Găsiți unghiul phi dintre linii. Unghiul dintre liniile drepte pe un plan

Instrucţiuni

Vă rugăm să rețineți

Perioadă functie trigonometrica Tangenta este egala cu 180 de grade, ceea ce inseamna ca unghiurile de panta ale dreptelor nu pot depasi, in valoare absoluta, aceasta valoare.

Sfaturi utile

Dacă coeficienții unghiulari sunt egali între ei, atunci unghiul dintre aceste drepte este 0, deoarece astfel de linii fie coincid, fie sunt paralele.

Pentru a determina valoarea unghiului dintre liniile care se intersectează, este necesar să mutați ambele linii (sau una dintre ele) într-o nouă poziție folosind metoda translației paralele până când se intersectează. După aceasta, ar trebui să găsiți unghiul dintre liniile care se intersectează rezultate.

vei avea nevoie

• Riglă, triunghi dreptunghic, creion, raportor.

Instrucţiuni

Deci, să fie dat vectorul V = (a, b, c) și planul A x + B y + C z = 0, unde A, B și C sunt coordonatele normalei N. Atunci cosinusul unghiului α dintre vectorii V și N este egal cu: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Pentru a calcula unghiul în grade sau radiani, trebuie să calculați funcția inversă față de cosinus din expresia rezultată, i.e. arccosin:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Exemplu: găsiți colţîntre vector(5, -3, 8) și avion, dată de ecuația generală 2 x – 5 y + 3 z = 0. Rezolvare: notează coordonatele vectorului normal al planului N = (2, -5, 3). Înlocuiți toate valorile cunoscute în formula dată: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video pe tema

O dreaptă care are un punct comun cu un cerc este tangentă la cerc. O altă caracteristică a tangentei este că este întotdeauna perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact, adică tangenta și raza formează o linie dreaptă. colţ. Dacă dintr-un punct A sunt trase două tangente la un cerc AB și AC, atunci ele sunt întotdeauna egale între ele. Determinarea unghiului dintre tangente ( colţ ABC) se realizează folosind teorema lui Pitagora.

Instrucţiuni

Pentru a determina unghiul, trebuie să cunoașteți raza cercului OB și OS și distanța punctului de pornire al tangentei de la centrul cercului - O. Deci, unghiurile ABO și ACO sunt egale, raza OB este, de exemplu, 10 cm, iar distanța până la centrul cercului AO este de 15 cm. Determinați lungimea tangentei folosind formula în conformitate cu teorema lui Pitagora: AB = rădăcină pătrată de la AO2 – OB2 sau 152 - 102 = 225 – 100 = 125;

Cu asta calculator online puteți găsi unghiul dintre liniile drepte. Dat solutie detaliata cu explicatii. Pentru a calcula unghiul dintre liniile drepte, setați dimensiunea (2 dacă este luată în considerare o linie dreaptă pe un plan, 3 dacă este luată în considerare o linie dreaptă în spațiu), introduceți elementele ecuației în celule și faceți clic pe „Rezolvare” buton. Vezi mai jos partea teoretică.

×

Avertizare

Ștergeți toate celulele?

Închide Clear

Instrucțiuni de introducere a datelor. Numerele sunt introduse ca numere întregi (exemple: 487, 5, -7623, etc.), zecimale (ex. 67., 102.54, etc.) sau fracții. Fracția trebuie introdusă sub forma a/b, unde a și b (b>0) sunt numere întregi sau numere zecimale. Exemplele 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 etc.

1. Unghiul dintre liniile drepte pe un plan

Liniile sunt definite prin ecuații canonice

1.1. Determinarea unghiului dintre liniile drepte

Lăsați liniile în spațiu bidimensional L 1 și L

Astfel, din formula (1.4) putem afla unghiul dintre liniile drepte L 1 și L 2. După cum se poate vedea din Fig. 1, liniile care se intersectează formează unghiuri adiacente φ Şi φ 1. Dacă unghiul găsit este mai mare de 90°, atunci puteți găsi unghi minimîntre linii drepte L 1 și L 2: φ 1 =180-φ .

Din formula (1.4) putem deduce condițiile de paralelism și perpendicularitate a două drepte.

Exemplul 1. Determinați unghiul dintre linii

Să simplificăm și să rezolvăm:

1.2. Condiție pentru linii paralele

Lasă φ =0. Apoi cosφ=1. În acest caz, expresia (1.4) va lua următoarea formă:

,

,

Exemplul 2: Determinați dacă liniile sunt paralele

Egalitatea (1.9) este satisfăcută, prin urmare liniile (1.10) și (1.11) sunt paralele.

Răspuns. Liniile (1.10) și (1.11) sunt paralele.

1.3. Condiție pentru perpendicularitatea liniilor

Lasă φ =90°. Apoi cosφ=0. În acest caz, expresia (1.4) va lua următoarea formă:

Exemplul 3. Stabiliți dacă dreptele sunt perpendiculare

Condiția (1.13) este îndeplinită, prin urmare dreptele (1.14) și (1.15) sunt perpendiculare.

Răspuns. Dreptele (1.14) și (1.15) sunt perpendiculare.

Liniile sunt definite prin ecuații generale

1.4. Determinarea unghiului dintre liniile drepte

Lăsați două linii drepte L 1 și L 2 sunt date prin ecuații generale

Din definiția produsului scalar a doi vectori, avem:

Exemplul 4. Aflați unghiul dintre linii

Înlocuirea valorilor O 1 , B 1 , O 2 , B 2 în (1.23), obținem:

Acest unghi este mai mare de 90°. Să găsim unghiul minim dintre liniile drepte. Pentru a face acest lucru, scădeți acest unghi din 180:

Pe de altă parte, starea liniilor paralele L 1 și L 2 este echivalentă cu condiția de coliniaritate a vectorilor n 1 și n 2 și poate fi reprezentat astfel:

Egalitatea (1.24) este satisfăcută, prin urmare liniile (1.26) și (1.27) sunt paralele.

Răspuns. Liniile (1.26) și (1.27) sunt paralele.

1.6. Condiție pentru perpendicularitatea liniilor

Condiție pentru perpendicularitatea liniilor L 1 și L 2 poate fi extras din formula (1.20) prin substituire cos(φ )=0. Apoi produsul scalar ( n 1 ,n 2)=0. Unde

Egalitatea (1.28) este îndeplinită, prin urmare dreptele (1.29) și (1.30) sunt perpendiculare.

Răspuns. Dreptele (1.29) și (1.30) sunt perpendiculare.

2. Unghiul dintre liniile drepte în spațiu

2.1. Determinarea unghiului dintre liniile drepte

Să fie linii drepte în spațiu L 1 și L 2 sunt date prin ecuații canonice

unde | q 1 | și | q 2 | module de vector de direcție q 1 și q 2 respectiv, φ -unghiul dintre vectori q 1 și q 2 .

Din expresia (2.3) se obține:

.

Să simplificăm și să rezolvăm:

.

Să găsim unghiul φ

O. Să fie date două drepte Aceste linii drepte, așa cum este indicat în capitolul 1, formează diverse unghiuri pozitive și negative, care pot fi fie acute, fie obtuze. Cunoscând unul dintre aceste unghiuri, putem găsi cu ușurință oricare altul.

Apropo, pentru toate aceste unghiuri valoarea numerică a tangentei este aceeași, diferența poate fi doar în semn

Ecuații de linii. Numerele sunt proiecțiile vectorilor de direcție ai primei și celei de-a doua drepte. Unghiul dintre acești vectori este egal cu unul dintre unghiurile formate de drepte. Prin urmare, problema se rezumă la determinarea unghiului dintre vectori

Pentru simplitate, putem fi de acord că unghiul dintre două drepte este înțeles ca un unghi pozitiv acut (ca, de exemplu, în Fig. 53).

Atunci tangenta acestui unghi va fi întotdeauna pozitivă. Astfel, dacă există un semn minus în partea dreaptă a formulei (1), atunci trebuie să îl renunțăm, adică să salvăm doar valoarea absolută.

Exemplu. Determinați unghiul dintre liniile drepte

Conform formulei (1) avem

Cu. Dacă se indică care dintre laturile unghiului este începutul și care este sfârșitul lui, atunci, numărând întotdeauna direcția unghiului în sens invers acelor de ceasornic, putem extrage ceva mai mult din formula (1). După cum se vede ușor din fig. 53, semnul obținut în partea dreaptă a formulei (1) va indica ce fel de unghi - acut sau obtuz - se formează a doua linie dreaptă cu prima.

(Într-adevăr, din Fig. 53 vedem că unghiul dintre primul și al doilea vector de direcție este fie egal cu unghiul dorit dintre liniile drepte, fie diferă de acesta cu ±180°.)

d. Dacă liniile sunt paralele, atunci vectorii lor de direcție sunt paraleli Aplicând condiția de paralelism a doi vectori, obținem!

Aceasta este o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul a două linii.

Exemplu. Direct

sunt paralele deoarece

e. Dacă liniile sunt perpendiculare, atunci vectorii lor de direcție sunt de asemenea perpendiculari. Aplicând condiția de perpendicularitate a doi vectori, obținem condiția de perpendicularitate a două drepte și anume

Exemplu. Direct

sunt perpendiculare datorită faptului că

În legătură cu condițiile de paralelism și perpendicularitate, vom rezolva următoarele două probleme.

f. Desenați o dreaptă printr-un punct paralel cu dreapta dată

Soluția se realizează așa. Deoarece linia dorită este paralelă cu aceasta, atunci pentru vectorul său de direcție îl putem lua pe aceeași cu cea a dreptei date, adică un vector cu proiecțiile A și B. Și atunci ecuația dreptei dorite se va scrie în forma (§ 1)

Exemplu. Ecuația unei drepte care trece prin punctul (1; 3) paralel cu dreapta

va fi urmatorul!

g. Desenați o dreaptă printr-un punct perpendicular pe dreapta dată

Aici nu mai este potrivit să luăm vectorul cu proiecțiile A și ca vector de ghidare, dar este necesar să luăm vectorul perpendicular pe acesta. Prin urmare, proiecțiile acestui vector trebuie alese în funcție de condiția de perpendicularitate a ambilor vectori, adică în funcție de condiția

Această condiție poate fi îndeplinită în nenumărate moduri, deoarece aici este o ecuație cu două necunoscute

Exemplu. Ecuația unei drepte care trece prin punctul (-7; 2) într-o dreaptă perpendiculară

vor fi următoarele (după formula a doua)!

h. În cazul în care liniile sunt date prin ecuații de forma

unghiul dintre planuri

Se consideră două plane α 1 și α 2, definite, respectiv, de ecuațiile:

Sub unghiîntre două plane vom înţelege unul dintre unghiurile diedrice formate de aceste plane. Este evident că unghiul dintre vectorii normali și planele α 1 și α 2 este egal cu unul dintre unghiurile diedrice adiacente indicate sau . De aceea . Deoarece Şi , Asta

.

Exemplu. Determinați unghiul dintre plane x+2y-3z+4=0 și 2 x+3y+z+8=0.

Condiție pentru paralelismul a două plane.

Două plane α 1 și α 2 sunt paralele dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt paraleli și, prin urmare .

Deci, două plane sunt paralele între ele dacă și numai dacă coeficienții coordonatelor corespunzătoare sunt proporționale:

sau

Condiția de perpendicularitate a planurilor.

Este clar că două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt perpendiculari și, prin urmare, sau .

Astfel, .

Exemple.

DREPT ÎN SPAȚIU.

ECUAȚIE VECTORALĂ PENTRU O LINIE.

ECUATII DIRECTE PARAMETRICE

Poziția unei linii în spațiu este complet determinată prin specificarea oricăruia dintre punctele sale fixe M 1 și un vector paralel cu această dreaptă.

Se numeste un vector paralel cu o dreapta ghiduri vector al acestei linii.

Deci, lăsați linia dreaptă l trece printr-un punct M 1 (x 1 , y 1 , z 1), situată pe o dreaptă paralelă cu vectorul .

Luați în considerare un punct arbitrar M(x,y,z) pe o linie dreaptă. Din figură este clar că .

Vectori și sunt coliniare, deci există un astfel de număr t, ce , unde este multiplicatorul t poate lua orice valoare numerică în funcție de poziția punctului M pe o linie dreaptă. Factor t numit parametru. După ce au desemnat vectorii de rază ai punctelor M 1 și M respectiv, prin și , obținem . Această ecuație se numește vector ecuația unei linii drepte. Arată că pentru fiecare valoare a parametrului t corespunde vectorului raza unui punct M, întins pe o linie dreaptă.

Să scriem această ecuație sub formă de coordonate. Rețineți că, si de aici

Ecuațiile rezultate se numesc parametrice ecuațiile unei linii drepte.

La modificarea unui parametru t se schimbă coordonatele x, yŞi zși punct M se deplasează în linie dreaptă.

ECUAȚII CANONICE ALE DIRECTULUI

Lasă M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – un punct situat pe o linie dreaptă l, Și este vectorul său de direcție. Să luăm din nou un punct arbitrar pe linie M(x,y,z)și luați în considerare vectorul .

Este clar că vectorii sunt, de asemenea, coliniari, deci coordonatele lor corespunzătoare trebuie să fie proporționale, prin urmare,

– canonic ecuațiile unei linii drepte.

Nota 1. Rețineți că ecuațiile canonice ale dreptei pot fi obținute din cele parametrice prin eliminarea parametrului t. Într-adevăr, din ecuațiile parametrice obținem sau .

Exemplu. Scrieți ecuația dreptei în formă parametrică.

Să notăm , de aici x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Nota 2. Fie linia dreaptă perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, de exemplu axa Bou. Atunci vectorul direcție al dreptei este perpendicular Bou, prin urmare, m=0. În consecință, ecuațiile parametrice ale dreptei vor lua forma

Excluzând parametrul din ecuații t, obținem ecuațiile dreptei în forma

Totuși, și în acest caz, suntem de acord să scriem formal ecuațiile canonice ale dreptei în forma . Astfel, dacă numitorul uneia dintre fracții este zero, aceasta înseamnă că linia dreaptă este perpendiculară pe axa de coordonate corespunzătoare.

De asemenea, ecuații canonice corespunde unei drepte perpendiculare pe axele BouŞi Oi sau paralel cu axa Oz.

Exemple.

ECUAȚII GENERALE ALE LINEILOR DREPTĂ CA LINII DE INTERSECȚIE A DOUA PLANURI

Prin fiecare linie dreaptă din spațiu există nenumărate avioane. Oricare două dintre ele, intersectându-se, îl definesc în spațiu. În consecință, ecuațiile oricăror două astfel de planuri, considerate împreună, reprezintă ecuațiile acestei drepte.

În general, oricare două plane neparalele date de ecuațiile generale

determinați linia dreaptă a intersecției lor. Aceste ecuații se numesc ecuații generale direct.

Exemple.

Construiți o dreaptă dată de ecuații

Pentru a construi o linie dreaptă, este suficient să găsiți oricare dintre punctele sale. Cel mai simplu mod este să selectați punctele de intersecție ale liniei cu planuri de coordonate. De exemplu, punctul de intersecție cu planul xOy obţinem din ecuaţiile dreptei, presupunând z= 0:

După ce am rezolvat acest sistem, găsim ideea M 1 (1;2;0).

În mod similar, presupunând y= 0, obținem punctul de intersecție al dreptei cu planul xOz:

Din ecuațiile generale ale unei linii drepte se poate trece la ecuațiile ei canonice sau parametrice. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct M 1 pe o dreaptă și vectorul direcție al unei drepte.

Coordonatele punctului M 1 obținem din acest sistem de ecuații, dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară. Pentru a găsi vectorul direcție, rețineți că acest vector trebuie să fie perpendicular pe ambii vectori normali Şi . Prin urmare, dincolo de vectorul direcție al dreptei l puteți lua produsul vectorial al vectorilor normali:

.

Exemplu. Dați ecuații generale ale dreptei la forma canonică.

Să găsim un punct situat pe o linie. Pentru a face acest lucru, alegem în mod arbitrar una dintre coordonate, de exemplu, y= 0 și rezolvați sistemul de ecuații:

Vectorii normali ai planurilor care definesc dreapta au coordonate Prin urmare, vectorul direcție va fi drept

. Prin urmare, l: .

unghiul dintre drepte

Unghiîntre drepte în spațiu vom numi oricare dintre unghiurile adiacente formate din două drepte trasate printr-un punct arbitrar paralel cu datele.

Să fie date două drepte în spațiu:

Evident, unghiul φ dintre drepte poate fi luat ca unghi între vectorii lor de direcție și . Deoarece , folosind formula pentru cosinusul unghiului dintre vectori obținem

Definiţie. Dacă sunt date două drepte y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, atunci unghi ascuțitîntre aceste linii drepte se va defini ca

Două drepte sunt paralele dacă k 1 = k 2. Două drepte sunt perpendiculare dacă k 1 = -1/ k 2.

Teorema. Dreptele Ax + Bу + C = 0 și A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sunt paralele când coeficienții A 1 = λA, B 1 = λB sunt proporționali. Dacă și C 1 = λC, atunci liniile coincid. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc ca soluție a sistemului de ecuații ale acestor drepte.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat

Perpendicular pe o dreaptă dată

Definiţie. O dreaptă care trece prin punctul M 1 (x 1, y 1) și perpendiculară pe dreapta y = kx + b este reprezentată de ecuația:

Distanța de la punct la linie

Teorema. Dacă este dat un punct M(x 0, y 0), atunci distanța până la dreapta Ax + Bу + C = 0 este determinată ca

.

Dovada. Fie punctul M 1 (x 1, y 1) să fie baza perpendicularei căzute din punctul M la o dreaptă dată. Atunci distanța dintre punctele M și M 1:

(1)

Coordonatele x 1 și y 1 pot fi găsite prin rezolvarea sistemului de ecuații:

A doua ecuație a sistemului este ecuația dreptei care trece prin punct dat M 0 este perpendiculară pe o dreaptă dată. Dacă transformăm prima ecuație a sistemului în forma:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

apoi, rezolvand, obtinem:

Înlocuind aceste expresii în ecuația (1), găsim:

Teorema a fost demonstrată.

Exemplu. Să se determine unghiul dintre drepte: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Exemplu. Arătați că dreptele 3x – 5y + 7 = 0 și 10x + 6y – 3 = 0 sunt perpendiculare.

Soluţie. Găsim: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, prin urmare, dreptele sunt perpendiculare.

Exemplu. Sunt date vârfurile triunghiului A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Găsiți ecuația înălțimii desenată din vârful C.

Soluţie. Găsim ecuația laturii AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Ecuația de înălțime necesară are forma: Ax + By + C = 0 sau y = kx + b. k = . Atunci y = . Deoarece înălțimea trece prin punctul C, apoi coordonatele sale satisfac această ecuație: de unde b = 17. Total: .

Răspuns: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat într-o direcție dată. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date. Unghiul dintre două linii drepte. Condiția de paralelism și perpendicularitate a două drepte. Determinarea punctului de intersecție a două drepte

1. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat O(x 1 , y 1) într-o direcție dată, determinată de pantă k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Această ecuație definește un creion de linii care trec printr-un punct O(x 1 , y 1), care se numește centrul fasciculului.

2. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: O(x 1 , y 1) și B(x 2 , y 2), scris astfel:

Coeficientul unghiular al unei drepte care trece prin două puncte date este determinat de formula

3. Unghiul dintre liniile drepte OŞi B este unghiul cu care trebuie rotită prima linie dreaptă Oîn jurul punctului de intersecție al acestor linii în sens invers acelor de ceasornic până când acesta coincide cu a doua linie B. Dacă două drepte sunt date de ecuaţii cu pantă

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

atunci unghiul dintre ele este determinat de formula

Trebuie remarcat faptul că la numărătorul fracției, panta primei linii este scăzută din panta celei de-a doua drepte.

Dacă ecuațiile unei drepte sunt date în vedere generală

O 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

O 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

unghiul dintre ele este determinat de formula

4. Condiții pentru paralelismul a două linii:

a) Dacă dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu un coeficient unghiular, atunci condiția necesară și suficientă pentru paralelismul lor este egalitatea coeficienților lor unghiulari:

k 1 = k 2 . (8)

b) Pentru cazul în care dreptele sunt date prin ecuații în forma generală (6), o condiție necesară și suficientă pentru paralelismul lor este ca coeficienții pentru coordonatele curente corespunzătoare din ecuațiile lor să fie proporționali, i.e.

5. Condiții pentru perpendicularitatea a două drepte:

a) În cazul în care dreptele sunt date de ecuațiile (4) cu un coeficient unghiular, o condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea lor este ca coeficienții lor unghiulari să fie inversi ca mărime și opuși ca semn, i.e.

Această condiție poate fi scrisă și în formular

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Dacă ecuațiile de drepte sunt date în forma generală (6), atunci condiția pentru perpendicularitatea lor (necesară și suficientă) este să satisfacă egalitatea

O 1 O 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Coordonatele punctului de intersecție a două drepte se găsesc prin rezolvarea sistemului de ecuații (6). Liniile (6) se intersectează dacă și numai dacă

1. Scrieți ecuațiile dreptelor care trec prin punctul M, dintre care una este paralelă și cealaltă perpendiculară pe dreapta dată l.