Dacă urmați definiția, atunci derivata unei funcții într-un punct este limita raportului de creștere a funcției Δ y la argumentul increment Δ x:

Totul pare a fi clar. Dar încercați să utilizați această formulă pentru a calcula, să zicem, derivata funcției f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x păcat x. Dacă faci totul prin definiție, atunci după câteva pagini de calcule vei adormi pur și simplu. Prin urmare, există modalități mai simple și mai eficiente.

Pentru început, observăm că din întreaga varietate de funcții putem distinge așa-numitele funcții elementare. Acestea sunt expresii relativ simple, ale căror derivate au fost mult timp calculate și tabulate. Astfel de funcții sunt destul de ușor de reținut - împreună cu derivatele lor.

Derivate ale funcţiilor elementare

Funcțiile elementare sunt toate cele enumerate mai jos. Derivatele acestor funcții trebuie cunoscute pe de rost. În plus, nu este deloc dificil să le memorezi - de aceea sunt elementare.

Deci, derivate functii elementare:

Nume	Funcţie	Derivat
Constant	f(x) = C, C ∈ R	0 (da, zero!)
Putere cu exponent rațional	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinusul	f(x) = păcat x	cos x
Cosinus	f(x) = cos x	−păcat x(minus sinus)
Tangentă	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Cotangentă	f(x) = ctg x	− 1/sin 2 x
Logaritmul natural	f(x) = jurnal x	1/x
Logaritmul arbitrar	f(x) = jurnal o x	1/(x ln o)
Funcția exponențială	f(x) = e x	e x(nu s-a schimbat nimic)

Dacă o funcție elementară este înmulțită cu o constantă arbitrară, atunci derivata noii funcții este, de asemenea, ușor de calculat:

(C · f)’ = C · f ’.

În general, constantele pot fi scoase din semnul derivatei. De exemplu:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate între ele, multiplicate, împărțite - și multe altele. Așa vor apărea funcții noi, nu mai deosebit de elementare, dar și diferențiate după anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.

Derivată a sumei și diferenței

Să fie date funcțiile f(x) Și g(x), ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare diferența f − g poate fi rescris ca o sumă f+ (−1) g, iar apoi rămâne o singură formulă - derivata sumei.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funcţie f(x) este suma a două funcții elementare, prin urmare:

f ’(x) = (x 2 + păcat x)’ = (x 2)’ + (păcat x)’ = 2x+ cos x;

Raționăm în mod similar pentru funcție g(x). Numai că există deja trei termeni (din punct de vedere al algebrei):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Răspuns:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat al produsului

Matematica este o știință logică, așa că mulți oameni cred că, dacă derivata unei sume este egală cu suma derivatelor, atunci derivata produsului grevă„>egal cu produsul derivatelor. Dar stricați-vă! Derivatul unui produs se calculează folosind o formulă complet diferită. Și anume:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula este simplă, dar este adesea uitată. Și nu numai școlari, ci și elevi. Rezultatul este probleme rezolvate incorect.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funcţie f(x) este produsul a două funcții elementare, deci totul este simplu:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x păcat x)

Funcţie g(x) primul factor este un pic mai complicat, dar schema generala asta nu se schimba. Evident, primul factor al funcției g(x) este un polinom și derivata sa este derivata sumei. Avem:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Răspuns:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x păcat x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Vă rugăm să rețineți că pe ultimul pas derivata este factorizată. În mod formal, acest lucru nu trebuie făcut, dar majoritatea derivatelor nu sunt calculate singure, ci pentru a examina funcția. Aceasta înseamnă că în continuare derivata va fi egalată cu zero, semnele sale vor fi determinate și așa mai departe. Pentru un astfel de caz, este mai bine să aveți o expresie factorizată.

Dacă există două funcții f(x) Și g(x), și g(x) ≠ 0 pe mulțimea care ne interesează, putem defini o nouă funcție h(x) = f(x)/g(x). Pentru o astfel de funcție puteți găsi și derivata:

Nu slab, nu? De unde a venit minusul? De ce g 2? Și așa! Aceasta este una dintre cele mai complexe formule - nu vă puteți da seama fără o sticlă. Prin urmare, este mai bine să-l studiați cu exemple specifice.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor:

Numătorul și numitorul fiecărei fracții conțin funcții elementare, deci tot ce ne trebuie este formula pentru derivata coeficientului:

Conform tradiției, să factorizăm numărătorul - acest lucru va simplifica foarte mult răspunsul:

O funcție complexă nu este neapărat o formulă lungă de jumătate de kilometru. De exemplu, este suficient să luați funcția f(x) = păcat xși înlocuiți variabila x, să zicem, pe x 2 + ln x. Se va rezolva f(x) = păcat ( x 2 + ln x) - asta este functie complexa. Are și un derivat, dar nu va fi posibil să îl găsiți folosind regulile discutate mai sus.

Ce ar trebuii să fac? În astfel de cazuri, înlocuirea unei variabile și a unei formule pentru derivata unei funcții complexe ajută:

f ’(x) = f ’(t) · t', Dacă x este înlocuit cu t(x).

De regulă, situația cu înțelegerea acestei formule este și mai tristă decât cu derivata coeficientului. Prin urmare, este, de asemenea, mai bine să o explicați cu exemple specifice, cu descriere detaliată fiecare pas.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = păcat ( x 2 + ln x)

Rețineți că dacă în funcție f(x) în loc de expresia 2 x+ 3 va fi ușor x, atunci obținem o funcție elementară f(x) = e x. Prin urmare, facem o înlocuire: fie 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Căutăm derivata unei funcții complexe folosind formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Și acum - atenție! Efectuăm înlocuirea inversă: t = 2x+ 3. Obținem:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Acum să ne uităm la funcție g(x). Evident că trebuie înlocuit x 2 + ln x = t. Avem:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (păcat t)’ · t’ = cos t · t ’

Înlocuire inversă: t = x 2 + ln x. Apoi:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Asta este! După cum se poate vedea din ultima expresie, întreaga problemă a fost redusă la calcularea sumei derivate.

Răspuns:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Foarte des în lecțiile mele, în loc de termenul „derivat”, folosesc cuvântul „prim”. De exemplu, un prim din suma egal cu suma lovituri. Este mai clar? Ei bine, asta e bine.

Astfel, calcularea derivatei se reduce la a scăpa de aceleași lovituri conform regulilor discutate mai sus. Ca ultimul exemplu Să revenim la puterea derivată cu un exponent rațional:

(x n)’ = n · x n − 1

Puțini oameni știu asta în rol n poate funcționa bine număr fracționar. De exemplu, rădăcina este x 0,5. Ce se întâmplă dacă există ceva fantezist sub rădăcină? Din nou, rezultatul va fi o funcție complexă - le place să dea astfel de construcții teste si examene.

Sarcină. Aflați derivata funcției:

Mai întâi, să rescriem rădăcina ca o putere cu un exponent rațional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Acum facem un înlocuitor: let x 2 + 8x − 7 = t. Găsim derivata folosind formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Să facem înlocuirea inversă: t = x 2 + 8x− 7. Avem:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

În sfârșit, înapoi la rădăcini:

Rezolvarea problemelor fizice sau a exemplelor de matematică este complet imposibilă fără cunoașterea derivatei și a metodelor de calcul. Derivatul este unul dintre cele mai importante concepte analiză matematică. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este o derivată, care este semnificația sa fizică și geometrică, cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?

Sensul geometric și fizic al derivatului

Să existe o funcție f(x) , specificat într-un anumit interval (a, b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența de valori x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. O modificare sau o creștere a unei funcții este diferența dintre valorile unei funcții în două puncte. Definiția derivatului:

Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.

Altfel se poate scrie asa:

Ce rost are să găsești o astfel de limită? Și iată ce este:

derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.

Sensul fizic al derivatului: derivata traseului în raport cu timpul este egală cu viteza mișcării rectilinie.

Într-adevăr, încă din timpul școlii, toată lumea știe că viteza este o cale anume x=f(t) si timp t . Viteza medie pentru o anumită perioadă de timp:

Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:

Prima regulă: setați o constantă

Constanta poate fi scoasă din semnul derivatului. Mai mult, acest lucru trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați-o ca regulă - Dacă puteți simplifica o expresie, asigurați-vă că o simplificați .

Exemplu. Să calculăm derivata:

Regula a doua: derivata sumei functiilor

Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.

Nu vom oferi o dovadă a acestei teoreme, ci mai degrabă luăm în considerare un exemplu practic.

Aflați derivata funcției:

Regula trei: derivată a produsului funcțiilor

Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:

Exemplu: găsiți derivata unei funcții:

Soluţie:

Este important să vorbim aici despre calcularea derivatelor funcțiilor complexe. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei acestei functii fata de argumentul intermediar si derivata argumentului intermediar fata de variabila independenta.

În exemplul de mai sus întâlnim expresia:

ÎN în acest caz, argumentul intermediar este de 8x la puterea a cincea. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, mai întâi calculăm derivata funcției externe în raport cu argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar în sine față de variabila independentă.

Regula a patra: derivată a câtului a două funcții

Formula pentru determinarea derivatei coeficientului a două funcții:

Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.

Cu orice întrebări pe acest subiect și pe alte subiecte, puteți contacta serviciul studenți. Pentru Pe termen scurt Vă vom ajuta să rezolvați cele mai dificile teste și să rezolvați probleme, chiar dacă nu ați mai făcut niciodată calcule derivate.

Data: 20.11.2014

Ce este un derivat?

Tabelul derivatelor.

Derivata este unul dintre conceptele principale ale matematicii superioare. În această lecție vom introduce acest concept. Să ne cunoaștem, fără formulări și dovezi matematice stricte.

Această cunoștință vă va permite să:

Înțelegeți esența sarcinilor simple cu derivate;

Rezolvarea cu succes chiar a acestor probleme sarcini dificile;

Pregătiți-vă pentru lecții mai serioase despre derivate.

În primul rând - o surpriză plăcută.)

Definiția strictă a derivatei se bazează pe teoria limitelor și treaba este destul de complicată. Acest lucru este supărător. Dar aplicarea practică a derivatelor, de regulă, nu necesită atât de extinsă și cunoaştere profundă!

Pentru a finaliza cu succes majoritatea sarcinilor de la școală și universitate, este suficient să știi doar câțiva termeni- să înțeleagă sarcina și doar câteva reguli- pentru a o rezolva. Asta e tot. Acest lucru mă face fericit.

Să începem să ne cunoaștem?)

Termeni și denumiri.

Există multe operații matematice diferite în matematica elementară. Adunare, scădere, înmulțire, exponențiere, logaritm etc. Dacă mai adăugați o operație la aceste operații, matematica elementară devine mai mare. Această nouă operațiune se numește diferenţiere. Definiția și semnificația acestei operațiuni vor fi discutate în lecții separate.

Este important să înțelegem aici că diferențierea este pur și simplu o operație matematică asupra unei funcții. Luăm orice funcție și, după anumite reguli, o transformăm. Rezultatul va fi o nouă funcție. Această nouă funcție se numește: derivat.

Diferenţiere- acţiune asupra unei funcţii.

Derivat- rezultatul acestei acțiuni.

La fel ca, de exemplu, sumă- rezultatul adunării. Sau privat- rezultatul diviziunii.

Cunoscând termenii, puteți înțelege cel puțin sarcinile.) Formulările sunt următoarele: găsiți derivata unei funcții; ia derivata; diferențierea funcției; calcula derivata etc. Asta e tot unul si acelasi. Desigur, există și sarcini mai complexe, în care găsirea derivatei (diferențierea) va fi doar unul dintre pașii în rezolvarea problemei.

Derivata este indicată printr-o liniuță în partea dreaptă sus a funcției. Ca aceasta: y" sau f"(x) sau Sf)și așa mai departe.

Lectură igrek stroke, ef stroke din x, es stroke din te, bine, ai inteles...)

Un prim poate indica, de asemenea, derivata unei anumite funcții, de exemplu: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" etc. Adesea, derivatele sunt notate folosind diferențiale, dar nu vom lua în considerare o astfel de notație în această lecție.

Să presupunem că am învățat să înțelegem sarcinile. Tot ce rămâne este să înveți cum să le rezolvi.) Permiteți-mi să vă reamintesc încă o dată: găsirea derivatei este transformarea unei funcţii după anumite reguli.În mod surprinzător, există foarte puține dintre aceste reguli.

Pentru a găsi derivata unei funcții, trebuie să știți doar trei lucruri. Trei piloni pe care stă toată diferențierea. Iată acești trei piloni:

1. Tabel de derivate (formule de diferențiere).

3. Derivata unei functii complexe.

Să începem în ordine. În această lecție ne vom uita la tabelul derivatelor.

Tabelul derivatelor.

Există un număr infinit de funcții în lume. Printre această varietate, există funcții care sunt cele mai importante pentru aplicare practică. Aceste funcții se găsesc în toate legile naturii. Din aceste funcții, ca din cărămizi, puteți construi toate celelalte. Această clasă de funcții este numită functii elementare. Aceste funcții sunt studiate la școală - liniară, pătratică, hiperbolă etc.

Diferențierea funcțiilor „de la zero”, adică. Pe baza definiției derivatei și a teoriei limitelor, acesta este un lucru destul de intensiv în muncă. Și matematicienii sunt oameni, da, da!) Așa că și-au simplificat viața lor (și nouă). Ei au calculat derivatele funcțiilor elementare înaintea noastră. Rezultatul este un tabel de derivate, unde totul este gata.)

Iată, această farfurie pentru cele mai populare funcții. În stânga este o funcție elementară, în dreapta este derivata ei.

	Funcţie y	Derivată a funcției y y"
1	C (valoare constantă)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - orice număr)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	sin x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	o x
	e x
5	jurnal o x
	ln x ( a = e)

Vă recomand să acordați atenție celui de-al treilea grup de funcții din acest tabel de derivate. Derivata unei funcții de putere este una dintre cele mai comune formule, dacă nu cea mai comună! Înțelegi indiciu?) Da, este indicat să cunoști pe de rost tabelul derivatelor. Apropo, acest lucru nu este atât de dificil pe cât ar părea. Încercați să decideți mai multe exemple, masa în sine va fi amintită!)

Găsirea valorii de tabel a derivatului, după cum înțelegeți, nu este cea mai dificilă sarcină. Prin urmare, foarte des în astfel de sarcini există cipuri suplimentare. Fie în formularea sarcinii, fie în funcția originală, care nu pare să fie în tabel...

Să ne uităm la câteva exemple:

1. Aflați derivata funcției y = x 3

Nu există o astfel de funcție în tabel. Dar există o derivată a funcției putere în vedere generală(grupa a treia). În cazul nostru n=3. Deci înlocuim trei în loc de n și notăm cu atenție rezultatul:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

Asta este.

Răspuns: y" = 3x 2

2. Aflați valoarea derivatei funcției y = sinx în punctul x = 0.

Această sarcină înseamnă că trebuie mai întâi să găsiți derivata sinusului și apoi să înlocuiți valoarea x = 0 chiar în acest derivat. Exact in ordinea asta! Altfel, se întâmplă să înlocuiască imediat zero în funcția originală... Ni se cere să găsim nu valoarea funcției originale, ci valoarea derivatul său. Derivatul, permiteți-mi să vă reamintesc, este o funcție nouă.

Folosind tableta găsim sinusul și derivata corespunzătoare:

y" = (sin x)" = cosx

Inlocuim zero in derivata:

y"(0) = cos 0 = 1

Acesta va fi răspunsul.

3. Diferențiați funcția:

Ce, inspiră?) Nu există o astfel de funcție în tabelul derivatelor.

Permiteți-mi să vă reamintesc că a diferenția o funcție înseamnă pur și simplu a găsi derivata acestei funcții. Dacă uitați de trigonometria elementară, căutarea derivatei funcției noastre este destul de supărătoare. Masa nu ajuta...

Dar dacă vedem că funcția noastră este cosinus cu unghi dublu, atunci totul devine mai bine imediat!

Da, da! Amintiți-vă că transformarea funcției inițiale înainte de diferențiere destul de acceptabil! Și se întâmplă să facă viața mult mai ușoară. Folosind formula cosinusului cu unghi dublu:

Aceste. funcția noastră complicată nu este altceva decât y = cosx. Și aceasta este o funcție de tabel. Primim imediat:

Răspuns: y" = - sin x.

Exemplu pentru absolvenți avansați și studenți:

4. Aflați derivata funcției:

Nu există o astfel de funcție în tabelul derivatelor, desigur. Dar dacă vă amintiți matematica elementară, operațiile cu puteri... Atunci este foarte posibil să simplificați această funcție. Ca aceasta:

Și x la puterea unei zecimi este deja o funcție tabelară! Al treilea grup, n=1/10. Scriem direct după formula:

Asta este. Acesta va fi răspunsul.

Sper că totul este clar cu primul pilon de diferențiere - tabelul derivatelor. Rămâne să ne ocupăm de cele două balene rămase. În lecția următoare vom învăța regulile de diferențiere.

Calculele derivate se găsesc adesea în Teme de examen de stat unificat. Această pagină conține o listă de formule pentru găsirea derivatelor.

Reguli de diferențiere

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Derivată a unei funcții complexe. Dacă y=F(u) și u=u(x), atunci funcția y=f(x)=F(u(x)) se numește o funcție complexă a lui x. Egal cu y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Derivată a unei funcții implicite. Funcția y=f(x) se numește funcție implicită definită de relația F(x,y)=0 dacă F(x,f(x))≡0.
6. Derivată a funcției inverse. Dacă g(f(x))=x, atunci funcția g(x) este apelată functie inversa pentru funcția y=f(x).
7. Derivată parametric funcţie dată. Fie x și y specificate ca funcții ale variabilei t: x=x(t), y=y(t). Ei spun că y=y(x) este o funcție definită parametric pe intervalul x∈ (a;b), dacă pe acest interval ecuația x=x(t) poate fi exprimată ca t=t(x) și funcția y=y(t(x))=y(x).
8. Derivată a unei funcții putere-exponențială. Găsit luând logaritmi la baza logaritmului natural.

Vă sfătuim să salvați linkul, deoarece acest tabel poate fi necesar de mai multe ori.

Problema găsirii derivatei unei funcții date este una dintre principalele unui curs de matematică liceu iar în sus institutii de invatamant. Este imposibil să explorezi pe deplin o funcție și să-i construiești graficul fără a-i lua derivata. Derivata unei funcții poate fi găsită cu ușurință dacă cunoașteți regulile de bază de diferențiere, precum și tabelul de derivate ale funcțiilor de bază. Să ne dăm seama cum să găsim derivata unei funcții.

Derivata unei funcții este limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului atunci când incrementul argumentului tinde spre zero.

Înțelegerea acestei definiții este destul de dificilă, deoarece conceptul de limită nu este studiat pe deplin în școală. Dar pentru a găsi derivate ale diferitelor funcții, nu este necesar să înțelegem definiția, să lăsăm matematicienilor și să trecem direct la găsirea derivatei.

Procesul de găsire a derivatei se numește diferențiere. Când diferențiem o funcție, vom obține o nouă funcție.

Pentru a le desemna vom folosi litere latine f, g etc.

Există multe notații diferite pentru derivate. Vom folosi un accident vascular cerebral. De exemplu, scrierea g” înseamnă că vom găsi derivata funcției g.

Tabelul derivatelor

Pentru a răspunde la întrebarea cum să găsiți derivata, este necesar să furnizați un tabel cu derivatele principalelor funcții. Pentru a calcula derivatele funcțiilor elementare, nu este necesar să se efectueze calcule complexe. Este suficient doar să ne uităm la valoarea sa în tabelul cu derivate.

1. (sin x)"=cos x
2. (cos x)"= –sin x
3. (x n)"=n x n-1
4. (e x)"=e x
5. (ln x)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/sin 2 x
10. (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Exemplul 1. Aflați derivata funcției y=500.

Vedem că aceasta este o constantă. Din tabelul derivatelor se știe că derivata unei constante este egală cu zero (formula 1).

Exemplul 2. Aflați derivata funcției y=x 100.

Acest functie de putere al cărui exponent este 100 și pentru a-i găsi derivata trebuie să înmulțiți funcția cu exponent și să o reduceți cu 1 (formula 3).

(x 100)"=100 x 99

Exemplul 3. Aflați derivata funcției y=5 x

Acest functie exponentiala, să-i calculăm derivata folosind formula 4.

Exemplul 4. Aflați derivata funcției y= log 4 x

Găsim derivata logaritmului folosind formula 7.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Reguli de diferențiere

Să ne dăm seama acum cum să găsim derivata unei funcții dacă aceasta nu este în tabel. Majoritatea funcțiilor studiate nu sunt elementare, ci sunt combinații de funcții elementare folosind operații simple (adunare, scădere, înmulțire, împărțire și înmulțire cu un număr). Pentru a le găsi derivatele, trebuie să cunoașteți regulile de diferențiere. Mai jos, literele f și g denotă funcții, iar C este o constantă.

1. Coeficientul constant poate fi scos din semnul derivatei

Exemplul 5. Aflați derivata funcției y= 6*x 8

Scoatem un factor constant de 6 și diferențiam doar x 4. Aceasta este o funcție de putere, a cărei derivată se găsește folosind formula 3 din tabelul derivatelor.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Derivata unei sume este egala cu suma derivatelor

(f + g)"=f" + g"

Exemplul 6. Aflați derivata funcției y= x 100 +sin x

O funcție este suma a două funcții ale căror derivate le putem găsi din tabel. Deoarece (x 100)"=100 x 99 și (sin x)"=cos x. Derivata sumei va fi egala cu suma acestor derivate:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. Derivata diferentei este egala cu diferenta derivatelor

(f – g)"=f" – g"

Exemplul 7. Aflați derivata funcției y= x 100 – cos x

Această funcție este diferența dintre două funcții, ale căror derivate le putem găsi și în tabel. Atunci derivata diferenței este egală cu diferența derivatelor și nu uitați să schimbați semnul, deoarece (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

Exemplul 8. Aflați derivata funcției y=e x +tg x– x 2.

Această funcție are atât o sumă, cât și o diferență, să găsim derivatele fiecărui termen:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Atunci derivata funcției inițiale este egală cu:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Derivat al produsului

(f * g)"=f" * g + f * g"

Exemplul 9. Aflați derivata funcției y= cos x *e x

Pentru a face acest lucru, găsim mai întâi derivata fiecărui factor (cos x)"=–sin x și (e x)"=e x. Acum să înlocuim totul în formula produsului. Înmulțim derivata primei funcție cu a doua și adunăm produsul primei funcție cu derivata celei de-a doua.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Derivată a coeficientului

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Exemplul 10. Aflați derivata funcției y= x 50 /sin x

Pentru a găsi derivata unui cot, găsim mai întâi derivata numărătorului și numitorului separat: (x 50)"=50 x 49 și (sin x)"= cos x. Înlocuind derivata coeficientului în formulă, obținem:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Derivată a unei funcții complexe

O funcție complexă este o funcție reprezentată printr-o compoziție de mai multe funcții. Există, de asemenea, o regulă pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

(u (v))"=u"(v)*v"

Să ne dăm seama cum să găsim derivata unei astfel de funcții. Fie y= u(v(x)) o funcție complexă. Să numim funcția u extern și v - intern.

De exemplu:

y=sin (x 3) este o funcție complexă.

Atunci y=sin(t) este o funcție externă

t=x 3 - intern.

Să încercăm să calculăm derivata acestei funcții. Conform formulei, trebuie să înmulțiți derivatele funcțiilor interne și externe.

(sin t)"=cos (t) - derivată a funcției externe (unde t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - derivată a funcției interne

Atunci (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 este derivata unei funcții complexe.