Funcția liniară ce este b. Cum se rezolvă funcții liniare

După cum arată practica, sarcinile privind proprietățile și graficele unei funcții pătratice provoacă dificultăți serioase. Acest lucru este destul de ciudat, deoarece ei studiază funcția pătratică în clasa a 8-a, iar apoi pe parcursul primului trimestru al clasei a IX-a „chinuiază” proprietățile parabolei și își construiesc grafice pentru diferiți parametri.

Acest lucru se datorează faptului că atunci când îi forțează pe elevi să construiască parabole, practic nu dedică timp „citirii” graficelor, adică nu exersează înțelegerea informațiilor primite din imagine. Aparent, se presupune că, după construirea unei duzini sau două grafice, un student inteligent va descoperi însuși și va formula relația dintre coeficienții din formulă și aspect grafică. În practică, acest lucru nu funcționează. Pentru o astfel de generalizare, este necesară o experiență serioasă în mini-cercetare matematică, pe care, desigur, majoritatea elevilor de clasa a IX-a nu o posedă. Între timp, Inspectoratul de Stat propune să se determine semnele coeficienților folosind graficul.

Nu vom cere imposibilul de la școlari și vom oferi pur și simplu unul dintre algoritmii pentru rezolvarea unor astfel de probleme.

Deci, o funcție a formei y = ax 2 + bx + c numit pătratic, graficul său este o parabolă. După cum sugerează și numele, termenul principal este toporul 2. Adică O nu trebuie să fie egal cu zero, coeficienții rămași ( bŞi Cu) poate fi egal cu zero.

Să vedem cum semnele coeficienților săi afectează aspectul unei parabole.

Cea mai simplă dependență pentru coeficient O. Majoritatea școlarilor răspund cu încredere: „dacă O> 0, atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, iar dacă O < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой O > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

ÎN în acest caz, O = 0,5

Și acum pentru O < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

În acest caz O = - 0,5

Impactul coeficientului Cu De asemenea, este destul de ușor de urmărit. Să ne imaginăm că vrem să găsim valoarea unei funcții într-un punct X= 0. Înlocuiți zero în formula:

y = o 0 2 + b 0 + c = c. Se dovedește că y = c. Adică Cu este ordonata punctului de intersecție al parabolei cu axa y. De obicei, acest punct este ușor de găsit pe grafic. Și stabiliți dacă se află peste zero sau mai jos. Adică Cu> 0 sau Cu < 0.

Cu > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Cu < 0

y = x 2 + 4x - 3

În consecință, dacă Cu= 0, atunci parabola va trece neapărat prin origine:

y = x 2 + 4x

Mai dificil cu parametrul b. Punctul în care îl vom găsi depinde nu numai de b dar si din O. Acesta este vârful parabolei. Abscisa sa (coordonatele axei X) se găsește prin formula x în = - b/(2a). Astfel, b = - 2ax in. Adică, procedăm astfel: găsim vârful parabolei pe grafic, determinăm semnul abscisei sale, adică privim în dreapta lui zero ( x in> 0) sau la stânga ( x in < 0) она лежит.

Cu toate acestea, asta nu este tot. Trebuie să fim atenți și la semnul coeficientului O. Adică, uită-te la locul în care sunt îndreptate ramurile parabolei. Și numai după aceea, după formula b = - 2ax in determina semnul b.

Să ne uităm la un exemplu:

Ramurile sunt îndreptate în sus, ceea ce înseamnă O> 0, parabola intersectează axa la sub zero, adică Cu < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Deci b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: O > 0, b < 0, Cu < 0.

În acest articol ne vom uita funcţie liniară, graficul unei funcții liniare și proprietățile acesteia. Și, ca de obicei, vom rezolva mai multe probleme pe această temă.

Funcția liniară numită funcţie a formei

Într-o ecuație a funcției, numărul cu care îl înmulțim se numește coeficient de pantă.

De exemplu, în ecuația funcției ;

în ecuația funcției;

în ecuația funcției;

în ecuația funcției.

Graficul unei funcții liniare este o linie dreaptă.

1. Pentru a reprezenta o funcție, avem nevoie de coordonatele a două puncte aparținând graficului funcției. Pentru a le găsi, trebuie să luați două valori x, să le înlocuiți în ecuația funcției și să le utilizați pentru a calcula valorile y corespunzătoare.

De exemplu, pentru a reprezenta graficul unei funcții, este convenabil să luați și , atunci ordonatele acestor puncte vor fi egale cu și .

Obținem punctele A(0;2) și B(3;3). Să le conectăm și să obținem un grafic al funcției:

2 . Într-o ecuație a funcției, coeficientul este responsabil pentru panta graficului funcției:

Titlu="k>0">!}

Coeficientul este responsabil pentru deplasarea graficului de-a lungul axei:

Title="b>0">!}

Figura de mai jos prezintă grafice ale funcțiilor; ;

Rețineți că în toate aceste funcții coeficientul mai mare decât zero corect. Mai mult, cu cât valoarea este mai mare, cu atât linia dreaptă este mai abruptă.

În toate funcțiile - și vedem că toate graficele intersectează axa OY în punctul (0;3)

Acum să ne uităm la graficele funcțiilor; ;

De data aceasta în toate funcţiile coeficientul mai putin de zero , iar toate graficele funcțiilor sunt înclinate stânga.

Rețineți că cu cât |k| este mai mare, cu atât linia dreaptă este mai abruptă. Coeficientul b este același, b=3, iar graficele, ca și în cazul precedent, intersectează axa OY în punctul (0;3)

Să ne uităm la graficele funcțiilor; ;

Acum coeficienții din toate ecuațiile funcției sunt egali. Și avem trei linii paralele.

Dar coeficienții b sunt diferiți, iar aceste grafice intersectează axa OY în puncte diferite:

Graficul funcției (b=3) intersectează axa OY în punctul (0;3)

Graficul funcției (b=0) intersectează axa OY în punctul (0;0) - originea.

Graficul funcției (b=-2) intersectează axa OY în punctul (0;-2)

Deci, dacă cunoaștem semnele coeficienților k și b, atunci ne putem imagina imediat cum arată graficul funcției.

Dacă k<0 и b>0 , atunci graficul funcției arată astfel:

Dacă k>0 și b>0, atunci graficul funcției arată astfel:

Dacă k>0 și b<0 , atunci graficul funcției arată astfel:

Dacă k<0 и b<0 , atunci graficul funcției arată astfel:

Dacă k=0, apoi funcția se transformă într-o funcție și graficul ei arată astfel:

Ordonatele tuturor punctelor de pe graficul funcției sunt egale

Dacă b=0, atunci graficul funcției trece prin origine:

Acest grafic de proporționalitate directă.

3. Aș dori să notez separat graficul ecuației. Graficul acestei ecuații este o dreaptă paralelă cu axa, toate punctele care au o abscisă.

De exemplu, graficul ecuației arată astfel:

Atenţie! Ecuația nu este o funcție, deoarece valori diferite ale argumentului corespund aceleiași valori a funcției, care nu corespunde.

4 . Condiție pentru paralelismul a două linii:

Graficul unei funcții paralel cu graficul funcției, Dacă

5. Condiția pentru perpendicularitatea a două drepte:

Graficul unei funcții perpendicular pe graficul funcției, dacă sau

6. Puncte de intersecție ale graficului unei funcții cu axele de coordonate.

Cu axa OY. Abscisa oricărui punct aparținând axei OY este egală cu zero. Prin urmare, pentru a găsi punctul de intersecție cu axa OY, trebuie să înlocuiți zero în ecuația funcției în loc de x. Obținem y=b. Adică, punctul de intersecție cu axa OY are coordonatele (0; b).

Cu axa OX: Ordonata oricărui punct aparținând axei OX este egală cu zero. Prin urmare, pentru a găsi punctul de intersecție cu axa OX, trebuie să înlocuiți zero în ecuația funcției în loc de y. Se obține 0=kx+b. De aici. Adică, punctul de intersecție cu axa OX are coordonatele (;0):

Să ne uităm la rezolvarea problemelor.

1. Construiți un grafic al funcției dacă se știe că aceasta trece prin punctul A(-3;2) și este paralelă cu dreapta y=-4x.

Ecuația funcției are doi parametri necunoscuți: k și b. Prin urmare, textul problemei trebuie să conțină două condiții care caracterizează graficul funcției.

a) Din faptul că graficul funcției este paralel cu dreapta y=-4x, rezultă că k=-4. Adică, ecuația funcției are forma

b) Trebuie doar să găsim b. Se știe că graficul funcției trece prin punctul A(-3;2). Dacă un punct aparține graficului unei funcții, atunci când înlocuim coordonatele sale în ecuația funcției, obținem egalitatea corectă:

deci b=-10

Astfel, trebuie să trasăm funcția

Știm punctul A(-3;2), să luăm punctul B(0;-10)

Să introducem aceste puncte plan de coordonateși leagă-le cu o linie dreaptă:

2. Scrieți ecuația dreptei care trece prin punctele A(1;1); B(2;4).

Dacă o dreaptă trece prin puncte cu coordonate date, prin urmare, coordonatele punctelor satisfac ecuația dreptei. Adică, dacă înlocuim coordonatele punctelor în ecuația dreptei, vom obține egalitatea corectă.

Să substituim coordonatele fiecărui punct în ecuație și să obținem un sistem de ecuații liniare.

Scădeți prima din a doua ecuație a sistemului și obțineți . Să substituim valoarea lui k în prima ecuație a sistemului și să obținem b=-2.

Deci, ecuația dreptei.

3. Reprezentați grafic ecuația

Pentru a afla la ce valori ale necunoscutului produsul mai multor factori este egal cu zero, trebuie să echivalați fiecare factor cu zero și să luați în considerare fiecare multiplicator.

Această ecuație nu are restricții privind ODZ. Să factorizăm a doua paranteză și să setăm fiecare factor egal cu zero. Obținem un set de ecuații:

Să construim grafice ale tuturor ecuațiilor mulțimii într-un singur plan de coordonate. Acesta este graficul ecuației :

4. Construiți un grafic al funcției dacă aceasta este perpendiculară pe dreapta și trece prin punctul M(-1;2)

Nu vom construi un grafic, vom găsi doar ecuația dreptei.

a) Deoarece graficul unei funcții, dacă aceasta este perpendiculară pe o dreaptă, deci, deci. Adică, ecuația funcției are forma

b) Știm că graficul funcției trece prin punctul M(-1;2). Să substituim coordonatele sale în ecuația funcției. Primim:

De aici.

Prin urmare, funcția noastră arată astfel: .

5. Reprezentați grafic funcția

Să simplificăm expresia din partea dreaptă a ecuației funcției.

Important!Înainte de a simplifica expresia, să-i găsim ODZ.

Numitorul unei fracții nu poate fi zero, deci title="x1">, title="x-1">.!}

Atunci funcția noastră ia forma:

Titlu="delim(lbrace)(matrice(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

Adică, trebuie să construim un grafic al funcției și să decupăm două puncte pe el: cu abscisele x=1 și x=-1:

O funcție liniară este o funcție a formei

argument x (variabilă independentă),

funcția y (variabilă dependentă),

k și b sunt numere constante

Graficul unei funcții liniare este Drept.

Pentru a crea un grafic este suficient două puncte, pentru că prin două puncte se poate trasa o linie dreaptă și, în plus, doar una.

Dacă k˃0, atunci graficul este situat în sferturile 1 și 3 de coordonate. Dacă k˂0, atunci graficul este situat în sferturile de coordonate 2 și 4.

Numărul k se numește panta graficului drept al funcției y(x)=kx+b. Dacă k˃0, atunci unghiul de înclinare al dreptei y(x)= kx+b față de direcția pozitivă Ox este acut; dacă k˂0, atunci acest unghi este obtuz.

Coeficientul b arată punctul de intersecție al graficului cu axa op-amp (0; b).

y(x)=k∙x-- caz special O funcție tipică se numește proporționalitate directă. Graficul este o linie dreaptă care trece prin origine, așa că un punct este suficient pentru a construi acest grafic.

Graficul unei funcții liniare

Unde coeficientul k = 3, prin urmare

Graficul funcției va crește și va avea unghi ascuțit cu axa Oh pentru că coeficientul k are semnul plus.

Funcția liniară OOF

OPF al unei funcții liniare

Cu excepția cazului în care

De asemenea, o funcție liniară a formei

Este o funcție de formă generală.

B) Dacă k=0; b≠0,

În acest caz, graficul este o linie dreaptă paralelă cu axa Ox și care trece prin punctul (0; b).

B) Dacă k≠0; b≠0, atunci funcția liniară are forma y(x)=k∙x+b.

Exemplul 1 . Reprezentați grafic funcția y(x)= -2x+5

Exemplul 2 . Să găsim zerourile funcției y=3x+1, y=0;

– zerourile funcției.

Răspuns: sau (;0)

Exemplul 3 . Determinați valoarea funcției y=-x+3 pentru x=1 și x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Răspuns: y_1=2; y_2=4.

Exemplul 4 . Determinați coordonatele punctului lor de intersecție sau demonstrați că graficele nu se intersectează. Să fie date funcțiile y 1 =10∙x-8 și y 2 =-3∙x+5.

Dacă graficele funcțiilor se intersectează, atunci valorile funcțiilor în acest punct sunt egale

Înlocuiți x=1, apoi y 1 (1)=10∙1-8=2.

Comentariu. De asemenea, puteți înlocui valoarea rezultată a argumentului în funcția y 2 =-3∙x+5, apoi obținem același răspuns y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2- ordonata punctului de intersectie.

(1;2) - punctul de intersecție al graficelor funcțiilor y=10x-8 și y=-3x+5.

Răspuns: (1;2)

Exemplul 5 .

Construiți grafice ale funcțiilor y 1 (x)= x+3 și y 2 (x)= x-1.

Puteți vedea că coeficientul k=1 pentru ambele funcții.

Din cele de mai sus rezultă că dacă coeficienții unei funcții liniare sunt egali, atunci graficele lor în sistemul de coordonate sunt situate paralele.

Exemplul 6 .

Să construim două grafice ale funcției.

Primul grafic are formula

Al doilea grafic are formula

În acest caz, avem un grafic de două drepte care se intersectează în punctul (0;4). Aceasta înseamnă că coeficientul b, care este responsabil pentru înălțimea ridicării graficului deasupra axei Ox, dacă x = 0. Aceasta înseamnă că putem presupune că coeficientul b al ambelor grafice este egal cu 4.

Editori: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

>>Matematică: Funcția liniară și graficul acesteia

Funcția liniară și graficul acesteia

Algoritmul pentru construirea unui grafic al ecuației ax + by + c = 0, pe care l-am formulat în § 28, cu toată claritatea și certitudinea lui, matematicienilor nu prea le place. De obicei, ei fac afirmații despre primii doi pași ai algoritmului. De ce, spun ei, rezolvați ecuația de două ori pentru variabila y: mai întâi ax1 + by + c = O, apoi ax1 + by + c = O? Nu este mai bine să exprimăm imediat y din ecuația ax + by + c = 0, atunci va fi mai ușor să efectuați calcule (și, cel mai important, mai rapid)? Să verificăm. Să luăm în considerare mai întâi ecuaţie 3x - 2y + 6 = 0 (vezi exemplul 2 de la § 28).

Oferind valori specifice x, este ușor să se calculeze valorile y corespunzătoare. De exemplu, când x = 0 obținem y = 3; la x = -2 avem y = 0; pentru x = 2 avem y = 6; pentru x = 4 obținem: y = 9.

Vedeți cât de ușor și rapid au fost găsite punctele (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) și (4; 9), care au fost evidențiate în exemplul 2 din § 28.

În același mod, ecuația bx - 2y = 0 (vezi exemplul 4 din § 28) ar putea fi transformată în forma 2y = 16 -3x. în continuare y = 2,5x; nu este greu de găsit punctele (0; 0) și (2; 5) care să satisfacă această ecuație.

În sfârșit, ecuația 3x + 2y - 16 = 0 din același exemplu poate fi transformată în forma 2y = 16 -3x și atunci nu este greu de găsit punctele (0; 0) și (2; 5) care să o satisfacă.

Să luăm acum în considerare transformările indicate în vedere generală.

Astfel, ecuația liniară (1) cu două variabile x și y poate fi întotdeauna transformată în forma
y = kx + m,(2) unde k,m sunt numere (coeficienți) și .

Acest vedere privată ecuația liniară va fi numită funcție liniară.

Folosind egalitatea (2), este ușor să specificați o anumită valoare x și să calculați valoarea y corespunzătoare. Să, de exemplu,

y = 2x + 3. Atunci:
dacă x = 0, atunci y = 3;
dacă x = 1, atunci y = 5;
dacă x = -1, atunci y = 1;
dacă x = 3, atunci y = 9 etc.

De obicei, aceste rezultate sunt prezentate sub formă mesele:

Valorile lui y din al doilea rând al tabelului se numesc valori ale funcției liniare y = 2x + 3, respectiv, în punctele x = 0, x = 1, x = -1, x = - 3.

În ecuația (1) variabilele hnu sunt egale, dar în ecuația (2) nu sunt: ​​atribuim valori specifice uneia dintre ele - variabilei x, în timp ce valoarea variabilei y depinde de valoarea selectată a variabilei x. Prin urmare, de obicei spunem că x este variabila independentă (sau argument), y este variabila dependentă.

Rețineți că o funcție liniară este un tip special de ecuație liniară cu două variabile. Graficul ecuației y - kx + m, ca orice ecuație liniară cu două variabile, este o linie dreaptă - se mai numește și graficul funcției liniare y = kx + m. Astfel, următoarea teoremă este valabilă.

Exemplul 1. Construiți un grafic al funcției liniare y = 2x + 3.

Soluţie. Să facem un tabel:

În a doua situație, variabila independentă x, care, ca și în prima situație, denotă numărul de zile, poate lua doar valorile 1, 2, 3, ..., 16. Într-adevăr, dacă x = 16, apoi folosind formula y = 500 - 30x găsim : y = 500 - 30 16 = 20. Aceasta înseamnă că deja în a 17-a zi nu se vor putea scoate 30 de tone de cărbune din depozit, deoarece până în această zi doar 20 tone vor rămâne în depozit și procesul de îndepărtare a cărbunelui va trebui oprit. Prin urmare, modelul matematic rafinat al celei de-a doua situații arată astfel:

y = 500 - ZOD:, unde x = 1, 2, 3, .... 16.

În a treia situație, independentă variabilă x poate lua teoretic orice valoare nenegativă (de exemplu, valoarea x = 0, valoarea x = 2, valoarea x = 3,5 etc.), dar practic un turist nu poate merge cu viteză constantă fără somn și odihnă pentru orice cantitate. de timp. Așa că trebuia să facem restricții rezonabile pe x, să zicem 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Amintiți-vă că modelul geometric al inegalității duble nestrictive 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Să fim de acord să scriem în locul expresiei „x aparține mulțimii X” (a se citi: „elementul x aparține mulțimii X”, e este semnul apartenenței). După cum puteți vedea, cunoașterea noastră cu limbajul matematic este în mod constant.

Dacă funcția liniară y = kx + m ar trebui luată în considerare nu pentru toate valorile lui x, ci numai pentru valorile lui x dintr-un anumit interval numeric X, atunci se scrie:

Exemplul 2. Reprezentați grafic o funcție liniară:

Rezolvare, a) Să facem un tabel pentru funcția liniară y = 2x + 1

Să construim punctele (-3; 7) și (2; -3) pe planul de coordonate xOy și să tragem o linie dreaptă prin ele. Acesta este un grafic al ecuației y = -2x: + 1. Apoi, selectați un segment care conectează punctele construite (Fig. 38). Acest segment este graficul funcției liniare y = -2x+1, undexe [-3, 2].

De obicei, ei spun așa: am trasat o funcție liniară y = - 2x + 1 pe segmentul [- 3, 2].

b) Prin ce diferă acest exemplu de cel precedent? Funcția liniară este aceeași (y = -2x + 1), ceea ce înseamnă că aceeași linie dreaptă îi servește drept grafic. Dar - fii atent! - de data aceasta x e (-3, 2), adică valorile x = -3 și x = 2 nu sunt luate în considerare, nu aparțin intervalului (-3, 2). Cum am marcat capetele unui interval pe o linie de coordonate? Cercuri de lumină (Fig. 39), despre aceasta am vorbit în § 26. La fel, punctele (- 3; 7) și B; - 3) va trebui marcat pe desen cu cercuri deschise. Acest lucru ne va aminti că sunt luate numai acele puncte ale dreptei y = - 2x + 1 care se află între punctele marcate cu cercuri (Fig. 40). Cu toate acestea, uneori, în astfel de cazuri, folosesc săgeți mai degrabă decât cercuri luminoase (Fig. 41). Acest lucru nu este fundamental, principalul lucru este să înțelegeți ce se spune.

Exemplul 3. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții liniare pe segment.
Soluţie. Să facem un tabel pentru o funcție liniară

Să construim punctele (0; 4) și (6; 7) pe planul de coordonate xOy și să trasăm o dreaptă prin ele - un grafic al funcției x liniare (Fig. 42).

Trebuie să considerăm această funcție liniară nu ca un întreg, ci pe un segment, adică pentru x e.

Segmentul corespunzător al graficului este evidențiat în desen. Observăm că cea mai mare ordonată a punctelor aparținând părții selectate este egală cu 7 - aceasta este cea mai mare valoare funcţie liniară pe segment. De obicei se folosește următoarea notație: y max =7.

Remarcăm că cea mai mică ordonată a punctelor aparținând părții dreptei evidențiate în Figura 42 este egală cu 4 - aceasta este cea mai mică valoare a funcției liniare pe segment.
De obicei se folosește următoarea notație: y nume. = 4.

Exemplul 4. Găsiți y naib și y naim. pentru o funcție liniară y = -1,5x + 3,5

a) pe segment; b) pe intervalul (1,5);
c) pe jumătate de interval.

Soluţie. Să facem un tabel pentru funcția liniară y = -l.5x + 3.5:

Să construim punctele (1; 2) și (5; - 4) pe planul de coordonate xOy și să tragem o linie dreaptă prin ele (Fig. 43-47). Să selectăm pe linia dreaptă construită partea corespunzătoare valorilor x din segment (Fig. 43), din intervalul A, 5) (Fig. 44), din semiinterval (Fig. 47).

a) Folosind figura 43, este ușor de concluzionat că y max = 2 (funcția liniară atinge această valoare la x = 1), iar y min. = - 4 (funcția liniară atinge această valoare la x = 5).

b) Folosind figura 44, concluzionăm: această funcție liniară nu are nici cele mai mari, nici cele mai mici valori pe un interval dat. De ce? Cert este că, spre deosebire de cazul precedent, ambele capete ale segmentului, în care s-au atins cele mai mari și cele mai mici valori, sunt excluse din considerare.

c) Folosind figura 45, concluzionăm că y max. = 2 (ca și în primul caz) și cea mai mică valoare funcția liniară nu (ca în al doilea caz).

d) Utilizând figura 46, concluzionăm: y max = 3,5 (funcția liniară atinge această valoare la x = 0), iar y max. nu există.

e) Utilizând figura 47, concluzionăm: y max = -1 (funcția liniară atinge această valoare la x = 3), iar y max.

Exemplul 5. Reprezentați grafic o funcție liniară

y = 2x - 6. Folosiți graficul pentru a răspunde la următoarele întrebări:

a) la ce valoare a lui x va y = 0?
b) pentru ce valori ale lui x va fi y > 0?
c) la ce valori ale lui x va y< 0?

Rezolvare Să facem un tabel pentru funcția liniară y = 2x-6:

Prin punctele (0; - 6) și (3; 0) trasăm o dreaptă - graficul funcției y = 2x - 6 (Fig. 48).

a) y = 0 la x = 3. Graficul intersectează axa x în punctul x = 3, acesta este punctul cu ordonata y = 0.
b) y > 0 pentru x > 3. De fapt, dacă x > 3, atunci linia dreaptă este situată deasupra axei x, ceea ce înseamnă că ordonatele punctelor corespunzătoare ale dreptei sunt pozitive.

c) la< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Vă rugăm să rețineți că în acest exemplu am folosit graficul pentru a rezolva:

a) ecuația 2x - 6 = 0 (se obține x = 3);
b) inegalitatea 2x - 6 > 0 (se obține x > 3);
c) inegalitatea 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Comentariu. În limba rusă, același obiect este adesea numit diferit, de exemplu: „casă”, „clădire”, „structură”, „casă”, „conac”, „cazarmă”, „cabana”, „colibă”. În limbajul matematic situația este aproximativ aceeași. Să spunem, egalitatea cu două variabile y = kx + m, unde k, m sunt numere specifice, poate fi numită funcție liniară, poate fi numită ecuație liniară cu două variabile x și y (sau cu două necunoscute x și y), poate fi numită formulă, poate fi numită o relație care leagă x și y, poate fi numită în sfârșit o dependență între x și y. Nu contează, principalul lucru este să înțelegem că în toate cazurile despre care vorbim model matematic y = kx + m

.

Luați în considerare graficul funcției liniare prezentat în Figura 49, a. Dacă ne deplasăm de-a lungul acestui grafic de la stânga la dreapta, atunci ordonatele punctelor de pe grafic cresc tot timpul, ca și cum am „urca un deal”. În astfel de cazuri, matematicienii folosesc termenul de creștere și spun așa: dacă k>0, atunci funcția liniară y = kx + m crește.

Luați în considerare graficul funcției liniare prezentat în Figura 49, b. Dacă ne deplasăm de-a lungul acestui grafic de la stânga la dreapta, atunci ordonatele punctelor de pe grafic scad tot timpul, ca și cum am „coborî un deal”. În astfel de cazuri, matematicienii folosesc termenul de scădere și spun așa: dacă k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Funcția liniară în viață

Acum să rezumăm acest subiect. Ne-am familiarizat deja cu un astfel de concept ca o funcție liniară, îi cunoaștem proprietățile și am învățat cum să construim grafice. De asemenea, te-ai uitat la cazuri speciale ale unei funcții liniare și ai aflat de ce depinde aceasta poziție relativă grafice ale funcțiilor liniare. Dar se dovedește că la noi viata de zi cu zi de asemenea, ne intersectăm constant cu acest model matematic.

Să ne gândim la ce situații din viața reală sunt asociate cu un astfel de concept ca funcții liniare? Și, de asemenea, între ce cantități sau situatii de viata poate stabili o relație liniară?

Mulți dintre voi probabil că nu înțelegeți prea bine de ce trebuie să studieze funcțiile liniare, deoarece este puțin probabil să fie util în viața ulterioară. Dar aici te înșeli profund, pentru că întâlnim funcții tot timpul și peste tot. Pentru că chiar și o chirie lunară obișnuită este și o funcție care depinde de multe variabile. Și aceste variabile includ metru pătrat, numărul de rezidenți, tarife, consumul de energie electrică etc.

Desigur, cele mai comune exemple de funcții dependență liniară, pe care le-am întâlnit sunt lecții de matematică.

Tu și cu mine am rezolvat probleme în care am găsit distanțele parcurse de mașini, trenuri sau pietoni la o anumită viteză. Acestea sunt funcții liniare ale timpului de mișcare. Dar aceste exemple sunt aplicabile nu numai în matematică, ci sunt prezente în viața noastră de zi cu zi.

Conținutul de calorii al produselor lactate depinde de conținutul de grăsimi, iar o astfel de dependență este de obicei o funcție liniară. De exemplu, pe măsură ce procentul de grăsime din smântână crește, crește și conținutul caloric al produsului.

Acum să facem calculele și să găsim valorile lui k și b rezolvând sistemul de ecuații:

Acum să derivăm formula dependenței:

Ca rezultat, am obținut o relație liniară.

Pentru a cunoaște viteza de propagare a sunetului în funcție de temperatură, se poate afla folosind formula: v = 331 +0,6t, unde v este viteza (în m/s), t este temperatura. Dacă desenăm un grafic al acestei relații, vom vedea că va fi liniară, adică va reprezenta o linie dreaptă.

Și astfel de utilizări practice ale cunoștințelor în aplicarea dependenței funcționale liniare pot fi enumerate pentru o lungă perioadă de timp. Pornind de la taxele de telefon, lungimea și creșterea părului și chiar proverbele din literatură. Și această listă continuă și continuă.

Calendar-planificare tematică în matematică, videoîn matematică online, descărcare Matematică la școală

A. V. Pogorelov, Geometrie pentru clasele 7-11, Manual pentru instituțiile de învățământ

Să luăm în considerare problema. Un motociclist care a părăsit orașul A se află în prezent la 20 km. La ce distanță s (km) de A se va afla motociclistul după t ore dacă se deplasează cu o viteză de 40 km/h?

Evident, în t ore motociclistul va parcurge 50t km. În consecință, după t ore el se va afla la o distanță de (20 + 50t) km de A, adică. s = 50t + 20, unde t ≥ 0.

Fiecare valoare a lui t corespunde unei singure valori a lui s.

Formula s = 50t + 20, unde t ≥ 0, definește funcția.

Să luăm în considerare încă o problemă. Pentru trimiterea unei telegrame se percepe o taxă de 3 copeici pentru fiecare cuvânt și încă 10 copeici. Câți copeici (u) ar trebui să plătiți pentru trimiterea unei telegrame care conține n cuvinte?

Deoarece expeditorul trebuie să plătească 3n copeici pentru n cuvinte, costul trimiterii unei telegrame de n cuvinte poate fi găsit folosind formula u = 3n + 10, unde n este orice număr natural.

În ambele probleme luate în considerare, am întâlnit funcții care sunt date prin formule de forma y = kx + l, unde k și l sunt niște numere, iar x și y sunt variabile.

O funcție care poate fi specificată printr-o formulă de forma y = kx + l, unde k și l sunt numere, se numește liniară.

Deoarece expresia kx + l are sens pentru orice x, domeniul de definire al unei funcții liniare poate fi mulțimea tuturor numerelor sau orice submulțime a acesteia.

Un caz special al unei funcții liniare este proporționalitatea directă discutată anterior. Reamintim că pentru l = 0 și k ≠ 0 formula y = kx + l ia forma y = kx, iar această formulă, după cum se știe, pentru k ≠ 0 specifică proporționalitatea directă.

Trebuie să trasăm o funcție liniară f dată de formula
y = 0,5x + 2.

Să obținem mai multe valori corespunzătoare ale variabilei y pentru unele valori ale lui x:

X	-6	-4	-2	0	2	4	6	8
y	-1	0	1	2	3	4	5	6

Să notăm punctele cu coordonatele primite: (-6; -1), (-4; 0); (-2; 1), (0; 2), (2; 3), (4; 4); (6; 5), (8; 6).

Evident, punctele construite se află pe o anumită dreaptă. Din aceasta nu rezultă că graficul acestei funcții este o linie dreaptă.

Pentru a afla cum arată graficul funcției f în cauză, să-l comparăm cu graficul familiar al proporționalității directe x – y, unde x = 0,5.

Pentru orice x, valoarea expresiei 0,5x + 2 este mai mare decât valoarea corespunzătoare a expresiei 0,5x cu 2 unități. Prin urmare, ordonata fiecărui punct din graficul funcției f este cu 2 unități mai mare decât ordonata corespunzătoare din graficul proporționalității directe.

În consecință, graficul funcției f în cauză poate fi obținut din graficul proporționalității directe prin translație paralelă cu 2 unități în direcția ordonatei.

Deoarece graficul proporționalității directe este o linie dreaptă, atunci și graficul funcției liniare f luate în considerare este o dreaptă.

În general, graficul unei funcții dat de o formulă de forma y = kx + l este o dreaptă.

Știm că pentru a construi o dreaptă este suficient să determinați poziția celor două puncte ale sale.

De exemplu, trebuie să reprezentați o funcție care este dată de formulă
y = 1,5x – 3.

Să luăm două valori arbitrare ale lui x, de exemplu, x 1 = 0 și x 2 = 4. Calculați valorile corespunzătoare ale funcției y 1 = -3, y 2 = 3, construiți punctele A (-3; 0) și B (4; 3) și trageți o linie dreaptă prin aceste puncte. Această linie dreaptă este graficul dorit.

Dacă domeniul de definire al unei funcții liniare nu este reprezentat complet numere, atunci graficul său va fi un subset de puncte pe o linie (de exemplu, o rază, un segment, un set de puncte individuale).

Locația graficului funcției specificate de formula y = kx + l depinde de valorile lui l și k. În special, unghiul de înclinare a graficului unei funcții liniare față de axa x depinde de coeficientul k. Dacă k – număr pozitiv, atunci acest unghi este acut; dacă k – număr negativ, atunci unghiul este obtuz. Numărul k se numește panta dreptei.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.