Prezentarea semnelor de divizibilitate a numerelor întregi pozitive. Prezentare de matematică pe tema „teste pentru divizibilitatea numerelor”

Descrierea prezentării prin diapozitive individuale:

1 tobogan

Descrierea diapozitivei:

2 tobogan

Descrierea diapozitivei:

Repetați semnele cunoscute de divizibilitate cu 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10. Formulați noi semne de divizibilitate. Sarcini:

3 slide

Descrierea diapozitivei:

Dacă un număr se termină cu 2, 4, 6, 8, 0, atunci este divizibil cu 2 fără rest. Test de divizibilitate cu 2. Test de divizibilitate cu 5. Dacă un număr se termină cu 5 sau 0, atunci este divizibil cu 5 fără rest. Un semn de divizibilitate cu 10. Dacă un număr se termină cu 0, atunci este divizibil cu 10 fără rest.

4 slide

Descrierea diapozitivei:

Semne de divizibilitate cu 3 și 9. Dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 3, atunci este divizibil cu 3 fără rest. Dacă suma cifrelor unui număr este divizibil cu 9, atunci este divizibil cu 9 fără rest. De exemplu: numărul 432987. suma cifrelor: 4+3+2+9+8+7 = 33 33 este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că 432987 este divizibil cu 3 33 nu este divizibil cu 9, ceea ce înseamnă că 432987 nu este divizibil cu 3 pana la 9.

5 slide

Descrierea diapozitivei:

Semne de divizibilitate cu 4 și 8. Dacă numărul format din ultimele două cifre ale unui număr dat este divizibil cu 4, atunci numărul însuși este divizibil cu 4 fără rest. Dacă numărul format din ultimele trei cifre ale unui număr dat este divizibil cu 8, atunci numărul însuși este divizibil cu 8 fără rest. De exemplu: numărul 235764. un număr format din ultimele două cifre 64 este divizibil cu 4, ceea ce înseamnă că 235764 este divizibil cu 4; un număr format din ultimele trei cifre 764 nu este divizibil cu 8, ceea ce înseamnă că 235764 nu este divizibil cu 8.

6 diapozitiv

Descrierea diapozitivei:

Testul de divizibilitate cu 7. Trebuie să înmulțiți ultima cifră a unui număr cu 2 și să o scădeți din „numărul rămas fără ultima cifră”. Dacă numărul rezultat este divizibil cu 7, atunci numărul în sine este divizibil cu 7. De exemplu: numărul 689255. Ultima cifră este 5, ceea ce înseamnă 68925 – 2·5 = 68915 ultima cifră este 5, ceea ce înseamnă 6891 – 2·5 = 6881 ultima cifră este 1, ceea ce înseamnă 688 – 2·1 = 686 ultima cifră este 6, ceea ce înseamnă 68 – 2·6 = 56 56 – este divizibil cu 7, ceea ce înseamnă 689255 este divizibil cu 7.

7 slide

Descrierea diapozitivei:

Testul de divizibilitate cu 11. Dacă suma cifrelor care ocupă locuri impare este egală cu suma cifrelor care ocupă locuri pare sau diferă de aceasta printr-un număr divizibil cu 11, atunci numărul este divizibil cu 11 fără rest. De exemplu: numărul 9 163 627 suma cifrelor care ocupă locuri impare: 9+6+6+7=28, suma cifrelor care ocupă locurile pare 1+3+2=6; Diferența dintre numerele 28 și 6 este 22, iar acest număr este divizibil cu 11.

8 slide

Descrierea diapozitivei:

Test de divizibilitate cu 13. Trebuie să luați ultima cifră a unui număr, să o înmulțiți cu 4 și să o adăugați la „numărul rămas fără ultima cifră”. Dacă numărul rezultat este divizibil cu 13, atunci numărul în sine este divizibil cu 13. De exemplu: numărul 112567. Ultima cifră este 7, ceea ce înseamnă 11256 + 7·4 = 11284 ultima cifră este 4, ceea ce înseamnă 1128 + 4·4 = 1144 ultima cifră este 4, ceea ce înseamnă 114 + 4 4 = 130 130 este divizibil cu 13, ceea ce înseamnă că 112567 este divizibil cu 13.

Slide 9

Descrierea diapozitivei:

Semne de divizibilitate a numerelor Semnul divizor 2 Un număr se termină cu una dintre cifrele: 0, 2, 4, 6, 8 3 Suma cifrelor numărului este divizibilă cu 3 4 Ultimele două cifre ale numărului sunt zerouri sau formați un număr divizibil cu 4 5 Ultima cifră a numărului este 0 sau 5 6 Concomitent se observă semnele divizibilității cu 2 și 3 7 Diferența dintre numărul zecilor și cifra dublă a unităților este divizibil cu 7 8 The ultimele trei cifre ale numărului sunt zerouri sau formează un număr divizibil cu 8 9 Suma cifrelor numărului este divizibilă cu 9 10 Ultima cifră a numărului este 0 11 Diferența dintre suma cifrelor, aflată în par locuri, iar suma cifrelor din locuri impare se împarte la 11 13 Suma numărului de zeci cu cifra cvadruplă a unităților se împarte la 13

Geraskina Evgenia

În această lucrare, elevul de clasa a VIII-a Evgenia Geraskina ia în considerare problema divizibilității numerelor și dă semne de divizibilitate cu 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 23, 25 și 50

Descărcați:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați-vă un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Lucrare abstractă cu elemente de căutare independentă Shatki 2013. Dezvoltat de: Evgeniya Geraskina 8 „B” Instituția de învățământ municipală Şcoala Gimnazială Nr. 1 Şef: profesor de matematică Stepina T.P. Subiect: Semne de divizibilitate a numerelor

Divizibilitatea cu 2 Pentru ca un număr să fie divizibil cu 2, este necesar și suficient ca ultima cifră să fie pară. În numărul 29654, ultima cifră 4 este pară, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu 2. În numărul 3455, ultima cifră 5 este impară, ceea ce înseamnă că numărul nu este divizibil cu 2.

Test de divizibilitate cu 3 Pentru ca un număr să fie divizibil cu 3, este necesar și suficient ca suma cifrelor sale să fie divizibilă cu 3. Numărul 513 5+1+3=9, 9 este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă numărul este divizibil cu 3. Numărul 313 3 +1+3=7, 7 nu este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că numărul nu este divizibil cu 3 N A P R I M E R

Semne de divizibilitate cu 4: Pentru ca un număr să fie divizibil cu 4, este necesar să se verifice dacă numărul format din ultimele două cifre ale acestui număr este divizibil cu 4. Numărul 1836 este 36:4, ceea ce înseamnă că 1836 e divizibil cu 4 fără rest. Numărul 514 este 14:4, ceea ce înseamnă că 514 nu este divizibil cu 4 fără rest. În plus, numerele care se termină cu două zerouri sunt divizibile cu 4. N A P R I M E R De exemplu, numărul 500 este divizibil cu 4 fără rest

Semne de divizibilitate cu 5: Pentru ca un număr să fie divizibil cu 5, este necesar și suficient ca acesta să se termine în 5 sau 0. Numărul 245 se termină cu 5, de aceea numărul 245 este divizibil cu 5. Numărul 246 se termină în 6, deci numărul 246 nu este divizibil cu 5. N A P R I M E R

Semne de divizibilitate cu 6: Pentru ca un număr să fie divizibil cu 6, trebuie: 1. Înmulțiți numărul de sute cu 2. 2. Scădeți rezultatul rezultat din numărul după numărul de sute. 3. Dacă rezultatul obținut este divizibil cu 6, atunci întregul număr este divizibil cu 6. Numărul 138 1. Numărul sutelor 1; 1 2=2, 2.38-2=36 3.36:6=6, ceea ce înseamnă că 138 este divizibil cu 6. De exemplu

Semne de divizibilitate cu 7: Pentru ca un număr să fie divizibil cu 7, trebuie: 1. Înmulțiți numărul la zeci cu doi. 2. Adăugați numărul rămas la rezultat. 3.Verificați dacă rezultatul este divizibil cu 7 sau nu. Numărul 46 55 1. 46 2=921, 2. 92+ 55 =1 47, 3. 1 47:7=2 1, ceea ce înseamnă că 46 55 este divizibil cu 7. De exemplu:

Semne de divizibilitate cu 8: DE EXEMPLU Pentru ca un număr să fie divizibil cu 8, ultimele sale trei cifre trebuie să fie zero sau să formeze un număr divizibil cu 8. Numărul 53128 este divizibil cu 8, deoarece ultimele trei cifre 128 sunt egale. divizibil cu 8 (128: 8 = 16). Numărul 7000 este divizibil cu 8 deoarece ultimele trei cifre sunt zerouri.

Semne de divizibilitate cu 9: Pentru ca un număr să fie divizibil cu 9, suma cifrelor sale trebuie să fie divizibilă cu 9. Numărul 486 este divizibil cu 9, deoarece suma tuturor cifrelor sale: 4 + 8 + 6 = 18 este divizibil cu 9. Numărul 235 nu este divizibil cu 9, deoarece suma tuturor cifrelor sale: 2+3+5=10 nu este divizibil cu 9. N A P R I M E R

Semne de divizibilitate cu 10: Pentru ca un număr să fie divizibil cu 10, trebuie să se termine în 0. Numărul 3330 este divizibil cu 10, deoarece se termină cu 0. Numărul 658 nu este divizibil cu 10, deoarece se termină în 8. N A P R I M E R

Semne de divizibilitate cu 11: Pentru ca un număr să fie divizibil cu 11, este necesar ca diferența dintre suma cifrelor din locurile impare și suma cifrelor din locurile pare să fie un multiplu de 11. Diferența poate fi număr negativ sau să fie egal cu zero, dar trebuie să fie un multiplu al lui 11. Numărul este 100397. 1+0+9=10 0+3+7=10 10-10=0, 0 este un multiplu al lui 11, ceea ce înseamnă că 100397 este divizibil cu 11. Puteți verifica divizibilitatea unui număr cu 11 într-un alt mod: Numărul este împărțit de la dreapta la stânga în grupuri de două cifre fiecare și aceste grupuri sunt adăugate. Dacă suma rezultată este un multiplu al lui 11, atunci numărul este un multiplu al lui 11. Numărul este 15235. Îl împărțim în grupuri și le adunăm: 1+52+35=88. 88 e divizibil cu 11, deci 15235 e divizibil cu 11.

Semne de divizibilitate cu 12: Pentru ca un număr să fie divizibil cu 12, trebuie să fie divizibil simultan cu 3 și 4. Numărul 12653400 este divizibil cu 3 și 4, ceea ce înseamnă că este divizibil cu 12. DE EXEMPLU

Test de divizibilitate cu 13 Un număr este divizibil cu 13 atunci când numărul zecilor lui, adăugat la numărul cvadruplu de unități, era divizibil cu 13. Numărul 845 este divizibil cu 13, deoarece 84 + (4 × 5) = 104, iar 104 este divizibil cu 13. N A P R I M E R

Semne de divizibilitate cu 14: Pentru ca un număr să fie divizibil cu 14, trebuie să fie divizibil atât cu 2, cât și cu 7. Numărul 45612 este divizibil cu 2 și 7, ceea ce înseamnă că este și divizibil cu 14. DE EXEMPLU

Testul de divizibilitate cu 15: Pentru ca un număr să fie divizibil cu 15, este necesar și suficient ca acesta să fie divizibil cu 5 și 3, i.e. astfel încât se termină cu zero sau cinci și, în plus, suma cifrelor sale este divizibilă cu 3. Numărul 1146795 se termină în 5 1+1+4+6+7+9+5=33, 33 este divizibil cu 3 , ceea ce înseamnă că numărul este un multiplu al lui 3 și este divizibil cu 15 N A P R I M E R

Semne de divizibilitate cu 17 Pentru ca un număr să fie divizibil cu 17, este necesar ca numărul zecilor lui, adăugat la numărul de unități crescut de 12 ori, să fie multiplu de 17. Numărul 29034 3+4 12= 3+48=51. 51 este divizibil cu 17, ceea ce înseamnă că 29034 este divizibil cu 17. Există un alt semn de divizibilitate cu 17: Un număr este divizibil cu 17 când diferența dintre numărul zecilor lui și de cinci ori numărul unităților este un multiplu de 17. Numărul 32934 3-4 5=-17, -17 este un multiplu al 17, deci 32934 este divizibil cu 17 De exemplu.

Semne de divizibilitate cu 19: Pentru ca un număr să fie divizibil cu 19, este necesar și suficient ca numărul zecilor lui, adăugat la dublul numărului de unități, să fie divizibil cu 19. Numărul 1076 1076 7+2 6 =19, 19 este divizibil cu 19, prin urmare 1076 este divizibil cu 19 De exemplu

Test de divizibilitate cu 23: Pentru ca un număr să fie divizibil cu 23, este necesar ca numărul sutelor sale, adăugat la triplul numărului de zeci, să fie un multiplu al lui 23. Numărul 28852 este divizibil cu 23, deoarece 8+5 3=23, 23 este divizibil cu 23 , prin urmare, 28852 este împărțit la 23 N A PRI M E R

Semne de divizibilitate cu 25: Pentru ca un număr să fie divizibil cu 25, ultimele sale cifre trebuie să fie zero sau să formeze un număr divizibil cu 25. Numărul 34650 este divizibil cu 25, deoarece 50 este divizibil cu 25. Numărul 23400 este divizibil cu 25 pentru că... ultimele sale două cifre sunt zerouri N A P R I M E R

Semne de divizibilitate cu 50: Pentru ca un număr să fie divizibil cu 50, ultimele două cifre ale acestui număr trebuie să fie divizibile cu 25 și să reprezinte număr par. Și numai numerele 50 și 100 îndeplinesc această condiție, dar 100 număr din trei cifre, ceea ce înseamnă că numărul trebuie să se termine în 00 sau 50. Numărul 6957200, 67906850 De exemplu

Vă mulțumim pentru atenție!!!

Mukhamedova Alla

Lucrarea examinează semnele de divizibilitate cu 7, 11, 13. Prezentarea poate fi folosită ca opțiune sau într-o clasă de club de matematică.

Descărcați:

Previzualizare:

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Semne de divizibilitate „Lumea este construită pe puterea numerelor” Pitagora

Dintre toate operațiunile de aritmetică, cea mai capricioasă este diviziunea „natura” diviziunii se manifestă nu numai în raport cu zero, de asemenea, nu este întotdeauna fezabilă în domeniul numerelor întregi concepte precum numere prime, MCD, LCM, semne ale divizibilității numerelor Dezvoltarea treptată a teoriei divizibilității numerelor a condus la o extindere profundă a întregii teorii a numerelor

Algebra ușurează găsirea semnelor prin care puteți determina în prealabil, fără a efectua împărțirea, dacă un anumit număr este divizibil cu un anumit divizor. ÎN programa școlară copiii studiază semnele de divizibilitate cu: 2 3 4 5 6 9 10 Dar nu studiază semnele de divizibilitate cu: 7 11 13 ultima cifră este divizibilă cu 2 suma cifrelor este divizibilă cu 3 numărul ultimei două cifre este divizibilă cu 4 ultima cifră este divizibilă cu 5 și este divizibilă cu 2 și cu 3 suma cifrelor este împărțită la 9, ultima cifră este 0

Măsurați de șapte ori, tăiați o dată. Șapte necazuri, un singur răspuns. Șapte vineri pe săptămână. Unul cu un bipod și șapte cu o lingură. Prea mulți bucătari strică bulionul. Soacra mea avea șapte ginere... Din anumite motive, numărul 7 a devenit foarte popular printre oameni și a intrat în istoria lor? Numărul 7 este bogat nu numai în proverbe, ci și în diverse semne de divizibilitate 7

13 7 11 Semnul combinat al divizibilității cu 7, 11 și 13 în tabel numere prime numerele 7, 11 și 13 sunt situate în apropiere. Produsul lor este egal cu: 7 * 11 * 13 = 1001 = 1000+1 Dacă un număr de trei cifre este înmulțit cu 1001, atunci produsul va fi scris în aceleași cifre ca și multiplicand, repetat doar de două ori numerele de forma abcabc sunt divizibile cu 7, 11 și 13 În special, numărul 999999 este divizibil cu 7, 11 și 13 sau, în caz contrar, 1000000 - 1

De exemplu, trebuie să determinați dacă numărul 42623295 este divizibil cu 7, 11 și 13. Să împărțim acest număr de la dreapta la stânga în fețe de 3 cifre. Acum imaginați-vă acest număr sub această formă: 42 623 295 = 295 + 628 * 1000 + 42 * 1000000 = 295 + 623 (1000 + 1 – 1) + 42 (1000000 – 1 + 1) = (295 + 42) = (295 + 42) Numărul din paranteza pătrată este în mod necesar divizibil cu 7, 11 și 13. Aceasta înseamnă că divizibilitatea numărului testat este complet determinată de divizibilitatea numărului inclus în prima paranteză 42623295

Dacă diferența dintre sumele fețelor unui număr dat, luate pe rând, este divizibil cu 7 sau 11 sau 13, atunci numărul dat este și el divizibil cu 7, sau 11, sau 13, respectiv 42623295 Să revenim la numărul Determinați care dintre numerele 7, 11 sau 13 împarte diferența dintre sumele laturilor unui număr dat: (295 + 42) - 623 = - 286 Numărul 286 este divizibil cu 11 și 13, dar nu este divizibil cu 7. Prin urmare, numărul 42.623.295 este divizibil cu 11 și 13, dar nu este divizibil cu 7

Primul semn de divizibilitate cu 7 Un număr este divizibil cu 7 dacă și numai dacă rezultatul scăderii dublei ultimei cifre din acest număr fără ultima cifră este divizibil cu 7. Dovada: Să scriem numărul testat sub forma 10x+ y, unde x este un număr natural, nu neapărat de o singură cifră, și y este un număr. Trebuie să demonstrăm că dacă x-2y este divizibil cu 7, atunci 10x+y este divizibil cu 7 x – 2y=7a x=7a. + 2y 10x=70a + 20y= 70a + 21y-y=7(10a + 3y) – y, înseamnă 10x + y=7(10a+3y)

Exemple Verificați divizibilitatea numărului 11886 cu 7 1188 – 6*2=1176 117 – 6*2 = 105 10 – 5*2 = 0 0 este divizibil cu 7, ceea ce înseamnă că 11886 este divizibil cu 7 Verificați divizibilitatea numărului 7184 cu 7 718 – 4*2 = 710 710 nu este divizibil cu 7, ceea ce înseamnă că 7184 nu este divizibil cu 7 11886 7184

Teoria reziduurilor ia parte activ la demonstrarea unor teste de divizibilitate cu 7. Două numere naturale a și b, a căror diferență este un multiplu al numărului natural m, sunt numite comparabile modulo m: a ≡ b (mod m ) Astfel, 3 ≡ 1 (mod 2), 7 ≡ 1 (mod 3). Două numere sunt congruente modulo 2 dacă ambele sunt pare sau dacă ambele sunt impare. Modulul 1, toate numerele întregi sunt comparabile între ele. Dacă numărul n este divizibil cu m, atunci este comparabil cu zero modulo m: n ≡ 0 (mod m).

Al doilea semn de divizibilitate cu 7 Să luăm pentru testare numărul 7 5236 Îl scriem astfel: Înlocuiți baza 10 cu baza 3 peste tot: Dacă numărul rezultat este divizibil (nu divizibil) cu 7, atunci și acest număr este divizibil ( nu este divizibil) cu 7 168 este divizibil cu 7 , ceea ce înseamnă că 5236 este divizibil cu 7

Pentru a demonstra această caracteristică folosim teoria reziduurilor. Luați în considerare un număr de șase cifre: al treilea semn de divizibilitate cu 7 Avem:

Pentru că atunci totul se va repeta. Ca rezultat, obținem următoarele două linii de numere, iar sub fiecare putere de zece există un număr comparabil cu acesta modulo 7: ... 3 1 -2 -3 -1 2 3 1 -2 -3 -1 2 3 1 De aici obținem:

Ca rezultat obținem următoarea regulă: Pentru a afla restul împărțirii unui număr natural la 7, trebuie să semnați coeficienții sub cifrele acestui număr de la dreapta la stânga: apoi înmulțiți fiecare cifră cu coeficientul de sub ea și adăugați produsele rezultate: suma rezultată va au același rest de la împărțirea cu 7 ca un număr luat...,-1,2,3, 1,-2, -3, -1,2, 3, 1,...

Aflați restul lui 4136 împărțit la 7 4136≡4*(-1)+1*2+3*3+6*1=13≡6 (mod 7) Răspuns: restul este 6 Este numărul 8546216 divizibil cu 7 8546216 ≡8* 1+5*(-2)+4*(-3)+6*(-1)+2*2+1*3+6*1=-7 Răspuns: numărul 8546216 este divizibil cu 7 Exemple 4136 8546216

Blaise Pascal a găsit testul lui Pascal algoritm general pentru a găsi semne de divizibilitate a oricărui număr întreg cu orice alt număr întreg Un număr natural a va fi împărțit la un alt număr natural b numai dacă suma produselor cifrelor numărului a la resturile corespunzătoare obținute prin împărțirea unităților de cifre la. numărul b este divizibil cu acest număr

Exemple Este 54376 divizibil cu 11 Este 10257 divizibil cu 13 54376 10257 Deoarece -3 nu este divizibil cu 11, atunci 54376 nu este divizibil cu 13 Deoarece -13 este divizibil cu 13, atunci 10257 este divizibil cu 13

În concluzie, aș dori să vă prezint 4 numere foarte neobișnuite Fiecare dintre ele are toate numerele de la 0 la 9, dar fiecare cifră o singură dată și fiecare dintre aceste numere este divizibil cu 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 și 18 3785942160 4753869120 4876391520 2438195760

Alla Mukhamedova a pregătit prezentarea

1 din 17

Descrierea prezentării prin diapozitive individuale:

Slide nr. 1

Munca de cercetare la matematică Semne de divizibilitate Completat de: elevă clasa a VI-a Anastasia Bersanova Conducător: Gorshenina E.A.

Slide nr. 2

Slide nr. 3

Scopul lucrării: completarea semnelor deja cunoscute de divizibilitate numere naturale, a studiat la școală. Obiectivele cercetării: 1. Studierea istoriei problemei. 2.Repetă semnele de divizibilitate a numerelor naturale cu 2, 3, 5, 9, 10, 100, 1000 studiate la școală. 3. Investigați în mod independent semnele de divizibilitate ale numerelor naturale cu 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15,17, 18, 19, 20, 23, 25, 27, 29, 30, 31, 37, 41, 50, 59, 79, 99 și 101. 4. Studiați literatura suplimentară despre alte criterii de divizibilitate a numerelor naturale. 5. Sistematizează și generalizează semnele de divizibilitate ale numerelor naturale. 6. Luați în considerare utilizarea testelor de divizibilitate pentru numere naturale atunci când rezolvați probleme.

Slide nr. 4

Subiect de studiu: divizibilitatea numerelor naturale. Metode de cercetare: culegere de informații, prelucrare a datelor, observare, comparare, analiză. Relevanță: În timp ce studiam subiectul la lecțiile de matematică: „Semne pentru divizibilitatea numerelor naturale cu 2, 3, 5, 9, 10”, am devenit interesat de studiul numerelor pentru divizibilitate. Un număr natural nu este întotdeauna divizibil cu un alt număr natural fără rest. Când împărțim un număr natural, în special unul cu mai multe cifre, obținem un rest, facem o greșeală și, prin urmare, pierdem timpul. Apare necesitatea de a stabili, fără a efectua împărțirea, dacă un număr natural este divizibil cu altul. Ipoteza: Dacă puteți determina divizibilitatea numerelor naturale cu 2, 3, 5, 9, 10, atunci trebuie să existe semne prin care să puteți determina divizibilitatea numerelor naturale cu alte numere.

Slide nr. 5

1. Studiul semnelor de divizibilitate. Testul de divizibilitate este un algoritm care vă permite să determinați relativ rapid dacă un număr este un multiplu al unui număr predeterminat. Un corolar al celor mai simple proprietăți ale divizibilității: dacă suma a două numere și unul dintre termeni este divizibil cu un număr b, atunci celălalt termen este și el divizibil cu b. Teorema privind divizibilitatea unui produs. Dacă într-un produs dat, cel puțin unul dintre factori poate fi împărțit la un anumit număr, atunci întregul produs va fi împărțit la același număr.

Slide nr. 6

Test de divizibilitate studiat la școală: Test de divizibilitate cu 2: Un număr natural este divizibil cu 2 dacă și numai dacă se termină cu o cifră pară sau cu zero. Testul de divizibilitate cu 3: Un număr natural este divizibil cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3. Testul de divizibilitate cu 5: Un număr este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima cifră este divizibilă cu 5, că este, dacă este 0 sau 5. Testul de divizibilitate cu 9: Un număr este divizibil cu 9 dacă și numai dacă suma cifrelor numărului este divizibil cu 9.

Slide nr. 7

Test de divizibilitate cu 10, 100 și 1000 1. Un număr este divizibil cu 10 dacă și numai dacă se termină cu 0. 2. Un număr este divizibil cu 100 dacă și numai dacă se termină cu ultimele două zerouri. 3. Un număr este divizibil cu 1000 dacă și numai dacă se termină cu ultimele trei zerouri.

Slide nr. 8

2. Clasificarea semnelor de divizibilitate. Semnele de divizibilitate pot fi împărțite în trei grupe: - divizibilitatea cu ultimele cifre ale unui număr; - divizibilitatea prin suma cifrelor unui număr; - divizibilitatea numerelor compuse.

Slide nr. 9

2.1. Criterii de divizibilitate bazate pe ultimele cifre ale unui număr. Test de divizibilitate cu 4. Un număr natural este divizibil cu 4 dacă și numai dacă ultimele sale două cifre formează un număr divizibil cu 4. Problemă. Găsiți un număr de șase cifre x2014y care este divizibil cu 4 fără rest și numerele din notația sa nu se repetă. Soluție: Deoarece numărul este divizibil cu 4, ultima cifră poate fi 0, 4 sau 8. Aceasta înseamnă că ultima cifră este 8, deoarece 0 și 4 sunt deja acolo. Prima cifră poate fi 3, 5, 6, 7 și 9. Răspuns: numerele posibile sunt 320148, 520148, 620148, 720148, 920148

Slide nr. 10

Testează divizibilitatea cu 8. Un număr este divizibil cu 8 dacă ultimele sale trei cifre sunt zero sau formează un număr care este divizibil cu 8. Problemă. Găsiți un număr natural de patru cifre, un multiplu al lui 8, al cărui produs al cărui cifre este egal cu 16. Soluție: Deoarece numărul este divizibil cu 8, ultimele trei cifre trebuie să fie un multiplu al lui 8 (nu poate exista zero în intrarea, deoarece produsul cifrelor va fi egal cu zero) . Aceasta înseamnă că ultimele trei cifre sunt un număr multiplu de trei cifre de 8, de exemplu 112, 128, 136, 144. 152. Produsul cifrelor trebuie să fie egal cu 16, deci prima cifră poate fi 1 sau 8. Răspuns : numerele posibile sunt 1128, 1144, 8112.

Slide nr. 11

2.2. Semne de divizibilitate a numerelor prin suma cifrelor numerelor Semn de divizibilitate cu 11. Un număr este divizibil cu 11 dacă și numai dacă suma numerelor care formează grupuri de două cifre (începând cu unu) este divizibilă cu 11. Sarcină. Găsiți un număr natural de patru cifre, un multiplu de 11, a cărui sumă de cifre este cu 1 mai mică decât produsul lor. Soluție: Cele mai mici numere din două cifre care se adună la un multiplu de 11 sunt numerele 11,22,33 etc. Dar având în vedere a doua condiție, numărul 1122 nu este potrivit, deoarece suma cifrelor este 6, iar produsul lor este 4. Diferența este 2. Luați în considerare o pereche de numere 11 și 33. Suma cifrelor este 8, iar produsul lor este 9. Diferența este 1. Răspuns: posibil numerele sunt 3311, 1133, 3113, 1331.

Slide nr. 12

2.3. Semne de divizibilitate a numerelor compuse. Criteriile de divizibilitate pentru numerele compuse se bazează pe criteriile de divizibilitate pentru numerele prime, în care orice număr compus poate fi descompus. Reguli pentru divizibilitatea numerelor: Dacă fiecare termen este divizibil cu un anumit număr, atunci suma este divizibilă cu acest număr. Dacă într-un produs cel puțin unul dintre factori este divizibil cu un anumit număr, atunci produsul este și el divizibil cu acest număr.

Slide nr. 13

Testează divizibilitatea cu 6. Un număr este divizibil cu 6 atunci când este divizibil cu 2 și 3 (adică dacă este par și suma cifrelor sale este divizibil cu 3). Numărul 9384 este divizibil cu 6 în același mod în care este divizibil cu 2 (se termină cu o cifră pară) și divizibil cu 3 (suma cifrelor numărului 9+3+8+4=24, 2+4 =6 este divizibil cu 3) Test de divizibilitate cu 15. Numărul este divizibil cu 15 când este divizibil cu 3 și 5. Numărul 1020 este divizibil cu 15, deoarece suma tuturor cifrelor 1+ 2 = 3 este divizibil cu 3 și ultima cifră este 0. Test de divizibilitate cu 18. Un număr este divizibil cu 18 dacă este ambele este divizibil cu 2 și 9. Numărul 414 este divizibil cu 18, deoarece ultima cifră 4 este pară, iar suma cifrelor 4 + 1 + 4 = 9 este divizibil cu 9.

Un număr natural nu este întotdeauna divizibil cu un alt număr natural fără rest. Când împărțim un număr natural, obținem un rest, facem greșeli și, prin urmare, pierdem timpul. Apare necesitatea de a stabili, fără a efectua împărțirea, dacă un număr natural este divizibil cu altul.

În secolul al III-lea î.Hr., omul de știință alexandrin Eratosthenes a descoperit o modalitate de a întocmi o listă de numere prime, deoarece el credea că numerele prime joacă rol importantîn învăţarea tuturor celorlalte numere. Metoda lui de a întocmi o listă de numere prime a fost numită sita lui Eratosthenes.

Problemele divizibilității numerelor au fost luate în considerare de pitagoreici. În teoria numerelor, au lucrat mult la tipologia numerelor naturale. Pitagoreii i-au împărțit în clase. S-au distins clase: numere perfecte (număr egal cu suma proprii divizori, de exemplu: 6=1+2+3), numere prietenoase (fiecare dintre ele egală cu suma divizorilor celuilalt, de exemplu 220 și 284: 284= ; 220=), numere figurate (număr triunghiular , număr pătrat), numere prime etc.

Blaise Pascal. Remarcabilul matematician și fizician francez Blaise Pascal () a revenit vârstă fragedă a dedus un criteriu general de divizibilitate a numerelor, din care rezultă toate caracteristicile particulare.

Testul lui Pascal: Un număr natural a va fi împărțit la un alt număr natural b numai dacă suma produselor cifrelor numărului a la resturile corespunzătoare obținute prin împărțirea unităților de cifre la numărul b este divizibilă cu acest număr la 7 , pentru că 2 6 + 8 2 + 1 3 +4 = 35, 35:7=5 (unde 6 este restul împărțirii a 1000 la 7; 2 este restul împărțirii a 100 la 7, 3 este restul împărțirii a 10 la 7)

Toate semnele enumerate de divizibilitate a numerelor naturale pot fi împărțite în 4 grupe: Grupa 1 - când divizibilitatea numerelor este determinată de ultima (ultimele) cifre - acestea sunt semne de divizibilitate cu 2, cu 5, printr-o unitate de cifre. , cu 4, cu 8, cu 25 , pe grup - când divizibilitatea numerelor este determinată de suma cifrelor numărului - acestea sunt semne de divizibilitate cu 3, cu 9, cu 7, cu 37, cu 11 ( 1 semn). Grupa 3 - când divizibilitatea numerelor se determină după efectuarea unor acțiuni asupra cifrelor numărului - acestea sunt semne de divizibilitate cu 7, cu 11 (1 semn), cu 13, pe grupe - când alte semne de divizibilitate sunt folosite pentru determinați divizibilitatea unui număr - acestea sunt semne de divizibilitate cu 6, cu 15, cu 12, cu 14.

Semne de divizibilitate a numerelor Semne de divizibilitate cu 4. Un număr este divizibil cu 4 dacă ultimele sale 2 cifre sunt divizibile cu 4, deoarece 56: 4 = 14 Un semn de divizibilitate cu 8. Un număr este divizibil cu 8 ultimele sale trei cifre sunt zero sau formează un număr care este divizibil cu 8; 952: 8 = 119

Semne de divizibilitate cu 25. Un număr este divizibil cu 25 numărul format din ultimele sale două cifre este divizibil cu 25, deoarece 75 este divizibil cu 25 Semne de divizibilitate cu 125. Un număr este divizibil cu 125 numărul format din ultimele sale trei cifre este divizibil cu divizibil cu 125; 250: 125 = 2

Test de divizibilitate cu 7. Un număr este divizibil cu 7 rezultatul scăderii dublei ultimei cifre din acest număr fără ultima cifră este divizibil cu 7; 36 – (2 4) = 28, 28: 7 = 4 Testul de divizibilitate cu 13. Un număr este divizibil cu 13 numărul zecilor lui, adăugat la numărul cvadruplu de unități, este divizibil cu 13, deoarece (4 5) = 104, 104: 13 = 8

Semne de divizibilitate după metodă. Un număr este divizibil cu 17 numărul zecilor lui, adăugat cu numărul de unități crescut de 12 ori, este divizibil cu 17, deoarece (3·12) = 2941; (1·12) = 306; 30 + (6 12) = 102; 10 + (2 12) = 34, 34: 17 = 2 2 sens. Un număr este divizibil cu 17 diferența dintre numărul zecilor lui și de cinci ori numărul unităților nu este divizibil cu 17, deoarece – (2 5) = 3285, 328 – (5 5) = 328 – 25 = 303, 30 – (3 5) = 15, 15 nu este divizibil cu 17.

Testul divizibilității cu 19. Un număr este divizibil cu 19 numărul zecilor lui, adăugat cu dublul numărului de unități, este divizibil cu 19, deoarece (2 6) = 76, 76: 19 = 4 Testul divizibilității cu 23; Numărul este divizibil cu 23. sutele sale, adăugate cu triplul numărului de unități, sunt divizibil cu 23, deoarece (3·42) = 414; 4 + (3 14) = 46, 46: 23 = 2

Testul divizibilității cu 11. Un număr este divizibil cu 11. Suma cifrelor cu semne alternante se împarte la divizibilul cu 11, deoarece =11, 11:11=1 Testul divizibilității cu 99. Să împărțim numărul în grupuri de 2 cifre de la dreapta la stânga (în grupul din stânga poate 1 cifră) și găsiți suma acestor grupuri. Această sumă este divizibilă cu 99, numărul în sine este divizibil cu 99, deoarece = 198, 198: 99 = 2

Testează divizibilitatea cu 101. Să împărțim numărul în grupuri de 2 cifre de la dreapta la stânga (grupul cel mai din stânga poate avea 1 cifră) și să aflăm suma acestor grupuri cu semne alternative. Această sumă este divizibilă cu 101, numărul în sine este divizibil cu 101, deoarece 59 – = 101, 101:101 =1

Alte semne de divizibilitate, care urmează din două semne: Semn de divizibilitate cu 6. Un număr este divizibil cu 2 și cu 3. (456) Semn de divizibilitate cu 12. Un număr este divizibil cu 12; divizibil cu 3 și 4. ( ) Testul de divizibilitate cu 14. Un număr este divizibil cu 2 și cu 7. (364) Testul de divizibilitate cu 15. Un număr este divizibil cu 15; 3 și 5. (8 445)

Soluție: Ambele mărimi care trebuie determinate trebuie să fie numere întregi, adică. fii printre divizorii numărului 203. După descompunerea 203, obținem: 203 = Dar nu pot fi 29 de manuale De asemenea, numărul de manuale nu poate fi egal cu 1, deoarece în acest caz, ar fi 203 elevi Asta înseamnă că sunt 29 de elevi de clasa a V-a și fiecare dintre ei și-a cumpărat 7 manuale. Răspuns: 29 de elevi de clasa a cincea; 7 manuale

SEMNIFICAȚIA PRACTICĂ Cunoașterea și utilizarea semnelor enumerate mai sus de divizibilitate a numerelor naturale simplifică foarte mult multe calcule, economisind astfel timp; excluzând erorile de calcul care pot fi făcute la efectuarea operației de împărțire. Recomand colegilor care doresc să afle mai multe despre matematică decât elevul obișnuit să se familiarizeze cu munca mea.

Problema 1. Nu știu că s-a lăudat cu abilitățile sale remarcabile de a înmulți numere „în capul lui”. Pentru a-l testa, Znayka i-a sugerat să scrie un număr, să-i înmulțească numerele și să spună rezultatul. „1210”, a scapat imediat Dunno. — Te înşeli! spuse Znayka, după ce s-a gândit. Cum a descoperit eroarea fără să știe numărul inițial? Soluţie. Dacă nu știu, atunci numărul ar fi avut două „cifre” 11, deoarece printre divizorii numărului 1210 numărul prim 11 apare de două ori. Dacă nu știu că ar fi avut dreptate, atunci ar fi fost două „cifre” în număr: 11.

Problema 2. Este 3905 divizibil cu 11? Numerele care apar pe locuri impare sunt 3 (pe primul loc) și 0 (pe locul trei). Numerele care se află pe locul par sunt 9 (este pe locul al doilea) și 5 (se află pe locul al patrulea). sumele cifrelor diferă cu exact = 11. Răspuns. Deci 3905 e divizibil cu 11.

Soluţie. În mod evident, ultima cifră este mai mare decât 1. Un număr prim din trei cifre nu se poate termina nici într-o cifră pară (adică 0, 2, 4, 6 sau 8) sau în cifra 5. Dacă ultima cifră este 3 sau 9, atunci suma tuturor Numărul de cifre egal cu dublul ultimei cifre este împărțit la 3, iar apoi numărul în sine este împărțit la 3. Astfel, rămâne doar numărul șapte. Răspuns. Abia la 7.

Concluzie. În procesul de lucru, m-am familiarizat cu istoria dezvoltării semnelor de divizibilitate. Ea însăși a formulat corect semnele de divizibilitate a numerelor naturale cu 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000..., ceea ce a găsit confirmarea din literatura suplimentară. Lucrul cu surse diferite, m-am convins că există și alte semne de divizibilitate a numerelor naturale (prin 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37), care au confirmat corectitudinea ipotezei despre existența altor semne de divizibilitate a numerelor naturale. Din literatura suplimentară am găsit și rezolvat probleme în care sunt folosite criteriile de divizibilitate ale numerelor naturale.