Cum se simplifică expresiile algebrice. Calculator de inginerie

Calculator de inginerie online

Suntem bucuroși să prezentăm tuturor un calculator de inginerie gratuit. Cu ajutorul acestuia, orice student poate efectua rapid și, cel mai important, cu ușurință diverse tipuri de calcule matematice online.

Un calculator de inginerie simplu și ușor de utilizat, cu o interfață discretă și intuitivă, va fi cu adevărat util pentru o gamă largă de utilizatori de internet. Acum, ori de câte ori aveți nevoie de un calculator, accesați site-ul nostru web și utilizați calculatorul de inginerie gratuit.

Un calculator de inginerie poate efectua atât operații aritmetice simple, cât și calcule matematice destul de complexe.

Web20calc este un calculator de inginerie care are un număr mare de funcții, de exemplu, cum se calculează toate functii elementare. Calculatorul suportă, de asemenea funcții trigonometrice, matrici, logaritmi și chiar grafice.

Fără îndoială, Web20calc va fi de interes pentru acel grup de oameni care îl caută solutii simple tastați în motoarele de căutare interogarea: calculator matematic online. O aplicație web gratuită vă va ajuta să calculați instantaneu rezultatul unei expresii matematice, de exemplu, scădeți, adăugați, împărțiți, extrageți rădăcina, ridicați la o putere etc.

În expresie, puteți utiliza operațiile de exponențiere, adunare, scădere, înmulțire, împărțire, procent și constanta PI. Pentru calcule complexe, ar trebui incluse paranteze.

Caracteristicile calculatorului de inginerie:

1. operații aritmetice de bază;
2. lucrul cu numere într-o formă standard;
3. calculul rădăcinilor trigonometrice, funcțiilor, logaritmilor, exponențiației;
4. calcule statistice: adunare, medie aritmetică sau abatere standard;
5. utilizarea celulelor de memorie și a funcțiilor personalizate a 2 variabile;
6. lucrați cu unghiuri în radiani și măsuri de grade.

Calculatorul de inginerie permite utilizarea unei varietăți de funcții matematice:

Extragerea rădăcinilor (rădăcină pătrată, cubică și a n-a);
ex (e la puterea x), exponențial;
funcții trigonometrice: sinus - sin, cosinus - cos, tangentă - tan;
funcții trigonometrice inverse: arcsinus - sin-1, arccosinus - cos-1, arctangent - tan-1;
funcții hiperbolice: sinus - sinh, cosinus - cosh, tangentă - tanh;
logaritmi: logaritm binar la baza doi - log2x, logaritm zecimal la baza zece - log, logaritmul natural– ln.

Acest calculator de inginerie include, de asemenea, un calculator de valoare cu capacitatea de a converti mărimi fizice Pentru diverse sisteme măsurători - unități computerizate, distanță, greutate, timp etc. Folosind această funcție, puteți converti instantaneu mile în kilometri, lire în kilograme, secunde în ore etc.

Pentru a face calcule matematice, introduceți mai întâi o secvență de expresii matematice în câmpul corespunzător, apoi faceți clic pe semnul egal și vedeți rezultatul. Puteți introduce valori direct de la tastatură (pentru aceasta, zona calculatorului trebuie să fie activă, prin urmare, ar fi util să plasați cursorul în câmpul de introducere). Printre altele, datele pot fi introduse folosind butoanele calculatorului propriu-zis.

Pentru a construi grafice, ar trebui să scrieți funcția în câmpul de introducere așa cum este indicat în câmpul cu exemple sau să utilizați bara de instrumente special concepută pentru aceasta (pentru a merge la ea, faceți clic pe butonul cu pictograma grafic). Pentru a converti valori, faceți clic pe Unitate pentru a lucra cu matrice, faceți clic pe Matrice.

Printre diferitele expresii care sunt luate în considerare în algebră, sumele de monomii ocupă un loc important. Iată exemple de astfel de expresii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom se numesc termeni ai polinomului. Monomiile sunt, de asemenea, clasificate ca polinoame, considerând că un monom este un polinom format dintr-un membru.

De exemplu, un polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
poate fi simplificat.

Să reprezentăm toți termenii sub formă de monomii vedere standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Să prezentăm termeni similari în polinomul rezultat:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatul este un polinom, toți termenii căruia sunt monomii de forma standard, iar printre ei nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.

Pentru gradul de polinom de o formă standard ia cea mai înaltă dintre puterile membrilor săi. Astfel, binomul \(12a^2b - 7b\) are gradul al treilea, iar trinomul \(2b^2 -7b + 6\) are al doilea.

De obicei, termenii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților. De exemplu:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Suma mai multor polinoame poate fi transformată (simplificată) într-un polinom de formă standard.

Uneori, termenii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece parantezele sunt transformarea inversă a parantezelor de deschidere, este ușor de formulat reguli pentru deschiderea parantezelor:

Dacă semnul „+” este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu aceleași semne.

Dacă un semn „-” este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semne opuse.

Transformarea (simplificarea) a produsului dintre un monom și un polinom

Folosind proprietatea distributivă a înmulțirii, puteți transforma (simplifica) produsul dintre un monom și un polinom într-un polinom. De exemplu:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produsul unui monom și unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.

Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.

Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțiți acel monom cu fiecare dintre termenii polinomului.

Am folosit deja această regulă de mai multe ori pentru a înmulți cu o sumă.

Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame

În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.

De obicei se folosește următoarea regulă.

Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.

Formule de înmulțire prescurtate. Suma pătrate, diferențe și diferență de pătrate

Trebuie să te confrunți cu unele expresii în transformările algebrice mai des decât altele. Poate că cele mai comune expresii sunt \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) și \(a^2 - b^2 \), adică pătratul sumei, pătratul lui diferența și diferența de pătrate. Ați observat că numele acestor expresii par a fi incomplete, de exemplu, \((a + b)^2 \) este, desigur, nu doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. . Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu apare foarte des, de regulă, în locul literelor a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe;

Expresiile \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) pot fi ușor convertite (simplificate) în polinoame de forma standard, de fapt, ați întâlnit deja o astfel de sarcină la înmulțirea polinoamelor; :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Este util să vă amintiți identitățile rezultate și să le aplicați fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - pătratul sumei egal cu suma pătrate și dublează produsul.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - pătratul diferenței este egal cu suma pătratelor fără produsul dublu.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferența de pătrate este egală cu produsul dintre diferență și suma.

Aceste trei identități permit înlocuirea părților sale din stânga cu cele din dreapta în transformări și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți cum sunt înlocuite variabilele a și b în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.

O expresie algebrică în care, împreună cu operațiile de adunare, scădere și înmulțire, împărțirea cu expresii literale, se numește expresie algebrică fracțională. Așa sunt, de exemplu, expresiile

Numim o fracție algebrică o expresie algebrică care are forma unui coeficient al împărțirii a două expresii algebrice întregi (de exemplu, monomii sau polinoame). Așa sunt, de exemplu, expresiile

A treia dintre expresii).

Transformările identice ale expresiilor algebrice fracționale sunt în cea mai mare parte menite să le reprezinte sub forma fracție algebrică. Pentru a afla numitorul comun se folosește descompunerea în factori a numitorilor fracțiilor - termeni pentru a le găsi cel mai mic multiplu comun. La reducerea fracțiilor algebrice, identitatea strictă a expresiilor poate fi încălcată: este necesar să se excludă valorile cantităților la care factorul prin care se face reducerea devine zero.

Să dăm exemple de transformări identice ale expresiilor algebrice fracționale.

Exemplul 1: Simplificați o expresie

Toți termenii pot fi redusi la un numitor comun (este convenabil să schimbați semnul în numitorul ultimului termen și semnul din fața acestuia):

Expresia noastră este egală cu unu pentru toate valorile, cu excepția acestor valori, este nedefinită și reducerea fracției este ilegală).

Exemplul 2. Reprezentați expresia ca o fracție algebrică

Soluţie. Expresia poate fi luată ca numitor comun. Găsim secvenţial:

Exerciții

1. Găsiți valorile expresiilor algebrice pentru valorile parametrilor specificate:

2. Factorizați.

Matematică-Calculator-Online v.1.0

Calculatorul efectuează următoarele operații: adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea, lucrul cu zecimale, extragerea rădăcinilor, exponențiarea, calculele procentuale și alte operații.

Soluţie:

Cum se folosește un calculator de matematică

Algoritmul calculatorului online folosind exemple

Plus.

Adunarea numerelor întregi numere naturale { 5 + 7 = 12 }

Adăugarea de întreg natural și numere negative { 5 + (-2) = 3 }

Adăugarea de zecimale numere fracționare { 0,3 + 5,2 = 5,5 }

Scădere.

Scăderea numerelor întregi naturale ( 7 - 5 = 2 )

Scăderea numerelor întregi naturale și negative ( 5 - (-2) = 7 )

Scăderea fracțiilor zecimale ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )

Multiplicare.

Produsul numerelor întregi naturale (3 * 7 = 21)

Produsul numerelor întregi naturale și negative ( 5 * (-3) = -15 )

Produsul fracțiilor zecimale ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Diviziune.

Împărțirea numerelor întregi naturale (27 / 3 = 9)

Împărțirea numerelor întregi naturale și negative (15 / (-3) = -5)

Împărțirea fracțiilor zecimale (6,2 / 2 = 3,1)

Extragerea rădăcinii unui număr.

Extragerea rădăcinii unui număr întreg ( root(9) = 3)

Extragerea rădăcinii din zecimale( rădăcină (2,5) = 1,58 )

Extragerea rădăcinii unei sume de numere (rădăcină (56 + 25) = 9)

Extragerea rădăcinii diferenței dintre numere (rădăcină (32 – 7) = 5)

Pătratarea unui număr.

Pătratul unui număr întreg ( (3) 2 = 9 )

zecimale pătrat ((2,2)2 = 4,84)

Conversie în fracții zecimale.

Calcularea procentelor unui număr

Creșteți numărul 230 cu 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Reduceți numărul 510 cu 35% ( 510 – 510 * 0,35 = 331,5 )

18% din numărul 140 este (140 * 0,18 = 25,2)