Conceptul de prismă. Formule pentru volumul prismelor de diferite tipuri: regulate, drepte și oblice

Volumul este o caracteristică a oricărei figuri care are dimensiuni diferite de zero în toate cele trei dimensiuni ale spațiului. În acest articol, din punctul de vedere al stereometriei (geometria figurilor spațiale), ne vom uita la o prismă și vom arăta cum să găsim volumele diferitelor tipuri de prisme.

Stereometria are un răspuns precis la această întrebare. În ea, o prismă este înțeleasă ca o figură formată din două fețe poligonale identice și mai multe paralelograme. Imaginea de mai jos prezintă patru prisme diferite.

Fiecare dintre ele poate fi obținut astfel: trebuie să luați un poligon (triunghi, patrulater etc.) și un segment de o anumită lungime. Apoi fiecare vârf al poligonului ar trebui să fie transferat folosind segmente paralele într-un alt plan. În noul plan, care va fi paralel cu cel inițial, se va obține un nou poligon, similar celui selectat inițial.

Prismele pot fi de diferite tipuri. Deci, pot fi drepte, înclinate și regulate. Dacă marginea laterală a prismei (segmentul care leagă vârfurile bazelor) este perpendiculară pe bazele figurii, atunci aceasta din urmă este dreaptă. În consecință, dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci vorbim despre o prismă înclinată. O figură obișnuită este o prismă dreaptă cu o bază echiunghiulară și echilaterală.

Volumul prismelor regulate

Să începem de la bun început caz simplu. Să dăm formula pentru volumul unei prisme regulate cu o bază n-gonală. Formula de volum V pentru orice figură a clasei luate în considerare are următoarea formă:

Adică, pentru a determina volumul, este suficient să calculați aria uneia dintre bazele S o și să o înmulțiți cu înălțimea h a figurii.

În cazul unei prisme regulate, notăm lungimea laturii bazei acesteia cu litera a, iar înălțimea, care este egală cu lungimea marginii laterale, cu litera h. Dacă baza este un n-gon obișnuit, atunci pentru a-și calcula aria, este mai ușor să utilizați următoarea formulă universală:

S n = n/4*a2*ctg(pi/n).

Prin înlocuirea numărului de laturi n și a lungimii unei laturi a în ecuație, puteți calcula aria bazei n-gonale. Rețineți că funcția cotangentă aici este calculată pentru unghiul pi/n, care este exprimat în radiani.

Ținând cont de egalitatea scrisă pentru S n, obținem formula finală pentru volumul unei prisme regulate:

V n = n/4*a2*h*ctg(pi/n).

Pentru fiecare caz specific, puteți scrie formulele corespunzătoare pentru V, dar toate decurg fără ambiguitate din expresia generală scrisă. De exemplu, pentru prismă pătrangulară regulat, care în cazul general este un paralelipiped dreptunghic, obținem:

V 4 = 4/4*a2*h*ctg(pi/4) = a2*h.

Dacă luăm h=a în această expresie, atunci obținem formula pentru volumul cubului.

Volumul prismelor drepte

Să remarcăm imediat că pentru cifrele drepte nu există o formulă generală pentru calcularea volumului, care a fost dată mai sus pentru prismele obișnuite. La găsirea valorii luate în considerare, trebuie folosită expresia originală:

Aici h este lungimea marginii laterale, ca în cazul precedent. În ceea ce privește suprafața de bază S o , poate dura cel mai mult sensuri diferite. Problema calculării volumului unei prisme drepte se rezumă la găsirea ariei bazei acesteia.

Calculul valorii lui S o ar trebui efectuat pe baza caracteristicilor bazei în sine. De exemplu, dacă este un triunghi, atunci aria poate fi calculată astfel:

Aici h a este apotema triunghiului, adică înălțimea lui coborâtă la baza a.

Dacă baza este un patrulater, atunci poate fi un trapez, un paralelogram, un dreptunghi sau de un tip complet arbitrar. Pentru toate aceste cazuri, ar trebui să utilizați formula de planimetrie adecvată pentru a determina zona. De exemplu, pentru un trapez, această formulă arată astfel:

S o4 = 1/2*(a 1 + a 2)*h a .

Unde h a este înălțimea trapezului, a 1 și a 2 sunt lungimile laturilor sale paralele.

Pentru a determina aria pentru poligoane mai mari decât ordin înalt, acestea ar trebui împărțite în figuri simple(triunghiuri, patrulatere) și calculați suma ariilor acestora din urmă.

Volumul prismelor înclinate

Acesta este cel mai dificil caz de calcul al volumului unei prisme. Se aplică și formula generală pentru astfel de cifre:

Cu toate acestea, la dificultatea de a găsi aria bazei reprezentând un poligon de orice tip se adaugă problema determinării înălțimii figurii. Într-o prismă înclinată este întotdeauna mai mică decât lungimea marginii laterale.

Cel mai simplu mod de a găsi această înălțime este dacă se cunoaște orice unghi al figurii (plat sau diedru). Dacă este dat un astfel de unghi, atunci ar trebui să îl utilizați pentru a construi în interiorul prismei triunghi dreptunghic, care ar conține înălțimea h ca una dintre laturi și, folosind funcții trigonometriceși teorema lui Pitagora, găsiți valoarea lui h.

Problemă geometrică pentru determinarea volumului

Având în vedere o prismă regulată cu o bază triunghiulară, având o înălțime de 14 cm și o lungime a laturii de 5 cm. Care este volumul? prismă triunghiulară?

Din moment ce vorbim despre figura potrivită, atunci avem dreptul de a folosi formula binecunoscută. Avem:

V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151,55 cm3.

O prismă triunghiulară este o figură destul de simetrică, a cărei formă este adesea folosită în diferite structuri arhitecturale. Această prismă de sticlă este folosită în optică.

Conceptul de prismă. Formule pentru volumul prismelor de diferite tipuri: regulate, drepte și oblice. Rezolvarea problemei - totul despre călătoria la site

Volum prismă înclinată

Toate prismele sunt împărțite în Drept Şi înclinat .

Prismă dreaptă, bază

care servește corect

se numeste poligon

corecta prismă.

Proprietățile unei prisme regulate:

1. Bazele unei prisme regulate sunt poligoane regulate. 2. Fețele laterale ale unei prisme regulate sunt dreptunghiuri egale. 3. Marginile laterale ale unei prisme regulate sunt egale .

secțiune transversală PRISM.

O secțiune ortogonală a unei prisme este o secțiune formată dintr-un plan perpendicular pe marginea laterală.

Suprafața laterală a prismei este egală cu produsul dintre perimetrul secțiunii ortogonale și lungimea marginii laterale.

S b =P orth.section C

1. Distanțele dintre nervurile înclinate

prisma triunghiulare sunt egale cu: 2cm, 3cm și 4cm

Suprafața laterală a prismei este de 45 cm 2 .Găsiți-i marginea laterală.

Soluţie:

În secțiunea perpendiculară a prismei există un triunghi al cărui perimetru este 2+3+4=9

Aceasta înseamnă că marginea laterală este egală cu 45:9 = 5 (cm)

Găsiți elemente necunoscute

triunghiular regulat

Prisme

prin elementele specificate în tabel.

RĂSPUNSURI.

Mulțumesc pentru lecție.

Teme pentru acasă.

„Volumul corpurilor” - Ф(x). Ф(х1). Volumul unei prisme înclinate, al unei piramide și al unui con. F(xi). F(x2). a x b x. Când a = x și b = x, un punct poate degenera într-o secțiune, de exemplu, când x = a.

„Volumul conceptului” - 1. Suprafața totală a cubului este de 6 m2. Sau volumul unui paralelipiped dreptunghiular este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea. Volumul unui cilindru este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea. În timpul lecției, se desfășoară activități de testare diferențiată folosind teste. Volumele corpurilor geometrice.

„Volume” - Exercițiul 7. Exercițiul 8*. Nervurile laterale sunt egale cu 3 și formează un unghi de 45° cu planul bazei. Volumul unei prisme înclinate este 3. Fața paralelipipedului este un romb cu latura 1 și unghi ascuțit 60o. Volumul unei prisme înclinate 1. Răspuns: Un plan care trece prin centrele de simetrie ale paralelipipedelor. Principiul Cavalieri.

„Volumele corpurilor” - Volumul unei piramide este egal cu o treime din produsul bazei și al înălțimii. Volumul piramidei. Volumul cilindrului. 2010 h. V=1/3S*h. Volume de corpuri similare. V=a*b*c. Volumul unei prisme drepte. Volumele corpurilor. Consecinţă. Volumul unei prisme înclinate. Volumul unei prisme înclinate este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea. Volumul unui cilindru este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

Din care două fețe sunt poligoane egale situate în planuri paralele, iar fețele rămase sunt paralelograme care au laturi comune cu aceste poligoane. Aceste paralelograme sunt numite fețele laterale ale prismei, iar celelalte două poligoane sunt numite bazele acesteia.

O prismă este un caz special al unui cilindru. Un paralelipiped este un caz special al unei prisme.

O prismă are următoarele proprietăți:

Orice secțiune a unei prisme printr-un plan paralel cu baza sa împarte această prismă în două prisme, astfel încât raportul dintre suprafețele laterale și raportul dintre volumele acestor prisme să fie egal cu raportul dintre lungimile marginilor lor laterale. Orice secțiune a unei prisme printr-un plan paralel cu marginea sa laterală împarte această prismă în două prisme, astfel încât raportul dintre volumele acestor prisme să fie egal cu raportul dintre lungimile marginilor lor laterale. Orice secțiune a unei prisme printr-un plan paralel cu marginea sa laterală împarte această prismă în două prisme, astfel încât raportul dintre volumele acestor prisme să fie egal cu raportul dintre ariile bazei lor.

Tipuri de prisme

Prismă dreaptă. Marginile laterale ale unei prisme drepte sunt perpendiculare pe planul bazei.

Prismă oblică. Marginile laterale ale prismei înclinate sunt situate în raport cu planul de bază la un unghi diferit de $90^\circ$.

Prisma corectă. Baza unei prisme drepte este un poligon regulat. Fețele sale laterale sunt dreptunghiuri egale.

Un poliedru semiregulat este o prismă regulată, fetele laterale care sunt pătrate.

Volumul unei prisme drepte

Pentru a obține o formulă pentru calcularea volumului unei prisme obișnuite, să luăm o prismă cu un triunghi la bază. Să-l construim până la un paralelipiped dreptunghiular (Figura 1).

Figura 1. Tetraedrul extins la un paralelipiped

Din capitolul anterior știm că volumul unui paralelipiped dreptunghic este egal cu:

Deoarece paralelipipedul rezultat este format din prisma inițială și o prismă egală ca volum, atunci volumul prismei originale va fi egal cu

unde $a$, $b$, $c$ sunt lungimile laturilor $AB$, $BC$, respectiv $AC$, iar produsul lor este egal cu aria bazei prismei originale, apoi scriem vedere generală formula pentru aflarea volumului unei prisme drepte:

unde $S_(principal)$ este aria bazei prismei, $H$ este înălțimea trasă la baza prismei.

Această formulă este valabilă pentru o prismă dreaptă cu orice poligon la bază.

Volumul unei prisme înclinate

Pentru a obține formula pentru găsirea volumului unei prisme înclinate, luați în considerare o prismă triunghiulară înclinată $ABCDFE$. Să desenăm un plan $\alpha $ prin muchia $DC$, perpendicular pe baza $ABCD$ a prismei originale și să construim o prismă trunchiată triunghiulară (Figura 2).

Figura 2. Prismă înclinată, $\alpha $ plan

Acum prin marginea $AB$ desenăm un plan $\beta $ paralel cu planul $\alpha $ (Figura 3).

Figura 3. Prismă înclinată, plane $\alpha $ și $\beta $

Dacă aplicăm din nou această transformare fețelor înclinate, vom obține o prismă în care toate fețele laterale sunt perpendiculare pe bază. Din nou rezultatul este o prismă dreaptă.

Dacă este supusă unei transformări similare (întâi suplimentată cu prima prismă trunchiată, apoi tăiată a doua prismă trunchiată), atunci prismele finalizate și tăiate sunt combinate prin transfer paralel la segmentul $AB$. De aici rezultă că cifrele au același volum.

În consecință, volumul prismei drepte construite este egal cu volumul celei înclinate inițiale.

Volumul unei prisme înclinate este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea:

Concluzie

Volumul oricărei prisme (oblice și drepte) se găsește prin formula:

unde $a\cdot b$ este aria bazei, $c$ este înălțimea prismei.

„Prismă de corp geometric” - Paralepiped dreptunghiular. Dreptunghi. Secțiuni diagonale. Teorema lui Pitagora. Suma zonelor. Vârfurile. Baza prismei. Cum se numește prisma prezentată în figură? Bătălie matematică. Soluţie. Prismă. Care prismă se numește prismă dreaptă? Cunoștințe acumulate. Diagonala unei prisme triunghiulare regulate.

„Figură prismă” - Definiția unei prisme. Prismă oblică și dreaptă. Să demonstrăm mai întâi teorema pentru o prismă triunghiulară. Tipuri de prisme. Volumul unei prisme înclinate. Prismă. Suprafața laterală a prismei. Suprafața totală a prismei. Să demonstrăm acum teorema pentru o prismă arbitrară. Prisma corectă.

„Volum prismei” - Zona S a bazei prismei originale. Rezolvarea problemei. Obiectivele lecției. Volumul prismei originale este egal cu produsul S · h. Volumul unei prisme drepte. Prisma poate fi împărțită în prisme triunghiulare drepte cu înălțimea h. Conceptul de prismă. Desenarea altitudinii triunghiului ABC. Întrebări. Studiul teoremei despre volumul unei prisme. Pași de bază în demonstrarea teoremei prismei directe?

„Conceptul de prismă” - Suprafața totală a unei prisme. Prismă dreaptă. Suprafața laterală a prismei. Poligon. Secțiuni cu prisme. Prisma corectă. Prisme întâlnite în viață. Prisme triunghiulare. Dovada. Volumul unei prisme înclinate. Definiţia prism. Prismă oblică și dreaptă. Tipuri de prisme. Prismă.

„Proprietățile unei prisme” - Există prisme înclinate în care poate fi înscrisă o sferă? Proprietățile unei prisme. Condiție formulată pentru o prismă dreaptă. Cilindru. Prismă. Secțiunea unui cilindru. Formula trei cosinus. Baza. Prismă triunghiulară. Teorema sinusurilor pentru unghiurile triedrice. Marginea unei prisme triunghiulare. În jurul căror tipuri de prisme se poate descrie întotdeauna o sferă?

„Conceptul de poliedru prism” - În secțiune se formează un paralelogram. Consecinţă. Proprietățile unei prisme. Termenul „prismă” origine greacăși înseamnă literal „fierăstrău” (corp). Suprafața prismei și suprafața laterală a prismei. Această secțiune se numește secțiunea diagonală a prismei. Având în vedere: Latura de bază a unei prisme triunghiulare obișnuite este de 8 cm, marginea laterală este de 6 cm.