Suma logaritmilor cu baze diferite. Definiția logaritmului, identitatea logaritmică de bază

După cum știți, atunci când înmulțiți expresii cu puteri, exponenții lor se adună întotdeauna (a b *a c = a b+c). Această lege matematică a fost derivată de Arhimede, iar mai târziu, în secolul al VIII-lea, matematicianul Virasen a creat un tabel cu exponenți întregi. Ei au fost cei care au servit pentru descoperirea ulterioară a logaritmilor. Exemple de utilizare a acestei funcții pot fi găsite aproape peste tot acolo unde trebuie să simplificați înmulțirea greoaie prin adunare simplă. Dacă petreceți 10 minute citind acest articol, vă vom explica ce sunt logaritmii și cum să lucrați cu ei. Într-un limbaj simplu și accesibil.

Definiție în matematică

Un logaritm este o expresie de următoarea formă: log a b=c, adică logaritmul oricărui număr nenegativ (adică orice pozitiv) „b” la baza sa „a” este considerat a fi puterea „c ” la care este necesar să se ridice baza „a” pentru a obține în final valoarea „b”. Să analizăm logaritmul folosind exemple, să presupunem că există o expresie log 2 8. Cum să găsim răspunsul? Este foarte simplu, trebuie să găsești o putere astfel încât de la 2 la puterea necesară să obții 8. După ce faci niște calcule în capul tău, obținem numărul 3! Și asta este adevărat, pentru că 2 la puterea lui 3 dă răspunsul ca 8.

Tipuri de logaritmi

Pentru mulți elevi și studenți, acest subiect pare complicat și de neînțeles, dar de fapt logaritmii nu sunt atât de înfricoșători, principalul lucru este să le înțelegeți sensul general și să vă amintiți proprietățile și unele reguli. Sunt trei specii individuale expresii logaritmice:

1. Logaritmul natural ln a, unde baza este numărul Euler (e = 2,7).
2. Decimală a, unde baza este 10.
3. Logaritmul oricărui număr b la baza a>1.

Fiecare dintre ele este rezolvată într-un mod standard, incluzând simplificarea, reducerea și reducerea ulterioară la un singur logaritm folosind teoreme logaritmice. A primi valori corecte logaritmi, ar trebui să vă amintiți proprietățile lor și succesiunea acțiunilor atunci când le rezolvați.

Reguli și unele restricții

În matematică, există mai multe reguli-constrângeri care sunt acceptate ca axiomă, adică nu sunt supuse discuției și sunt adevărul. De exemplu, este imposibil să împărțiți numerele la zero și, de asemenea, este imposibil să extrageți rădăcina pare a numerelor negative. Logaritmii au, de asemenea, propriile reguli, după care puteți învăța cu ușurință să lucrați chiar și cu expresii logaritmice lungi și încăpătoare:

• Baza „a” trebuie să fie întotdeauna mai mare decât zero și nu egală cu 1, altfel expresia își va pierde sensul, deoarece „1” și „0” în orice grad sunt întotdeauna egale cu valorile lor;
• dacă a > 0, atunci a b >0, se dovedește că și „c” trebuie să fie mai mare decât zero.

Cum se rezolvă logaritmii?

De exemplu, sarcina este de a găsi răspunsul la ecuația 10 x = 100. Acest lucru este foarte ușor, trebuie să alegeți o putere prin ridicarea numărului zece la care obținem 100. Acesta, desigur, este 10 2 = 100.

Acum să reprezentăm această expresie în formă logaritmică. Obținem log 10 100 = 2. La rezolvarea logaritmilor, toate acțiunile practic converg pentru a găsi puterea la care este necesar să se introducă baza logaritmului pentru a obține un număr dat.

Pentru a determina cu exactitate valoarea unui grad necunoscut, trebuie să învățați cum să lucrați cu un tabel de grade. Arata cam asa:

După cum puteți vedea, unii exponenți pot fi ghiciți intuitiv dacă aveți o minte tehnică și cunoștințe despre tabla înmulțirii. Cu toate acestea, pentru valori mai mari veți avea nevoie de o masă de putere. Poate fi folosit chiar și de cei care nu știu absolut nimic despre complex subiecte matematice. Coloana din stânga conține numere (baza a), rândul de sus de numere este valoarea puterii c la care este ridicat numărul a. La intersecție, celulele conțin valorile numerice care sunt răspunsul (a c =b). Să luăm, de exemplu, prima celulă cu numărul 10 și să o pătratăm, obținem valoarea 100, care este indicată la intersecția celor două celule ale noastre. Totul este atât de simplu și ușor încât până și cel mai adevărat umanist va înțelege!

Ecuații și inegalități

Rezultă că în anumite condiții exponentul este logaritmul. Prin urmare, orice expresii numerice matematice pot fi scrise ca o egalitate logaritmică. De exemplu, 3 4 =81 poate fi scris ca logaritmul de bază 3 al lui 81 egal cu patru (log 3 81 = 4). Pentru puteri negative regulile sunt aceleași: 2 -5 = 1/32 îl scriem ca logaritm, obținem log 2 (1/32) = -5. Una dintre cele mai fascinante secțiuni ale matematicii este subiectul „logaritmilor”. Vom privi mai jos exemple și soluții de ecuații, imediat după studierea proprietăților acestora. Acum să vedem cum arată inegalitățile și cum să le distingem de ecuații.

Dată o expresie de următoarea formă: log 2 (x-1) > 3 - este inegalitatea logaritmică, deoarece valoarea necunoscută „x” se află sub semnul logaritmului. Și, de asemenea, în expresie sunt comparate două mărimi: logaritmul numărului dorit la baza doi este mai mare decât numărul trei.

Cea mai importantă diferență dintre ecuațiile logaritmice și inegalități este că ecuațiile cu logaritmi (de exemplu, logaritmul 2 x = √9) implică una sau mai multe valori numerice specifice în răspuns, în timp ce la rezolvarea unei inegalități, atât domeniul acceptabil. valorile și punctele sunt determinate întrerupând această funcție. În consecință, răspunsul nu este un simplu set de numere individuale, ca în răspunsul la o ecuație, ci o serie continuă sau un set de numere.

Teoreme de bază despre logaritmi

La rezolvarea sarcinilor primitive de găsire a valorilor logaritmului, este posibil ca proprietățile acestuia să nu fie cunoscute. Cu toate acestea, atunci când vine vorba de ecuații sau inegalități logaritmice, în primul rând, este necesar să înțelegem clar și să aplici în practică toate proprietățile de bază ale logaritmilor. Ne vom uita la exemple de ecuații mai târziu, să ne uităm mai întâi la fiecare proprietate în detaliu.

1. Identitatea principală arată astfel: a logaB =B. Se aplică numai atunci când a este mai mare decât 0, nu este egal cu unu și B este mai mare decât zero.
2. Logaritmul produsului poate fi reprezentat în următoarea formulă: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. În acest caz, condiția obligatorie este: d, s 1 și s 2 > 0; a≠1. Puteți da o dovadă pentru această formulă logaritmică, cu exemple și soluții. Fie log a s 1 = f 1 și log a s 2 = f 2, apoi a f1 = s 1, a f2 = s 2. Obținem că s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietățile lui grade ), și apoi prin definiție: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, care este ceea ce trebuia demonstrat.
3. Logaritmul coeficientului arată astfel: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema sub forma unei formule ia următoarea formă: log a q b n = n/q log a b.

Această formulă se numește „proprietatea gradului de logaritm”. Seamănă cu proprietățile gradelor obișnuite și nu este surprinzător, deoarece toată matematica se bazează pe postulate naturale. Să ne uităm la dovada.

Fie log a b = t, se dovedește a t =b. Dacă ridicăm ambele părți la puterea m: a tn = b n ;

dar deoarece a tn = (a q) nt/q = b n, prin urmare log a q b n = (n*t)/t, atunci log a q b n = n/q log a b. Teorema a fost demonstrată.

Exemple de probleme și inegalități

Cele mai comune tipuri de probleme pe logaritmi sunt exemple de ecuații și inegalități. Ele se găsesc în aproape toate cărțile de probleme și sunt, de asemenea, o parte obligatorie a examenelor de matematică. Pentru admitere la universitate sau promovare examenele de admitere la matematică trebuie să știi să rezolvi corect astfel de probleme.

Din păcate, nu există un plan sau o schemă unică pentru rezolvarea și determinarea valorii necunoscute a logaritmului, dar anumite reguli pot fi aplicate fiecărei inegalități matematice sau ecuații logaritmice. În primul rând, ar trebui să aflați dacă expresia poate fi simplificată sau duce la aspectul general. Puteți simplifica expresiile logaritmice lungi dacă le folosiți corect proprietățile. Să-i cunoaștem repede.

La hotărâre ecuații logaritmice, ar trebui să stabilim ce tip de logaritm avem: poate conține un exemplu de expresie logaritmul natural sau zecimală.

Iată exemple ln100, ln1026. Soluția lor se rezumă la faptul că trebuie să determine puterea la care baza 10 va fi egală cu 100 și, respectiv, 1026. Pentru a rezolva logaritmii naturali, trebuie să aplicați identități logaritmice sau proprietățile acestora. Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor logaritmice de diferite tipuri.

Cum să utilizați formulele logaritmice: cu exemple și soluții

Deci, să ne uităm la exemple de utilizare a teoremelor de bază despre logaritmi.

1. Proprietatea logaritmului unui produs poate fi utilizată în sarcini în care este necesară extinderea mare valoare numerele b în factori mai simpli. De exemplu, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Răspunsul este 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - după cum puteți vedea, folosind a patra proprietate a puterii logaritmului, am reușit să rezolvăm o expresie aparent complexă și de nerezolvat. Trebuie doar să factorizați baza și apoi să eliminați valorile exponentului din semnul logaritmului.

Teme de la examenul de stat unificat

Logaritmii se găsesc adesea la examenele de admitere, în special multe probleme logaritmice la examenul de stat unificat (examen de stat pentru toți absolvenții de școală). De obicei, aceste sarcini sunt prezente nu numai în partea A (cea mai ușoară parte a testului a examenului), ci și în partea C (cele mai complexe și mai voluminoase sarcini). Examenul necesită cunoașterea exactă și perfectă a subiectului „Logaritmi naturali”.

Exemplele și soluțiile la probleme sunt preluate din oficial Opțiuni pentru examenul de stat unificat. Să vedem cum se rezolvă astfel de sarcini.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rezolvare:
să rescriem expresia, simplificând-o puțin log 2 (2x-1) = 2 2, prin definiția logaritmului obținem că 2x-1 = 2 4, deci 2x = 17; x = 8,5.

• Cel mai bine este să reduceți toți logaritmii la aceeași bază, astfel încât soluția să nu fie greoaie și confuză.
• Toate expresiile de sub semnul logaritmului sunt indicate ca pozitive, prin urmare, atunci când exponentul unei expresii care se află sub semnul logaritmului și ca bază a acesteia este scos ca multiplicator, expresia rămasă sub logaritm trebuie să fie pozitivă.

Logaritm număr pozitiv b la baza a (a>0, a nu este egal cu 1) este un număr c astfel încât a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Rețineți că logaritmul unui număr nepozitiv este nedefinit. În plus, baza logaritmului trebuie să fie un număr pozitiv care nu este egal cu 1. De exemplu, dacă pătratăm -2, obținem numărul 4, dar asta nu înseamnă că baza -2 logaritmului lui 4 este egală. la 2.

Identitatea logaritmică de bază

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Este important ca domeniul de aplicare al definiției părților din dreapta și din stânga acestei formule să fie diferit. Partea stângă definit numai pentru b>0, a>0 și a ≠ 1. Partea dreaptă este definit pentru orice b, dar nu depinde deloc de a. Astfel, aplicarea „identității” logaritmice de bază la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților poate duce la o modificare a DO.

Două consecințe evidente ale definiției logaritmului

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Într-adevăr, când ridicăm numărul a la prima putere, obținem același număr, iar când îl ridicăm la puterea zero, obținem unul.

Logaritmul produsului și logaritmul coeficientului

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Aș dori să îi avertizez pe școlari să nu folosească fără gânduri aceste formule atunci când rezolvă ecuații și inegalități logaritmice. Când le folosiți „de la stânga la dreapta”, ODZ se îngustează, iar când se trece de la suma sau diferența de logaritmi la logaritmul produsului sau al coeficientului, ODZ se extinde.

Într-adevăr, expresia log a (f (x) g (x)) este definită în două cazuri: când ambele funcții sunt strict pozitive sau când f (x) și g (x) sunt ambele mai mici decât zero.

Transformând această expresie în suma log a f (x) + log a g (x), suntem forțați să ne limităm doar la cazul în care f(x)>0 și g(x)>0. Există o restrângere a intervalului de valori acceptabile, iar acest lucru este categoric inacceptabil, deoarece poate duce la pierderea soluțiilor. O problemă similară există pentru formula (6).

Gradul poate fi scos din semnul logaritmului

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Și din nou aș dori să fac apel la acuratețe. Luați în considerare următorul exemplu:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Partea stângă a egalității este în mod evident definită pentru toate valorile lui f(x), cu excepția zero. Partea dreaptă este doar pentru f(x)>0! Luând gradul din logaritm, restrângem din nou ODZ. Procedura inversă duce la o extindere a intervalului de valori acceptabile. Toate aceste observații se aplică nu numai puterii 2, ci și oricărei puteri egale.

Formula pentru trecerea la o nouă fundație

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Acel caz rar în care ODZ nu se schimbă în timpul transformării. Dacă ați ales baza c cu înțelepciune (pozitivă și nu egală cu 1), formula pentru trecerea la o nouă bază este complet sigură.

Dacă alegem numărul b ca nouă bază c, obținem un important caz special formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Câteva exemple simple cu logaritmi

Exemplul 1. Calculați: log2 + log50.
Soluţie. log2 + log50 = log100 = 2. Am folosit formula sumei logaritmilor (5) și definiția logaritmului zecimal.

Exemplul 2. Calculați: lg125/lg5.
Soluţie. log125/log5 = log 5 125 = 3. Am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază (8).

Tabel de formule legate de logaritmi

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Ele decurg din definiția sa. Și astfel logaritmul numărului b bazat pe O este definit ca exponentul la care trebuie ridicat un numar o pentru a obține numărul b(logaritmul există doar pentru numerele pozitive).

Din această formulare rezultă că calculul x=log a b, este echivalent cu rezolvarea ecuației a x =b. De exemplu, log 2 8 = 3 deoarece 8 = 2 3 . Formularea logaritmului face posibilă justificarea că dacă b=a c, apoi logaritmul numărului b bazat pe o egal Cu. De asemenea, este clar că subiectul logaritmilor este strâns legat de subiectul puterilor unui număr.

Cu logaritmi, ca și cu orice numere, poți face operații de adunare, scădereși se transformă în toate modurile posibile. Dar datorită faptului că logaritmii nu sunt numere în întregime obișnuite, aici se aplică propriile reguli speciale, care se numesc proprietăți principale.

Adunarea și scăderea logaritmilor.

Să luăm doi logaritmi cu aceleași baze: log un xŞi log a y. Apoi, este posibil să efectuați operații de adunare și scădere:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log un x 1 + log un x 2 + log un x 3 + ... + log a x k.

Din teorema coeficientului de logaritm mai poate fi obținută o proprietate a logaritmului. Este cunoscut faptul că log o 1= 0, prin urmare

jurnal o 1 /b= jurnal o 1 - jurnal a b= - jurnal a b.

Aceasta înseamnă că există o egalitate:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmi a două numere reciproce din același motiv vor diferi unul de celălalt numai prin semn. Aşa:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Accentul acestui articol este logaritm. Aici vom da o definiție a unui logaritm, vom arăta notația acceptată, vom da exemple de logaritmi și vom vorbi despre logaritmi naturali și zecimali. După aceea, să ne uităm la principal identitate logaritmică.

Navigare în pagină.

Definiţia logarithm

Conceptul de logaritm apare atunci când rezolvați o problemă într-un anumit sens invers, atunci când trebuie să găsiți un exponent dintr-o valoare cunoscută a exponentului și o bază cunoscută.

Dar destule prefațe, este timpul să răspundem la întrebarea „ce este un logaritm”? Să dăm definiția corespunzătoare.

Definiţie.

Logaritmul lui b la baza a, unde a>0, a≠1 și b>0 este exponentul la care trebuie să creșteți numărul a pentru a obține b ca rezultat.

În această etapă, observăm că cuvântul rostit „logaritm” ar trebui să ridice imediat două întrebări ulterioare: „ce număr” și „pe ce bază”. Cu alte cuvinte, pur și simplu nu există logaritm, ci doar logaritmul unui număr la o anumită bază.

Să intrăm imediat notație logaritmică: logaritmul unui număr b la baza a este de obicei notat ca log a b. Logaritmul unui număr b în baza e și logaritmul în baza 10 au propriile denumiri speciale lnb și, respectiv, logb, adică nu scriu log e b, ci lnb și nu log 10 b, ci lgb.

Acum putem da: .
Și înregistrările nu au sens, deoarece în primul dintre ele există un număr negativ sub semnul logaritmului, în al doilea există un număr negativ în bază, iar în al treilea există un număr negativ sub semnul logaritmului și o unitate în baza.

Acum să vorbim despre reguli pentru citirea logaritmilor. Log a b este citit ca „logaritmul lui b la baza a”. De exemplu, log 2 3 este logaritmul de trei la baza 2 și este logaritmul de două virgulă două treimi la baza 2 rădăcină pătrată din cinci. Se numește logaritmul la baza e logaritmul natural, iar notația lnb citește „logaritmul natural al lui b”. De exemplu, ln7 este logaritmul natural al lui șapte și îl vom citi ca logaritmul natural al lui pi. Logaritmul de bază 10 are, de asemenea, un nume special - logaritm zecimal, iar lgb este citit ca „logaritm zecimal al lui b”. De exemplu, lg1 este logaritmul zecimal de unu, iar lg2.75 este logaritmul zecimal de două virgulă șapte cinci sutimi.

Merită să ne oprim separat asupra condițiilor a>0, a≠1 și b>0, în care este dată definiția logaritmului. Să explicăm de unde provin aceste restricții. O egalitate a formei numită , care decurge direct din definiția logaritmului dată mai sus, ne va ajuta să facem acest lucru.

Să începem cu a≠1. Deoarece unu la orice putere este egal cu unu, egalitatea poate fi adevărată numai când b=1, dar log 1 1 poate fi orice număr real. Pentru a evita această ambiguitate, se presupune a≠1.

Să justificăm oportunitatea condiției a>0. Cu a=0, prin definiția unui logaritm, am avea egalitate, ceea ce este posibil doar cu b=0. Dar atunci log 0 0 poate fi orice număr real diferit de zero, deoarece de la zero la orice putere diferită de zero este zero. Condiția a≠0 ne permite să evităm această ambiguitate. Și când a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

În sfârșit, din inegalitatea a>0 rezultă condiția b>0, deoarece , iar valoarea unei puteri cu o bază pozitivă a este întotdeauna pozitivă.

Pentru a încheia acest punct, să presupunem că definiția declarată a logaritmului vă permite să indicați imediat valoarea logaritmului atunci când numărul de sub semnul logaritmului este o anumită putere a bazei. Într-adevăr, definiția unui logaritm ne permite să afirmăm că dacă b=a p, atunci logaritmul numărului b la baza a este egal cu p. Adică, logul de egalitate a a p =p este adevărat. De exemplu, știm că 2 3 =8, atunci log 2 8=3. Vom vorbi mai multe despre asta în articol.

Astăzi vom vorbi despre formule logaritmice si da indicativ exemple de solutie.

Ele însele implică modele de soluție conform proprietăților de bază ale logaritmilor. Înainte de a aplica formule logaritmice pentru a rezolva, permiteți-ne să vă reamintim toate proprietățile:

Acum, pe baza acestor formule (proprietăți), vom arăta exemple de rezolvare a logaritmilor.

Exemple de rezolvare a logaritmilor pe bază de formule.

Logaritm un număr pozitiv b la baza a (notat cu log a b) este un exponent la care trebuie ridicat a pentru a obține b, cu b > 0, a > 0 și 1.

Conform definiției, log a b = x, care este echivalent cu a x = b, prin urmare log a a x = x.

Logaritmi, exemple:

log 2 8 = 3, deoarece 2 3 = 8

log 7 49 = 2, deoarece 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, deoarece 5 -1 = 1/5

Logaritm zecimal- acesta este un logaritm obișnuit, a cărui bază este 10. Se notează ca lg.

log 10 100 = 2, deoarece 10 2 = 100

Logaritmul natural- tot logaritmul obișnuit, dar cu baza e (e = 2,71828... - număr irațional). Notat ca ln.

Este indicat să memorăm formulele sau proprietățile logaritmilor, deoarece vom avea nevoie de ele mai târziu la rezolvarea logaritmilor, ecuațiilor logaritmice și inegalităților. Să lucrăm din nou prin fiecare formulă cu exemple.

• Identitatea logaritmică de bază
  un log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritmul produsului egal cu suma logaritmi
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritmul coeficientului este egal cu diferența logaritmilor
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Proprietățile puterii unui număr logaritmic și ale bazei logaritmului

  Exponent al numărului logaritmic log a b m = mlog a b

  Exponent al bazei logaritmului log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  dacă m = n, obținem log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Trecerea la o nouă fundație
  log a b = log c b/log c a,

  dacă c = b, obținem log b b = 1

  atunci log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

După cum puteți vedea, formulele pentru logaritmi nu sunt atât de complicate pe cât par. Acum, după ce ne-am uitat la exemple de rezolvare a logaritmilor, putem trece la ecuații logaritmice. Vom analiza mai detaliat exemple de rezolvare a ecuațiilor logaritmice în articolul: „”. Nu ratați!

Dacă mai aveți întrebări despre soluție, scrieți-le în comentariile articolului.

Notă: am decis să obținem o altă clasă de educație și să studiem în străinătate ca opțiune.