistem de ecuații liniare

Să fie dat un sistem de ecuații liniare = b i(i=). Fie r(A) = r(C) = r, i.e. sistemul este colaborativ. Orice minor de ordinul r, altul decât zero este minor de bază. Fără pierderea generalității, vom presupune că baza minoră este situată în primele r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) rânduri și coloane ale matricei A. Înlăturarea ultimul m-r ecuațiile sistemului, scriem sistemul scurtat:

care este echivalent cu cel original. Să numim necunoscutele x 1 ,….x r de bază, și x r +1 ,…, x r eliberați și mutați termenii care conțin necunoscute libere în partea dreaptă a ecuațiilor sistemului trunchiat. Obținem un sistem în raport cu necunoscutele de bază:

care pentru fiecare set de valori de necunoscute libere x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-r are o singura solutie x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r), găsit de regula lui Cramer.

Soluția corespunzătoare sistemul prescurtat și, prin urmare, sistemul original are forma:

X(C1,..., Cn-r) = - solutie generala a sistemului.

Dacă în soluția generală atribuim niște valori numerice necunoscutelor libere, obținem soluția sistem liniar, numit privat.

Exemplu.

Soluţie Stabiliți compatibilitatea și găsiți o soluție generală a sistemului . A = .

, C = Aşa Cum r(A)< 4).

= r(C) = 2 (vezi asta pentru tine), atunci sistemul original este consistent și are un număr infinit de soluții (deoarece r

Sistemele de ecuații sunt utilizate nu numai în matematică, ci și în fizică, chimie și biologie, atunci când se rezolvă probleme de găsire a mărimii populației.

Un sistem de ecuații liniare este două sau mai multe ecuații cu mai multe variabile pentru care este necesar să se găsească o soluție comună. O astfel de succesiune de numere pentru care toate ecuațiile devin egalități adevărate sau dovedesc că șirul nu există.

Ecuație liniară

Ecuațiile de forma ax+by=c se numesc liniare. Denumirile x, y sunt necunoscutele a căror valoare trebuie găsită, b, a sunt coeficienții variabilelor, c este termenul liber al ecuației.
Rezolvarea unei ecuații prin reprezentarea ei va arăta ca o dreaptă, toate punctele care sunt soluții ale polinomului.

Tipuri de sisteme de ecuații liniare

Cele mai simple exemple sunt considerate a fi sisteme de ecuații liniare cu două variabile X și Y.

F1(x, y) = 0 și F2(x, y) = 0, unde F1,2 sunt funcții și (x, y) sunt variabile de funcție.

Rezolvarea sistemului de ecuații - aceasta înseamnă găsirea valorilor (x, y) la care sistemul se transformă într-o egalitate adevărată sau stabilirea faptului că valorile adecvate ale lui x și y nu există.

O pereche de valori (x, y), scrisă ca coordonatele unui punct, se numește soluție a unui sistem de ecuații liniare.

Dacă sistemele au o soluție comună sau nu există nicio soluție, ele se numesc echivalente.

Sistemele omogene de ecuații liniare sunt sisteme a căror latură dreaptă este egală cu zero. Dacă partea dreaptă după semnul egal are o valoare sau este exprimată printr-o funcție, un astfel de sistem este eterogen.

Numărul de variabile poate fi mult mai mare de două, atunci ar trebui să vorbim despre un exemplu de sistem de ecuații liniare cu trei sau mai multe variabile.

Când se confruntă cu sisteme, școlarii presupun că numărul de ecuații trebuie să coincidă în mod necesar cu numărul de necunoscute, dar nu este cazul. Numărul de ecuații din sistem nu depinde de variabile;

Metode simple și complexe de rezolvare a sistemelor de ecuații

Nu există o metodă analitică generală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme; toate metodele se bazează pe soluții numerice. Cursul de matematică școlar descrie în detaliu metode precum permutarea, adunarea algebrică, substituția, precum și metodele grafice și matriceale, rezolvarea prin metoda Gauss.

Sarcina principală atunci când predați metode de soluție este de a învăța cum să analizați corect sistemul și să găsiți algoritmul optim de soluție pentru fiecare exemplu. Principalul lucru nu este să memorezi un sistem de reguli și acțiuni pentru fiecare metodă, ci să înțelegi principiile utilizării unei anumite metode.

Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare ale programului de clasa a VII-a școală gimnazială destul de simplu și explicat în detaliu. În orice manual de matematică, acestei secțiuni i se acordă suficientă atenție. Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare folosind metoda Gauss și Cramer este studiată mai detaliat în primii ani de învățământ superior.

Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției

Acțiunile metodei substituției au ca scop exprimarea valorii unei variabile în termenii celei de-a doua. Expresia este substituită în ecuația rămasă, apoi este redusă la o formă cu o variabilă. Acțiunea se repetă în funcție de numărul de necunoscute din sistem

Să dăm o soluție unui exemplu de sistem de ecuații liniare din clasa 7 folosind metoda substituției:

După cum se poate observa din exemplu, variabila x a fost exprimată prin F(X) = 7 + Y. Expresia rezultată, substituită în ecuația a 2-a a sistemului în locul lui X, a ajutat la obținerea unei variabile Y în a doua ecuație. . Rezolvarea acestui exemplu este ușoară și vă permite să obțineți valoarea Y. Ultimul pas Aceasta este o verificare a valorilor primite.

Nu este întotdeauna posibil să se rezolve un exemplu de sistem de ecuații liniare prin substituție. Ecuațiile pot fi complexe și exprimarea variabilei în termenii celei de-a doua necunoscute va fi prea greoaie pentru calcule ulterioare. Când există mai mult de 3 necunoscute în sistem, rezolvarea prin substituție este, de asemenea, inadecvată.

Rezolvarea unui exemplu de sistem de ecuații liniare neomogene:

Rezolvare folosind adunarea algebrică

Când se caută soluții pentru sisteme folosind metoda adunării, ecuațiile sunt adăugate termen cu termen și înmulțite cu diverse numere. Scopul final al operațiilor matematice este o ecuație într-o variabilă.

Aplicarea acestei metode necesită practică și observație. Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind metoda adunării atunci când există 3 sau mai multe variabile nu este ușoară. Adunarea algebrică este convenabilă de utilizat atunci când ecuațiile conțin fracții și zecimale.

Algoritm de rezolvare:

1. Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu un anumit număr. Ca rezultat al operației aritmetice, unul dintre coeficienții variabilei ar trebui să devină egal cu 1.
2. Adăugați expresia rezultată termen cu termen și găsiți una dintre necunoscute.
3. Înlocuiți valoarea rezultată în a doua ecuație a sistemului pentru a găsi variabila rămasă.

Metoda de rezolvare prin introducerea unei noi variabile

O nouă variabilă poate fi introdusă dacă sistemul necesită găsirea unei soluții pentru nu mai mult de două ecuații, de asemenea, numărul de necunoscute nu trebuie să fie mai mare de două.

Metoda este folosită pentru a simplifica una dintre ecuații prin introducerea unei noi variabile. Noua ecuație este rezolvată pentru necunoscuta introdusă, iar valoarea rezultată este folosită pentru a determina variabila inițială.

Exemplul arată că prin introducerea unei noi variabile t, a fost posibilă reducerea primei ecuații a sistemului la un trinom pătratic standard. Puteți rezolva un polinom găsind discriminantul.

Este necesar să se afle valoarea discriminantului folosind formula binecunoscută: D = b2 - 4*a*c, unde D este discriminantul dorit, b, a, c sunt factorii polinomului. În exemplul dat, a=1, b=16, c=39, deci D=100. Dacă discriminantul este mai mare decât zero, atunci există două soluții: t = -b±√D / 2*a, dacă discriminantul mai putin de zero, atunci există o singură soluție: x= -b / 2*a.

Soluția pentru sistemele rezultate se găsește prin metoda adunării.

Metoda vizuală de rezolvare a sistemelor

Potrivit pentru sisteme cu 3 ecuații. Metoda constă în construirea graficelor fiecărei ecuații incluse în sistem pe axa de coordonate. Coordonatele punctelor de intersecție ale curbelor vor fi soluția generală a sistemului.

Metoda grafică are o serie de nuanțe. Să ne uităm la câteva exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare într-un mod vizual.

După cum se poate observa din exemplu, pentru fiecare linie s-au construit două puncte, valorile variabilei x au fost alese în mod arbitrar: 0 și 3. Pe baza valorilor lui x, s-au găsit valorile pentru y: 3 și 0. Punctele cu coordonatele (0, 3) și (3, 0) au fost marcate pe grafic și legate printr-o linie.

Pașii trebuie repetați pentru a doua ecuație. Punctul de intersecție al dreptelor este soluția sistemului.

Următorul exemplu necesită găsirea unei soluții grafice pentru un sistem de ecuații liniare: 0,5x-y+2=0 și 0,5x-y-1=0.

După cum se poate observa din exemplu, sistemul nu are soluție, deoarece graficele sunt paralele și nu se intersectează pe toată lungimea lor.

Sistemele din exemplele 2 și 3 sunt similare, dar atunci când sunt construite devine evident că soluțiile lor sunt diferite. Trebuie amintit că nu este întotdeauna posibil să spunem dacă un sistem are o soluție sau nu este întotdeauna necesar să construim un grafic.

Matricea și varietățile sale

Matricele sunt folosite pentru a scrie concis un sistem de ecuații liniare. O matrice este un tip special de tabel plin cu numere. n*m are n - rânduri și m - coloane.

O matrice este pătrată atunci când numărul de coloane și rânduri este egal. Un vector-matrice este o matrice de o coloană cu un număr infinit posibil de rânduri. O matrice cu unități de-a lungul uneia dintre diagonale și alte elemente zero se numește identitate.

O matrice inversă este o matrice atunci când este înmulțită cu care cea originală se transformă într-o matrice unitară, o astfel de matrice există doar pentru cea pătrată originală.

Reguli pentru transformarea unui sistem de ecuații într-o matrice

În raport cu sistemele de ecuații, coeficienții și termenii liberi ai ecuațiilor sunt scrise ca numere de matrice o ecuație este un rând al matricei;

Se spune că un rând de matrice este diferit de zero dacă cel puțin un element al rândului nu este zero. Prin urmare, dacă în oricare dintre ecuații numărul de variabile diferă, atunci este necesar să introduceți zero în locul necunoscutului lipsă.

Coloanele matricei trebuie să corespundă strict variabilelor. Aceasta înseamnă că coeficienții variabilei x pot fi scriși doar într-o coloană, de exemplu prima, coeficientul necunoscutului y - doar în a doua.

La înmulțirea unei matrice, toate elementele matricei sunt înmulțite secvenţial cu un număr.

Opțiuni pentru găsirea matricei inverse

Găsirea formulei matrice inversă este destul de simplu: K -1 = 1 / |K|, unde K -1 este matricea inversă și |K| este determinantul matricei. |K| nu trebuie să fie egal cu zero, atunci sistemul are o soluție.

Determinantul este ușor de calculat pentru o matrice de două câte două, trebuie doar să înmulțiți elementele diagonale între ele. Pentru opțiunea „trei cu trei”, există o formulă |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Puteți folosi formula sau vă puteți aminti că trebuie să luați câte un element din fiecare rând și fiecare coloană, astfel încât numărul de coloane și rânduri de elemente să nu se repete în lucrare.

Rezolvarea exemplelor de sisteme de ecuații liniare folosind metoda matricei

Metoda matriceală de găsire a unei soluții vă permite să reduceți intrările greoaie atunci când rezolvați sisteme cu un număr mare de variabile și ecuații.

În exemplu, a nm sunt coeficienții ecuațiilor, matricea este un vector x n sunt variabile, iar b n sunt termeni liberi.

Rezolvarea sistemelor folosind metoda Gauss

În matematica superioară, metoda Gauss este studiată împreună cu metoda Cramer, iar procesul de găsire a soluțiilor sistemelor se numește metoda soluției Gauss-Cramer. Aceste metode sunt folosite pentru a găsi variabile ale sistemelor cu un număr mare de ecuații liniare.

Metoda Gauss este foarte asemănătoare cu soluțiile prin substituție și adunare algebrică, dar este mai sistematică. În cursul școlar, soluția prin metoda Gauss este utilizată pentru sistemele cu 3 și 4 ecuații. Scopul metodei este de a reduce sistemul la forma unui trapez inversat. De transformări algebriceși substituții, valoarea unei variabile se găsește într-una dintre ecuațiile sistemului. A doua ecuație este o expresie cu 2 necunoscute, în timp ce 3 și 4 sunt, respectiv, cu 3 și 4 variabile.

După aducerea sistemului la forma descrisă, soluția ulterioară este redusă la înlocuirea secvențială a variabilelor cunoscute în ecuațiile sistemului.

În manualele școlare pentru clasa a 7-a, un exemplu de soluție prin metoda Gauss este descris după cum urmează:

După cum se poate observa din exemplu, la pasul (3) s-au obținut două ecuații: 3x 3 -2x 4 =11 și 3x 3 +2x 4 =7. Rezolvarea oricăreia dintre ecuații vă va permite să aflați una dintre variabilele x n.

Teorema 5, care este menționată în text, afirmă că dacă una dintre ecuațiile sistemului este înlocuită cu una echivalentă, atunci și sistemul rezultat va fi echivalent cu cel original.

Metoda Gauss este greu de înțeles de elevii de liceu, dar este una dintre cele mai multe moduri interesante să dezvolte ingeniozitatea copiilor înscriși la programe de studii avansate la orele de matematică și fizică.

Pentru ușurința înregistrării, calculele se fac de obicei după cum urmează:

Coeficienții ecuațiilor și termenii liberi se scriu sub formă de matrice, unde fiecare rând al matricei corespunde uneia dintre ecuațiile sistemului. separă partea stângă ecuații din dreapta. Numerele romane indică numerele de ecuații din sistem.

Mai întâi notează matricea cu care se lucrează, apoi toate acțiunile efectuate cu unul dintre rânduri. Matricea rezultată este scrisă după semnul „săgeată” și continuă să efectueze ceea ce este necesar operații algebrice până la atingerea rezultatului.

Rezultatul ar trebui să fie o matrice în care una dintre diagonale este egală cu 1, iar toți ceilalți coeficienți sunt egali cu zero, adică matricea este redusă la o formă unitară. Nu trebuie să uităm să facem calcule cu numere de ambele părți ale ecuației.

Această metodă de înregistrare este mai puțin greoaie și vă permite să nu fiți distras prin enumerarea numeroaselor necunoscute.

Utilizarea gratuită a oricărei metode de soluție va necesita îngrijire și ceva experiență. Nu toate metodele sunt de natură aplicată. Unele metode de găsire a soluțiilor sunt mai de preferat într-un anumit domeniu al activității umane, în timp ce altele există în scopuri educaționale.

Cu toate acestea, în practică, încă două cazuri sunt larg răspândite:

– Sistemul este inconsecvent (nu are soluții);
– Sistemul este consistent și are infinite de soluții.

Nota : Termenul „coerență” implică faptul că sistemul are cel puțin o soluție. Într-o serie de probleme, este necesar să examinați mai întâi sistemul pentru a verifica cum se face acest lucru, consultați articolul despre; rangul matricelor.

Pentru aceste sisteme, se utilizează cea mai universală dintre toate metodele de soluție - metoda gaussiana. De fapt, metoda „școală” va duce și ea la răspuns, dar în matematica superioară se obișnuiește să se folosească metoda Gaussiană de eliminare secvențială a necunoscutelor. Cei care nu sunt familiarizați cu algoritmul metodei Gauss, vă rugăm să studiați mai întâi lecția Metoda gaussiană pentru manechine.

Transformările matricei elementare în sine sunt exact aceleași, diferența va fi în finalul soluției. Mai întâi, să ne uităm la câteva exemple când sistemul nu are soluții (inconsecvente).

Exemplul 1

Ce vă atrage imediat atenția despre acest sistem? Numărul de ecuații este mai mic decât numărul de variabile. Dacă numărul de ecuații este mai mic decât numărul de variabile, atunci putem spune imediat că sistemul fie este inconsecvent, fie are infinite de soluții. Și tot ce rămâne este să afli.

Începutul soluției este complet obișnuit - notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, o aducem într-o formă treptată:

(1) Pe pasul din stânga sus trebuie să obținem +1 sau –1. Nu există astfel de numere în prima coloană, așa că rearanjarea rândurilor nu va face nimic. Unitatea va trebui să se organizeze singură, iar acest lucru se poate face în mai multe moduri. Am făcut asta: la prima linie adăugăm a treia linie, înmulțită cu -1.

(2) Acum obținem două zerouri în prima coloană. La a doua linie adăugăm prima linie înmulțită cu 3. La a treia linie adăugăm prima linie înmulțită cu 5.

(3) După ce transformarea a fost finalizată, este întotdeauna recomandabil să vedem dacă este posibilă simplificarea șirurilor rezultate? Can. Împărțim a doua linie la 2, obținând în același timp –1 necesar la a doua treaptă. Împărțiți a treia linie cu –3.

(4) Adăugați a doua linie la a treia linie.

Probabil că toată lumea a observat linia proastă care a rezultat din transformările elementare: . Este clar că nu poate fi așa. Într-adevăr, să rescriem matricea rezultată înapoi la sistemul de ecuații liniare:

Dacă, în urma transformărilor elementare, se obține un șir de formă, unde este un număr altul decât zero, atunci sistemul este inconsecvent (nu are soluții).

Cum să notezi sfârșitul unei sarcini? Să desenăm cu cretă albă: „ca urmare a transformărilor elementare, se obține un șir de forma , unde ” și dăm răspunsul: sistemul nu are soluții (inconsecvente).

Dacă, conform condiției, este necesară CERCETAREA sistemului pentru compatibilitate, atunci este necesar să se oficializeze soluția într-un stil mai solid folosind conceptul rangul matricei și teorema Kronecker-Capelli.

Vă rugăm să rețineți că aici nu există o inversare a algoritmului gaussian - nu există soluții și pur și simplu nu există nimic de găsit.

Exemplul 2

Rezolvați un sistem de ecuații liniare

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Vă reamintesc din nou că soluția dvs. poate diferi de soluția mea, algoritmul gaussian nu are o „rigiditate” puternică.

încă unul caracteristica tehnica soluții: transformările elementare pot fi oprite imediat, de îndată ce o linie ca , unde . Să luăm în considerare un exemplu condiționat: să presupunem că după prima transformare se obține matricea . Matricea nu a fost încă redusă la formă eșalonată, dar nu este nevoie de alte transformări elementare, deoarece a apărut o linie a formei, unde . Răspunsul trebuie dat imediat că sistemul este incompatibil.

Când un sistem de ecuații liniare nu are soluții, acesta este aproape un cadou, datorită faptului că se obține o soluție scurtă, uneori literalmente în 2-3 pași.

Dar totul în această lume este echilibrat, iar o problemă în care sistemul are infinit de soluții este doar mai lungă.

Exemplul 3

Rezolvați un sistem de ecuații liniare

Există 4 ecuații și 4 necunoscute, deci sistemul poate fie să aibă o singură soluție, fie să nu aibă soluții, fie să aibă infinite de soluții. Oricum ar fi, metoda gaussiană ne va conduce în orice caz la răspuns. Aceasta este versatilitatea sa.

Începutul este din nou standard. Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

Asta e tot și ți-a fost frică.

(1) Vă rugăm să rețineți că toate numerele din prima coloană sunt divizibile cu 2, deci 2 este bine în treapta din stânga sus. La a doua linie adăugăm prima linie, înmulțită cu –4. La a treia linie adăugăm prima linie, înmulțită cu –2. La a patra linie adăugăm prima linie, înmulțită cu –1.

Atenţie! Mulți pot fi tentați de a patra linie scădea prima linie. Acest lucru se poate face, dar nu este necesar, experiența arată că probabilitatea unei erori în calcule crește de mai multe ori. Doar adăugați: la a patra linie adăugăm prima linie, înmulțită cu –1 – exact asa!

(2) Ultimele trei rânduri sunt proporționale, două dintre ele pot fi șterse.

Aici trebuie să arătăm din nou atenție sporită, dar liniile sunt într-adevăr proporționale? Pentru a fi în siguranță (în special pentru un ceainic), ar fi o idee bună să înmulțiți a doua linie cu –1 și să împărțiți a patra linie cu 2, rezultând trei linii identice. Și numai după aceea eliminați două dintre ele.

Ca rezultat al transformărilor elementare, matricea extinsă a sistemului este redusă la o formă în trepte:

Când scrieți o sarcină într-un caiet, este recomandabil să faceți aceleași note în creion pentru claritate.

Să rescriem sistemul de ecuații corespunzător:

Nu există un miros de soluție unică „obișnuită” a sistemului aici. Nu există nici o linie proastă. Aceasta înseamnă că acesta este al treilea caz rămas - sistemul are infinite de soluții. Uneori, în funcție de condiție, este necesar să se investigheze compatibilitatea sistemului (adică să se demonstreze că există o soluție), puteți citi despre acest lucru în ultimul paragraf al articolului Cum se află rangul unei matrice? Dar deocamdată să trecem peste elementele de bază:

Un set infinit de soluții pentru un sistem este scris pe scurt sub forma așa-numitului solutie generala a sistemului .

Găsim soluția generală a sistemului folosind inversul metodei gaussiene.

Mai întâi trebuie să definim ce variabile avem de bază, și ce variabile gratuit. Nu trebuie să vă deranjați cu termenii algebrei liniare, doar amintiți-vă că există așa variabile de bazăŞi variabile libere.

Variabilele de bază „stau” întotdeauna strict pe treptele matricei.
În acest exemplu, variabilele de bază sunt și

Variabilele gratuite sunt totul ramanand variabile care nu au primit un pas. În cazul nostru există două dintre ele: – variabile libere.

Acum ai nevoie Toate variabile de bază expres numai prin variabile libere.

Reversul algoritmului gaussian funcționează în mod tradițional de jos în sus.
Din a doua ecuație a sistemului exprimăm variabila de bază:

Acum uitați-vă la prima ecuație: . Mai întâi înlocuim expresia găsită în ea:

Rămâne să exprimăm variabila de bază în termeni de variabile libere:

Până la urmă am primit ceea ce ne trebuia - Toate sunt exprimate variabilele de bază ( și ). numai prin variabile libere:

De fapt, soluția generală este gata:

Cum se scrie corect soluția generală?
Variabilele libere sunt scrise în soluția generală „de la sine” și strict la locul lor. ÎN în acest caz, variabilele libere trebuie scrise în pozițiile a doua și a patra:
.

Expresiile rezultate pentru variabilele de bază și, evident, trebuie scris în prima și a treia poziție:

Oferirea de variabile libere valori arbitrare, puteți găsi infinit de multe solutii private. Cele mai populare valori sunt zerourile, deoarece soluția particulară este cea mai ușor de obținut. Să înlocuim în soluția generală:

– soluție privată.

O altă pereche dulci sunt cele, să le înlocuim în soluția generală:

– o altă soluție privată.

Este ușor de observat că sistemul de ecuații are infinit de solutii(deoarece putem da variabile libere orice valori)

Fiecare soluția particulară trebuie să satisfacă tuturor ecuația sistemului. Aceasta este baza pentru o verificare „rapidă” a corectitudinii soluției. Luați, de exemplu, o anumită soluție și înlocuiți-o în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului original:

Totul trebuie să vină împreună. Și cu orice soluție specială pe care o primiți, totul ar trebui să fie de asemenea de acord.

Dar, strict vorbind, verificarea unei anumite soluții este uneori înșelătoare, adică. o anumită soluție poate satisface fiecare ecuație a sistemului, dar soluția generală în sine este de fapt găsită incorect.

Prin urmare, verificarea soluției generale este mai amănunțită și mai fiabilă. Cum se verifică soluția generală rezultată ?

Nu este dificil, dar destul de plictisitor. Trebuie să luăm expresii de bază variabile, în acest caz și , și înlocuiți-le în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului.

În partea stângă a primei ecuații a sistemului:

În partea stângă a celei de-a doua ecuații a sistemului:


Se obține partea dreaptă a ecuației inițiale.

Exemplul 4

Rezolvați sistemul folosind metoda Gaussiană. Găsiți soluția generală și două soluții particulare. Verificați soluția generală.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Aici, apropo, din nou, numărul de ecuații este mai mic decât numărul de necunoscute, ceea ce înseamnă că este imediat clar că sistemul fie va fi inconsecvent, fie va avea un număr infinit de soluții. Ce este important în procesul decizional în sine? Atenție și iar atenție. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Și încă câteva exemple pentru a consolida materialul

Exemplul 5

Rezolvați un sistem de ecuații liniare. Dacă sistemul are infinit de soluții, găsiți două soluții particulare și verificați soluția generală

Soluţie: Să notăm matricea extinsă a sistemului și, folosind transformări elementare, să o aducem într-o formă în trepte:

(1) Adăugați prima linie la a doua linie. La a treia linie adăugăm prima linie înmulțită cu 2. La a patra linie adăugăm prima linie înmulțită cu 3.
(2) La a treia linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu –5. La a patra linie adăugăm a doua linie, înmulțită cu –7.
(3) Al treilea și al patrulea rând sunt aceleași, ștergem unul dintre ele.

Aceasta este atât de frumusețe:

Variabilele de bază stau pe trepte, prin urmare - variabilele de bază.
Există o singură variabilă liberă care nu a primit un pas:

Verso:
Să exprimăm variabilele de bază printr-o variabilă liberă:
Din a treia ecuație:

Să luăm în considerare a doua ecuație și să înlocuim expresia găsită în ea:

Să luăm în considerare prima ecuație și să înlocuim expresiile găsite și în ea:

Da, un calculator care calculează fracții obișnuite este încă convenabil.

Deci solutia generala este:

Încă o dată, cum a ieșit? Variabila liberă se află singură pe locul al patrulea de drept. Expresiile rezultate pentru variabilele de bază au ocupat de asemenea locurile lor ordinale.

Să verificăm imediat soluția generală. Treaba este pentru negri, dar am făcut-o deja, așa că prindeți-o =)

Înlocuim trei eroi , , în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului:

Se obțin părțile din dreapta corespunzătoare ale ecuațiilor, astfel încât soluția generală este găsită corect.

Acum din soluția generală găsită obținem două soluții particulare. Singura variabilă liberă aici este bucătarul. Nu este nevoie să-ți zgâriești mintea.

Să fie atunci – soluție privată.
Să fie atunci – o altă soluție privată.

Răspuns: Soluție generală: , soluții private: , .

N-ar fi trebuit să-mi amintesc despre negri... ...pentru că mi-au venit în minte tot felul de motive sadice și mi-am amintit de faimosul photoshop în care membrii Ku Klux Klans în robe albe aleargă pe teren după un fotbalist de culoare. Stau si zambesc linistit. Știi cât de distrag...

O mulțime de matematică este dăunătoare, deci un exemplu final similar pentru a o rezolva singur.

Exemplul 6

Găsiți soluția generală a sistemului de ecuații liniare.

Am verificat deja soluția generală, răspunsul poate fi de încredere. Soluția ta poate diferi de soluția mea, principalul lucru este că soluțiile generale coincid.

Mulți oameni au observat probabil un moment neplăcut în soluții: de foarte multe ori, la inversarea metodei Gauss, a trebuit să ne chinuim cu fracții obișnuite. În practică, acesta este într-adevăr cazul cazurile în care nu există fracții sunt mult mai puțin frecvente. Fii pregătit mental și, cel mai important, tehnic.

Mă voi opri asupra unor caracteristici ale soluției care nu au fost găsite în exemplele rezolvate.

Soluția generală a sistemului poate include uneori o constantă (sau constante), de exemplu: . Aici una dintre variabilele de bază este egală cu un număr constant: . Nu este nimic exotic în asta, se întâmplă. Evident, în acest caz, orice soluție anume va conține un cinci în prima poziție.

Rareori, dar există sisteme în care numărul de ecuații este mai mare decât numărul de variabile. Metoda Gaussiană funcționează în cele mai severe condiții; Un astfel de sistem poate fi inconsecvent, poate avea infinit de soluții și, în mod ciudat, poate avea o singură soluție.

Metoda Gaussiană, numită și metoda eliminării secvențiale a necunoscutelor, este următoarea. Folosind transformări elementare, un sistem de ecuații liniare este adus într-o astfel de formă încât matricea sa de coeficienți se dovedește a fi trapezoidal (la fel ca triunghiular sau în trepte) sau aproape de trapezoidal (cursă directă a metodei gaussiene, denumită în continuare pur și simplu cursă dreaptă). Un exemplu de astfel de sistem și soluția sa este în figura de mai sus.

Într-un astfel de sistem, ultima ecuație conține o singură variabilă și valoarea acesteia poate fi găsită fără ambiguitate. Valoarea acestei variabile este apoi înlocuită în ecuația anterioară ( inversa metodei gaussiene , apoi doar invers), din care se găsește variabila anterioară și așa mai departe.

Într-un sistem trapezoidal (triunghiular), după cum vedem, a treia ecuație nu mai conține variabile yŞi x, iar a doua ecuație este variabila x .

După ce matricea sistemului a luat o formă trapezoidală, nu mai este dificil să înțelegeți problema compatibilității sistemului, să determinați numărul de soluții și să găsiți soluțiile în sine.

Avantajele metodei:

1. la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare cu mai mult de trei ecuații și necunoscute, metoda Gauss nu este la fel de greoaie ca metoda Cramer, deoarece rezolvarea cu metoda Gauss necesită mai puține calcule;
2. metoda Gauss poate rezolva sisteme nedeterminate de ecuații liniare, adică cele care au o soluție generală (și le vom analiza în această lecție), iar folosind metoda Cramer, putem afirma doar că sistemul este nedeterminat;
3. poți rezolva sisteme de ecuații liniare în care numărul de necunoscute nu este egal cu numărul de ecuații (le vom analiza și în această lecție);
4. Metoda se bazează pe metode elementare (școlare) - metoda de substituire a necunoscutelor și metoda de adunare a ecuațiilor, pe care am atins-o în articolul corespunzător.

Pentru ca toată lumea să înțeleagă simplitatea cu care se rezolvă sistemele de ecuații liniare trapezoidale (triunghiulare, în trepte), prezentăm o soluție pentru un astfel de sistem folosind mișcarea inversă. O soluție rapidă la acest sistem a fost prezentată în imaginea de la începutul lecției.

Exemplul 1. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind inversul:

Soluţie. În acest sistem trapezoidal variabila z se găsește în mod unic din a treia ecuație. Inlocuim valoarea acesteia in a doua ecuatie si obtinem valoarea variabilei y:

Acum știm valorile a două variabile - zŞi y. Le înlocuim în prima ecuație și obținem valoarea variabilei x:

Din pașii anteriori scriem soluția sistemului de ecuații:

Pentru a obține un astfel de sistem trapezoidal de ecuații liniare, pe care l-am rezolvat foarte simplu, este necesar să folosim o cursă înainte asociată cu transformările elementare ale sistemului de ecuații liniare. De asemenea, nu este foarte greu.

Transformări elementare ale unui sistem de ecuații liniare

Repetând metoda școlară de adunare algebrică a ecuațiilor unui sistem, am aflat că la una dintre ecuațiile sistemului se mai poate adăuga o altă ecuație a sistemului, iar fiecare dintre ecuații poate fi înmulțită cu câteva numere. Ca rezultat, obținem un sistem de ecuații liniare echivalent cu acesta. În ea, o ecuație conținea deja o singură variabilă, înlocuind valoarea căreia în alte ecuații, ajungem la o soluție. O astfel de adăugare este unul dintre tipurile de transformare elementară a sistemului. Când folosim metoda Gaussiană, putem folosi mai multe tipuri de transformări.

Animația de mai sus arată cum sistemul de ecuații se transformă treptat într-unul trapezoidal. Adică, cea pe care ai văzut-o în prima animație și te-ai convins că este ușor să găsești din ea valorile tuturor necunoscutelor. Cum se realizează o astfel de transformare și, desigur, exemple vor fi discutate în continuare.

La rezolvarea sistemelor de ecuații liniare cu orice număr de ecuații și necunoscute în sistemul de ecuații și în matricea extinsă a sistemului Can:

1. rearanjați liniile (acest lucru a fost menționat chiar la începutul acestui articol);
2. dacă alte transformări rezultă în rânduri egale sau proporționale, acestea pot fi șterse, cu excepția unuia;
3. eliminați rândurile „zero” în care toți coeficienții sunt egali cu zero;
4. înmulțiți sau împărțiți orice șir cu un anumit număr;
5. la orice linie adăugați o altă linie, înmulțită cu un anumit număr.

În urma transformărilor, obținem un sistem de ecuații liniare echivalent cu acesta.

Algoritm și exemple de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare cu o matrice pătrată a sistemului folosind metoda Gauss

Să considerăm mai întâi rezolvarea sistemelor de ecuații liniare în care numărul de necunoscute este egal cu numărul de ecuații. Matricea unui astfel de sistem este pătrată, adică numărul de rânduri din acesta este egal cu numărul de coloane.

Exemplul 2. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss

Rezolvând sisteme de ecuații liniare folosind metode școlare, am înmulțit una dintre ecuații termen cu termen, astfel încât coeficienții primei variabile din cele două ecuații au fost numere opuse. Când se adună ecuații, această variabilă este eliminată. Metoda Gauss funcționează similar.

Pentru a simplifica aspect solutii să creăm o matrice extinsă a sistemului:

În această matrice, coeficienții necunoscutelor sunt situați în stânga înaintea liniei verticale, iar termenii liberi sunt situați în dreapta după linia verticală.

Pentru comoditatea împărțirii coeficienților pentru variabile (pentru a obține împărțirea la unitate) Să schimbăm primul și al doilea rând din matricea sistemului. Obținem un sistem echivalent cu acesta, deoarece într-un sistem de ecuații liniare ecuațiile pot fi interschimbate:

Folosind noua prima ecuație elimina variabila x din a doua și din toate ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, la al doilea rând al matricei adăugăm primul rând înmulțit cu (în cazul nostru cu ), la al treilea rând - primul rând înmulțit cu (în cazul nostru cu ).

Acest lucru este posibil pentru că

Dacă ar fi mai mult de trei ecuații în sistemul nostru, atunci ar trebui să adunăm la toate ecuațiile ulterioare prima linie, înmulțită cu raportul coeficienților corespunzători, luate cu semnul minus.

Ca rezultat, obținem o matrice echivalentă cu acest sistem sistem nou ecuații în care toate ecuațiile, începând cu a doua nu conțin o variabilă x :

Pentru a simplifica a doua linie a sistemului rezultat, înmulțiți-o cu și obțineți din nou matricea unui sistem de ecuații echivalent cu acest sistem:

Acum, păstrând prima ecuație a sistemului rezultat neschimbată, folosind a doua ecuație eliminăm variabila y din toate ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, la al treilea rând al matricei sistemului adăugăm al doilea rând, înmulțit cu (în cazul nostru cu ).

Dacă ar fi mai mult de trei ecuații în sistemul nostru, atunci ar trebui să adăugăm o a doua linie la toate ecuațiile ulterioare, înmulțită cu raportul coeficienților corespunzători luați cu semnul minus.

Ca rezultat, obținem din nou matricea unui sistem echivalent cu acest sistem de ecuații liniare:

Am obținut un sistem trapezoidal echivalent de ecuații liniare:

Dacă numărul de ecuații și variabile este mai mare decât în ​​exemplul nostru, atunci procesul de eliminare secvențială a variabilelor continuă până când matricea sistemului devine trapezoidală, ca în exemplul nostru demonstrativ.

Vom găsi soluția „de la sfârșit” - mișcarea inversă. Pentru aceasta din ultima ecuație pe care o determinăm z:
.
Înlocuind această valoare în ecuația anterioară, vom găsi y:

Din prima ecuație vom găsi x:

Răspuns: soluția acestui sistem de ecuații este .

: în acest caz se va da același răspuns dacă sistemul are o soluție unică. Dacă sistemul are un număr infinit de soluții, atunci acesta va fi răspunsul și acesta este subiectul celei de-a cincea părți a acestei lecții.

Rezolvați singur un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss, apoi uitați-vă la soluție

În fața noastră este din nou un exemplu de comun și un anumit sistem ecuații liniare, în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute. Diferența față de exemplul nostru demonstrativ de la algoritm este că există deja patru ecuații și patru necunoscute.

Exemplul 4. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda Gauss:

Acum trebuie să utilizați a doua ecuație pentru a elimina variabila din ecuațiile ulterioare. Să ducem la îndeplinire munca pregatitoare. Pentru a face mai convenabil raportul dintre coeficienți, trebuie să obțineți unul în a doua coloană a celui de-al doilea rând. Pentru a face acest lucru, scădeți a treia din a doua linie și înmulțiți a doua linie rezultată cu -1.

Să efectuăm acum eliminarea efectivă a variabilei din a treia și a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, adăugați a doua linie, înmulțită cu , la a treia linie și a doua, înmulțită cu , la a patra linie.

Acum, folosind a treia ecuație, eliminăm variabila din a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, adăugați a treia linie la a patra linie, înmulțită cu . Obținem o matrice trapezoidală extinsă.

Am obținut un sistem de ecuații care este echivalent cu acest sistem:

În consecință, sistemele rezultate și date sunt compatibile și definite. Găsim soluția finală „de la capăt”. Din a patra ecuație putem exprima direct valoarea variabilei „x-four”:

Inlocuim aceasta valoare in a treia ecuatie a sistemului si obtinem

,

,

În sfârșit, înlocuirea valorii

Prima ecuație dă

,

unde găsim „x primul”:

Răspuns: acest sistem de ecuații are o soluție unică .

De asemenea, puteți verifica soluția sistemului pe un calculator folosind metoda lui Cramer: în acest caz, același răspuns va fi dat dacă sistemul are o soluție unică.

Rezolvarea problemelor aplicate folosind metoda Gauss folosind exemplul unei probleme pe aliaje

Sistemele de ecuații liniare sunt folosite pentru a modela obiecte reale din lumea fizică. Să rezolvăm una dintre aceste probleme - aliajele. Probleme similare - probleme la amestecuri, cost sau greutate specifică bunuri individualeîntr-un grup de produse și altele asemenea.

Exemplul 5. Trei bucăți de aliaj au o masă totală de 150 kg. Primul aliaj conține 60% cupru, al doilea - 30%, al treilea - 10%. Mai mult, în al doilea și al treilea aliaj luate împreună este cu 28,4 kg mai puțin cupru decât în ​​primul aliaj, iar în al treilea aliaj este cu 6,2 kg mai puțin cupru decât în ​​al doilea. Aflați masa fiecărei piese din aliaj.

Soluţie. Compunem un sistem de ecuații liniare:

Înmulțim a doua și a treia ecuație cu 10, obținem un sistem echivalent de ecuații liniare:

Creăm o matrice extinsă a sistemului:

Atenție, drept înainte. Adunând (în cazul nostru, scăzând) un rând înmulțit cu un număr (se aplică de două ori), cu matricea extinsă a sistemului apar următoarele transformări:

Mișcarea directă s-a încheiat. Am obținut o matrice trapezoidală extinsă.

Aplicăm mișcarea inversă. Soluția o găsim de la final. Vedem asta.

Din a doua ecuație găsim

Din a treia ecuație -

De asemenea, puteți verifica soluția sistemului pe un calculator folosind metoda lui Cramer: în acest caz, același răspuns va fi dat dacă sistemul are o soluție unică.

Simplitatea metodei lui Gauss este dovedită de faptul că matematicianului german Carl Friedrich Gauss i-a luat doar 15 minute pentru a o inventa. În plus față de metoda numită după el, din lucrările lui Gauss este cunoscută zicala „Nu trebuie să confundăm ceea ce ni se pare incredibil și nefiresc cu absolut imposibil” - un fel de instructiuni scurte a face descoperiri.

În multe probleme aplicate poate să nu existe o a treia constrângere, adică o a treia ecuație, atunci, folosind metoda Gauss, trebuie să rezolvăm un sistem de două ecuații cu trei necunoscute sau, dimpotrivă, există mai puține necunoscute decât ecuații; Vom începe acum să rezolvăm astfel de sisteme de ecuații.

Folosind metoda Gaussiană, puteți determina dacă orice sistem este compatibil sau incompatibil n ecuații liniare cu n variabile.

Metoda Gauss și sisteme de ecuații liniare cu un număr infinit de soluții

Următorul exemplu este un sistem consistent, dar nedeterminat de ecuații liniare, adică având un număr infinit de soluții.

După efectuarea transformărilor în matricea extinsă a sistemului (rearanjarea rândurilor, înmulțirea și împărțirea rândurilor cu un anumit număr, adăugarea altuia la un rând), pot apărea rânduri ale formularului

Dacă în toate ecuaţiile având forma

Termenii liberi sunt egali cu zero, asta înseamnă că sistemul este incert, adică are un număr infinit de soluții, iar ecuațiile de acest tip sunt „de prisos” și le excludem din sistem.

Exemplul 6.

Soluţie. Să creăm o matrice extinsă a sistemului. Apoi, folosind prima ecuație, eliminăm variabila din ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, adăugați la a doua, a treia și a patra rânduri primul, înmulțit cu:

Acum să adăugăm a doua linie la a treia și a patra.

Ca urmare, ajungem la sistem

Ultimele două ecuații s-au transformat în ecuații de formă. Aceste ecuații sunt satisfăcute pentru orice valoare a necunoscutelor și pot fi aruncate.

Pentru a satisface a doua ecuație, putem alege valori arbitrare pentru și , apoi valoarea pentru va fi determinată în mod unic: . Din prima ecuație se găsește și valoarea pentru: .

Atât dat și cel mai recent sistem sunt consistente dar nedefinite, iar formulele

pentru arbitrare și să ne dea toate soluțiile unui sistem dat.

Metoda Gauss și sisteme de ecuații liniare fără soluții

Următorul exemplu este un sistem inconsecvent de ecuații liniare, adică unul care nu are soluții. Răspunsul la astfel de probleme este formulat astfel: sistemul nu are soluții.

După cum sa menționat deja în legătură cu primul exemplu, după efectuarea transformărilor, rândurile formularului ar putea apărea în matricea extinsă a sistemului

corespunzătoare unei ecuaţii de formă

Dacă printre ele există cel puțin o ecuație cu un termen liber diferit de zero (adică ), atunci acest sistem de ecuații este inconsecvent, adică nu are soluții și soluția sa este completă.

Exemplul 7. Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda Gauss:

Soluţie. Compunem o matrice extinsă a sistemului. Folosind prima ecuație, excludem variabila din ecuațiile ulterioare. Pentru a face acest lucru, adăugați prima linie înmulțită cu la a doua linie, prima linie înmulțită cu a treia linie și prima linie înmulțită cu a patra linie.

Acum trebuie să utilizați a doua ecuație pentru a elimina variabila din ecuațiile ulterioare. Pentru a obține rapoarte întregi ale coeficienților, schimbăm al doilea și al treilea rând din matricea extinsă a sistemului.

Pentru a exclude a treia și a patra ecuație, o adăugăm pe a doua înmulțită cu , la a treia linie, iar pe a doua înmulțită cu , la a patra linie.

Acum, folosind a treia ecuație, eliminăm variabila din a patra ecuație. Pentru a face acest lucru, adăugați a treia linie la a patra linie, înmulțită cu .

Prin urmare, sistemul dat este echivalent cu următorul:

Sistemul rezultat este inconsecvent, deoarece ultima sa ecuație nu poate fi satisfăcută de nicio valoare a necunoscutelor. Prin urmare, acest sistem nu are soluții.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) este, fără îndoială, cel mai important subiect dintr-un curs de algebră liniară. Un număr mare de probleme din toate ramurile matematicii se rezumă la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Acești factori explică motivul acestui articol. Materialul articolului este selectat și structurat astfel încât cu ajutorul lui să puteți

• alege metoda optimă pentru rezolvarea sistemului tău de ecuații algebrice liniare,
• studiază teoria metodei alese,
• rezolvați sistemul dvs. de ecuații liniare luând în considerare soluții detaliate la exemple și probleme tipice.

Scurtă descriere a materialului articolului.

În primul rând, dăm toate definițiile, conceptele necesare și introducem notații.

În continuare, vom lua în considerare metode de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și care au o soluție unică. În primul rând, ne vom concentra pe metoda lui Cramer, în al doilea rând, vom prezenta metoda matriceală pentru rezolvarea unor astfel de sisteme de ecuații, iar în al treilea rând, vom analiza metoda Gauss (metoda eliminării secvențiale a variabilelor necunoscute). Pentru a consolida teoria, cu siguranță vom rezolva mai multe SLAE-uri în moduri diferite.

După aceasta, vom trece la rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare vedere generală, în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de variabile necunoscute sau matricea principală a sistemului este singulară. Să formulăm teorema Kronecker-Capelli, care ne permite să stabilim compatibilitatea SLAE-urilor. Să analizăm soluția sistemelor (dacă sunt compatibile) folosind conceptul de bază minoră a unei matrice. Vom lua în considerare și metoda Gauss și vom descrie în detaliu soluțiile exemplelor.

Ne vom opri cu siguranță asupra structurii soluției generale a sistemelor omogene și neomogene de ecuații algebrice liniare. Să dăm conceptul de sistem fundamental de soluții și să arătăm cum este scrisă soluția generală a unui SLAE folosind vectorii sistemului fundamental de soluții. Pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la câteva exemple.

În concluzie, vom lua în considerare sisteme de ecuații care pot fi reduse la cele liniare, precum și diverse probleme în soluția cărora apar SLAE-uri.

Navigare în pagină.

Definiții, concepte, denumiri.

Vom lua în considerare sisteme de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute (p poate fi egal cu n) de forma

Variabile necunoscute - coeficienți (unii reali sau numere complexe), - termeni liberi (de asemenea numere reale sau complexe).

Această formă de înregistrare SLAE se numește coordona.

ÎN formă matriceală Scrierea acestui sistem de ecuații are forma,
Unde - matricea principală a sistemului, - o matrice coloană de variabile necunoscute, - o matrice coloană de termeni liberi.

Dacă adăugăm o coloană matrice de termeni liberi la matricea A ca coloană (n+1), obținem așa-numita matrice extinsă sisteme de ecuații liniare. De obicei, o matrice extinsă este desemnată cu litera T, iar coloana de termeni liberi este separată printr-o linie verticală de coloanele rămase, adică

Rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare numit un set de valori ale variabilelor necunoscute care transformă toate ecuațiile sistemului în identități. Ecuația matriceală pentru valorile date ale variabilelor necunoscute devine și o identitate.

Dacă un sistem de ecuații are cel puțin o soluție, atunci se numește comun.

Dacă un sistem de ecuații nu are soluții, atunci se numește nearticulată.

Dacă un SLAE are o soluție unică, atunci se numește anumit; dacă există mai multe soluții, atunci - nesigur.

Dacă termenii liberi ai tuturor ecuațiilor sistemului sunt egali cu zero , atunci sistemul este apelat omogen, altfel - eterogen.

Rezolvarea sistemelor elementare de ecuații algebrice liniare.

Dacă numărul de ecuații ale unui sistem este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei sale principale nu este egal cu zero, atunci astfel de SLAE vor fi numite elementar. Astfel de sisteme de ecuații au o soluție unică, iar în cazul sistem omogen toate variabilele necunoscute sunt zero.

Am început să studiem astfel de SLAE-uri în liceu. Când le-am rezolvat, am luat o ecuație, am exprimat o variabilă necunoscută în termenii altora și am înlocuit-o în ecuațiile rămase, apoi am luat următoarea ecuație, am exprimat următoarea variabilă necunoscută și am înlocuit-o în alte ecuații și așa mai departe. Sau au folosit metoda adunării, adică au adăugat două sau mai multe ecuații pentru a elimina unele variabile necunoscute. Nu ne vom opri în detaliu asupra acestor metode, deoarece sunt în esență modificări ale metodei Gauss.

Principalele metode de rezolvare a sistemelor elementare de ecuații liniare sunt metoda Cramer, metoda matriceală și metoda Gauss. Să le rezolvăm.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda lui Cramer.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm un sistem de ecuații algebrice liniare

în care numărul de ecuații este egal cu numărul de variabile necunoscute și determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, adică .

Fie determinantul matricei principale a sistemului, și - determinanţi ai matricelor care se obţin din A prin înlocuire 1, 2, …, al n-lea coloana respectiv la coloana de membri liberi:

Cu această notație, variabilele necunoscute sunt calculate folosind formulele metodei lui Cramer ca . Așa se găsește soluția unui sistem de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer.

Exemplu.

metoda lui Cramer .

Soluţie.

Matricea principală a sistemului are forma . Să calculăm determinantul acestuia (dacă este necesar, vezi articolul):

Deoarece determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, sistemul are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer.

Să compunem și să calculăm determinanții necesari (obținem determinantul prin înlocuirea primei coloane din matricea A cu o coloană de termeni liberi, determinantul prin înlocuirea celei de-a doua coloane cu o coloană de termeni liberi și prin înlocuirea celei de-a treia coloane a matricei A cu o coloană de termeni liberi) :

Găsirea variabilelor necunoscute folosind formule :

Răspuns:

Principalul dezavantaj al metodei lui Cramer (dacă poate fi numită un dezavantaj) este complexitatea calculării determinanților atunci când numărul de ecuații din sistem este mai mare de trei.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei (folosind o matrice inversă).

Fie dat un sistem de ecuații algebrice liniare sub formă de matrice, unde matricea A are dimensiunea n cu n și determinantul său este diferit de zero.

Deoarece , atunci matricea A este inversabilă, adică există o matrice inversă. Dacă înmulțim ambele părți ale egalității cu stânga, obținem o formulă pentru găsirea unei matrice-coloană de variabile necunoscute. Așa am obținut o soluție a unui sistem de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei.

Exemplu.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda matricei.

Soluţie.

Să rescriem sistemul de ecuații sub formă de matrice:

Deoarece

atunci SLAE poate fi rezolvat folosind metoda matricei. Folosind matricea inversă, soluția acestui sistem poate fi găsită ca .

Să construim o matrice inversă folosind o matrice din adunări algebrice ale elementelor matricei A (dacă este necesar, vezi articolul):

Rămâne de calculat matricea variabilelor necunoscute prin înmulțirea matricei inverse la o coloană-matrice de membri liberi (dacă este necesar, vezi articolul):

Răspuns:

sau într-o altă notație x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Principala problemă la găsirea de soluții la sisteme de ecuații algebrice liniare folosind metoda matricei este complexitatea găsirii matricei inverse, în special pentru matrice pătrată de ordin mai mare decât treimea.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare folosind metoda Gauss.

Să presupunem că trebuie să găsim o soluție la un sistem de n ecuații liniare cu n variabile necunoscute
al cărei determinant al matricei principale este diferit de zero.

Esența metodei Gauss constă în excluderea secvențială a variabilelor necunoscute: mai întâi, x 1 este exclus din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua, apoi x 2 este exclus din toate ecuațiile, începând cu a treia și așa mai departe, până când doar variabila necunoscută x n rămâne în ultima ecuație. Acest proces de transformare a ecuațiilor unui sistem pentru a elimina secvențial variabilele necunoscute se numește folosind metoda Gaussiană directă. După finalizarea cursei înainte a metodei gaussiene, se găsește x n din ultima ecuație, folosind această valoare din penultima ecuație, se calculează x n-1 și așa mai departe, se află x 1 din prima ecuație. Procesul de calcul al variabilelor necunoscute la trecerea de la ultima ecuație a sistemului la prima este numit inversa metodei gaussiene.

Să descriem pe scurt algoritmul de eliminare a variabilelor necunoscute.

Vom presupune că , deoarece putem realiza întotdeauna acest lucru prin rearanjarea ecuațiilor sistemului. Să eliminăm variabila necunoscută x 1 din toate ecuațiile sistemului, începând cu a doua. Pentru a face acest lucru, la a doua ecuație a sistemului o adunăm pe prima, înmulțită cu , la a treia ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu , și așa mai departe, la a n-a ecuație o adunăm pe prima, înmulțită cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si .

Am fi ajuns la același rezultat dacă am fi exprimat x 1 în termenii altor variabile necunoscute în prima ecuație a sistemului și am fi înlocuit expresia rezultată în toate celelalte ecuații. Astfel, variabila x 1 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a doua.

În continuare, procedăm într-un mod similar, dar numai cu o parte din sistemul rezultat, care este marcată în figură

Pentru a face acest lucru, la a treia ecuație a sistemului o adunăm pe a doua, înmulțită cu , la a patra ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu , și așa mai departe, la a n-a ecuație o adunăm pe a doua, înmulțită cu . Sistemul de ecuații după astfel de transformări va lua forma

unde si . Astfel, variabila x 2 este exclusă din toate ecuațiile, începând cu a treia.

În continuare, procedăm la eliminarea necunoscutului x 3, în timp ce acționăm similar cu partea din sistem marcată în figură

Așa că continuăm progresia directă a metodei gaussiene până când sistemul ia forma

Din acest moment începem inversul metodei gaussiene: calculăm x n din ultima ecuație ca , folosind valoarea obținută a lui x n găsim x n-1 din penultima ecuație, și așa mai departe, găsim x 1 din prima ecuație .

Exemplu.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare metoda Gauss.

Soluţie.

Să excludem variabila necunoscută x 1 din a doua și a treia ecuație a sistemului. Pentru a face acest lucru, la ambele părți ale celei de-a doua și a treia ecuații adăugăm părțile corespunzătoare ale primei ecuații, înmulțite cu și, respectiv, cu:

Acum eliminăm x 2 din a treia ecuație adăugând la stânga ei și partea dreaptă laturile stânga și dreapta ale celei de-a doua ecuații, înmulțite cu:

Aceasta completează cursa înainte a metodei Gauss; începem cursa inversă.

Din ultima ecuație a sistemului de ecuații rezultat găsim x 3:

Din a doua ecuație obținem .

Din prima ecuație găsim variabila necunoscută rămasă și completăm astfel inversul metodei Gauss.

Răspuns:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

În general, numărul de ecuații ale sistemului p nu coincide cu numărul de variabile necunoscute n:

Astfel de SLAE-uri pot să nu aibă soluții, să aibă o singură soluție sau să aibă infinite de soluții. Această afirmație se aplică și sistemelor de ecuații a căror matrice principală este pătrată și singulară.

Teorema Kronecker–Capelli.

Înainte de a găsi o soluție la un sistem de ecuații liniare, este necesar să se stabilească compatibilitatea acestuia. Răspunsul la întrebarea când SLAE este compatibil și când este inconsecvent este dat de Teorema Kronecker–Capelli:
Pentru ca un sistem de p ecuații cu n necunoscute (p poate fi egal cu n) să fie consistent, este necesar și suficient ca rangul matricei principale a sistemului să fie egal cu rangul matricei extinse, adică , Rang(A)=Rang(T).

Să luăm în considerare, ca exemplu, aplicarea teoremei Kronecker–Capelli pentru a determina compatibilitatea unui sistem de ecuații liniare.

Exemplu.

Aflați dacă sistemul de ecuații liniare are solutii.

Soluţie.

. Să folosim metoda limitării minorilor. Minor de ordinul doi diferit de zero. Să ne uităm la minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta:

Deoarece toți minorii învecinați de ordinul al treilea sunt egali cu zero, rangul matricei principale este egal cu doi.

La rândul său, rangul matricei extinse este egal cu trei, întrucât minorul este de ordinul trei

diferit de zero.

Astfel, Rang(A), prin urmare, folosind teorema Kronecker–Capelli, putem concluziona că sistemul original de ecuații liniare este inconsecvent.

Răspuns:

Sistemul nu are soluții.

Deci, am învățat să stabilim inconsistența unui sistem folosind teorema Kronecker-Capelli.

Dar cum să găsești o soluție la un SLAE dacă compatibilitatea acestuia este stabilită?

Pentru a face acest lucru, avem nevoie de conceptul de bază minoră a unei matrice și de o teoremă despre rangul unei matrice.

Minor ordinul cel mai înalt se numește matricea A, diferită de zero de bază.

Din definiția unei baze minore rezultă că ordinea acesteia este egală cu rangul matricei. Pentru o matrice A diferită de zero pot exista mai multe baze minore, există întotdeauna o bază minoră.

De exemplu, luați în considerare matricea .

Toate minorele de ordinul trei ale acestei matrice sunt egale cu zero, deoarece elementele celui de-al treilea rând al acestei matrice sunt suma elementelor corespunzătoare din primul și al doilea rând.

Următorii minori de ordinul doi sunt de bază, deoarece sunt diferit de zero

Minorii nu sunt de bază, deoarece sunt egale cu zero.

Teorema rangului matricei.

Dacă rangul unei matrice de ordinul p cu n este egal cu r, atunci toate elementele de rând (și coloană) ale matricei care nu formează baza minoră aleasă sunt exprimate liniar în termenii elementelor de rând (și coloană) corespunzătoare care formează baza minoră.

Ce ne spune teorema rangului matricei?

Dacă, conform teoremei Kronecker–Capelli, am stabilit compatibilitatea sistemului, atunci alegem orice bază minoră a matricei principale a sistemului (ordinea acesteia este egală cu r) și excludem din sistem toate ecuațiile care nu nu formează baza selectată minoră. SLAE obținut în acest fel va fi echivalent cu cel inițial, deoarece ecuațiile aruncate sunt încă redundante (conform teoremei rangului matricei, ele sunt o combinație liniară a ecuațiilor rămase).

Ca rezultat, după eliminarea ecuațiilor inutile ale sistemului, sunt posibile două cazuri.

Dacă numărul de ecuații r din sistemul rezultat este egal cu numărul de variabile necunoscute, atunci acesta va fi definit și singura soluție poate fi găsită prin metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Exemplu.

.

Soluţie.

Rangul matricei principale a sistemului este egal cu doi, deoarece minorul este de ordinul doi diferit de zero. Rang matrice extins este, de asemenea, egal cu doi, deoarece singurul minor de ordinul trei este zero

iar minorul de ordinul doi considerat mai sus este diferit de zero. Pe baza teoremei Kronecker–Capelli, putem afirma compatibilitatea sistemului original de ecuații liniare, deoarece Rank(A)=Rank(T)=2.

Ca bază minoră luăm . Este format din coeficienții primei și celei de-a doua ecuații:


A treia ecuație a sistemului nu participă la formarea bazei minore, așa că o excludem din sistemul bazat pe teorema privind rangul matricei:


Așa am obținut un sistem elementar de ecuații algebrice liniare. Să o rezolvăm folosind metoda lui Cramer:


Răspuns:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Dacă numărul de ecuații r din SLAE rezultat număr mai mic variabile necunoscute n, apoi în stânga ecuațiilor lăsăm termenii care formează baza minori și transferăm termenii rămași în partea dreaptă a ecuațiilor sistemului cu semnul opus.

Se numesc variabilele necunoscute (r dintre ele) rămase în partea stângă a ecuațiilor principal.

Sunt numite variabile necunoscute (există n - r piese) care sunt în partea dreaptă gratuit.

Acum credem că variabilele necunoscute libere pot lua valori arbitrare, în timp ce principalele r variabile necunoscute vor fi exprimate prin variabile necunoscute libere într-un mod unic. Expresia lor poate fi găsită prin rezolvarea SLAE rezultată folosind metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Să ne uităm la asta cu un exemplu.

Exemplu.

Rezolvați un sistem de ecuații algebrice liniare .

Soluţie.

Să găsim rangul matricei principale a sistemului prin metoda limitării minorilor. Să luăm un 1 1 = 1 ca un minor diferit de zero de ordinul întâi. Să începem să căutăm un minor diferit de zero de ordinul doi care se învecinează cu acest minor:


Așa am găsit un minor non-zero de ordinul doi. Să începem să căutăm un minor de ordinul al treilea care nu se limitează la zero:


Astfel, rangul matricei principale este de trei. Rangul matricei extinse este, de asemenea, egal cu trei, adică sistemul este consecvent.

Luăm ca bază minorul non-zero găsit de ordinul al treilea.

Pentru claritate, arătăm elementele care formează baza minoră:


Lăsăm termenii implicați în baza minoră în partea stângă a ecuațiilor sistemului și transferăm restul cu semne opuse în partea dreaptă:


Să dăm variabilelor necunoscute libere x 2 și x 5 valori arbitrare, adică acceptăm , unde sunt numere arbitrare. În acest caz, SLAE va lua forma


Să rezolvăm sistemul elementar rezultat de ecuații algebrice liniare folosind metoda lui Cramer:


Prin urmare, .

În răspunsul dvs., nu uitați să indicați variabile necunoscute gratuite.

Răspuns:

Unde sunt numerele arbitrare.

Să rezumam.

Pentru a rezolva un sistem de ecuații algebrice liniare generale, determinăm mai întâi compatibilitatea acestuia folosind teorema Kronecker–Capelli. Dacă rangul matricei principale nu este egal cu rangul matricei extinse, atunci ajungem la concluzia că sistemul este incompatibil.

Dacă rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse, atunci selectăm o bază minoră și renunțăm la ecuațiile sistemului care nu participă la formarea bazei minore selectate.

Dacă ordinea bazei minore este egală cu numărul de variabile necunoscute, atunci SLAE are o soluție unică, care poate fi găsită prin orice metodă cunoscută de noi.

Dacă ordinea bazei minore este mai mică decât numărul de variabile necunoscute, atunci în partea stângă a ecuațiilor sistemului lăsăm termenii cu principalele variabile necunoscute, transferăm termenii rămași în partea dreaptă și dăm valori arbitrare pentru variabilele necunoscute libere. Din sistemul de ecuații liniare rezultat găsim principalele variabile necunoscute folosind metoda Cramer, metoda matricei sau metoda Gauss.

Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Metoda Gauss poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare de orice fel fără a le testa mai întâi pentru consistență. Procesul de eliminare secvențială a variabilelor necunoscute face posibilă tragerea unei concluzii atât despre compatibilitatea, cât și despre incompatibilitatea SLAE, iar dacă există o soluție, face posibilă găsirea acesteia.

Din punct de vedere computațional, metoda gaussiană este de preferat.

Privește descriere detaliatăși a analizat exemple în articol metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare de formă generală.

Scrierea unei soluții generale la sisteme algebrice liniare omogene și neomogene folosind vectori ai sistemului fundamental de soluții.

În această secțiune vom vorbi despre sisteme omogene și neomogene simultane de ecuații algebrice liniare care au un număr infinit de soluții.

Să ne ocupăm mai întâi de sisteme omogene.

Sistem fundamental de soluții sistem omogen de p ecuații algebrice liniare cu n variabile necunoscute este o colecție de (n – r) soluții liniar independente ale acestui sistem, unde r este ordinul bazei minore a matricei principale a sistemului.

Dacă notăm soluții liniar independente ale unui SLAE omogen ca X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) sunt coloane matrici de dimensiune n cu 1) , atunci soluția generală a acestui sistem omogen este reprezentată ca o combinație liniară de vectori ai sistemului fundamental de soluții cu coeficienți constanți arbitrari C 1, C 2, ..., C (n-r), care este, .

Ce înseamnă termenul de soluție generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare (oroslau)?

Semnificația este simplă: formula specifică toate soluțiile posibile ale SLAE inițial, cu alte cuvinte, luând orice set de valori ale constantelor arbitrare C 1, C 2, ..., C (n-r), folosind formula pe care o vom obțineți una dintre soluțiile SLAE omogen original.

Astfel, dacă găsim un sistem fundamental de soluții, atunci putem defini toate soluțiile acestui SLAE omogen ca .

Să arătăm procesul de construire a unui sistem fundamental de soluții la un SLAE omogen.

Selectăm baza minoră a sistemului original de ecuații liniare, excludem toate celelalte ecuații din sistem și transferăm toți termenii care conțin variabile necunoscute libere în partea dreaptă a ecuațiilor sistemului cu semne opuse. Să dăm necunoscute gratuite valori variabile 1,0,0,…,0 și calculați principalele necunoscute prin rezolvarea sistemului elementar rezultat de ecuații liniare în orice mod, de exemplu, folosind metoda Cramer. Aceasta va avea ca rezultat X (1) - prima soluție a sistemului fundamental. Dacă dăm necunoscutelor libere valorile 0,1,0,0,…,0 și calculăm principalele necunoscute, obținem X (2) . Și așa mai departe. Dacă atribuim valorile 0,0,…,0,1 variabilelor necunoscute libere și calculăm principalele necunoscute, obținem X (n-r) . În acest fel, se va construi un sistem fundamental de soluții la un SLAE omogen și soluția sa generală poate fi scrisă sub forma .

Pentru sistemele neomogene de ecuații algebrice liniare, soluția generală este reprezentată sub forma , unde este soluția generală a sistemului omogen corespunzător și este soluția particulară a SLAE neomogen original, pe care o obținem dând necunoscutelor libere valorile ​0,0,…,0 și calcularea valorilor principalelor necunoscute.

Să ne uităm la exemple.

Exemplu.

Aflați sistemul fundamental de soluții și soluția generală a unui sistem omogen de ecuații algebrice liniare .

Soluţie.

Rangul matricei principale a sistemelor omogene de ecuații liniare este întotdeauna egal cu rangul matricei extinse. Să găsim rangul matricei principale folosind metoda limitării minorilor. Ca un minor non-zero de ordinul întâi, luăm elementul a 1 1 = 9 din matricea principală a sistemului. Să găsim minorul care se limitează la zero de ordinul doi:

A fost găsit un minor de ordinul doi, diferit de zero. Să trecem prin minorii de ordinul trei care se învecinează cu acesta în căutarea unuia diferit de zero:

Toți minorii de ordinul trei sunt egali cu zero, prin urmare, rangul matricei principale și extinse este egal cu doi. Să luăm. Pentru claritate, să notăm elementele sistemului care îl formează:

A treia ecuație a SLAE inițial nu participă la formarea bazei minore, prin urmare, poate fi exclusă:

Lăsăm termenii care conțin principalele necunoscute în partea dreaptă a ecuațiilor și transferăm termenii cu necunoscute libere în partea dreaptă:

Să construim un sistem fundamental de soluții la sistemul omogen original de ecuații liniare. Sistemul fundamental de soluții al acestui SLAE constă din două soluții, deoarece SLAE original conține patru variabile necunoscute, iar ordinea bazei sale minore este egală cu două. Pentru a găsi X (1), dăm variabilelor necunoscute libere valorile x 2 = 1, x 4 = 0, apoi găsim principalele necunoscute din sistemul de ecuații
.