Construiți un grafic al funcției y 1 3x 2. Construiți un grafic al funcțiilor online

„Logaritm natural” - 0,1. Logaritmi naturali. 4. Darts logaritmice. 0,04. 7.121.

„Funcția de putere gradul 9” - U. Parabolă cubică. Y = x3. Profesorul clasa a IX-a Ladoshkina I.A. Y = x2. Hiperbolă. 0. Y = xn, y = x-n unde n este dat număr natural. X. Exponentul este un număr natural par (2n).

„Funcția cadranică” - 1 Definiție funcţie pătratică 2 Proprietățile unei funcții 3 Grafice ale unei funcții 4 Inegalități pătratice 5 Concluzie. Proprietăți: Inegalități: Pregătit de elevul clasei 8A Andrey Gerlitz. Plan: Grafic: -Intervale de monotonitate pentru a > 0 pentru a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

„Funcția cadranică și graficul ei” - Soluție.y=4x A(0,5:1) 1=1 A-aparține. Când a=1, formula y=ax ia forma.

„Funcția pătratică de clasa a VIII-a” - 1) Construiți vârful unei parabole. Trasarea graficului unei funcții pătratice. x. -7. Construiți un grafic al funcției. Algebra clasa a VIII-a Profesor 496 scoala Bovina T.V. -1. Plan de construcție. 2) Construiți axa de simetrie x=-1. y.

Să alegem un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan și să trasăm valorile argumentului pe axa absciselor X, iar pe axa ordonatelor - valorile funcției y = f(x).

Graficul funcției y = f(x) este mulțimea tuturor punctelor ale căror abscise aparțin domeniului de definire a funcției, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției.

Cu alte cuvinte, graficul funcției y = f (x) este mulțimea tuturor punctelor planului, coordonatele X, la care satisfac relatia y = f(x).

În fig. 45 și 46 prezintă grafice ale funcțiilor y = 2x + 1Şi y = x 2 - 2x.

Strict vorbind, ar trebui să distingem între un grafic al unei funcții (a cărui definiție matematică exactă a fost dată mai sus) și o curbă desenată, care oferă întotdeauna doar o schiță mai mult sau mai puțin precisă a graficului (și chiar și atunci, de regulă, nu întregul grafic, ci doar partea lui situată în părțile finale ale planului). În cele ce urmează, totuși, vom spune în general „grafic” mai degrabă decât „schiță grafică”.

Folosind un grafic, puteți găsi valoarea unei funcții într-un punct. Și anume, dacă punctul x = a aparține domeniului de definire a funcției y = f(x), apoi pentru a găsi numărul fa)(adică valorile funcției la punctul x = a) ar trebui să faci asta. Este necesar prin punctul de abscisă x = a trageți o linie dreaptă paralelă cu axa ordonatelor; această linie va intersecta graficul funcției y = f(x) la un moment dat; ordonata acestui punct va fi, în virtutea definiţiei graficului, egală cu fa)(Fig. 47).

De exemplu, pentru funcție f(x) = x 2 - 2x folosind graficul (Fig. 46) găsim f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 etc.

Un grafic al funcției ilustrează clar comportamentul și proprietățile unei funcții. De exemplu, luând în considerare fig. 46 este clar că funcţia y = x 2 - 2x acceptă valori pozitive la X< 0 iar la x > 2, negativ - la 0< x < 2; cea mai mică valoare funcţie y = x 2 - 2x acceptă la x = 1.

Pentru a reprezenta grafic o funcție f(x) trebuie să găsiți toate punctele avionului, coordonatele X,la care satisfac ecuația y = f(x). În cele mai multe cazuri, acest lucru este imposibil de făcut, deoarece există un număr infinit de astfel de puncte. Prin urmare, graficul funcției este reprezentat aproximativ - cu o precizie mai mare sau mai mică. Cea mai simplă este metoda de a reprezenta un grafic folosind mai multe puncte. Constă în faptul că argumentul X dați un număr finit de valori - să spunem, x 1, x 2, x 3,..., x k și creați un tabel care include valorile funcției selectate.

Tabelul arată astfel:

După ce am compilat un astfel de tabel, putem contura mai multe puncte pe graficul funcției y = f(x). Apoi, conectând aceste puncte cu o linie netedă, obținem o vedere aproximativă a graficului funcției y = f(x).

Trebuie remarcat, totuși, că metoda de reprezentare în mai multe puncte este foarte nesigură. De fapt, comportamentul graficului dintre punctele dorite și comportamentul acestuia în afara segmentului dintre punctele extreme luate rămâne necunoscut.

Exemplul 1. Pentru a reprezenta grafic o funcție y = f(x) cineva a compilat un tabel de valori ale argumentelor și ale funcției:

Cele cinci puncte corespunzătoare sunt prezentate în Fig. 48.

Pe baza locației acestor puncte, a concluzionat că graficul funcției este o linie dreaptă (prezentată în Fig. 48 de linia punctată). Această concluzie poate fi considerată de încredere? Cu excepția cazului în care există considerații suplimentare care să susțină această concluzie, cu greu poate fi considerată de încredere. de încredere.

Pentru a fundamenta afirmația noastră, luați în considerare funcția

.

Calculele arată că valorile acestei funcții la punctele -2, -1, 0, 1, 2 sunt descrise exact de tabelul de mai sus. Cu toate acestea, graficul acestei funcții nu este deloc o linie dreaptă (este prezentat în Fig. 49). Un alt exemplu ar fi funcția y = x + l + sinπx; semnificațiile sale sunt descrise și în tabelul de mai sus.

Aceste exemple arată că, în forma sa „pură”, metoda de a reprezenta un grafic folosind mai multe puncte este nesigură. Prin urmare, pentru a reprezenta graficul unei funcții date, de regulă, procedați după cum urmează. În primul rând, sunt studiate proprietățile acestei funcții, cu ajutorul căreia puteți construi o schiță a graficului. Apoi, calculând valorile funcției în mai multe puncte (ale căror alegere depinde de proprietățile stabilite ale funcției), se găsesc punctele corespunzătoare ale graficului. Și în final, o curbă este trasată prin punctele construite folosind proprietățile acestei funcții.

Ne vom uita la unele (cele mai simple și mai frecvent utilizate) proprietăți ale funcțiilor folosite pentru a găsi o schiță grafică mai târziu, dar acum ne vom uita la câteva metode utilizate în mod obișnuit pentru construirea de grafice.

Graficul funcției y = |f(x)|.

Adesea este necesar să reprezentați o funcție y = |f(x)|, unde f(x) - pentru această funcție. Să vă reamintim cum se face acest lucru. Prin definirea valorii absolute a unui număr, putem scrie

Aceasta înseamnă că graficul funcției y =|f(x)| poate fi obținută din grafic, funcție y = f(x) astfel: toate punctele de pe graficul funcţiei y = f(x), ale căror ordonate sunt nenegative, trebuie lăsate neschimbate; mai departe, în locul punctelor graficului funcției y = f(x) având coordonate negative, ar trebui să construiți punctele corespunzătoare pe graficul funcției y = -f(x)(adică o parte a graficului funcției
y = f(x), care se află sub axă X, ar trebui să fie reflectată simetric în jurul axei X).

Exemplul 2. Reprezentați grafic funcția y = |x|.

Să luăm graficul funcției y = x(Fig. 50, a) și o parte a acestui grafic la X< 0 (întins sub ax X) reflectată simetric în raport cu axa X. Ca rezultat, obținem un grafic al funcției y = |x|(Fig. 50, b).

Exemplul 3. Reprezentați grafic funcția y = |x 2 - 2x|.

În primul rând, să diagramăm funcția y = x 2 - 2x. Graficul acestei funcții este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, vârful parabolei are coordonatele (1; -1), graficul său intersectează axa x în punctele 0 și 2. În intervalul (0; 2) funcția ia valori negative, prin urmare această parte a graficului reflectată simetric față de axa absciselor. Figura 51 prezintă graficul funcției y = |x 2 -2x|, pe baza graficului funcției y = x 2 - 2x

Graficul funcției y = f(x) + g(x)

Luați în considerare problema construirii unui grafic al unei funcții y = f(x) + g(x). dacă sunt date grafice de funcții y = f(x)Şi y = g(x).

Rețineți că domeniul de definiție al funcției y = |f(x) + g(x)| este mulțimea tuturor acelor valori ale lui x pentru care sunt definite ambele funcții y = f(x) și y = g(x), adică acest domeniu de definiție este intersecția domeniilor de definiție, funcțiile f(x) și g(x).

Lasă punctele (x 0 , y 1) Și (x 0, y 2) aparțin respectiv graficelor de funcții y = f(x)Şi y = g(x), adică y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Atunci punctul (x0;. y1 + y2) aparține graficului funcției y = f(x) + g(x)(pentru f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. și orice punct din graficul funcției y = f(x) + g(x) poate fi obtinut in acest fel. Prin urmare, graficul funcției y = f(x) + g(x) pot fi obținute din graficele de funcții y = f(x). Şi y = g(x)înlocuind fiecare punct ( x n, y 1) grafică funcțională y = f(x) punct (x n, y 1 + y 2), Unde y 2 = g(x n), adică prin deplasarea fiecărui punct ( x n, y 1) graficul funcției y = f(x) de-a lungul axei la prin suma y 1 = g(x n). În acest caz, sunt luate în considerare numai astfel de puncte X n pentru care sunt definite ambele funcții y = f(x)Şi y = g(x).

Această metodă de reprezentare a unei funcții y = f(x) + g(x) se numește adunare de grafice de funcții y = f(x)Şi y = g(x)

Exemplul 4. În figură, un grafic al funcției a fost construit folosind metoda de adunare a graficelor
y = x + sinx.

La trasarea unei funcții y = x + sinx am crezut că f(x) = x, O g(x) = sinx. Pentru a reprezenta graficul funcției, selectăm puncte cu abscise -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Valori f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Să calculăm la punctele selectate și să plasăm rezultatele în tabel.

Construirea graficelor de funcții care conțin module cauzează de obicei dificultăți considerabile pentru școlari. Totuși, totul nu este atât de rău. Este suficient să vă amintiți câțiva algoritmi pentru rezolvarea unor astfel de probleme și puteți construi cu ușurință un grafic chiar și pentru cel mai aparent functie complexa. Să ne dăm seama ce fel de algoritmi sunt aceștia.

1. Trasarea unui grafic al funcției y = |f(x)|

Rețineți că setul de valori ale funcției y = |f(x)| : y ≥ 0. Astfel, graficele unor astfel de funcții sunt întotdeauna situate în întregime în semiplanul superior.

Trasarea unui grafic al funcției y = |f(x)| constă din următorii patru pași simpli.

1) Construiți cu atenție și atenție un grafic al funcției y = f(x).

2) Lăsați neschimbate toate punctele din grafic care sunt deasupra sau pe axa 0x.

3) Afișați partea din grafic care se află sub axa 0x simetric față de axa 0x.

Exemplul 1. Desenați un grafic al funcției y = |x 2 – 4x + 3|

1) Construim un grafic al funcției y = x 2 – 4x + 3. Evident, graficul acestei funcții este o parabolă. Să găsim coordonatele tuturor punctelor de intersecție ale parabolei cu axele de coordonate și coordonatele vârfului parabolei.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Prin urmare, parabola intersectează axa 0x în punctele (3, 0) și (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Prin urmare, parabola intersectează axa 0y în punctul (0, 3).

Coordonatele vârfurilor parabolei:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Prin urmare, punctul (2, -1) este vârful acestei parabole.

Desenați o parabolă folosind datele obținute (Fig. 1)

2) Partea graficului situată sub axa 0x este afișată simetric față de axa 0x.

3) Obținem un grafic al funcției inițiale ( orez. 2, afișat în linie punctată).

2. Trasarea funcției y = f(|x|)

Rețineți că funcțiile de forma y = f(|x|) sunt pare:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Aceasta înseamnă că graficele unor astfel de funcții sunt simetrice față de axa 0y.

Trasarea unui grafic al funcției y = f(|x|) constă din următorul lanț simplu de acțiuni.

1) Reprezentați grafic funcția y = f(x).

2) Lăsați acea parte a graficului pentru care x ≥ 0, adică partea graficului situată în semiplanul drept.

3) Afișați partea din grafic specificată la punctul (2) simetric față de axa 0y.

4) Ca grafic final, selectați uniunea curbelor obținute la punctele (2) și (3).

Exemplul 2. Desenați un grafic al funcției y = x 2 – 4 · |x| + 3

Deoarece x 2 = |x| 2, atunci funcția originală poate fi rescrisă în următoarea formă: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Acum putem aplica algoritmul propus mai sus.

1) Construim cu grija si atentie un grafic al functiei y = x 2 – 4 x + 3 (vezi si orez. 1).

2) Lăsăm acea parte a graficului pentru care x ≥ 0, adică partea graficului situată în semiplanul drept.

3) Afișare partea dreaptă graficele sunt simetrice cu axa 0y.

(Fig. 3).

Exemplul 3. Desenați un grafic al funcției y = log 2 |x|

Aplicam schema de mai sus.

1) Construiți un grafic al funcției y = log 2 x (Fig. 4).

3. Trasarea funcției y = |f(|x|)|

Rețineți că funcțiile de forma y = |f(|x|)| sunt de asemenea egale. Într-adevăr, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x) și, prin urmare, graficele lor sunt simetrice față de axa 0y. Setul de valori ale unor astfel de funcții: y ≥ 0. Aceasta înseamnă că graficele unor astfel de funcții sunt situate în întregime în semiplanul superior.

Pentru a reprezenta grafic funcția y = |f(|x|)|, trebuie să:

1) Construiți cu atenție un grafic al funcției y = f(|x|).

2) Lăsați neschimbată partea din grafic care se află deasupra sau pe axa 0x.

3) Afișați partea din grafic situată sub axa 0x simetric față de axa 0x.

4) Ca grafic final, selectați uniunea curbelor obținute la punctele (2) și (3).

Exemplul 4. Desenați un grafic al funcției y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Rețineți că x 2 = |x| 2. Aceasta înseamnă că în loc de funcția originală y = -x 2 + 2|x| – 1

puteți folosi funcția y = -|x| 2 + 2|x| – 1, deoarece graficele lor coincid.

Construim un grafic y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Pentru aceasta folosim algoritmul 2.

a) Reprezentați grafic funcția y = -x 2 + 2x – 1 (Fig. 6).

b) Lăsăm acea parte a graficului care se află în semiplanul drept.

c) Afișăm partea rezultată a graficului simetric față de axa 0y.

d) Graficul rezultat este prezentat în figură cu o linie punctată (Fig. 7).

2) Nu există puncte deasupra axei 0x lăsăm neschimbate punctele de pe axa 0x.

3) Partea graficului situată sub axa 0x este afișată simetric față de 0x.

4) Graficul rezultat este prezentat în figură cu o linie punctată (Fig. 8).

Exemplul 5. Reprezentați grafic funcția y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Mai întâi trebuie să reprezentați grafic funcția y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Pentru a face acest lucru, revenim la algoritmul 2.

a) Reprezentați cu atenție funcția y = (2x – 4) / (x + 3) (Fig. 9).

Rețineți că această funcție este liniară fracțională și graficul ei este o hiperbolă. Pentru a trasa o curbă, trebuie mai întâi să găsiți asimptotele graficului. Orizontală – y = 2/1 (raportul coeficienților lui x în numărătorul și numitorul fracției), verticală – x = -3.

2) Vom lăsa neschimbată acea parte a graficului care se află deasupra axei 0x sau pe aceasta.

3) Partea graficului situată sub axa 0x va fi afișată simetric față de 0x.

4) Graficul final este prezentat în figură (Fig. 11).

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Din păcate, nu toți elevii și școlarii cunosc și iubesc algebra, dar toată lumea trebuie să pregătească temele, să rezolve teste și să susțină examene. Mulți oameni consideră că este deosebit de dificil să construiască grafice ale funcțiilor: dacă undeva nu înțelegeți ceva, nu terminați de învățat sau ratați, greșelile sunt inevitabile. Dar cine vrea să ia note proaste?

Ați dori să vă alăturați cohortei de studenți cu cozi și studenți săraci? Pentru a face acest lucru, aveți 2 moduri: așezați-vă cu manuale și completați golurile de cunoștințe sau utilizați un asistent virtual - un serviciu pentru trasarea automată a graficelor de funcții în funcție de condițiile date. Cu sau fără soluție. Astăzi vă vom prezenta câteva dintre ele.

Cel mai bun lucru despre Desmos.com este interfața extrem de personalizabilă, interactivitatea, capacitatea de a organiza rezultatele în tabele și de a vă stoca munca în baza de date de resurse gratuit, fără limite de timp. Dezavantajul este că serviciul nu este tradus integral în rusă.

Grafikus.ru

Grafikus.ru este un alt calculator grafic în limba rusă demn de atenție. Mai mult, el le construiește nu numai în spațiu bidimensional, ci și în spațiu tridimensional.

Iată o listă incompletă a sarcinilor cărora acest serviciu le face față cu succes:

• Desenarea graficelor 2D ale funcțiilor simple: drepte, parabole, hiperbole, trigonometrice, logaritmice etc.
• Desenarea graficelor 2D ale funcțiilor parametrice: cercuri, spirale, figuri Lissajous și altele.
• Desenarea graficelor 2D în coordonate polare.
• Construcția suprafețelor 3D de funcții simple.
• Construcția suprafețelor 3D de funcții parametrice.

Rezultatul final se deschide într-o fereastră separată. Utilizatorul are opțiuni de descărcare, imprimare și copiere a unui link către acesta. Pentru acesta din urmă, va trebui să vă conectați la serviciu prin butoanele rețelei sociale.

Planul de coordonate Grafikus.ru acceptă modificarea limitelor axelor, a etichetelor acestora, a distanței dintre grilă, precum și a lățimii și înălțimii planului în sine și a mărimii fontului.

Cel mai mult punct forte Grafikus.ru - capacitatea de a crea grafică 3D. În caz contrar, nu funcționează mai rău și nici mai bine decât resursele analogice.