Divizor comun și multiplu. Cel mai mic multiplu comun al LCM

Să continuăm conversația despre cel mai mic multiplu comun, pe care am început-o în secțiunea „LCM - cel mai mic multiplu comun, definiție, exemple”. În acest subiect, vom analiza modalități de a găsi LCM pentru trei sau mai multe numere și ne vom uita la întrebarea cum să găsim LCM-ul unui număr negativ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Calcularea celui mai mic multiplu comun (LCM) prin GCD

Am stabilit deja relația dintre cel mai mic multiplu comun și cel mai mare divizor comun. Acum să învățăm cum să determinăm LCM prin GCD. Mai întâi, să ne dăm seama cum să facem acest lucru numere pozitive.

Definiția 1

Găsiți cel mai mic multiplu comun până la cel mai mare divizor comun se poate face folosind formula LCM (a , b) = a · b: GCD (a , b) .

Exemplul 1

Trebuie să găsiți LCM al numerelor 126 și 70.

Soluţie

Să luăm a = 126, b = 70. Să substituim valorile în formula pentru calcularea celui mai mic multiplu comun prin cel mai mare divizor comun LCM (a, b) = a · b: MCD (a, b) .

Găsește mcd-ul numerelor 70 și 126. Pentru aceasta avem nevoie de algoritmul euclidian: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, deci GCD (126 , 70) = 14 .

Să calculăm LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Răspuns: LCM(126, 70) = 630.

Exemplul 2

Găsiți numărul 68 și 34.

Soluţie

GCD în în acest caz, Acest lucru nu este dificil, deoarece 68 este divizibil cu 34. Să calculăm cel mai mic multiplu comun folosind formula: LCM (68, 34) = 68 34: MCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Răspuns: LCM(68, 34) = 68.

În acest exemplu, am folosit regula pentru găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor întregi pozitive a și b: dacă primul număr este divizibil cu al doilea, LCM-ul acelor numere va fi egal cu primul număr.

Aflarea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

Acum să ne uităm la o metodă de găsire a LCM, care se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi.

Definiția 2

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să parcurgem o serie de pași simpli:

• compunem produsul tuturor factorilor primi ai numerelor pentru care trebuie să aflăm LCM;
• excludem toți factorii primi din produsele lor rezultate;
• produsul obţinut în urma eliminării factorilor primi comuni va fi egal cu LCM a numerelor date.

Această metodă de găsire a celui mai mic multiplu comun se bazează pe egalitatea LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Dacă te uiți la formula, va deveni clar: produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor care participă la descompunerea acestor două numere. În acest caz, mcd a două numere este egal cu produsul tuturor factorilor primi care sunt prezenți simultan în factorizările celor două numere date.

Exemplul 3

Avem două numere 75 și 210. Le putem factoriza după cum urmează: 75 = 3 5 5Şi 210 = 2 3 5 7. Dacă compuneți produsul tuturor factorilor celor două numere originale, obțineți: 2 3 3 5 5 5 7.

Dacă excludem factorii comuni ambelor numere 3 și 5, obținem un produs de următoarea formă: 2 3 5 5 7 = 1050. Acest produs va fi LCM-ul nostru pentru numerele 75 și 210.

Exemplul 4

Găsiți LCM al numerelor 441 Şi 700 , factorizarea ambelor numere în factori primi.

Soluţie

Să găsim toți factorii primi ai numerelor date în condiția:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Obținem două lanțuri de numere: 441 = 3 3 7 7 și 700 = 2 2 5 5 7.

Produsul tuturor factorilor care au participat la descompunerea acestor numere va avea forma: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Să găsim factori comuni. Acesta este numărul 7. Să-l excludem din totalul produsului: 2 2 3 3 5 5 7 7. Se pare că NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Răspuns: LOC(441, 700) = 44.100.

Să dăm o altă formulare a metodei de găsire a LCM prin descompunerea numerelor în factori primi.

Definiția 3

Anterior, am exclus din numărul total de factori comuni ambelor numere. Acum o vom face altfel:

• Să factorăm ambele numere în factori primi:
• adăugați la produsul factorilor primi ai primului număr factorii lipsă ai celui de-al doilea număr;
• obținem produsul, care va fi LCM dorit a două numere.

Exemplul 5

Să revenim la numerele 75 și 210, pentru care am căutat deja LCM într-unul din exemplele anterioare. Să le împărțim în factori simpli: 75 = 3 5 5Şi 210 = 2 3 5 7. La produsul factorilor 3, 5 și 5 numerele 75 adună factorii lipsă 2 Şi 7 numerele 210. Primim: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Acesta este LCM al numerelor 75 și 210.

Exemplul 6

Este necesar să se calculeze LCM al numerelor 84 și 648.

Soluţie

Să factorăm numerele din condiție în factori simpli: 84 = 2 2 3 7Şi 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Să adăugăm la produs factorii 2, 2, 3 și 7 numerele 84 lipsesc factorii 2, 3, 3 și
3 numerele 648. Primim produsul 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Acesta este cel mai mic multiplu comun al lui 84 ​​și 648.

Răspuns: LCM(84, 648) = 4.536.

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Indiferent de câte numere avem de-a face, algoritmul acțiunilor noastre va fi întotdeauna același: vom găsi secvenţial LCM a două numere. Există o teoremă pentru acest caz.

Teorema 1

Să presupunem că avem numere întregi a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k aceste numere se găsesc calculând secvenţial m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Acum să vedem cum poate fi aplicată teorema pentru a rezolva probleme specifice.

Exemplul 7

Trebuie să calculați cel mai mic multiplu comun al patru numere 140, 9, 54 și 250 .

Soluţie

Să introducem notația: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Să începem prin a calcula m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Să aplicăm algoritmul euclidian pentru a calcula GCD-ul numerelor 140 și 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Se obține: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 · 9: GCD (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1.260. Prin urmare, m 2 = 1.260.

Acum să calculăm folosind același algoritm m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). În timpul calculelor obținem m 3 = 3 780.

Tot ce trebuie să facem este să calculăm m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Urmăm același algoritm. Obținem m 4 = 94 500.

LCM a celor patru numere din condiția exemplu este 94500.

Răspuns: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

După cum puteți vedea, calculele sunt simple, dar destul de intensive în muncă. Pentru a economisi timp, puteți merge pe altă cale.

Definiția 4

Vă oferim următorul algoritm de acțiuni:

• descompunem toate numerele în factori primi;
• la produsul factorilor primului număr adăugăm factorii lipsă din produsul celui de-al doilea număr;
• la produsul obținut în etapa anterioară adăugăm factorii lipsă ai numărului al treilea etc.;
• produsul rezultat va fi cel mai mic multiplu comun al tuturor numerelor din condiție.

Exemplul 8

Trebuie să găsiți LCM a cinci numere 84, 6, 48, 7, 143.

Soluţie

Să factorăm toate cele cinci numere în factori primi: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Numerele prime, care este numărul 7, nu pot fi descompuse în factori primi. Astfel de numere coincid cu descompunerea lor în factori primi.

Acum să luăm produsul factorilor primi 2, 2, 3 și 7 ai numărului 84 ​​și să adăugăm la ei factorii lipsă ai celui de-al doilea număr. Am descompus numărul 6 în 2 și 3. Acești factori sunt deja în produsul primului număr. Prin urmare, le omitem.

Continuăm să adăugăm multiplicatorii lipsă. Să trecem la numărul 48, din produsul ai cărui factori primi luăm 2 și 2. Apoi adăugăm factorul prim de 7 din al patrulea număr și factorii de 11 și 13 din al cincilea. Se obține: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Acesta este cel mai mic multiplu comun al celor cinci numere originale.

Răspuns: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Găsirea celui mai mic multiplu comun al numerelor negative

Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun numere negative, aceste numere trebuie mai întâi înlocuite cu numere cu semnul opus, iar apoi calculele trebuie efectuate folosind algoritmii de mai sus.

Exemplul 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) și LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Astfel de acțiuni sunt permise datorită faptului că dacă acceptăm asta oŞi − a- numere opuse,
apoi mulţimea multiplilor unui număr o se potrivește cu setul de multipli ai unui număr − a.

Exemplul 10

Este necesar să se calculeze LCM al numerelor negative − 145 Şi − 45 .

Soluţie

Să înlocuim numerele − 145 Şi − 45 la numerele lor opuse 145 Şi 45 . Acum, folosind algoritmul, calculăm LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1.305, după ce am determinat anterior GCD folosind algoritmul euclidian.

Obținem că LCM al numerelor este − 145 și − 45 egal 1 305 .

Răspuns: LCM (− 145, − 45) = 1.305.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Materialul prezentat mai jos este o continuare logică a teoriei din articolul intitulat LCM - cel mai mic multiplu comun, definiție, exemple, legătură între LCM și GCD. Aici vom vorbi despre găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM), și vom acorda o atenție deosebită rezolvării exemplelor. În primul rând, vom arăta cum se calculează LCM a două numere folosind MCD-ul acestor numere. În continuare, ne vom uita la găsirea celui mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor în factori primi. După aceasta, ne vom concentra pe găsirea LCM a trei sau mai multe numere și, de asemenea, acordăm atenție calculării LCM a numerelor negative.

Navigare în pagină.

Calcularea celui mai mic multiplu comun (LCM) prin GCD

O modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe relația dintre LCM și GCD. Conexiunea existentă între LCM și GCD ne permite să calculăm cel mai mic multiplu comun a două numere întregi pozitive printr-un cel mai mare divizor comun cunoscut. Formula corespunzătoare este LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Să ne uităm la exemple de găsire a LCM folosind formula dată.

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al două numere 126 și 70.

Soluţie.

În acest exemplu a=126, b=70. Să folosim legătura dintre LCM și GCD, exprimată prin formula LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Adică, mai întâi trebuie să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 70 și 126, după care putem calcula LCM-ul acestor numere folosind formula scrisă.

Să găsim GCD(126, 70) folosind algoritmul euclidian: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, prin urmare, GCD(126, 70)=14.

Acum găsim cel mai mic multiplu comun necesar: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Răspuns:

LCM(126, 70)=630.

Exemplu.

Cu ce ​​este LCM(68, 34) egal?

Soluţie.

Deoarece 68 este divizibil cu 34, apoi MCD(68, 34)=34. Acum calculăm cel mai mic multiplu comun: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Răspuns:

LCM(68, 34)=68 .

Rețineți că exemplul anterior se potrivește cu următoarea regulă pentru găsirea LCM pentru numerele întregi pozitive a și b: dacă numărul a este divizibil cu b, atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este a.

Aflarea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

O altă modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi. Dacă compuneți un produs din toți factorii primi ai numerelor date și apoi excludeți din acest produs toți factorii primi comuni prezenți în expansiunile numerelor date, atunci produsul rezultat va fi egal cu cel mai mic multiplu comun al numerelor date. .

Din egalitate rezultă regula stabilită pentru găsirea LCM LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Într-adevăr, produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor implicați în extinderea numerelor a și b. La rândul său, GCD(a, b) este egal cu produsul tuturor factorilor primi prezenți simultan în expansiunile numerelor a și b (așa cum este descris în secțiunea despre găsirea GCD folosind expansiunea numerelor în factori primi).

Să dăm un exemplu. Să știm că 75=3·5·5 și 210=2·3·5·7. Să compunem produsul din toți factorii acestor expansiuni: 2·3·3·5·5·5·7 . Acum din acest produs excludem toți factorii prezenți atât în ​​extinderea numărului 75, cât și în extinderea numărului 210 (acești factori sunt 3 și 5), atunci produsul va lua forma 2·3·5·5·7 . Valoarea acestui produs este egală cu cel mai mic multiplu comun al lui 75 și 210, adică NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.

Exemplu.

Factorizați numerele 441 și 700 în factori primi și găsiți cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Soluţie.

Să factorăm numerele 441 și 700 în factori primi:

Obținem 441=3·3·7·7 și 700=2·2·5·5·7.

Acum să facem un produs al tuturor factorilor implicați în extinderea acestor numere: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Să excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți simultan în ambele expansiuni (există un singur astfel de factor - acesta este numărul 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Astfel, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Răspuns:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Regula pentru găsirea LCM folosind factorizarea numerelor în factori primi poate fi formulată puțin diferit. Dacă factorii lipsă din extinderea numărului b se adaugă factorilor din extinderea numărului a, atunci valoarea produsului rezultat va fi egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b..

De exemplu, să luăm aceleași numere 75 și 210, descompunerea lor în factori primi sunt următoarele: 75=3·5·5 și 210=2·3·5·7. La factorii 3, 5 și 5 din extinderea numărului 75 adăugăm factorii lipsă 2 și 7 din extinderea numărului 210, obținem produsul 2·3·5·5·7, a cărui valoare este egal cu LCM(75, 210).

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al lui 84 ​​și 648.

Soluţie.

Obținem mai întâi descompunerea numerelor 84 și 648 în factori primi. Ele arată ca 84=2·2·3·7 și 648=2·2·2·3·3·3·3. La factorii 2, 2, 3 și 7 din extinderea numărului 84 ​​adăugăm factorii lipsă 2, 3, 3 și 3 din extinderea numărului 648, obținem produsul 2 2 2 3 3 3 3 7, care este egal cu 4 536 . Astfel, cel mai mic multiplu comun dorit al lui 84 ​​și 648 este 4.536.

Răspuns:

LCM(84, 648)=4.536.

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere poate fi găsit prin găsirea secvenţială a LCM a două numere. Să ne amintim teorema corespunzătoare, care oferă o modalitate de a găsi LCM a trei sau mai multe numere.

Teorema.

Fie date numere întregi pozitive a 1 , a 2 , …, a k, cel mai mic multiplu comun m k dintre aceste numere se găsește prin calcularea secvențială m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Să luăm în considerare aplicarea acestei teoreme folosind exemplul găsirii celui mai mic multiplu comun al patru numere.

Exemplu.

Aflați LCM a patru numere 140, 9, 54 și 250.

Soluţie.

În acest exemplu, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Mai întâi găsim m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Pentru a face acest lucru, folosind algoritmul euclidian, determinăm GCD(140, 9), avem 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, prin urmare, GCD(140, 9)=1 , de unde GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140.9:1=1.260. Adică m2 =1 260.

Acum găsim m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Să-l calculăm prin GCD(1 260, 54), pe care îl determinăm și folosind algoritmul euclidian: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Apoi mcd(1.260, 54)=18, din care mcd(1.260, 54)= 1.260·54:gcd(1.260, 54)= 1.260·54:18=3.780. Adică m 3 = 3 780.

Tot ce rămâne este de găsit m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Pentru a face acest lucru, găsim GCD(3,780, 250) folosind algoritmul euclidian: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Prin urmare, GCM(3.780, 250)=10, de unde GCM(3.780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Adică m4 =94.500.

Deci cel mai mic multiplu comun al celor patru numere originale este 94.500.

Răspuns:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

În multe cazuri, este convenabil să găsiți cel mai mic multiplu comun a trei sau mai multe numere folosind descompunerea în factori primi a numerelor date. În acest caz, ar trebui să respectați următoarea regulă. Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere este egal cu produsul, care se compune astfel: factorii lipsă din extinderea celui de-al doilea număr se adaugă la toți factorii din extinderea primului număr, factorii lipsă din extinderea numărului. al treilea număr se adaugă factorilor rezultați și așa mai departe.

Să ne uităm la un exemplu de găsire a celui mai mic multiplu comun folosind factorizarea prime.

Exemplu.

Găsiți cel mai mic multiplu comun al celor cinci numere 84, 6, 48, 7, 143.

Soluţie.

Mai întâi, obținem descompunerea acestor numere în factori primi: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 este un număr prim, coincide cu descompunerea ei în factori primi) şi 143=11·13.

Pentru a găsi LCM a acestor numere, la factorii primului număr 84 (sunt 2, 2, 3 și 7), trebuie să adăugați factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr 6. Descompunerea numărului 6 nu conține factori lipsă, deoarece atât 2, cât și 3 sunt deja prezenți în descompunerea primului număr 84. În continuare, la factorii 2, 2, 3 și 7 adăugăm factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al treilea număr 48, obținem un set de factori 2, 2, 2, 2, 3 și 7. Nu va fi nevoie să adăugați multiplicatori la acest set în pasul următor, deoarece 7 este deja conținut în el. În sfârșit, la factorii 2, 2, 2, 2, 3 și 7 adăugăm factorii 11 și 13 lipsă din extinderea numărului 143. Obținem produsul 2·2·2·2·3·7·11·13, care este egal cu 48.048.

Un multiplu este un număr care este divizibil cu un număr dat fără rest. Cel mai mic multiplu comun (LCM) al unui grup de numere este cel mai mic număr care este divizibil cu fiecare număr din grup fără a lăsa rest. Pentru a găsi cel mai mic multiplu comun, trebuie să găsiți factorii primi ai numerelor date. LCM poate fi, de asemenea, calculat folosind o serie de alte metode care se aplică grupurilor de două sau mai multe numere.

Pași

Serii de multipli

Uită-te la aceste numere. Metoda descrisă aici este utilizată cel mai bine atunci când li se dau două numere, fiecare dintre ele mai mic de 10. Dacă este dat numere mari, folosiți o altă metodă.

• De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al lui 5 și 8. Acestea sunt numere mici, așa că puteți utiliza această metodă.

1. Un multiplu este un număr care este divizibil cu un număr dat fără rest. Multiplii pot fi găsiți în tabelul înmulțirii.

   • De exemplu, numerele care sunt multipli ai lui 5 sunt: ​​5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Notează o serie de numere care sunt multipli ai primului număr. Faceți acest lucru sub multiplii primului număr pentru a compara două seturi de numere.

   • De exemplu, numerele care sunt multipli ai lui 8 sunt: ​​8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 și 64.

3. Găsiți cel mai mic număr care este prezent în ambele seturi de multipli. Poate fi necesar să scrieți serii lungi de multipli pentru a găsi număr total. Cel mai mic număr care este prezent în ambele seturi de multipli este cel mai mic multiplu comun.

   • De exemplu, cel mai mic număr, care este prezent în seria multiplilor lui 5 și 8, este numărul 40. Prin urmare, 40 este cel mai mic multiplu comun al lui 5 și 8.

   Factorizarea primilor

   1. Uită-te la aceste numere. Metoda descrisă aici este utilizată cel mai bine atunci când sunt date două numere, fiecare dintre ele fiind mai mare decât 10. Dacă sunt date numere mai mici, utilizați o metodă diferită.

      • De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 20 și 84. Fiecare dintre numere este mai mare decât 10, așa că puteți utiliza această metodă.

   2. Factorizați primul număr în factori primi. Adică, trebuie să găsiți astfel de numere prime care, atunci când sunt înmulțite, vor da un anumit număr. După ce ați găsit factorii primi, scrieți-i ca egalități.

      • De exemplu, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)Şi 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Astfel, factorii primi ai numărului 20 sunt numerele 2, 2 și 5. Scrieți-i ca expresie: .

   3. Factorizați al doilea număr în factori primi. Faceți acest lucru în același mod în care ați factorizat primul număr, adică găsiți astfel de numere prime care, atunci când sunt înmulțite, vor da numărul dat.

      • De exemplu, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)Şi 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Astfel, factorii primi ai numărului 84 ​​sunt numerele 2, 7, 3 și 2. Scrieți-i ca expresie: .

   4. Notați factorii comuni ambelor numere. Scrieți factori precum o operație de înmulțire. Pe măsură ce scrieți fiecare factor, tăiați-l în ambele expresii (expresii care descriu factorizarea numerelor în factori primi).

      • De exemplu, ambele numere au un factor comun de 2, așa că scrieți 2 × (\displaystyle 2\times )și tăiați 2 în ambele expresii.
      • Ceea ce au în comun ambele numere este un alt factor de 2, așa că scrieți 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)și tăiați al doilea 2 în ambele expresii.

   5. Adăugați factorii rămași la operația de înmulțire. Aceștia sunt factori care nu sunt tăiați în ambele expresii, adică factori care nu sunt comuni ambelor numere.

      • De exemplu, în expresia 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) Ambele două (2) sunt tăiate deoarece sunt factori comuni. Factorul 5 nu este tăiat, așa că scrieți operația de înmulțire astfel: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • În exprimare 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) ambele două (2) sunt, de asemenea, tăiate. Factorii 7 și 3 nu sunt tăiați, așa că scrieți operația de înmulțire astfel: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Calculați cel mai mic multiplu comun. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numerele în operația de înmulțire scrisă.

      • De exemplu, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Deci cel mai mic multiplu comun al lui 20 și 84 este 420.

   Găsirea factorilor comuni

   1. Desenați o grilă ca pentru un joc de tic-tac-toe. O astfel de grilă este formată din două linii paralele care se intersectează (în unghi drept) cu alte două linii paralele. Acest lucru vă va oferi trei rânduri și trei coloane (grila seamănă foarte mult cu pictograma #). Scrieți primul număr în prima linie și a doua coloană. Scrieți al doilea număr în primul rând și a treia coloană.

      • De exemplu, găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor 18 și 30. Scrieți numărul 18 în primul rând și a doua coloană și scrieți numărul 30 în primul rând și a treia coloană.

   2. Aflați divizorul comun ambelor numere. Notează-l pe primul rând și pe prima coloană. Este mai bine să cauți factori primi, dar aceasta nu este o cerință.

      • De exemplu, 18 și 30 sunt numere pare, deci factorul lor comun va fi 2. Deci scrieți 2 în primul rând și prima coloană.

   3. Împărțiți fiecare număr la primul divizor. Notați fiecare coeficient sub numărul corespunzător. Un cot este rezultatul împărțirii a două numere.

      • De exemplu, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), așa că scrie 9 sub 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), deci notează 15 sub 30.

   4. Aflați divizorul comun ambilor câte. Dacă nu există un astfel de divizor, săriți peste următorii doi pași. În caz contrar, scrieți divizorul în al doilea rând și în prima coloană.

      • De exemplu, 9 și 15 sunt divizibile cu 3, așa că scrieți 3 în al doilea rând și în prima coloană.

   5. Împărțiți fiecare coeficient la al doilea divizor al său. Scrieți fiecare rezultat al împărțirii sub câtul corespunzător.

      • De exemplu, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), deci scrie 3 sub 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), deci scrie 5 sub 15.

   6. Dacă este necesar, adăugați celule suplimentare la grilă. Repetați pașii descriși până când coeficientii au un divizor comun.

   7. Încercuiește numerele din prima coloană și ultimul rând al grilei. Apoi scrieți numerele selectate ca operație de înmulțire.

      • De exemplu, numerele 2 și 3 sunt în prima coloană, iar numerele 3 și 5 sunt în ultimul rând, așa că scrieți operația de înmulțire astfel: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Găsiți rezultatul înmulțirii numerelor. Aceasta va calcula cel mai mic multiplu comun a două numere date.

      • De exemplu, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Deci cel mai mic multiplu comun al lui 18 și 30 este 90.

   algoritmul lui Euclid

   1. Amintiți-vă terminologia asociată cu operația de divizare. Dividendul este numărul care este împărțit. Divizorul este numărul cu care se împarte. Un cot este rezultatul împărțirii a două numere. Un rest este numărul rămas când două numere sunt împărțite.

      • De exemplu, în expresia 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 este dividendul
        6 este un divizor
        2 este coeficient
        3 este restul.

Cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun sunt concepte aritmetice cheie care vă permit să operați fără efort fracții obișnuite. LCM și sunt cel mai adesea folosite pentru a găsi numitorul comun al mai multor fracții.

Concepte de bază

Împărțitorul unui întreg X este un alt întreg Y prin care X este împărțit fără a lăsa rest. De exemplu, divizorul lui 4 este 2, iar 36 este 4, 6, 9. Un multiplu al unui număr întreg X este un număr Y care este divizibil cu X fără rest. De exemplu, 3 este un multiplu al lui 15, iar 6 este un multiplu al lui 12.

Pentru orice pereche de numere putem găsi divizorii și multiplii lor comuni. De exemplu, pentru 6 și 9, multiplu comun este 18, iar divizorul comun este 3. Evident, perechile pot avea mai mulți divizori și multipli, așa că calculele folosesc cel mai mare divizor MCD și cel mai mic multiplu LCM.

Cel mai mic divizor este lipsit de sens, deoarece pentru orice număr este întotdeauna unul. Cel mai mare multiplu este, de asemenea, lipsit de sens, deoarece succesiunea multiplilor merge la infinit.

Găsirea gcd

Există multe metode pentru a găsi cel mai mare divizor comun, dintre care cele mai faimoase sunt:

• enumerarea secvențială a divizorilor, selectarea celor comuni pentru o pereche și căutarea celui mai mare dintre ei;
• descompunerea numerelor în factori indivizibili;
• algoritm euclidian;
• algoritm binar.

Astăzi la institutii de invatamant Cele mai populare sunt metodele de factorizare prime și algoritmul euclidian. Acesta din urmă, la rândul său, este utilizat atunci când se rezolvă ecuații diofante: căutarea GCD este necesară pentru a verifica ecuația pentru posibilitatea rezoluției în numere întregi.

Găsirea NOC

Cel mai mic multiplu comun este, de asemenea, determinat de enumerarea secvențială sau factorizarea în factori indivizibili. În plus, este ușor să găsiți LCM dacă cel mai mare divizor este deja determinat. Pentru numerele X și Y, LCM și GCD sunt legate prin următoarea relație:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

De exemplu, dacă MCM(15,18) = 3, atunci LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Cel mai evident exemplu de utilizare a MCM este găsirea numitorului comun, care este cel mai mic multiplu comun al fracții date.

Numerele coprime

Dacă o pereche de numere nu are divizori comuni, atunci o astfel de pereche se numește coprim. MCD pentru astfel de perechi este întotdeauna egal cu unu, iar pe baza conexiunii dintre divizori și multipli, mcd pentru perechile coprime este egal cu produsul lor. De exemplu, numerele 25 și 28 sunt relativ prime, deoarece nu au divizori comuni, iar LCM(25, 28) = 700, care corespunde produsului lor. Orice două numere indivizibile vor fi întotdeauna relativ prime.

Divizor comun și calculator multiplu

Folosind calculatorul nostru, puteți calcula GCD și LCM pentru un număr arbitrar de numere din care să alegeți. Sarcinile privind calcularea divizorilor comuni și multiplilor se găsesc în aritmetica de clasa a 5-a și a 6-a, dar GCD și LCM sunt concepte cheie în matematică și sunt folosite în teoria numerelor, planimetrie și algebra comunicativă.

Exemple din viața reală

Numitorul comun al fracțiilor

Cel mai mic multiplu comun este utilizat la găsirea numitorului comun al mai multor fracții. Să presupunem că într-o problemă de aritmetică trebuie să însumați 5 fracții:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Pentru a adăuga fracții, expresia trebuie redusă la un numitor comun, care se reduce la problema găsirii LCM. Pentru a face acest lucru, selectați 5 numere în calculator și introduceți valorile numitorilor în celulele corespunzătoare. Programul va calcula LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Acum trebuie să calculați factori suplimentari pentru fiecare fracție, care sunt definiți ca raportul dintre LCM și numitorul. Deci, multiplicatorii suplimentari ar arăta astfel:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

După aceasta, înmulțim toate fracțiile cu factorul suplimentar corespunzător și obținem:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Putem aduna cu ușurință astfel de fracții și obținem rezultatul ca 159/360. Reducem fracția cu 3 și vedem răspunsul final - 53/120.

Rezolvarea ecuațiilor diofantine liniare

Ecuațiile diofantine liniare sunt expresii de forma ax + by = d. Dacă raportul d / mcd(a, b) este un număr întreg, atunci ecuația este rezolvabilă în numere întregi. Să verificăm câteva ecuații pentru a vedea dacă au o soluție întreagă. Mai întâi, să verificăm ecuația 150x + 8y = 37. Folosind un calculator, găsim GCD (150.8) = 2. Împărțim 37/2 = 18.5. Numărul nu este un întreg, prin urmare ecuația nu are rădăcini întregi.

Să verificăm ecuația 1320x + 1760y = 10120. Folosiți un calculator pentru a găsi GCD(1320, 1760) = 440. Împărțiți 10120/440 = 23. Ca rezultat, obținem un număr întreg, prin urmare, ecuația diofantică este coeficientă în coeficienti .

Concluzie

GCD și LCM joacă un rol important în teoria numerelor, iar conceptele în sine sunt utilizate pe scară largă într-o mare varietate de domenii ale matematicii. Folosește calculatorul nostru pentru a calcula cei mai mari divizori și cei mai mici multipli ai oricărui număr de numere.

Cel mai mic multiplu comun a două numere este direct legat de cel mai mare divizor comun al acestor numere. Acest legătura dintre GCD și NOC este determinată de următoarea teoremă.

Teorema.

Cel mai mic multiplu comun al două numere întregi pozitive a și b este egal cu produsul dintre a și b împărțit la cel mai mare divizor comun al lui a și b, adică LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).

Dovada.

Lasă M este un multiplu al numerelor a și b. Adică, M este divizibil cu a și, după definiția divizibilității, există un număr întreg k astfel încât egalitatea M=ak·k este adevărată. Dar M este și divizibil cu b, atunci a·k este divizibil cu b.

Să notăm mcd(a, b) ca d. Atunci putem scrie egalitățile a=a 1 ·d și b=b 1 ·d, iar a 1 =a:d și b 1 =b:d vor fi numere prime relativ. În consecință, condiția obținută în paragraful anterior că a · k este divizibil cu b poate fi reformulată astfel: a 1 · d · k se împarte la b 1 · d , iar aceasta, datorită proprietăților de divizibilitate, este echivalentă cu condiția că a 1 · k este divizibil cu b 1.

De asemenea, trebuie să notați două corolare importante din teorema luată în considerare.

Multiplii comuni ai două numere sunt la fel cu multiplii celui mai mic multiplu comun al acestora.

Acesta este într-adevăr cazul, deoarece orice multiplu comun al lui M al numerelor a și b este determinat de egalitatea M=LMK(a, b)·t pentru o valoare întreagă t.

Cel mai mic multiplu comun al numerelor prime pozitive reciproce a și b este egal cu produsul lor.

Motivul pentru acest fapt este destul de evident. Deoarece a și b sunt relativ primi, atunci mcd(a, b)=1, prin urmare, GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

Cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere

Găsirea celui mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere poate fi redusă la găsirea secvenţială a LCM a două numere. Cum se face acest lucru este indicat în următoarea teoremă a 1 , a 2 , …, a k coincid cu multiplii comuni ai numerelor m k-1 și a k ​​, prin urmare, coincid cu multiplii comuni ai numărului m k . Și deoarece cel mai mic multiplu pozitiv al numărului m k este numărul m k însuși, atunci cel mai mic multiplu comun al numerelor a 1, a 2, ..., a k este m k.

Referințe.

• Vilenkin N.Ya. si altii. Clasa a VI-a: manual pentru instituţiile de învăţământ general.
• Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor.
• Mihailovici Sh.H. Teoria numerelor.
• Kulikov L.Ya. și altele. Culegere de probleme în algebră și teoria numerelor: Tutorial pentru studenții la fizică și matematică. specialităţile institutelor pedagogice.