Calculul volumelor corpurilor de revoluție folosind o integrală. Calculul volumului unui corp format prin rotație

Subiect: „Calculul volumelor corpurilor de revoluție folosind o integrală definită”

Tip de lecție: combinate.

Obiectivul lecției:învață să calculezi volumele corpurilor de revoluție folosind integrale.

Sarcini:

consolida capacitatea de a identifica trapezele curbate dintr-o serie forme geometriceși exersați deprinderea de a calcula ariile trapezelor curbilinie;

familiarizează-te cu conceptul de figură tridimensională;

învață să calculezi volumele corpurilor de rotație;

promovează dezvoltarea gândire logică, vorbire matematică competentă, acuratețe la construirea desenelor;

să cultive interesul pentru subiect, în operarea cu concepte și imagini matematice, să cultive voința, independența și perseverența în obținerea rezultatului final.

Progresul lecției

I. Moment organizatoric.

Salutări din partea grupului. Comunicați elevilor obiectivele lecției.

Aș vrea să încep lecția de astăzi cu o pildă. „Trăia odată un om înțelept care știa totul. Un bărbat a vrut să demonstreze că înțeleptul nu știe totul. Ținând un fluture în mâini, a întrebat: „Spune-mi, înțelept, care fluture este în mâinile mele: mort sau viu?” Și se gândește: „Dacă cel viu spune, o voi omorî, dacă spune cel mort, o eliberez”. Înțeleptul, după ce s-a gândit, a răspuns: „Totul este în mâinile tale”.

Prin urmare, să lucrăm fructuos astăzi, să dobândim un nou depozit de cunoștințe și vom aplica abilitățile și abilitățile dobândite în viața viitoare și în activități practice „Totul este în mâinile tale”.

II. Repetarea materialului studiat anterior.

Să ne amintim punctele principale ale materialului studiat anterior. Pentru a face acest lucru, să finalizăm sarcina „Eliminați cuvântul suplimentar”.

(Elevii spun un cuvânt în plus.)

Corect "Diferenţial".Încercați să numiți cuvintele rămase cu un singur cuvânt comun. (Calcul integral.)

Să ne amintim principalele etape și concepte asociate calculului integral.

Exercita. Recuperați golurile. (Elevul iese și scrie în cuvintele cerute cu un marker.)

Lucrați în caiete.

Formula Newton-Leibniz a fost derivată de fizicianul englez Isaac Newton (1643-1727) și de filozoful german Gottfried Leibniz (1646-1716). Și acest lucru nu este surprinzător, deoarece matematica este limba vorbită de natura însăși.

Să luăm în considerare modul în care această formulă este utilizată pentru a rezolva probleme practice.

Exemplul 1: Calculați aria unei figuri delimitate de linii

Soluţie: Să construim pe plan de coordonate grafice de funcții . Să selectăm zona figurii care trebuie găsită.

III. Învățarea de materiale noi.

Acordați atenție ecranului. Ce se arată în prima poză? (Figura arată o figură plată.)

Ce se arată în a doua imagine? Această cifră este plată? (Figura arată o figură tridimensională.)

În spațiu, pe pământ și în interior viata de zi cu ziÎntâlnim nu numai figuri plate, ci și tridimensionale, dar cum putem calcula volumul unor astfel de corpuri? De exemplu: volumul unei planete, comete, meteorit etc.

Oamenii se gândesc la volum atât atunci când construiesc case, cât și când turnează apă dintr-un vas în altul. Au trebuit să apară reguli și tehnici pentru calcularea volumelor, cât de exacte și justificate erau acestea este o altă problemă.

Anul 1612 a fost foarte roditor pentru locuitorii orașului austriac Linz, unde a locuit faimosul astronom Johannes Kepler, în special pentru struguri. Oamenii pregăteau butoaie de vin și doreau să știe să-și determine practic volumele.

Astfel, lucrările considerate ale lui Kepler au marcat începutul unui întreg flux de cercetare care a culminat în ultimul sfert al secolului al XVII-lea. design în lucrările lui I. Newton și G.V. Leibniz de calcul diferenţial şi integral. Matematica variabilelor a luat măreție din această perioadă loc de frunteîn sistemul cunoştinţelor matematice.

Astăzi, tu și cu mine ne vom angaja în astfel de activități practice, prin urmare,

Tema lecției noastre: „Calculul volumelor corpurilor de rotație folosind o integrală definită.”

Veți învăța definiția unui corp de revoluție făcând următoarea sarcină.

"Labirint".

Exercita. Găsiți o cale de ieșire din situația confuză și scrieți definiția.

IVCalculul volumelor.

Folosind o integrală definită, puteți calcula volumul unui anumit corp, în special un corp de rotație.

Un corp de revoluție este un corp obținut prin rotirea unui trapez curbat în jurul bazei sale (Fig. 1, 2)

Volumul unui corp de revoluție se calculează folosind una dintre formule:

1. în jurul axei OX.

2. , dacă rotația unui trapez curbat în jurul axei amplificatorului operațional.

Elevii notează formulele de bază într-un caiet.

Profesorul explică soluțiile la exemplele de pe tablă.

1. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei ordonatelor unui trapez curbiliniu delimitat de drepte: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Soluţie.

Raspuns: 1163 cmc.

2. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unui trapez parabolic în jurul axei x y = , x = 4, y = 0.

Soluţie.

V. Simulator de matematică.

2. Se numește mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date

O) integrală nedefinită,

B) funcția,

B) diferențiere.

7. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor unui trapez curbiliniu delimitat de linii:

D/Z. Consolidarea materialului nou

Calculați volumul corpului format prin rotația petalei în jurul axei x y = x2, y2 = x.

Să construim grafice ale funcției. y = x2, y2 = x. Să transformăm graficul y2 = x în forma y = .

Avem V = V1 - V2 Să calculăm volumul fiecărei funcții:

Concluzie:

Integrala definită este o anumită bază pentru studiul matematicii, care aduce o contribuție de neînlocuit la rezolvarea problemelor practice.

Tema „Integral” demonstrează clar legătura dintre matematică și fizică, biologie, economie și tehnologie.

Dezvoltare stiinta moderna este de neconceput fără a folosi integrala. În acest sens, este necesar să începem să-l studiem în cadrul mediei educație specială!

VI. Notare.(Cu comentarii.)

Homar mare Khayyam - matematician, poet, filozof. El ne încurajează să fim stăpâni pe propriul nostru destin. Să ascultăm un fragment din munca lui:

Tu spui, această viață este un moment.
Apreciază-l, inspiră-te din el.
Pe măsură ce o cheltuiți, așa va trece.
Nu uita: ea este creația ta.

figură plată în jurul unei axe

Exemplul 3

Dată o figură plată delimitate de linii , , .

1) Aflați aria unei figuri plate delimitate de aceste linii.

2) Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Atenţie! Chiar dacă vrei să citești doar al doilea punct, mai întâi Neapărat citeste primul!

Soluţie: Sarcina constă din două părți. Să începem cu pătratul.

1) Să facem un desen:

Este ușor de observat că funcția specifică ramura superioară a parabolei, iar funcția specifică ramura inferioară a parabolei. În fața noastră se află o parabolă banală care „se află pe o parte”.

Figura dorită, a cărei zonă se găsește, este umbrită în albastru.

Cum să găsiți aria unei figuri? Poate fi găsit în mod „normal”. În plus, aria figurii se găsește ca suma suprafețelor:

- pe segment ;

- pe segment.

De aceea:

Există o soluție mai rațională: constă în trecerea la funcții inverseși integrarea de-a lungul axei.

Cum se ajunge la funcțiile inverse? În linii mari, trebuie să exprimați „x” prin „y”. Mai întâi, să ne uităm la parabola:

Este suficient, dar să ne asigurăm că aceeași funcție poate fi derivată din ramura inferioară:

Este mai ușor cu o linie dreaptă:

Acum uitați-vă la axă: vă rugăm să înclinați periodic capul la dreapta cu 90 de grade în timp ce explicați (aceasta nu este o glumă!). Cifra de care avem nevoie se află pe segment, care este indicată de linia punctată roșie. În acest caz, pe segment, linia dreaptă este situată deasupra parabolei, ceea ce înseamnă că aria figurii trebuie găsită folosind formula deja familiară: . Ce s-a schimbat în formulă? Doar o scrisoare și nimic mai mult.

! Nota : Limitele de integrare a axei ar trebui plasatstrict de jos în sus !

Găsirea zonei:

Pe segment, prin urmare:

Vă rugăm să rețineți cum am realizat integrarea, acesta este cel mai rațional mod, iar în următorul paragraf al sarcinii va fi clar de ce.

Pentru cititorii care se îndoiesc de corectitudinea integrării, voi găsi derivate:

Se obține funcția integrand originală, ceea ce înseamnă că integrarea a fost efectuată corect.

Răspuns:

2) Să calculăm volumul corpului format prin rotirea acestei figuri în jurul axei.

Voi redesena desenul într-un design ușor diferit:

Deci, figura umbrită în albastru se rotește în jurul axei. Rezultatul este un „fluture plutitor” care se rotește în jurul axei sale.

Pentru a găsi volumul unui corp de rotație, vom integra de-a lungul axei. Mai întâi trebuie să mergem la funcțiile inverse. Acest lucru a fost deja făcut și descris în detaliu în paragraful anterior.

Acum înclinăm din nou capul spre dreapta și ne studiem silueta. Evident, volumul unui corp de rotație ar trebui găsit ca diferență de volume.

Rotim figura încercuită cu roșu în jurul axei, rezultând un trunchi de con. Să notăm acest volum cu .

Rotiți figura încercuită verde, în jurul axei și notat cu volumul corpului de rotație rezultat.

Volumul fluturelui nostru este egal cu diferența de volume.

Folosim formula pentru a afla volumul unui corp de revoluție:

Care este diferența față de formula din paragraful anterior? Doar în scrisoare.

Dar avantajul integrării, despre care am vorbit recent, este mult mai ușor de găsit , mai degrabă decât ridicarea întâi a integrandului la puterea a 4-a.

Răspuns:

Rețineți că dacă la fel figură plată rotiți în jurul axei, obțineți un corp de rotație complet diferit, desigur cu un volum diferit.

Exemplul 7

Calculați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri delimitate de curbe și .

Soluţie: Hai să facem un desen:

Pe parcurs, ne familiarizăm cu graficele altor funcții. Acesta este un grafic interesant chiar funcția ….

Pentru a găsi volumul unui corp de revoluție, este suficient să folosim jumătatea dreaptă a figurii, pe care am umbrit-o în albastru. Ambele funcții sunt pare, graficele lor sunt simetrice față de axă, iar figura noastră este simetrică. Astfel umbrită partea dreaptă, care se rotește în jurul axei, va coincide cu siguranță cu partea stângă nehașurată.

Definiția 3. Un corp de revoluție este un corp obținut prin rotirea unei figuri plane în jurul unei axe care nu intersectează figura și se află în același plan cu aceasta.

Axa de rotație poate intersecta figura dacă este axa de simetrie a figurii.

Teorema 2.
, axa
și segmente drepte
Şi

se rotește în jurul unei axe
. Apoi volumul corpului de rotație rezultat poate fi calculat folosind formula

(2)

Dovada. Pentru un astfel de corp, secțiunea transversală cu abscisă este un cerc cu raza
, Înseamnă
iar formula (1) dă rezultatul necesar.

Dacă cifra este limitată de graficele a două funcţii continue
Şi
, și segmente de linie
Şi
, și
Şi
, apoi la rotirea în jurul axei x obținem un corp al cărui volum

Exemplul 3. Calculați volumul unui tor obținut prin rotirea unui cerc delimitat de un cerc

în jurul axei absciselor.

R decizie. Cercul indicat este limitat mai jos de graficul funcției
, iar de sus –
. Diferența pătratelor acestor funcții:

Volumul necesar

(graficul integrandului este semicercul superior, deci integrala scrisă mai sus este aria semicercului).

Exemplul 4. Segment parabolic cu bază
, și înălțimea , se rotește în jurul bazei. Calculați volumul corpului rezultat („lămâie” de Cavalieri).

R decizie. Vom plasa parabola așa cum se arată în figură. Apoi ecuația sa
, și
. Să găsim valoarea parametrului :
. Deci, volumul necesar:

Teorema 3. Fie un trapez curbiliniu mărginit de graficul unei funcții continue nenegative
, axa
și segmente drepte
Şi
, și
, se rotește în jurul unei axe
. Apoi volumul corpului de rotație rezultat poate fi găsit prin formula

(3)

Ideea de dovadă. Împărțim segmentul
puncte

, în părți și trageți linii drepte
. Întregul trapez va fi descompus în benzi, care pot fi considerate aproximativ dreptunghiuri cu bază
si inaltime
.

Tăiem cilindrul rezultat prin rotirea unui astfel de dreptunghi de-a lungul generatricei sale și îl desfacem. Obținem un paralelipiped „aproape” cu dimensiuni:
,
Şi
. Volumul acestuia
. Deci, pentru volumul unui corp de revoluție vom avea egalitatea aproximativă

Pentru a obține egalitatea exactă, trebuie să mergeți la limita la
. Suma scrisă mai sus este suma integrală pentru funcție
, prin urmare, în limită obținem integrala din formula (3). Teorema a fost demonstrată.

Nota 1. În teoremele 2 și 3 condiția
poate fi omisă: formula (2) este în general insensibilă la semn
, iar în formula (3) este suficient
înlocuiți cu
.

Exemplul 5. Segment parabolic (bază
, înălțime ) se rotește în jurul înălțimii. Aflați volumul corpului rezultat.

Soluţie. Să plasăm parabola așa cum se arată în figură. Și deși axa de rotație intersectează figura, aceasta - axa - este o axă de simetrie. Prin urmare, trebuie să luăm în considerare doar jumătatea dreaptă a segmentului. Ecuația parabolei
, și
, Înseamnă
. Avem pentru volum:

Nota 2. Dacă limita curbilinie a unui trapez curbiliniu este dată de ecuații parametrice
,
,
Şi
,
apoi puteți folosi formulele (2) și (3) cu înlocuirea pe
Şi
pe
la schimbare t din
la .

Exemplul 6. Figura este limitată de primul arc al cicloidului
,
,
, și axa x. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea acestei figuri în jurul: 1) axei
; 2) axele
.

Soluţie. 1) Formula generală
In cazul nostru:

2) Formula generală
Pentru figura noastră:

Invităm elevii să efectueze singuri toate calculele.

Nota 3. Fie un sector curbat delimitat de o linie continuă
și raze
,

, se rotește în jurul unei axe polare. Volumul corpului rezultat poate fi calculat folosind formula.

Exemplul 7. Parte a unei figuri delimitată de un cardioid
, situat în afara cercului
, se rotește în jurul unei axe polare. Aflați volumul corpului rezultat.

Soluţie. Ambele linii și, prin urmare, cifra pe care o limitează, sunt simetrice față de axa polară. Prin urmare, este necesar să se ia în considerare numai acea parte pentru care
. Curbele se intersectează la
Şi

la
. În plus, cifra poate fi considerată ca diferența a două sectoare și, prin urmare, volumul poate fi calculat ca diferența a două integrale. Avem:

Sarcini Pentru decizie independentă.

1. Un segment circular a cărui bază
, înălțime , se rotește în jurul bazei. Aflați volumul corpului de rotație.

2. Aflați volumul unui paraboloid de revoluție a cărui bază , iar înălțimea este .

3. Figura delimitată de un astroid
,
se rotește în jurul axei absciselor. Aflați volumul corpului rezultat.

4. Figura delimitată prin linii
Şi
se rotește în jurul axei x. Aflați volumul corpului de rotație.

Cu excepţia găsirea ariei unei figuri plane folosind o integrală definită (vezi 7.2.3.) cea mai importantă aplicaţie a temei este calcularea volumului unui corp de rotație. Materialul este simplu, dar cititorul trebuie să fie pregătit: trebuie să fii capabil să rezolvi integrale nedefinite complexitate medie și aplicați formula Newton-Leibniz în integrală definită, n De asemenea, aveți nevoie de abilități puternice de desen. În general, există multe aplicații interesante în calculul integral folosind o integrală definită, puteți calcula aria unei figuri, volumul unui corp de rotație, lungimea unui arc, aria suprafeței unui corp; si multe altele. Imaginează-ți o figură plată pe planul de coordonate. Introdus? ... Acum această cifră poate fi, de asemenea, rotită și rotită în două moduri:

– în jurul axei x ;

– în jurul axei ordonatelor .

Să ne uităm la ambele cazuri. A doua metodă de rotație este deosebit de interesantă, ea provoacă cele mai multe dificultăți, dar de fapt soluția este aproape aceeași ca în rotația mai comună în jurul axei x. Să începem cu cel mai popular tip de rotație.

Calculul volumului unui corp format prin rotirea unei figuri plane în jurul unei axe BOU

Exemplul 1

Calculați volumul unui corp obținut prin rotirea unei figuri delimitate de linii în jurul unei axe.

Soluţie: Ca și în problema găsirii zonei, soluția începe cu un desen al unei figuri plate. Adică într-un avion XOY este necesar să construiți o figură delimitată de drepte și nu uitați că ecuația specifică axa. Desenul de aici este destul de simplu:

Figura plată dorită este umbrită în albastru este cea care se rotește în jurul axei. Ca rezultat al rotației, rezultatul este o farfurie zburătoare ușor ovoidă, cu două vârfuri ascuțite pe axă BOU, simetric față de axă BOU. De fapt, corpul are un nume matematic, uită-te în cartea de referință.

Cum se calculează volumul unui corp de revoluție? Dacă un corp se formează ca urmare a rotației în jurul unei axeBOU, este împărțit mental în straturi paralele de grosime mică dx, care sunt perpendiculare pe axa BOU. Volumul întregului corp este în mod evident egal cu suma volumelor unor astfel de straturi elementare. Fiecare strat, ca o felie rotundă de lămâie, este un cilindru mic în înălțime dx si cu raza bazei f(x). Atunci volumul unui strat este produsul ariei de bază π f 2 pe înălțime de cilindru ( dx), sau π∙ f 2 (x)∙dx. Și aria întregului corp de rotație este suma volumelor elementare sau integrala definită corespunzătoare. Volumul unui corp de revoluție poate fi calculat folosind formula:

.

Cum să setați limitele integrării „a” și „fi” poate fi ușor de ghicit din desenul finalizat. Funcția... ce este această funcție? Să ne uităm la desen. Figura plană este delimitată de graficul parabolei din partea de sus. Aceasta este funcția care este implicată în formulă. În sarcinile practice, o figură plată poate fi uneori situată sub axă BOU. Acest lucru nu schimbă nimic - funcția din formulă este pătrat: f 2 (x), Astfel, volumul unui corp de revoluție este întotdeauna nenegativ, ceea ce este foarte logic. Să calculăm volumul unui corp de revoluție folosind această formulă:

.

După cum am observat deja, integrala se dovedește aproape întotdeauna a fi simplă, principalul lucru este să fii atent.

Răspuns:

În răspunsul dvs., trebuie să indicați dimensiunea - unități cubice. Adică, în corpul nostru de rotație există aproximativ 3,35 „cuburi”. De ce cubic unitati? Pentru că aceasta este formularea cea mai universală. Ar putea fi centimetri cubi, ar putea fi metri cubi, ar putea fi kilometri cubi, etc., așa câți oameni verzi poate pune imaginația ta într-o farfurie zburătoare.

Exemplul 2

Aflați volumul unui corp format prin rotație în jurul unei axe BOU o figură delimitată de linii , , .

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Exemplul 3

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea figurii delimitate de liniile , , și în jurul axei absciselor.

Soluţie: Să înfățișăm în desen o figură plată delimitată de liniile , , , , fără a uita că ecuația x= 0 specifică axa OY:

Figura dorită este umbrită în albastru. Când se rotește în jurul unei axe BOU rezultatul este o gogoașă plată, unghiulară (o șaibă cu două suprafețe conice).

Să calculăm volumul corpului de revoluție ca diferența de volume a corpurilor. Mai întâi, să ne uităm la figura încercuită cu roșu. Când se rotește în jurul unei axe BOU rezultatul este un trunchi de con. Să notăm volumul acestui trunchi de con cu V 1 .

Luați în considerare figura care este încercuită în verde. Dacă rotiți această cifră în jurul axei BOU, apoi obțineți același trunchi de con, doar puțin mai mic. Să notăm volumul acestuia cu V 2 .

Este evident că diferența de volume V = V 1 - V 2 este volumul „gogoșii” noastre.

Folosim formula standard pentru a găsi volumul unui corp de rotație:

1) Figura încercuită cu roșu este delimitată deasupra printr-o linie dreaptă, prin urmare:

2) Figura încercuită cu verde este delimitată deasupra printr-o linie dreaptă, prin urmare:

3) Volumul corpului de revoluție dorit:

Răspuns:

Este curios că în în acest caz, solutia poate fi verificata folosind formula scolara de calcul al volumului unui trunchi de con.

Decizia în sine este adesea scrisă mai scurt, ceva de genul acesta:

Ca și în problema găsirii zonei, aveți nevoie de abilități de desen încrezător - acesta este aproape cel mai important lucru (deoarece integralele în sine vor fi adesea ușoare). Maestru alfabetizat și tehnologie rapidă trasarea se poate face folosind materiale didacticeși Transformări geometrice ale graficelor. Dar, de fapt, despre importanța desenelor am vorbit deja de câteva ori în clasă.

În general, există o mulțime de aplicații interesante în calculul integral folosind o integrală definită, puteți calcula aria unei figuri, volumul unui corp de revoluție, lungimea arcului, aria suprafeței de revoluție și multe; Mai mult. Deci va fi distractiv, vă rog să fiți optimist!

Imaginează-ți o figură plată pe planul de coordonate. Introdus? ... Mă întreb cine a prezentat ce... =))) Am găsit deja zona lui. Dar, în plus, această cifră poate fi, de asemenea, rotită și rotită în două moduri:

– în jurul axei absciselor;
– în jurul axei ordonatelor.

Acest articol va examina ambele cazuri. A doua metodă de rotație este deosebit de interesantă, ea provoacă cele mai multe dificultăți, dar de fapt soluția este aproape aceeași ca în rotația mai comună în jurul axei x. Ca bonus, voi reveni la problema găsirii ariei unei figuriși vă voi spune cum să găsiți zona în al doilea mod - de-a lungul axei. Nu este atât de mult un bonus, deoarece materialul se potrivește bine cu subiectul.

Să începem cu cel mai popular tip de rotație.

figură plată în jurul unei axe

Exemplul 1

Calculați volumul unui corp obținut prin rotirea unei figuri delimitate de linii în jurul unei axe.

Soluţie: Ca și în problema găsirii zonei, soluția începe cu un desen al unei figuri plate. Adică, pe plan este necesar să construiți o figură delimitată de drepte și nu uitați că ecuația specifică axa. Cum să finalizați un desen mai eficient și mai rapid poate fi găsit pe pagini Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementareŞi Integrală definită. Cum se calculează aria unei figuri. Acesta este un memento chinezesc și, în acest moment, nu mă voi opri mai departe.

Desenul de aici este destul de simplu:

Figura plată dorită este umbrită în albastru; este cea care se rotește în jurul axei. Rezultatul este o farfurie zburătoare ușor ovoidă. De fapt, corpul are un nume matematic, dar mi-e prea lene să clarific ceva în cartea de referință, așa că mergem mai departe.

Cum se calculează volumul unui corp de revoluție?

Volumul unui corp de revoluție poate fi calculat folosind formula:

În formulă, numărul trebuie să fie prezent înaintea integralei. Așa s-a întâmplat - tot ceea ce se învârte în viață este legat de această constantă.

Cred că este ușor de ghicit cum să setați limitele integrării „a” și „fi” din desenul finalizat.

Funcția... ce este această funcție? Să ne uităm la desen. Figura plană este delimitată de graficul parabolei din partea de sus. Aceasta este funcția care este implicată în formulă.

În sarcinile practice, o figură plată poate fi uneori situată sub axă. Acest lucru nu schimbă nimic - integrandul din formulă este pătrat: , astfel integrala este întotdeauna nenegativă, ceea ce este foarte logic.

Să calculăm volumul unui corp de revoluție folosind această formulă:

După cum am menționat deja, integrala se dovedește aproape întotdeauna a fi simplă, principalul lucru este să fii atent.

Răspuns:

În răspunsul dvs., trebuie să indicați dimensiunea - unități cubice. Adică, în corpul nostru de rotație există aproximativ 3,35 „cuburi”. De ce cubic unitati? Pentru că cea mai universală formulare. Ar putea fi centimetri cubi, ar putea fi metri cubi, ar putea fi kilometri cubi, etc., așa câți oameni verzi poate pune imaginația ta într-o farfurie zburătoare.

Exemplul 2

Aflați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri delimitate de linii , ,

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Să luăm în considerare două probleme mai complexe, care sunt, de asemenea, des întâlnite în practică.

Exemplul 3

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor figurii delimitate de liniile , și

Soluţie: Să descriem în desen o figură plată delimitată de liniile , , , , fără a uita că ecuația definește axa:

Figura dorită este umbrită în albastru. Când se rotește în jurul axei sale, se dovedește a fi o gogoașă suprarealistă cu patru colțuri.

Să calculăm volumul corpului de revoluție ca diferența de volume a corpurilor.

Mai întâi, să ne uităm la figura încercuită cu roșu. Când se rotește în jurul unei axe, se obține un trunchi de con. Să notăm volumul acestui trunchi de con cu .

Luați în considerare figura care este încercuită în verde. Dacă rotiți această cifră în jurul axei, veți obține și un trunchi de con, doar puțin mai mic. Să notăm volumul acestuia cu .

Și, evident, diferența de volume este exact volumul „gogoșii” noastre.

Folosim formula standard pentru a găsi volumul unui corp de rotație:

1) Figura încercuită cu roșu este delimitată deasupra printr-o linie dreaptă, prin urmare:

2) Figura încercuită cu verde este delimitată deasupra printr-o linie dreaptă, prin urmare:

3) Volumul corpului de revoluție dorit:

Răspuns:

Este curios că în acest caz soluția poate fi verificată folosind formula școlară de calcul al volumului unui trunchi de con.

Decizia în sine este adesea scrisă mai scurt, ceva de genul acesta:

Acum hai să ne odihnim puțin și să vă spunem despre iluziile geometrice.

Oamenii au adesea iluzii asociate cu volumele, ceea ce a fost observat de Perelman (altul) în carte Geometrie distractivă. Uită-te la figura plată din problema rezolvată - pare să fie mică ca suprafață, iar volumul corpului de revoluție este puțin peste 50 de unități cubice, ceea ce pare prea mare. Apropo, o persoană obișnuită bea un lichid echivalent cu o cameră cu o suprafață de 18 în întreaga sa viață. metri patrati, care, dimpotrivă, pare a fi un volum prea mic.

În general, sistemul de învățământ din URSS a fost cu adevărat cel mai bun. Aceeași carte de Perelman, apărută în 1950, dezvoltă foarte bine, așa cum spunea umoristul, gândirea și te învață să cauți originalul. soluții nestandardizate probleme. Am recitit recent unele capitole cu mare interes, o recomand, este accesibilă chiar și umaniștilor. Nu, nu trebuie să zâmbești că am oferit timp liber, erudiția și orizonturile largi în comunicare sunt un lucru grozav.

După o digresiune lirică, este potrivit să rezolvi o sarcină creativă:

Exemplul 4

Calculați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri plane delimitate de liniile , , unde .

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Vă rugăm să rețineți că toate cazurile apar în bandă, cu alte cuvinte, sunt date limite de integrare gata făcute. Desenați corect graficele funcțiilor trigonometrice, permiteți-mi să vă reamintesc materialul despre lecție transformări geometrice ale graficelor: dacă argumentul este împărțit la două: , atunci graficele sunt întinse de două ori de-a lungul axei. Este indicat să găsiți cel puțin 3-4 puncte conform tabelelor trigonometrice pentru a completa desenul mai precis. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Apropo, sarcina poate fi rezolvată rațional și nu foarte rațional.

Calculul volumului unui corp format prin rotație
figură plată în jurul unei axe

Al doilea paragraf va fi chiar mai interesant decât primul. Sarcina de a calcula volumul unui corp de revoluție în jurul axei ordonatelor este, de asemenea, un invitat destul de frecvent în teste. Pe parcurs se va lua în considerare problema găsirii ariei unei figuri a doua metodă este integrarea de-a lungul axei, aceasta vă va permite nu numai să vă îmbunătățiți abilitățile, ci și să vă învețe să găsiți cea mai profitabilă cale de soluție. Există și un punct practic în asta. sensul vieții! După cum și-a amintit zâmbind profesoara mea de metode de predare a matematicii, mulți absolvenți i-au mulțumit cu cuvintele: „Materia ta ne-a ajutat foarte mult, acum manageri eficientiși gestionați în mod optim personalul nostru.” Profitând de această ocazie, îi exprim și marea mea recunoștință față de ea, mai ales că folosesc cunoștințele dobândite în scopul propus =).

Îl recomand tuturor, chiar și manechinelor complete. Mai mult, materialul învățat în al doilea paragraf va oferi un ajutor neprețuit în calcularea integralelor duble.

Exemplul 5

Dată o figură plată mărginită de liniile , , .

1) Aflați aria unei figuri plate delimitate de aceste linii.
2) Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Atenţie! Chiar dacă vrei să citești doar al doilea punct, mai întâi Neapărat citeste primul!

Soluţie: Sarcina constă din două părți. Să începem cu pătratul.

1) Să facem un desen:

Este ușor de observat că funcția specifică ramura superioară a parabolei, iar funcția specifică ramura inferioară a parabolei. În fața noastră se află o parabolă banală care „se află pe o parte”.

Figura dorită, a cărei zonă se găsește, este umbrită în albastru.

Cum să găsiți aria unei figuri? Poate fi găsită în modul „obișnuit”, care a fost discutat în clasă Integrală definită. Cum se calculează aria unei figuri. În plus, aria figurii se găsește ca suma suprafețelor:
- pe segment ;
- pe segment.

De aceea:

De ce soluția obișnuită este proastă în acest caz? În primul rând, avem două integrale. În al doilea rând, integralele sunt rădăcini, iar rădăcinile în integrale nu sunt un dar și, în plus, puteți deveni confuz în înlocuirea limitelor integrării. De fapt, integralele, desigur, nu sunt ucigașe, dar în practică totul poate fi mult mai trist, doar am selectat funcții „mai bune” pentru problemă.

Există o soluție mai rațională: constă în trecerea la funcții inverse și integrarea de-a lungul axei.

Cum se ajunge la funcțiile inverse? În linii mari, trebuie să exprimați „x” prin „y”. Mai întâi, să ne uităm la parabola:

Este suficient, dar să ne asigurăm că aceeași funcție poate fi derivată din ramura inferioară:

Este mai ușor cu o linie dreaptă:

Acum uitați-vă la axă: vă rugăm să înclinați periodic capul la dreapta cu 90 de grade în timp ce explicați (aceasta nu este o glumă!). Cifra de care avem nevoie se află pe segment, care este indicată de linia punctată roșie. În acest caz, pe segment, linia dreaptă este situată deasupra parabolei, ceea ce înseamnă că aria figurii trebuie găsită folosind formula deja familiară: . Ce s-a schimbat în formulă? Doar o scrisoare și nimic mai mult.

! Nota: Trebuie stabilite limitele de integrare de-a lungul axei strict de jos în sus!

Găsirea zonei:

Pe segment, prin urmare:

Vă rugăm să rețineți cum am realizat integrarea, acesta este cel mai rațional mod, iar în următorul paragraf al sarcinii va fi clar de ce.

Pentru cititorii care se îndoiesc de corectitudinea integrării, voi găsi derivate:

Se obține funcția integrand originală, ceea ce înseamnă că integrarea a fost efectuată corect.

Răspuns:

2) Să calculăm volumul corpului format prin rotirea acestei figuri în jurul axei.

Voi redesena desenul într-un design ușor diferit:

Deci, figura umbrită în albastru se rotește în jurul axei. Rezultatul este un „fluture plutitor” care se rotește în jurul axei sale.

Pentru a găsi volumul unui corp de rotație, vom integra de-a lungul axei. Mai întâi trebuie să mergem la funcțiile inverse. Acest lucru a fost deja făcut și descris în detaliu în paragraful anterior.

Acum înclinăm din nou capul spre dreapta și ne studiem silueta. Evident, volumul unui corp de rotație ar trebui găsit ca diferență de volume.

Rotim figura încercuită cu roșu în jurul axei, rezultând un trunchi de con. Să notăm acest volum cu .

Rotim figura încercuită cu verde în jurul axei și o notăm cu volumul corpului de rotație rezultat.

Volumul fluturelui nostru este egal cu diferența de volume.

Folosim formula pentru a afla volumul unui corp de revoluție:

Care este diferența față de formula din paragraful anterior? Doar în scrisoare.

Dar avantajul integrării, despre care am vorbit recent, este mult mai ușor de găsit , mai degrabă decât ridicarea întâi a integrandului la puterea a 4-a.

Răspuns:

Cu toate acestea, nu un fluture bolnăvicios.

Rețineți că, dacă aceeași figură plată este rotită în jurul axei, veți obține un corp de rotație complet diferit, cu un volum diferit, în mod natural.

Exemplul 6

Dată o figură plată delimitată de linii și o axă.

1) Accesați funcțiile inverse și găsiți aria unei figuri plane delimitată de aceste drepte prin integrarea peste variabilă.
2) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Cei interesați pot găsi, de asemenea, zona unei figuri în modul „obișnuit”, verificând astfel punctul 1). Dar dacă, repet, rotiți o figură plată în jurul axei, veți obține un cu totul alt corp de rotație cu un volum diferit, apropo, răspunsul corect (și pentru cei cărora le place să rezolve probleme).

Soluția completă a celor două puncte propuse ale sarcinii este la sfârșitul lecției.

Da, și nu uitați să înclinați capul spre dreapta pentru a înțelege corpurile de rotație și limitele integrării!