Eroare absolută și relativă. Eroarea absolută și relativă a calculelor

Adevărat sens mărime fizică Este aproape imposibil de determinat absolut exact, deoarece orice operație de măsurare este asociată cu o serie de erori sau, cu alte cuvinte, inexactități. Motivele erorilor pot fi foarte diferite. Apariția lor se poate datora inexactităților de fabricație și ajustare instrument de măsurare, se datorează caracteristicilor fizice ale obiectului studiat (de exemplu, la măsurarea diametrului unui fir de grosime neuniformă, rezultatul depinde aleatoriu de alegerea locului de măsurare), motive aleatorii etc.

Sarcina experimentatorului este de a reduce influența acestora asupra rezultatului și, de asemenea, de a indica cât de aproape este rezultatul obținut de cel adevărat.

Există concepte de eroare absolută și relativă.

Sub eroare absolută măsurătorile vor înțelege diferența dintre rezultatul măsurării și valoarea adevărată a mărimii măsurate:

∆x i =x i -x și (2)

unde ∆x i – eroare absolută I-a măsurătoare, x i _ este rezultatul i-a măsurători, x și este valoarea adevărată a valorii măsurate.

Rezultatul oricărei măsurători fizice este de obicei scris sub forma:

unde este media valoare aritmetică a valorii măsurate, cea mai apropiată de valoarea adevărată (validitatea lui x și ≈ va fi afișată mai jos) este eroarea absolută de măsurare.

Egalitatea (3) trebuie înțeleasă în așa fel încât valoarea adevărată a mărimii măsurate să fie în intervalul [ - , + ].

Eroarea absolută este o mărime dimensională; are aceeași dimensiune ca și mărimea măsurată.

Eroarea absolută nu caracterizează pe deplin acuratețea măsurătorilor efectuate. De fapt, dacă măsurăm segmente de 1 m și 5 mm lungime cu aceeași eroare absolută ± 1 mm, precizia măsurătorilor va fi incomparabilă. Prin urmare, împreună cu eroarea de măsurare absolută, se calculează eroarea relativă.

Eroare relativă măsurători este raportul dintre eroarea absolută și valoarea măsurată în sine:

Eroarea relativă este o mărime adimensională. Se exprimă în procente:

În exemplul de mai sus, erorile relative sunt 0,1% și 20%. Ele diferă semnificativ unele de altele, deși valorile absolute sunt aceleași. Eroarea relativă oferă informații despre acuratețe

Erori de măsurare

În funcție de natura manifestării și motivele apariției erorilor, acestea pot fi împărțite în următoarele clase: instrumentale, sistematice, aleatorii și greșeli (erori grosolane).

Erorile sunt cauzate fie de o defecțiune a dispozitivului, fie de o încălcare a metodologiei sau a condițiilor experimentale, fie sunt de natură subiectivă. În practică, ele sunt definite ca rezultate care diferă mult de altele. Pentru a elimina apariția lor, este necesar să fiți atent și minuțios atunci când lucrați cu dispozitive. Rezultatele care conțin erori trebuie excluse din considerare (eliminate).

Erori de instrument. Dacă dispozitivul de măsurare este în stare bună de funcționare și reglat, atunci măsurătorile pot fi făcute pe el cu o precizie limitată, determinată de tipul de dispozitiv. Se obișnuiește să se considere eroarea instrumentului a unui instrument indicator ca fiind egală cu jumătate din cea mai mică diviziune a scalei sale. În instrumentele cu citire digitală, eroarea instrumentului este echivalată cu valoarea unei cifre mici a scalei instrumentului.

Erorile sistematice sunt erori ale căror mărime și semn sunt constante pentru întreaga serie de măsurători efectuate prin aceeași metodă și folosind aceleași instrumente de măsurare.

Atunci când se efectuează măsurători, este important nu numai să se țină seama de erorile sistematice, dar este și necesar să se asigure eliminarea acestora.

Erorile sistematice sunt împărțite în mod convențional în patru grupuri:

1) erori, a căror natură este cunoscută și amploarea lor poate fi determinată destul de precis. O astfel de eroare este, de exemplu, o modificare a masei măsurate în aer, care depinde de temperatură, umiditate, presiunea aerului etc.;

2) erori, a căror natură este cunoscută, dar amploarea erorii în sine este necunoscută. Astfel de erori includ erori cauzate de dispozitivul de măsurare: o defecțiune a dispozitivului în sine, o scară care nu corespunde valorii zero sau clasa de precizie a dispozitivului;

3) erori, a căror existență nu poate fi bănuită, dar amploarea lor poate fi adesea semnificativă. Astfel de erori apar cel mai adesea în măsurători complexe. Un exemplu simplu o astfel de eroare este măsurarea densității unei probe care conține o cavitate în interior;

4) erori cauzate de caracteristicile obiectului de măsurat însuși. De exemplu, la măsurarea conductivității electrice a unui metal, din acesta din urmă se ia o bucată de sârmă. Pot apărea erori dacă există vreun defect al materialului - o fisură, îngroșarea firului sau neomogenitatea care îi modifică rezistența.

Erorile aleatorii sunt erori care se schimbă aleatoriu în semn și mărime în condiții identice de măsurători repetate ale aceleiași mărimi.

Informații conexe.

În epoca noastră, omul a inventat și folosește o mare varietate de tot felul de instrumente de măsură. Dar oricât de perfectă este tehnologia pentru fabricarea lor, toate au o eroare mai mare sau mai mică. Acest parametru, de regulă, este indicat pe instrumentul însuși și pentru a evalua acuratețea valorii care se determină, trebuie să puteți înțelege ce înseamnă numerele indicate pe marcaj. În plus, erorile relative și absolute apar inevitabil în timpul calculelor matematice complexe. Este utilizat pe scară largă în statistică, industrie (controlul calității) și într-o serie de alte domenii. Cum se calculează această valoare și cum să-i interpretăm valoarea - asta este exact ceea ce va fi discutat în acest articol.

Eroare absolută

Să notăm cu x valoarea aproximativă a unei mărimi, obținută, de exemplu, printr-o singură măsurătoare, iar cu x 0 valoarea ei exactă. Acum să calculăm mărimea diferenței dintre aceste două numere. Eroarea absolută este exact valoarea pe care am obținut-o în urma acestei operațiuni simple. În limbajul formulelor, această definiție se poate scrie sub această formă: Δ x = | x - x 0 |.

Eroare relativă

Abaterea absolută are un dezavantaj important - nu permite evaluarea gradului de importanță a erorii. De exemplu, cumpărăm 5 kg de cartofi din piață, iar un vânzător fără scrupule, la măsurarea greutății, a făcut o greșeală de 50 de grame în favoarea lui. Adică eroarea absolută a fost de 50 de grame. Pentru noi, o astfel de neglijare va fi un simplu fleac și nici măcar nu îi vom acorda atenție. Vă puteți imagina ce se va întâmpla dacă apare o eroare similară în timpul pregătirii medicamentului? Aici totul va fi mult mai serios. Și la încărcarea unui vagon de marfă, este probabil să apară abateri mult mai mari decât această valoare. Prin urmare, eroarea absolută în sine nu este foarte informativă. În plus, foarte adesea calculează suplimentar abaterea relativă, care este egală cu raportul dintre eroarea absolută și valoarea exactă a numărului. Aceasta se scrie prin următoarea formulă: δ = Δ x / x 0 .

Proprietăți de eroare

Să presupunem că avem două mărimi independente: x și y. Trebuie să calculăm abaterea valorii aproximative a sumei lor. În acest caz, putem calcula eroarea absolută ca sumă a abaterilor absolute precalculate ale fiecăruia dintre ele. În unele măsurători, se poate întâmpla ca erorile în determinarea valorilor x și y să se anuleze reciproc. Sau se poate întâmpla ca, ca urmare a adunării, abaterile să se intensifice maxim. Prin urmare, atunci când se calculează eroarea absolută totală, ar trebui luat în considerare cel mai rău scenariu. Același lucru este valabil și pentru diferența dintre erorile mai multor cantități. Această proprietate este caracteristică numai erorii absolute și nu poate fi aplicată deviației relative, deoarece aceasta va duce inevitabil la un rezultat incorect. Să ne uităm la această situație folosind următorul exemplu.

Să presupunem că măsurătorile din interiorul cilindrului au arătat că raza interioară (R 1) este de 97 mm, iar raza exterioară (R 2) este de 100 mm. Este necesar să se determine grosimea peretelui său. Mai întâi, să găsim diferența: h = R 2 - R 1 = 3 mm. Dacă problema nu indică care este eroarea absolută, atunci este considerată jumătate din diviziunea la scară a dispozitivului de măsurare. Astfel, A(R2) = A(R1) = 0,5 mm. Eroarea absolută totală este: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. Acum să calculăm abaterea relativă a tuturor valorilor:

δ(R1) = 0,5/100 = 0,005,

δ(R1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,

5(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> 5(R1).

După cum puteți vedea, eroarea în măsurarea ambelor raze nu depășește 5,2%, iar eroarea în calcularea diferenței lor - grosimea peretelui cilindrului - a fost de până la 33,(3)%!

Următoarea proprietate afirmă: abaterea relativă a produsului mai multor numere este aproximativ egală cu suma abaterilor relative ale factorilor individuali:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

Mai mult, această regulă este valabilă indiferent de numărul de valori evaluate. A treia și ultima proprietate a erorii relative este că estimarea relativă a numărului gradul k aproximativ în | k | ori eroarea relativă a numărului inițial.

Eroare absolută Un număr aproximativ se numește modulul diferenței dintre acest număr și valoarea lui exactă. . Rezultă că ceea ce este cuprins în sau .

Exemplul 1. Compania are 1.284 de lucrători și angajați. Când rotunjiți acest număr la 1300, eroarea absolută este |1300 - 1284|=16. Când este rotunjită la 1280, eroarea absolută este |1280 - 1284| = 4.
Eroare relativă a unui număr aproximativ se numește raportul erorii absolute...
număr aproximativ la valoarea absolută a numărului .
Exemplul 2 . Școala are 197 de elevi. Rotungem acest număr la 200. Eroarea absolută este |200 - 197| = 3. Eroarea relativă este 3/|197| sau 1,5%.

În cele mai multe cazuri, este imposibil să se cunoască valoarea exactă a numărului aproximativ și, prin urmare, magnitudinea exactă a erorii. Cu toate acestea, este aproape întotdeauna posibil să se stabilească că eroarea (absolută sau relativă) nu depășește un anumit număr.

Exemplul 3. Un vânzător cântărește un pepene verde pe o cântar. Cea mai mică greutate din set este de 50 g. Cântărirea a dat 3600 g. Acest număr este aproximativ. Greutatea exactă pepene verde necunoscut. Dar eroarea absolută nu depășește 50 g Eroarea relativă nu depășește 50/3600 ≈1,4%.

În exemplul 3, eroarea absolută maximă poate fi luată ca 50 g, iar eroarea relativă maximă ca 1,4%.
Eroarea absolută este indicată de litera greacă Δ („delta”) sau D o; eroare relativă - litera greacă δ („deltă mică”). Dacă numărul aproximativ este notat cu litera A, atunci δ = Δ/|A|.

Cifra semnificativa un număr aproximativ A este orice cifră din reprezentarea sa zecimală, alta decât zero, și zero dacă este cuprins între cifre semnificative sau este un reprezentant al unei zecimale stocate

Exemplu. A= 0,002080. Aici, doar primele trei zerouri nu sunt semnificative.

n Primele cifre semnificative ale numărului aproximativ A sunt credincios, dacă eroarea absolută a acestui număr nu depășește jumătate din cifra exprimată n– a-a cifră semnificativă, numărând de la stânga la dreapta. Numerele care nu sunt corecte sunt numite îndoielnic.

Exemplu. Dacă în număr o= 0,03450 toate numerele sunt corecte, atunci .

Rezultatul acțiunilor cu numere aproximative este, de asemenea, un număr aproximativ. În același timp, acele numere care sunt obținute prin operațiuni pe cifrele exacte ale acestor numere se pot dovedi, de asemenea, a fi inexacte.

Exemplul 5. Numerele aproximative 60,2 și 80,1 sunt înmulțite. Se știe că toate cifrele scrise sunt corecte, astfel încât valorile adevărate pot diferi de cele aproximative doar cu părți de sutimi, miimi etc. În produs obținem 4822.02. Aici, nu numai numerele de sutimi și zecimi, ci și numerele de unități pot fi incorecte. Să se obțină, de exemplu, factorii prin rotunjire numere exacte 60,25 și 80,14. Atunci produsul exact va fi 4828.435, deci cifra unităților din produsul aproximativ (2) diferă de produsul exact (8) cu 6 unități.

Teoria calculelor aproximative permite:

1) cunoașterea gradului de acuratețe al datelor, evaluarea gradului de acuratețe a rezultatelor chiar înainte de a efectua acțiuni;

2) luați date cu un grad de acuratețe adecvat, suficient pentru a asigura acuratețea necesară a rezultatului, dar nu prea mare pentru a salva calculatorul de calcule inutile;

3) raționalizați procesul de calcul în sine, eliberându-l de acele calcule care nu vor afecta cifrele exacte ale rezultatului.

Dimensiunile se numesc Drept, dacă valorile cantităților sunt determinate direct de instrumente (de exemplu, măsurarea lungimii cu o riglă, determinarea timpului cu un cronometru etc.). Dimensiunile se numesc indirect, dacă valoarea mărimii măsurate este determinată prin măsurători directe ale altor mărimi care sunt asociate cu relația specifică măsurată.

Erori aleatorii în măsurători directe

Eroare absolută și relativă. Lasă-l să se realizeze N măsurători de aceeași cantitate xîn lipsa erorii sistematice. Rezultatele măsurătorilor individuale sunt după cum urmează: x 1 ,x 2 , …,x N. Valoarea medie a valorii măsurate este selectată ca fiind cea mai bună:

Eroare absolută a unei singure măsurări se numește diferență de forma:

.

Eroare absolută medie N unitate de masura:

(2)

numit eroare medie absolută.

Eroare relativă Raportul dintre eroarea medie absolută și valoarea medie a mărimii măsurate se numește:

. (3)

Erori de instrument în măsurători directe

Dacă nu există instrucțiuni speciale, eroarea instrumentului este egală cu jumătate din valoarea sa de diviziune (riglă, pahar).

Eroarea instrumentelor echipate cu vernier este egală cu valoarea diviziunii vernierului (micrometru - 0,01 mm, șubler - 0,1 mm).

Eroarea valorilor din tabel este egală cu o jumătate de unitate din ultima cifră (cinci unități din ordinul următor după ultima cifră semnificativă).

Eroarea instrumentelor electrice de măsură se calculează în funcție de clasa de precizie CU indicat pe scala instrumentului:

De exemplu:
Şi
,

Unde U maxŞi eu max– limita de măsurare a aparatului.

Eroarea dispozitivelor cu afișaj digital este egală cu una din ultima cifră a afișajului.

După aprecierea erorilor aleatorii și instrumentale se ia în considerare cea a cărei valoare este mai mare.

Calculul erorilor în măsurători indirecte

Majoritatea măsurătorilor sunt indirecte. În acest caz, valoarea dorită X este o funcție a mai multor variabile O,b, c… , ale căror valori pot fi găsite prin măsurători directe: X = f( o, b, c…).

Media aritmetică a rezultatului măsurătorilor indirecte va fi egală cu:

X = f( o, b, c…).

O modalitate de a calcula eroarea este de a diferenția logaritmul natural al funcției X = f( o, b, c...). Dacă, de exemplu, valoarea dorită X este determinată de relația X = , apoi după logaritm obținem: lnX = ln o+ln b+ln( c+ d).

Diferenţialul acestei expresii are forma:

.

În legătură cu calculul valorilor aproximative, se poate scrie pentru eroarea relativă sub forma:

 =
. (4)

Eroarea absolută se calculează folosind formula:

Х = Х(5)

Astfel, calculul erorilor și calculul rezultatului pentru măsurători indirecte se efectuează în următoarea ordine:

1) Măsurați toate cantitățile incluse în formula inițială pentru a calcula rezultatul final.

2) Calculați valorile medii aritmetice ale fiecărei valori măsurate și erorile absolute ale acestora.

3) Înlocuiți valorile medii ale tuturor valorilor măsurate în formula originală și calculați valoarea medie a valorii dorite:

X = f( o, b, c…).

4) Logaritmul formulei originale X = f( o, b, c...) și notați expresia erorii relative sub forma formulei (4).

5) Calculaţi eroarea relativă  = .

6) Calculați eroarea absolută a rezultatului folosind formula (5).

7) Rezultatul final se scrie astfel:

Erorile absolute și relative ale celor mai simple funcții sunt date în tabel: