Definiția segmentului și a razei. Cele mai simple figuri geometrice: punct, linie dreaptă, segment, rază, linie întreruptă

Un punct și o dreaptă sunt figurile geometrice de bază pe un plan.

Omul de știință grec antic Euclid a spus: „un punct” este ceva care nu are părți.” Cuvântul „punct” tradus din limba latinăînseamnă rezultatul unei atingeri instantanee, o înțepătură. Un punct este baza pentru construirea oricărei figuri geometrice.

O linie dreaptă sau pur și simplu o linie dreaptă este o linie de-a lungul căreia distanța dintre două puncte este cea mai scurtă. O linie dreaptă este infinită și este imposibil să descrii întreaga linie dreaptă și să o măsori.

Punctele sunt indicate cu majuscule cu litere latine A, B, C, D, E etc. și linii drepte cu aceleași litere, dar litere mici a, b, c, d, e etc. O linie dreaptă poate fi desemnată și prin două litere corespunzătoare punctelor aflate pe el. De exemplu, linia dreaptă a poate fi desemnată AB.

Putem spune că punctele AB se află pe dreapta a sau aparțin dreptei a. Și putem spune că dreapta a trece prin punctele A și B.

Cele mai simple figuri geometrice dintr-un plan sunt un segment, o rază, linie întreruptă.

Un segment este o parte a unei linii care constă din toate punctele acestei linii, limitate de două puncte selectate. Aceste puncte sunt capetele segmentului. Un segment este indicat prin indicarea capetelor sale.

O rază sau semilinie este o parte a unei linii care constă din toate punctele acestei linii situate pe o parte a unui punct dat. Acest punct se numește punctul de pornire al semi-liniei sau începutul razei. Fasciculul are un punct de plecare, dar nu are un sfârșit.

Jumătățile sau razele sunt desemnate prin două litere latine mici: inițiala și orice altă literă corespunzătoare unui punct aparținând semiliniei. În acest caz, punctul de plecare este plasat pe primul loc.

Rezultă că linia dreaptă este infinită: nu are nici început, nici sfârșit; o rază are doar un început, dar nu are sfârșit, dar un segment are un început și un sfârșit. Prin urmare, putem măsura doar un segment.

Mai multe segmente care sunt conectate secvențial între ele, astfel încât segmentele (învecinate) care au un punct comun să nu fie situate pe aceeași linie dreaptă să reprezinte o linie întreruptă.

O linie întreruptă poate fi închisă sau deschisă. Dacă sfârșitul ultimului segment coincide cu începutul primului, avem o linie întreruptă închisă, dacă nu, este o linie deschisă;

blog.site, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursa originală.

În timpul lecției vă veți familiariza cu conceptul de plan, cu diverse figuri minimale care există în geometrie și veți studia proprietățile acestora. Aflați ce sunt o linie dreaptă, un segment, o rază, un unghi etc.

Înfățișăm toate formele geometrice pe o foaie de hârtie cu un creion, pe o tablă cu cretă sau un marker. Adesea vara desenăm figuri pe asfalt cu cretă sau o pietricică albă. Și întotdeauna, înainte de a începe să desenăm ceea ce am planificat, evaluăm dacă avem suficient spațiu. Și din moment ce rar știm dimensiunile exacte ale viitorului nostru desen, trebuie să luăm întotdeauna spațiu cu o marjă și, de preferință, cu o marjă mare. De obicei, nu ne este frică să rămânem fără spațiu pentru a desena dacă câmpul de desenat este de multe ori mai mare decât desenul în sine. Deci este suficient asfalt în curte pentru a crea un teren de sărituri. O foaie de caiet este suficientă pentru a desena două segmente care se intersectează în mijloc.

În matematică, câmpul pe care înfățișăm totul este un plan (Fig. 1).

Orez. 1. Avion

Are doua calitati:

1. Puteți descrie pe ea orice figură despre care am vorbit deja sau despre care vom vorbi din nou.

2. Nu vom ajunge la margine. Dimensiunile sale pot fi considerate mult mai mari decât dimensiunile imaginii.

Faptul că nu ajungem niciodată la marginea planului poate fi înțeles ca absența marginilor deloc. Nu avem nevoie de marginile sale, așa că am convenit să presupunem că acestea nu există (Fig. 2).

Orez. 2. Planul este infinit

În acest sens, planul este infinit în orice direcție.

Ne putem gândi la asta ca frunză mare hârtie, o zonă mare de asfalt plat sau o tablă uriașă de desen.

Există un număr infinit de forme geometrice și este absolut imposibil să le studiezi pe toate. Dar geometria funcționează la fel ca un set de construcție. Există mai multe tipuri de piese de bază din care puteți construi orice altceva, orice clădire cea mai complexă.

Acest principiu poate fi comparat cu cuvintele și literele: știm toate literele, dar nu știm toate cuvintele. Când întâlnim un cuvânt necunoscut, îl putem citi pentru că știm cum sunt scrise literele și cum sunt pronunțate sunetele corespunzătoare.

Este același lucru în matematică - există foarte puține figuri geometrice de bază pe care tu și cu mine trebuie să le cunoaștem bine.

Să considerăm un segment (Fig. 3). Un segment este cea mai scurtă linie care leagă două puncte.

Orez. 3. Segmentare

Să continuăm segmentul în ambele direcții până la infinit. De asemenea, vom continua drept înainte.

Ce înseamnă „drept”? Să luăm în considerare segmentele și (Fig. 4).

Orez. 4. Segmente și

Să le continuăm în ambele direcții. Linia de sus este dreaptă, dar linia de jos nu este (Fig. 5).

Să mai adăugăm un punct la liniile de sus și de jos (Fig. 6). Partea liniei superioare dintre puncte și este, de asemenea, un segment, dar partea liniei de jos dintre puncte și segment nu este, deoarece nu conectează aceste puncte de-a lungul căii celei mai scurte.

Orez. 6. Continuarea liniilor și

O linie dreaptă este o linie care continuă nedefinit în ambele direcții, din care orice parte, limitată de două puncte, este un segment.

O linie dreaptă este un tip de linie și, ca orice linie, o linie dreaptă este o figură. Și, ca și pentru orice dreaptă, un punct dat fie aparține unei linii date, fie nu (Fig. 7).

Orez. 7. Puncte și aparținând unei linii, și puncte și care nu aparțin unei linii

1. O linie dreaptă împarte planul în două părți, în două semiplane. În figura 8, punctele și se află în același semiplan și și - în semiplanuri diferite.

Orez. 8. Două semiavioane

2. Puteți trage întotdeauna o linie dreaptă prin două puncte și doar unul (Fig. 9).

O linie dreaptă, ca orice linie, poate fi marcată cu una literă mică alfabet latin sau o succesiune de puncte care se află pe ea. Pentru a desemna o linie prin punctele aflate pe ea, sunt suficiente două puncte.

Extindem segmentul în ambele direcții până la infinit, obținem o linie dreaptă. Dacă extindem și segmentul, dar numai într-o direcție până la infinit, obținem o figură numită rază (Fig. 10). Acest fascicul geometric foarte asemănător cu un fascicul de lumină, motiv pentru care se numește așa. Dacă ridicați un indicator laser, fasciculul de lumină va începe de la indicator și va merge la infinit în linie dreaptă.

Orez. 10. Grinda

Punctul se numește începutul razei. Raza este indicată.

Dacă marcați un punct pe o linie dreaptă, atunci aceasta împarte această linie dreaptă în două raze (Fig. 11). Ambele raze își au originea în punctul , dar sunt direcționate în direcții diferite. Aceste două raze alcătuiesc o linie dreaptă și sunt jumătățile acesteia. Prin urmare, fasciculul este adesea numit și „semi-direct”.

Orez. 11. Un punct împarte o dreaptă în două raze

Luați în considerare figura 12.

Orez. 12. Segment, linie dreaptă și rază

Să ne dăm seama cum un segment, o linie dreaptă și o rază sunt similare și diferite între ele:

Segmentul și fasciculul pot fi completate cu ușurință într-o linie dreaptă, pentru aceasta, segmentul trebuie extins în ambele direcții, iar fasciculul într-o singură direcție;

Puteți selecta oricând un segment sau o rază pe o linie dreaptă;

Punctul împarte linia în două raze, în două semilinii;

Puncte și limită la un segment drept;

Toate aceste cifre: un segment, o rază, o linie dreaptă sunt „linii drepte”. Ele diferă prin prezența capetelor. Un segment are două, o rază are una și o linie dreaptă nu are niciuna. Un alt mod de a-l spune este acesta: atât raza, cât și segmentul fac parte dintr-o linie dreaptă;

Știm că un segment poate avea măsurată lungimea. Două segmente pot fi comparate pentru a afla care dintre ele este mai lungă;

Linia dreaptă continuă la nesfârșit în ambele direcții, raza continuă într-o direcție. Din acest motiv, este imposibil să măsurați lungimea unei linii drepte sau a unui fascicul și, de asemenea, este imposibil să comparați lungimea a două linii drepte sau a două grinzi. Toate sunt la fel de infinite.

Două raze, având originile în același punct, formează o altă figură geometrică din setul principal - un unghi. Punctul de la începutul ambelor raze se numește vârful unghiului. Razele în sine sunt numite laturile unghiului.

Deci, un unghi este o figură formată din două raze care ies dintr-un punct (Fig. 13).

Orez. 13. Unghiul

Unghiul este desemnat printr-o literă corespunzătoare denumirii vârfului. ÎN în acest caz, unghiul poate fi numit unghi (fig. 14). Pentru a clarifica faptul că vorbim despre un unghi și nu despre un punct, înainte de numele acestuia trebuie să scrieți cuvântul „unghi” sau să puneți un semn special de unghi (“”).

Orez. 14. Unghiul

Dacă este greu de înțeles de la vârf despre ce unghi vorbim, ca în Figura 15, atunci folosiți încă două puncte de ambele părți ale unghiului.

Dacă numiți pur și simplu unghiul din această figură, nu este clar despre ce vorbim exact, deoarece cu vârful într-un punct vedem mai multe unghiuri. Prin urmare, vom adăuga un punct laturilor unghiului de care avem nevoie și vom desemna unghiul ca (Fig. 15).

Orez. 15. Unghiul

Când desemnați, puteți merge la reversul, dar astfel încât vârful să ajungă din nou în mijlocul înregistrării.

O altă desemnare comună este cu o literă grecească: alfa, beta, gamma și așa mai departe (Fig. 16). În acest caz, litera este de obicei scrisă în interiorul colțului (Fig. 17).

Orez. 16. Alfabetul grecesc

Orez. 17. Numele unghiului scris în interiorul unghiului

Deci, în Figura 18, denumirile , , sunt echivalente și indică același unghi.

Orez. 18... - același unghi

Lasă două drepte să se intersecteze într-un punct (Fig. 19). Punctul împarte fiecare linie în două raze, adică 4 raze în total. Fiecare pereche de raze stabilește un unghi.

Orez. 19. Drept și formați 4 grinzi

De exemplu, , , .

Prin două puncte puteți trage întotdeauna o linie dreaptă. Este cazul cu trei puncte?

În Figura 20 puteți desena o linie dreaptă prin trei puncte, dar în Figura 21 nu puteți.

Orez. 20. Prin trei puncte poți trage o linie dreaptă

Orez. 21. Nu puteți trage o linie dreaptă prin trei puncte

Se spune că trei puncte din figură se află pe aceeași linie dreaptă. Acest lucru se spune chiar dacă linia dreaptă în sine nu este trasată, ceea ce implică pur și simplu că poate fi trasată. În al doilea caz, ei spun că punctele nu se află pe aceeași linie, ceea ce înseamnă că este imposibil să tragi o linie prin toate cele trei puncte.

Dacă conectăm secvenţial mai întâi punctele 1 şi 2, apoi al 2-lea şi al 3-lea, atunci linia rezultată se numeşte linie întreruptă (Fig. 22). Numele provine din aspectul său.

Orez. 22. Frânt

Similar cu o polilinie, puteți conecta orice număr de puncte. Punctele , , , , se numesc vârfuri ale dreptei întrerupte, segmentele , , , se numesc legăturile liniei întrerupte.

O linie întreruptă este indicată de vârfurile sale.

Orez. 23. Frânt

Dacă ultimul punct este conectat la primul, atunci linia întreruptă rezultată se numește închisă (Fig. 24).

Orez. 24. Polilinie închisă

Ce polilinie poate fi construită cu un set minim de vârfuri și legături? Dacă există două puncte, atunci acestea pot fi conectate printr-un segment. Acesta va fi cel mai mult exemplu simplu linie întreruptă: două vârfuri și o legătură care le leagă. Putem spune că un segment este o linie întreruptă minimă.

Dacă se cere ca linia întreruptă să fie închisă, atunci cea mai simplă astfel de linie întreruptă va fi un triunghi. Dacă luați două puncte, atunci puteți conecta ultimul punct cu primul doar cu același segment care există deja. Adică linia întreruptă va rămâne, ca și înainte, deschisă. Și dacă mai adăugați un punct care nu se află pe aceeași linie dreaptă cu punctele și , conectați toate punctele cu trei segmente, obțineți un triunghi (Fig. 25).

Orez. 25. Triunghi

Un triunghi este o linie întreruptă închisă cu trei vârfuri. Sau chiar asa: un triunghi este o linie întreruptă închisă minimă.

Punctele și sunt vârfurile triunghiului. Segmentele care le unesc, legăturile liniei întrerupte, se numesc laturile triunghiului.

Un triunghi este desemnat prin vârfurile sale. De exemplu, . Înainte de desemnare, trebuie să puneți cuvântul „triunghi” sau un simbol special triunghi (“”).

Un triunghi presupune trei unghiuri. Două laturi emană din fiecare dintre vârfuri, adică laturile triunghiului sunt laturile unghiurilor (Fig. 26).

Orez. 26. Unghiurile unui triunghi

Astfel, un triunghi are trei vârfuri (trei puncte și), trei laturi (trei segmente și).

Un punct este un obiect abstract care nu are caracteristici de măsurare: fără înălțime, fără lungime, fără rază. În cadrul sarcinii, doar locația acesteia este importantă

Punctul este indicat printr-un număr sau o literă latină majusculă. Mai multe puncte - numere diferite sau cu litere diferite astfel încât să se poată distinge

punctul A, punctul B, punctul C

A B C

punctul 1, punctul 2, punctul 3

1 2 3

Puteți desena trei puncte „A” pe o bucată de hârtie și puteți invita copilul să tragă o linie prin cele două puncte „A”. Dar cum să înțelegem prin care dintre ele?

A A A

O linie este un set de puncte. Se măsoară doar lungimea. Nu are latime sau grosime

Indicat prin litere latine mici (mici).

linia a, linia b, linia c

a b c

1. Linia poate fi
2. închis dacă începutul și sfârșitul lui sunt în același punct,

deschis dacă începutul și sfârșitul lui nu sunt conectate

linii închise

linii deschise

1. Ai plecat din apartament, ai cumpărat pâine de la magazin și te-ai întors înapoi în apartament. Ce linie ai primit? Așa e, închis. Te-ai întors la punctul de plecare. Ai ieșit din apartament, ai cumpărat pâine de la magazin, ai intrat în intrare și ai început să vorbești cu vecinul tău. Ce linie ai primit? Deschide. Nu te-ai întors la punctul de plecare. Ai plecat din apartament și ai cumpărat pâine de la magazin. Ce linie ai primit? Deschide. Nu te-ai întors la punctul de plecare.
2. auto-intersectându-se

fără autointersecții

linii de auto-intersectare

1. linii fără auto-intersecții
2. direct
3. spart

strâmb

linii drepte

linii întrerupte

linii curbe

O linie dreaptă este o linie care nu este curbă, nu are nici început, nici sfârșit, poate fi continuată la nesfârșit în ambele direcții Chiar și atunci când este vizibil zonă mică

linie dreaptă, se presupune că aceasta continuă la nesfârșit în ambele sensuri

Indicat printr-o literă latină mică (mică). Sau două majuscule (majuscule) latine - puncte situate pe o linie dreaptă

linie dreaptă a

o

linie dreaptă AB

B A

1. Direct poate fi
   • intersectându-se dacă au un punct comun. Două linii se pot intersecta doar într-un punct.
2. perpendiculare dacă se intersectează în unghi drept (90°).

Paralele, dacă nu se intersectează, nu au un punct comun.

linii paralele

linii de intersectare

O rază este o parte a unei linii drepte care are un început, dar nu poate fi continuată la infinit într-o singură direcție

Raza de lumină din imagine are punctul de plecare ca soare.

Soare

Un punct împarte o linie dreaptă în două părți - două raze A A

Grinda este desemnată printr-o literă latină mică (mică). Sau două majuscule (majuscule) latine, unde prima este punctul de la care începe raza, iar a doua este punctul situat pe rază

raza a

linie dreaptă a

fascicul AB

linie dreaptă AB

Razele coincid dacă

1. situat pe aceeași linie dreaptă
2. începe la un moment dat
3. îndreptată într-o singură direcție

razele AB și AC coincid

razele CB și CA coincid

C B A

Un segment este o parte a unei linii care este limitată de două puncte, adică are atât un început, cât și un sfârșit, ceea ce înseamnă că lungimea sa poate fi măsurată. Lungimea unui segment este distanța dintre punctele sale de început și de sfârșit

Printr-un punct puteți desena orice număr de linii, inclusiv linii drepte

Prin două puncte - un număr nelimitat de curbe, dar o singură linie dreaptă

linii curbe care trec prin două puncte

B A

o

linie dreaptă AB

O bucată a fost „tăiată” din linie dreaptă și a rămas un segment. Din exemplul de mai sus puteți vedea că lungimea sa este cea mai scurtă distanță dintre două puncte.

✂ B A ✂

Un segment este notat cu două litere latine majuscule, unde prima este punctul în care începe segmentul, iar a doua este punctul în care se termină segmentul

linie dreaptă AB

segmentul AB

Problemă: unde este linia, raza, segmentul, curba?

O linie întreruptă este o linie formată din segmente conectate consecutiv, care nu la un unghi de 180°

Un segment lung a fost „divizat” în mai multe segmente scurte

Legăturile unei linii întrerupte (asemănătoare cu legăturile unui lanț) sunt segmentele care alcătuiesc linia întreruptă. Legăturile adiacente sunt legături în care sfârșitul unei legături este începutul altuia. Legăturile adiacente nu trebuie să se afle pe aceeași linie dreaptă.

Vârfurile unei linii întrerupte (asemănătoare cu vârfurile munților) sunt punctul de la care începe linia întreruptă, punctele în care sunt conectate segmentele care formează linia întreruptă și punctul în care se termină linia întreruptă.

O linie întreruptă este desemnată prin listarea tuturor vârfurilor sale.

linie întreruptă ABCDE

vârful poliliniei A, vârful poliliniei B, vârful poliliniei C, vârful poliliniei D, vârful poliliniei E

verigă ruptă AB, verigă ruptă BC, verigă ruptă CD, verigă ruptă DE

legătura AB și legătura BC sunt adiacente

linkul BC și linkul CD sunt adiacente

link CD și link DE sunt adiacente

A B C D E 64 62 127 52

Lungimea unei linii întrerupte este suma lungimilor legăturilor sale: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305 Sarcină: care linie întreruptă este mai lungă , A? Prima linie are toate legăturile de aceeași lungime și anume 13 cm. A doua linie are toate verigile de aceeași lungime, și anume 49 cm. A treia linie are toate verigile de aceeași lungime, și anume 41 cm.

Un poligon este o polilinie închisă

Laturile poligonului (expresiile vă vor ajuta să vă amintiți: „mergi în toate cele patru direcții”, „aleargă spre casă”, „pe ce parte a mesei vei sta?”) sunt verigile unei linii întrerupte. Laturile adiacente ale unui poligon sunt legături adiacente ale unei linii întrerupte.

Vârfurile unui poligon sunt vârfurile unei linii întrerupte. Vârfurile adiacente sunt punctele de capăt ale unei laturi ale poligonului.

Un poligon este notat prin listarea tuturor vârfurilor sale.

polilinie închisă fără autointersecție, ABCDEF

poligon ABCDEF

poligon vârf A, poligon vârf B, poligon vârf C, poligon vârf D, poligon vârf E, poligon vârf F

vârful A și vârful B sunt adiacente

vârful B și vârful C sunt adiacente

vârful C și vârful D sunt adiacente

vârful D și vârful E sunt adiacente

vârful E și vârful F sunt adiacente

vârful F și vârful A sunt adiacente

latura poligonului AB, latura poligonului BC, latura poligonului CD, latura poligonului DE, latura poligonului EF

latura AB și latura BC sunt adiacente

partea BC și partea CD sunt adiacente

Partea CD și partea DE sunt adiacente

latura DE și latura EF sunt adiacente

partea EF și partea FA sunt adiacente

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Perimetrul unui poligon este lungimea liniei întrerupte: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Un poligon cu trei vârfuri se numește triunghi, cu patru - un patrulater, cu cinci - un pentagon etc.

Ne vom uita la fiecare dintre subiecte, iar la final vor fi teste pe subiecte.

Punct în matematică

Care este un punct în matematică? Un punct matematic nu are dimensiuni și este desemnat cu majuscule: A, B, C, D, F etc.

În figură puteți vedea o imagine a punctelor A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Segment în matematică

Ce este un segment în matematică? La lecțiile de matematică puteți auzi următoarea explicație: un segment matematic are o lungime și se termină. Un segment în matematică este mulțimea tuturor punctelor situate pe o linie dreaptă între capetele segmentului. Capetele segmentului sunt două puncte de limită.

În figură vedem următoarele: segmente ,,, și , precum și două puncte B și S.

Direct la matematică

Ce este o linie dreaptă în matematică? Definiția unei linii drepte în matematică este aceea că o linie dreaptă nu are capete și poate continua în ambele direcții la nesfârșit. O dreaptă în matematică este notă cu oricare două puncte de pe o dreaptă. Pentru a explica unui elev conceptul de linie dreaptă, puteți spune că o linie dreaptă este un segment care nu are două capete.

Figura prezintă două linii drepte: CD și EF.

Beam în matematică

Ce este o rază? Definiția unei raze în matematică: o rază este o parte a unei linii care are un început și fără sfârșit. Numele fasciculului conține două litere, de exemplu, DC. În plus, prima literă indică întotdeauna punctul de pornire al fasciculului, astfel încât literele nu pot fi schimbate.

Figura prezintă razele: DC, KC, EF, MT, MS. Grinzile KC și KD sunt un singur fascicul, deoarece au o origine comună.

Linia numerică la matematică

Definiția unei drepte numerice în matematică: o linie ale cărei puncte marchează numere se numește dreptă numerică.

Figura arată linia numerică, precum și razele OD și ED