Cel mai mare și cel mai mic multiplu comun. Metode pentru găsirea celui mai mic multiplu comun, nok - aceasta și toate explicațiile

Scolarilor li se dau o multime de sarcini la matematica. Printre acestea, de foarte multe ori există probleme cu următoarea formulare: există două sensuri. Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor date? Este necesar să puteți îndeplini astfel de sarcini, deoarece abilitățile dobândite sunt folosite pentru a lucra cu fracții când numitori diferiti. În acest articol ne vom uita la cum să găsim LOC și concepte de bază.

Înainte de a găsi răspunsul la întrebarea cum să găsiți LCM, trebuie să definiți termenul multiplu. Cel mai adesea, formularea acestui concept sună astfel: un multiplu al unei anumite valori A se numește astfel număr natural, care va fi divizibil cu A fără rest Deci, pentru 4, multiplii vor fi 8, 12, 16, 20 și așa mai departe, până la limita necesară.

Mai mult decât atât, numărul de divizori pentru o anumită valoare poate fi limitat, dar multiplii sunt infiniti. Există, de asemenea, aceeași valoare pentru valorile naturale. Acesta este un indicator care este împărțit în ele fără rest. După ce am înțeles conceptul de cea mai mică valoare pentru anumiți indicatori, să trecem la cum să o găsim.

Găsirea NOC

Cel mai mic multiplu de doi sau mai mulți exponenți este cel mai mic număr natural care este complet divizibil cu toate numerele specificate.

Există mai multe modalități de a găsi o astfel de valoare, luați în considerare următoarele metode:

1. Dacă numerele sunt mici, atunci scrieți pe o linie toate cele divizibile cu ea. Continuați să faceți asta până când găsiți ceva în comun între ei. În scris, ele sunt notate cu litera K. De exemplu, pentru 4 și 3, cel mai mic multiplu este 12.
2. Dacă acestea sunt mari sau trebuie să găsiți un multiplu de 3 sau mai multe valori, atunci ar trebui să utilizați o altă tehnică care implică descompunerea numerelor în factori primi. Mai întâi, așezați-o pe cea mai mare listată, apoi pe toate celelalte. Fiecare dintre ele are propriul său număr de multiplicatori. De exemplu, să descompunăm 20 (2*2*5) și 50 (5*5*2). Pentru cel mai mic, subliniază factorii și adaugă-i la cel mai mare. Rezultatul va fi 100, care va fi cel mai mic multiplu comun al numerelor de mai sus.
3. La găsirea a 3 numere (16, 24 și 36) principiile sunt aceleași ca și pentru celelalte două. Să extindem fiecare dintre ele: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Doar doi doi din extinderea numărului 16 nu au fost incluse în extinderea celui mai mare. Le adunăm și obținem 144, care este cel mai mic rezultat pentru valorile numerice indicate anterior.

Acum știm care este tehnica generală pentru găsirea celei mai mici valori pentru două, trei sau mai multe valori. Cu toate acestea, există și metode private, ajutând la căutarea NOC dacă cele anterioare nu ajută.

Cum să găsiți GCD și NOC.

Metode private de găsire

Ca și în cazul oricărei secțiuni matematice, există cazuri speciale de găsire a LCM care ajută în situații specifice:

• dacă unul dintre numere este divizibil cu celelalte fără rest, atunci cel mai mic multiplu al acestor numere este egal cu acesta (MCM de 60 și 15 este 15);
• reciproc numere prime nu au factori primi comuni. Cea mai mică valoare a acestora este egală cu produsul acestor numere. Astfel, pentru numerele 7 și 8 va fi 56;
• aceeași regulă funcționează și pentru alte cazuri, inclusiv cele speciale, despre care se poate citi în literatura de specialitate. Acestea ar trebui să includă și cazurile de descompunere a numerelor compuse, care sunt subiectul articolelor individuale și chiar al disertațiilor candidaților.

Cazurile speciale sunt mai puțin frecvente decât exemple standard. Dar datorită lor, puteți învăța să lucrați cu fracții de diferite grade de complexitate. Acest lucru este valabil mai ales pentru fracții, unde există numitori inegali.

Câteva exemple

Să ne uităm la câteva exemple care vă vor ajuta să înțelegeți principiul găsirii celui mai mic multiplu:

1. Găsiți LOC (35; 40). Mai întâi descompunem 35 = 5*7, apoi 40 = 5*8. Adăugați 8 la cel mai mic număr și obțineți LOC 280.
2. NOC (45; 54). Descompunem fiecare dintre ele: 45 = 3*3*5 și 54 = 3*3*6. Adăugăm numărul 6 la 45. Obținem un LCM egal cu 270.
3. Bine ultimul exemplu. Există 5 și 4. Nu există multipli primi ai acestora, așa că cel mai mic multiplu comun în acest caz va fi produsul lor, egal cu 20.

Datorită exemplelor, puteți înțelege cum este localizat NOC, care sunt nuanțele și care este sensul unor astfel de manipulări.

Găsirea NOC este mult mai ușoară decât ar părea inițial. Pentru a face acest lucru, se folosesc atât expansiunea simplă, cât și înmulțirea valori simple una peste alta. Capacitatea de a lucra cu această secțiune a matematicii ajută la studiul ulterioară a subiectelor matematice, în special a fracțiunilor cu diferite grade de complexitate.

Nu uitați să rezolvați periodic exemplele diverse metode, aceasta dezvoltă aparatul logic și vă permite să vă amintiți numeroși termeni. Învață cum să găsești un astfel de exponent și te vei putea descurca bine în restul secțiunilor de matematică. Învățare fericită la matematică!

Video

Acest videoclip vă va ajuta să înțelegeți și să vă amintiți cum să găsiți cel mai mic multiplu comun.

Cel mai mare divizor comunși cel mai mic multiplu comun sunt concepte aritmetice cheie care vă permit să operați fără efort fracții obișnuite. LCM și sunt cel mai adesea folosite pentru a găsi numitorul comun al mai multor fracții.

Concepte de bază

Împărțitorul unui întreg X este un alt întreg Y prin care X este împărțit fără a lăsa rest. De exemplu, divizorul lui 4 este 2, iar 36 este 4, 6, 9. Un multiplu al unui număr întreg X este un număr Y care este divizibil cu X fără rest. De exemplu, 3 este un multiplu al lui 15, iar 6 este un multiplu al lui 12.

Pentru orice pereche de numere putem găsi divizorii și multiplii lor comuni. De exemplu, pentru 6 și 9, multiplu comun este 18, iar divizorul comun este 3. Evident, perechile pot avea mai mulți divizori și multipli, așa că calculele folosesc cel mai mare divizor MCD și cel mai mic multiplu LCM.

Cel mai mic divizor este lipsit de sens, deoarece pentru orice număr este întotdeauna unul. Cel mai mare multiplu este, de asemenea, lipsit de sens, deoarece succesiunea multiplilor merge la infinit.

Găsirea gcd

Există multe metode pentru a găsi cel mai mare divizor comun, dintre care cele mai faimoase sunt:

• căutarea secvențială a divizorilor, selectarea celor comuni pentru o pereche și căutarea celui mai mare dintre ei;
• descompunerea numerelor în factori indivizibili;
• algoritm euclidian;
• algoritm binar.

Astăzi la institutii de invatamant Cele mai populare sunt metodele de factorizare prime și algoritmul euclidian. Acesta din urmă, la rândul său, este utilizat atunci când se rezolvă ecuații diofante: căutarea GCD este necesară pentru a verifica ecuația pentru posibilitatea rezoluției în numere întregi.

Găsirea NOC

Cel mai mic multiplu comun este, de asemenea, determinat de enumerarea secvențială sau factorizarea în factori indivizibili. În plus, este ușor să găsiți LCM dacă cel mai mare divizor a fost deja determinat. Pentru numerele X și Y, LCM și GCD sunt legate prin următoarea relație:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

De exemplu, dacă MCM(15,18) = 3, atunci LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Cel mai evident exemplu de utilizare a MCM este găsirea numitorului comun, care este cel mai mic multiplu comun al fracții date.

Numerele coprime

Dacă o pereche de numere nu are divizori comuni, atunci o astfel de pereche se numește coprim. MCD pentru astfel de perechi este întotdeauna egal cu unu, iar pe baza conexiunii dintre divizori și multipli, mcd pentru perechile coprime este egal cu produsul lor. De exemplu, numerele 25 și 28 sunt relativ prime, deoarece nu au divizori comuni, iar LCM(25, 28) = 700, care corespunde produsului lor. Orice două numere indivizibile vor fi întotdeauna relativ prime.

Divizor comun și calculator multiplu

Folosind calculatorul nostru puteți calcula GCD și LCM pentru un număr arbitrar de numere din care să alegeți. Sarcinile privind calcularea divizorilor comuni și multiplilor se găsesc în aritmetica de clasa a 5-a și a 6-a, dar GCD și LCM sunt concepte cheie în matematică și sunt folosite în teoria numerelor, planimetrie și algebra comunicativă.

Exemple din viața reală

Numitorul comun al fracțiilor

Cel mai mic multiplu comun este utilizat la găsirea numitorului comun al fracțiilor multiple. Să presupunem că într-o problemă de aritmetică trebuie să însumați 5 fracții:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Pentru a adăuga fracții, expresia trebuie redusă la un numitor comun, care se reduce la problema găsirii LCM. Pentru a face acest lucru, selectați 5 numere în calculator și introduceți valorile numitorilor în celulele corespunzătoare. Programul va calcula LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Acum trebuie să calculați factori suplimentari pentru fiecare fracție, care sunt definiți ca raportul dintre LCM și numitorul. Deci, multiplicatorii suplimentari ar arăta astfel:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

După aceasta, înmulțim toate fracțiile cu factorul suplimentar corespunzător și obținem:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Putem aduna cu ușurință astfel de fracții și obținem rezultatul ca 159/360. Reducem fracția cu 3 și vedem răspunsul final - 53/120.

Rezolvarea ecuațiilor diofantine liniare

Ecuațiile diofantine liniare sunt expresii de forma ax + by = d. Dacă raportul d / mcd(a, b) este un număr întreg, atunci ecuația este rezolvabilă în numere întregi. Să verificăm câteva ecuații pentru a vedea dacă au o soluție întreagă. Mai întâi, să verificăm ecuația 150x + 8y = 37. Folosind un calculator, găsim GCD (150.8) = 2. Împărțim 37/2 = 18.5. Numărul nu este un întreg, prin urmare ecuația nu are rădăcini întregi.

Să verificăm ecuația 1320x + 1760y = 10120. Folosiți un calculator pentru a găsi GCD(1320, 1760) = 440. Împărțiți 10120/440 = 23. Ca rezultat, obținem un număr întreg, prin urmare, ecuația diofantică este coeficientă în coeficienti .

Concluzie

GCD și LCM joacă un rol important în teoria numerelor, iar conceptele în sine sunt utilizate pe scară largă într-o mare varietate de domenii ale matematicii. Folosește calculatorul nostru pentru a calcula cei mai mari divizoriși cei mai puțin multipli ai oricărui număr de numere.

Al doilea număr: b=

Separator de mii Fără separator de spațiu „´

Rezultat:

Cel mai mare divizor comun mcd( o,b)=6

Cel mai mic multiplu comun al LCM( o,b)=468

Se numește cel mai mare număr natural care poate fi împărțit fără rest la numerele a și b cel mai mare divizor comun(GCD) a acestor numere. Notat cu mcd(a,b), (a,b), mcd(a,b) sau hcf(a,b).

Cel mai mic multiplu comun LCM a două numere întregi a și b este cel mai mic număr natural care este divizibil cu a și b fără rest. Notat LCM(a,b) sau lcm(a,b).

Numerele întregi a și b sunt numite prim reciproc, dacă nu au divizori comuni alții decât +1 și −1.

Cel mai mare divizor comun

Să fie date două numere pozitive o 1 și o 2 1). Este necesar să se găsească divizorul comun al acestor numere, adică. găsi un astfel de număr λ , care împarte numerele o 1 și o 2 în același timp. Să descriem algoritmul.

1) În acest articol, cuvântul număr va fi înțeles ca un număr întreg.

Lasă o 1 ≥ o 2 si lasa

Unde m 1 , o 3 sunt niște numere întregi, o 3 <o 2 (restul diviziunii o 1 per o 2 ar trebui să fie mai puțin o 2).

Să presupunem că λ desparte o 1 și o 2 atunci λ desparte m 1 o 2 și λ desparte o 1 −m 1 o 2 =o 3 (Enunțul 2 din articolul „Divizibilitatea numerelor. Testul de divizibilitate”). Rezultă că fiecare divizor comun o 1 și o 2 este divizorul comun o 2 și o 3. Reversul este de asemenea adevărat dacă λ divizor comun o 2 și o 3 atunci m 1 o 2 și o 1 =m 1 o 2 +o 3 este de asemenea divizibil cu λ . Prin urmare divizorul comun o 2 și o 3 este, de asemenea, un divizor comun o 1 și o 2. Deoarece o 3 <o 2 ≤o 1, atunci putem spune că soluția la problema găsirii divizorului comun al numerelor o 1 și o 2 redus la problema mai simplă a găsirii divizorului comun al numerelor o 2 și o 3 .

Dacă o 3 ≠0, atunci putem împărți o 2 pe o 3. Apoi

,

Unde m 1 și o 4 sunt niște numere întregi, ( o 4 rest din diviziune o 2 pe o 3 (o 4 <o 3)). Prin raționament similar ajungem la concluzia că divizori comuni ai numerelor o 3 și o 4 coincide cu divizori comuni ai numerelor o 2 și o 3 și, de asemenea, cu divizori comuni o 1 și o 2. Deoarece o 1 , o 2 , o 3 , o 4, ... sunt numere care sunt în continuă scădere și, deoarece există un număr finit de numere întregi între o 2 și 0, apoi la un pas n, restul diviziunii o n pe o n+1 va fi egal cu zero ( o n+2 =0).

.

Fiecare divizor comun λ numere o 1 și o 2 este, de asemenea, un divizor de numere o 2 și o 3 , o 3 și o 4 , .... o n și o n+1. Este adevărat și invers, divizori comuni ai numerelor o n și o n+1 sunt și divizori de numere o n−1 și o n , .... , o 2 și o 3 , o 1 și o 2. Dar divizorul comun al numerelor o n și o n+1 este un număr o n+1, deoarece o n și o n+1 sunt divizibile cu o n+1 (rețineți că o n+2 =0). Prin urmare o n+1 este, de asemenea, un divizor de numere o 1 și o 2 .

Rețineți că numărul o n+1 este cel mai mare divizor de numere o n și o n+1 , deoarece cel mai mare divizor o n+1 este el însuși o n+1. Dacă o n+1 poate fi reprezentat ca un produs de numere întregi, atunci aceste numere sunt și divizori comuni ai numerelor o 1 și o 2. Număr o se numește n+1 cel mai mare divizor comun numere o 1 și o 2 .

Numerele o 1 și o 2 poate fi numere pozitive sau negative. Dacă unul dintre numere este egal cu zero, atunci cel mai mare divizor comun al acestor numere va fi egal cu valoarea absolută a celuilalt număr. Cel mai mare divizor comun al numerelor zero este nedefinit.

Algoritmul de mai sus este numit Algoritmul euclidian pentru a găsi cel mai mare divizor comun a două numere întregi.

Un exemplu de găsire a celui mai mare divizor comun a două numere

Aflați cel mai mare divizor comun al două numere 630 și 434.

• Pasul 1. Împărțiți numărul 630 la 434. Restul este 196.
• Pasul 2. Împărțiți numărul 434 la 196. Restul este 42.
• Pasul 3. Împarte numărul 196 la 42. Restul este 28.
• Pasul 4. Împarte numărul 42 la 28. Restul este 14.
• Pasul 5. Împarte numărul 28 la 14. Restul este 0.

La pasul 5, restul diviziunii este 0. Prin urmare, cel mai mare divizor comun al numerelor 630 și 434 este 14. Rețineți că numerele 2 și 7 sunt, de asemenea, divizori ai numerelor 630 și 434.

Numerele coprime

Definiţie 1. Fie cel mai mare divizor comun al numerelor o 1 și o 2 este egal cu unu. Apoi aceste numere sunt numite numere coprime, neavând divizor comun.

Teorema 1. Dacă o 1 și o 2 numere coprime și λ un număr, apoi orice divizor comun al numerelor λa 1 și o 2 este, de asemenea, un divizor comun al numerelor λ Şi o 2 .

Dovada. Luați în considerare algoritmul euclidian pentru găsirea celui mai mare divizor comun al numerelor o 1 și o 2 (vezi mai sus).

.

Din condițiile teoremei rezultă că cel mai mare divizor comun al numerelor o 1 și o 2 și deci o n și o n+1 este 1. Adică o n+1 =1.

Să înmulțim toate aceste egalități cu λ , Atunci

.

Fie divizorul comun o 1 λ Şi o 2 da δ . Apoi δ este inclus ca multiplicator în o 1 λ , m 1 o 2 λ si in o 1 λ -m 1 o 2 λ =o 3 λ (vezi „Divizibilitatea numerelor”, Afirmația 2). Următorul δ este inclus ca multiplicator în o 2 λ Şi m 2 o 3 λ , și, prin urmare, este inclus ca factor în o 2 λ -m 2 o 3 λ =o 4 λ .

Raționând astfel, suntem convinși că δ este inclus ca multiplicator în o n−1 λ Şi m n−1 o n λ , și deci în o n−1 λ −m n−1 o n λ =o n+1 λ . Deoarece o n+1 =1, atunci δ este inclus ca multiplicator în λ . Prin urmare numărul δ este divizorul comun al numerelor λ Şi o 2 .

Să luăm în considerare cazurile speciale ale teoremei 1.

Consecinţă 1. Lasă oŞi c Numerele prime sunt relativ b. Apoi produsul lor ac este un număr prim în raport cu b.

într-adevăr. Din teorema 1 acŞi b au aceiași divizori comuni ca cŞi b. Dar cifrele cŞi b relativ simplu, adică au un singur divizor comun 1. Atunci acŞi b au de asemenea un singur divizor comun 1. Prin urmare acŞi b reciproc simple.

Consecinţă 2. Lasă oŞi b numere coprime și fie b desparte ak. Apoi b desparte si k.

într-adevăr. Din condiția de aprobare akŞi b au un divizor comun b. În virtutea teoremei 1, b trebuie să fie un divizor comun bŞi k. Prin urmare b desparte k.

Corolarul 1 poate fi generalizat.

Consecinţă 3. 1. Lasă numerele o 1 , o 2 , o 3 , ..., o m sunt prime în raport cu numărul b. Apoi o 1 o 2 , o 1 o 2 · o 3 , ..., o 1 o 2 o 3 ··· o m, produsul acestor numere este prim în raport cu numărul b.

2. Să avem două rânduri de numere

astfel încât fiecare număr din prima serie este prim în raportul fiecărui număr din a doua serie. Apoi produsul

Trebuie să găsiți numere care sunt divizibile cu fiecare dintre aceste numere.

Dacă un număr este divizibil cu o 1, atunci are forma sa 1 unde s oarecare număr. Dacă q este cel mai mare divizor comun al numerelor o 1 și o 2, atunci

Unde s 1 este un număr întreg. Apoi

este cei mai mici multipli comuni ai numerelor o 1 și o 2 .

o 1 și o 2 sunt relativ primi, apoi cel mai mic multiplu comun al numerelor o 1 și o 2:

Trebuie să găsim cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Din cele de mai sus rezultă că orice multiplu de numere o 1 , o 2 , o 3 trebuie să fie un multiplu de numere ε Şi o 3 și înapoi. Fie cel mai mic multiplu comun al numerelor ε Şi o 3 da ε 1. Apoi, multipli de numere o 1 , o 2 , o 3 , o 4 trebuie să fie un multiplu de numere ε 1 și o 4. Fie cel mai mic multiplu comun al numerelor ε 1 și o 4 da ε 2. Astfel, am aflat că toți multiplii numerelor o 1 , o 2 , o 3 ,...,o m coincid cu multiplii unui anumit număr ε n, care se numește cel mai mic multiplu comun al numerelor date.

În cazul special când numerele o 1 , o 2 , o 3 ,...,o m sunt relativ primi, apoi cel mai mic multiplu comun al numerelor o 1 , o 2, după cum se arată mai sus, are forma (3). În continuare, de când o 3 prim în raport cu numerele o 1 , o 2 atunci o 3 număr prim o 1 · o 2 (Corolarul 1). Înseamnă cel mai mic multiplu comun al numerelor o 1 ,o 2 ,o 3 este un număr o 1 · o 2 · o 3. Raționând în mod similar, ajungem la următoarele afirmații.

Declaraţie 1. Cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime o 1 , o 2 , o 3 ,...,o m este egal cu produsul lor o 1 · o 2 · o 3 ··· o m.

Declaraţie 2. Orice număr care este divizibil cu fiecare dintre numerele coprime o 1 , o 2 , o 3 ,...,o m este de asemenea divizibil cu produsul lor o 1 · o 2 · o 3 ··· o m.

Cel mai mare divizor comun

Definiția 2

Dacă un număr natural a este divizibil cu un număr natural $b$, atunci $b$ se numește divizor al lui $a$, iar $a$ este numit multiplu al lui $b$.

Fie $a$ și $b$ numere naturale. Numărul $c$ se numește divizor comun atât al lui $a$ cât și al $b$.

Mulțimea divizorilor comuni ai numerelor $a$ și $b$ este finită, deoarece niciunul dintre acești divizori nu poate fi mai mare decât $a$. Aceasta înseamnă că printre acești divizori există unul mai mare, care se numește cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ și $b$ și este notat cu următoarele notații:

$GCD\(a;b)\ sau \D\(a;b)$

Pentru a găsi cel mai mare divizor comun al două numere aveți nevoie de:

1. Găsiți produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mare divizor comun dorit.

Exemplul 1

Găsiți mcd-ul numerelor $121$ și $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Alegeți numerele care sunt incluse în extinderea acestor numere

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Găsiți produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mare divizor comun dorit.

$GCD=2\cdot 11=22$

Exemplul 2

Găsiți mcd-ul monomiilor $63$ și $81$.

Vom găsi conform algoritmului prezentat. Pentru a face acest lucru:

Să factorăm numerele în factori primi

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Selectăm numerele care sunt incluse în extinderea acestor numere

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Să găsim produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mare divizor comun dorit.

$GCD=3\cdot 3=9$

Puteți găsi mcd-ul a două numere într-un alt mod, folosind un set de divizori de numere.

Exemplul 3

Găsiți mcd-ul numerelor $48$ și $60$.

Soluţie:

Să găsim mulțimea de divizori ai numărului $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Acum să găsim setul de divizori ai numărului $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

Să găsim intersecția acestor mulțimi: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - această mulțime va determina mulțimea divizorilor comuni ai numerelor $48$ și $60 $. Cel mai mare element din acest set va fi numărul $12$. Aceasta înseamnă că cel mai mare divizor comun al numerelor $48$ și $60$ este $12$.

Definiţia NPL

Definiția 3

Multipli comuni ai numerelor naturale$a$ și $b$ este un număr natural care este un multiplu atât al lui $a$ cât și al $b$.

Multiplii comuni de numere sunt numere care sunt divizibile cu numerele originale fără rest. De exemplu, pentru numerele $25$ și $50$, multiplii comuni vor fi numerele $50,100,150,200$ etc.

Cel mai mic multiplu comun va fi numit cel mai mic multiplu comun și va fi notat LCM$(a;b)$ sau K$(a;b).$

Pentru a găsi LCM a două numere, trebuie să:

1. Factorizați numerele în factori primi
2. Notați factorii care fac parte din primul număr și adăugați la ei factorii care fac parte din al doilea și nu fac parte din primul

Exemplul 4

Găsiți LCM al numerelor $99$ și $77$.

Vom găsi conform algoritmului prezentat. Pentru aceasta

Factorizați numerele în factori primi

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Notați factorii incluși în primul

adăugați la ei multiplicatori care fac parte din al doilea și nu din primul

Găsiți produsul numerelor găsite la pasul 2. Numărul rezultat va fi cel mai mic multiplu comun dorit

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Compilarea listelor de divizori ai numerelor este adesea o sarcină foarte intensivă în muncă. Există o modalitate de a găsi GCD numit algoritmul euclidian.

Afirmații pe care se bazează algoritmul euclidian:

Dacă $a$ și $b$ sunt numere naturale și $a\vdots b$, atunci $D(a;b)=b$

Dacă $a$ și $b$ sunt numere naturale astfel încât $b

Folosind $D(a;b)= D(a-b;b)$, putem reduce succesiv numerele luate în considerare până ajungem la o pereche de numere astfel încât unul dintre ele să fie divizibil cu celălalt. Apoi, cel mai mic dintre aceste numere va fi cel mai mare divizor comun dorit pentru numerele $a$ și $b$.

Proprietățile GCD și LCM

1. Orice multiplu comun al lui $a$ și $b$ este divizibil cu K$(a;b)$
2. Dacă $a\vdots b$ , atunci К$(a;b)=a$

Dacă K$(a;b)=k$ și $m$ este un număr natural, atunci K$(am;bm)=km$

Dacă $d$ este un divizor comun pentru $a$ și $b$, atunci K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d); ) $

Dacă $a\vdots c$ și $b\vdots c$ , atunci $\frac(ab)(c)$ este multiplu comun al lui $a$ și $b$

Pentru orice numere naturale $a$ și $b$, egalitatea este valabilă

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Orice divizor comun al numerelor $a$ și $b$ este un divizor al numărului $D(a;b)$

Expresiile și problemele matematice necesită multe cunoștințe suplimentare. NOC este unul dintre cele principale, mai ales des folosit în Tema este studiată în liceu și nu este deosebit de dificil să înțeleagă materialul o persoană familiarizată cu puterile și tabla înmulțirii nu va avea dificultăți să identifice numerele necesare și să descopere; rezultat.

Definiţie

Un multiplu comun este un număr care poate fi împărțit complet în două numere în același timp (a și b). Cel mai adesea, acest număr se obține prin înmulțirea numerelor originale a și b. Numărul trebuie să fie divizibil cu ambele numere simultan, fără abateri.

NOC este denumirea scurtă adoptată pentru denumire, cules din primele litere.

Modalități de a obține un număr

Metoda de înmulțire a numerelor nu este întotdeauna potrivită pentru găsirea LCM, este mult mai potrivită pentru numere simple cu o singură cifră sau cu două cifre. Se obișnuiește să se împartă în factori, cu cât numărul este mai mare, cu atât mai mulți factori vor fi.

Exemplul #1

Pentru cel mai simplu exemplu, școlile folosesc de obicei numere prime, cu o singură cifră sau cu două cifre. De exemplu, trebuie să rezolvați următoarea sarcină, să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 7 și 3, soluția este destul de simplă, doar înmulțiți-le. Ca rezultat, există un număr 21, pur și simplu nu există un număr mai mic.

Exemplul nr. 2

A doua versiune a sarcinii este mult mai dificilă. Sunt date numerele 300 și 1260, găsirea LOC-ului este obligatorie. Pentru a rezolva problema se iau următoarele acțiuni:

Descompunerea primului și al doilea număr în factori simpli. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Prima etapă este finalizată.

A doua etapă implică lucrul cu date deja obținute. Fiecare dintre numerele primite trebuie să participe la calculul rezultatului final. Pentru fiecare factor, cel mai mare număr de apariții este luat din numerele originale. LCM este un număr general, deci factorii numerelor trebuie repeți în el, fiecare, chiar și cei care sunt prezenți într-un singur exemplar. Ambele numere inițiale conțin numerele 2, 3 și 5, în puteri diferite 7 este prezent doar într-un caz.

Pentru a calcula rezultatul final, trebuie să luați fiecare număr din cea mai mare dintre puterile reprezentate în ecuație. Tot ce rămâne este să înmulțiți și să obțineți răspunsul dacă este completat corect, sarcina se încadrează în doi pași fără explicație:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

Aceasta este toată problema, dacă încercați să calculați numărul necesar prin înmulțire, atunci răspunsul cu siguranță nu va fi corect, deoarece 300 * 1260 = 378.000.

Examinare:

6300 / 300 = 21 - corect;

6300 / 1260 = 5 - corect.

Corectitudinea rezultatului obținut se determină prin verificare - împărțirea LCM la ambele numere originale dacă numărul este un întreg în ambele cazuri, atunci răspunsul este corect;

Ce înseamnă NOC în matematică?

După cum știți, nu există o singură funcție inutilă în matematică, aceasta nu face excepție. Cel mai comun scop al acestui număr este reducerea fracțiilor la un numitor comun. Ceea ce se studiază de obicei în clasele a 5-a-6 de liceu. Este, de asemenea, un divizor comun pentru toți multiplii, dacă astfel de condiții sunt prezente în problemă. O expresie similară poate găsi multipli nu numai a două numere, ci și a unor numere mult mai mari - trei, cinci și așa mai departe. Cu cât sunt mai multe numere, cu atât mai multe acțiuni în sarcină, dar acest lucru nu crește complexitatea.

De exemplu, având în vedere numerele 250, 600 și 1500, trebuie să găsiți LCM-ul lor comun:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - acest exemplu descrie factorizarea în detaliu, fără reducere.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Pentru a alcătui o expresie, este necesar să menționăm toți factorii, în acest caz se dau 2, 5, 3 - pentru toate aceste numere este necesar să se determine gradul maxim.

Atenție: toți factorii trebuie aduși la punctul de simplificare completă, dacă este posibil, descompuși la nivelul de o singură cifră.

Examinare:

1) 3000 / 250 = 12 - corect;

2) 3000 / 600 = 5 - adevărat;

3) 3000 / 1500 = 2 - corect.

Această metodă nu necesită trucuri sau abilități de geniu, totul este simplu și clar.

Alt mod

În matematică, multe lucruri sunt conectate, multe lucruri pot fi rezolvate în două sau mai multe moduri, același lucru este valabil și pentru găsirea celui mai mic multiplu comun, LCM. Următoarea metodă poate fi utilizată în cazul numerelor simple din două cifre și cu o singură cifră. Este alcătuit un tabel în care se introduce multiplicatorul pe verticală, multiplicatorul pe orizontală, iar produsul este indicat în celulele care se intersectează ale coloanei. Puteți reflecta tabelul folosind o linie, luați un număr și notați rezultatele înmulțirii acestui număr cu numere întregi, de la 1 la infinit, uneori sunt suficiente 3-5 puncte, al doilea și numărul următor trec prin același proces de calcul. Totul se întâmplă până când se găsește un multiplu comun.

Având în vedere numerele 30, 35, 42, trebuie să găsiți LCM care conectează toate numerele:

1) Multiplii lui 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 etc.

2) Multiplii lui 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 etc.

3) Multiplii lui 42: 84, 126, 168, 210, 252 etc.

Se observă că toate numerele sunt destul de diferite, singurul număr comun dintre ele este 210, deci va fi NOC. Printre procesele implicate în acest calcul există și cel mai mare divizor comun, care se calculează după principii similare și este adesea întâlnit în problemele învecinate. Diferența este mică, dar destul de semnificativă, LCM implică calcularea unui număr care este împărțit la toate valorile inițiale date, iar GCD implică calcularea celei mai mari valori cu care sunt împărțite numerele originale.