Cum se rezolvă inegalitățile exponențiale. Inegalități exponențiale

Universitatea de Stat din Belgorod

DEPARTAMENT algebră, teoria numerelor și geometrie

Subiect: Ecuații și inegalități exponențiale ale puterii.

teză student al Facultății de Fizică și Matematică

Supraveghetor stiintific:

______________________________

Revizor: ________________________________

________________________

Belgorod. 2006

Introducere			3
Subiect eu.	Analiza literaturii pe tema de cercetare.
Subiect II.	Funcțiile și proprietățile lor utilizate în rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților.
	I.1.	Funcția de putereși proprietățile sale.
	I.2.	Funcția exponențialăși proprietățile sale.
Subiect III.	Rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială, algoritm și exemple.
Subiect IV.	Rezolvarea inegalităților exponențiale, plan de soluții și exemple.
Subiect V.	Experiență în conducerea cursurilor cu școlari pe tema: „Rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților”.
V. 1.	Material educativ.
V. 2.	Probleme pentru rezolvare independentă.
Concluzie.	Concluzii și sugestii.
Lista literaturii folosite.
Aplicații

Introducere.

„...bucuria de a vedea și de a înțelege...”

A. Einstein.

În această lucrare, am încercat să transmit experiența mea de profesor de matematică, să transmit cel puțin într-o oarecare măsură atitudinea mea față de predarea ei - un efort uman în care știința matematică, pedagogia, didactica, psihologia și chiar filozofia se împletesc în mod surprinzător.

Am avut ocazia să lucrez cu copii și absolvenți, cu copii la extremele dezvoltării intelectuale: cei care erau înscriși la psihiatru și care erau cu adevărat interesați de matematică

Am avut ocazia să rezolv multe probleme metodologice. Voi încerca să vorbesc despre cele pe care am reușit să le rezolv. Dar și mai eșuate, și chiar și în cele care par a fi rezolvate, apar noi întrebări.

Dar și mai importante decât experiența în sine sunt reflecțiile și îndoielile profesorului: de ce este exact așa, această experiență?

Și vara este diferită acum, iar dezvoltarea educației a devenit mai interesantă. „Sub Jupiters” astăzi nu este o căutare a unui sistem optim mitic de predare a „toată lumea și totul”, ci copilul însuși. Dar apoi – de necesitate – profesorul.

La cursul școlar de algebră și a început analiza, clasele 10 - 11, cu promovarea examenului de stat unificat pe curs liceu iar la examenele de admitere la universități există ecuații și inegalități care conțin o necunoscută în bază și exponenți - acestea sunt ecuații și inegalități exponențiale.

Ei primesc puțină atenție la școală, practic nu există teme pe această temă în manuale. Cu toate acestea, stăpânirea metodologiei de rezolvare a acestora, mi se pare, este foarte utilă: crește abilitățile mentale și creative ale elevilor, iar în fața noastră se deschid orizonturi complet noi. La rezolvarea problemelor, elevii dobândesc primele abilități munca de cercetare, cultura lor matematică este îmbogățită, abilitățile lor de a gândire logică. Elevii dezvoltă calități de personalitate precum determinarea, stabilirea de obiective și independența, care le vor fi utile în viața ulterioară. Și, de asemenea, există repetarea, extinderea și asimilarea profundă a materialului educațional.

Lucrați pe acest subiect cercetare diplomă Am început prin a-mi scrie cursurile. În cursul căreia am studiat și analizat în profunzime literatura de specialitate pe această temă, am identificat cea mai potrivită metodă de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților exponențiale.

Constă în faptul că, pe lângă abordarea general acceptată la rezolvarea ecuațiilor exponențiale (baza este luată mai mare decât 0) și la rezolvarea acelorași inegalități (baza este luată mai mare de 1 sau mai mare de 0, dar mai mică de 1) , sunt luate în considerare și cazurile când bazele sunt negative, egale cu 0 și 1.

O analiză a lucrărilor de examen scrise ale elevilor arată că lipsa de acoperire a întrebării valorii negative a argumentului unei funcții exponențiale din manualele școlare le provoacă o serie de dificultăți și duce la erori. Și au probleme și la etapa de sistematizare a rezultatelor obținute, unde, din cauza trecerii la o ecuație - o consecință sau o inegalitate - o consecință, pot apărea rădăcini străine. Pentru a elimina erorile, folosim un test folosind ecuația sau inegalitatea originală și un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale sau un plan pentru rezolvarea inegalităților exponențiale.

Pentru ca studenții să treacă cu succes examenele finale și de admitere, cred că este necesar să se acorde mai multă atenție rezolvării ecuațiilor exponențiale și inegalităților la cursuri, sau suplimentar la opțiuni și cluburi.

Astfel subiect , al meu teza este definită după cum urmează: „Ecuații și inegalități exponențiale ale puterii”.

Goluri a acestei lucrări sunt:

1. Analizați literatura pe această temă.

2. Oferiți o analiză completă a soluției ecuațiilor exponențiale și inegalităților.

3. Furnizați un număr suficient de exemple de diferite tipuri pe această temă.

4. Verificați la orele de clasă, opționale și de club cum vor fi percepute metodele propuse pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților. Oferiți recomandări adecvate pentru studierea acestui subiect.

Subiect Cercetarea noastră este de a dezvolta o metodologie pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților.

Scopul și subiectul studiului au necesitat rezolvarea următoarelor probleme:

1. Studiați literatura pe tema: „Ecuații și inegalități exponențiale ale puterii.”

2. Stăpânește tehnicile de rezolvare a ecuațiilor exponențiale și a inegalităților.

3. Selectați materialul de instruire și dezvoltați un sistem de exerciții la diferite niveluri pe tema: „Rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților”.

Pe parcursul cercetării tezei au fost analizate peste 20 de lucrări privind utilizarea diverse metode rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților. De aici ajungem.

Planul tezei:

Introducere.

Capitolul I. Analiza literaturii pe tema de cercetare.

Capitolul II. Funcțiile și proprietățile lor utilizate în rezolvarea ecuațiilor exponențiale și a inegalităților.

II.1. Funcția de putere și proprietățile acesteia.

II.2. Funcția exponențială și proprietățile acesteia.

Capitolul III. Rezolvarea ecuațiilor de putere exponențială, algoritm și exemple.

Capitolul IV. Rezolvarea inegalităților exponențiale, plan de soluții și exemple.

Capitolul V. Experiența de a conduce cursuri cu școlari pe această temă.

1.Material de instruire.

2. Sarcini pentru soluție independentă.

Concluzie. Concluzii și sugestii.

Lista literaturii folosite.

Capitolul I analizează literatura de specialitate

Mulți oameni cred că inegalitățile exponențiale sunt ceva complex și de neînțeles. Și că a învăța să le rezolvi este aproape o mare artă, pe care numai Aleșii sunt capabili să o înțeleagă...

Prostii complete! Inegalitățile exponențiale sunt ușoare. Și sunt întotdeauna rezolvate simplu. Ei bine, aproape întotdeauna.

Astăzi vom analiza acest subiect în interior și în exterior. Această lecție va fi foarte utilă pentru cei care abia încep să înțeleagă această secțiune a matematicii școlare. Să începem cu sarcini simpleși vom trece la probleme mai complexe. Nu va fi nicio muncă grea astăzi, dar ceea ce urmează să citiți va fi suficient pentru a rezolva majoritatea inegalităților la toate tipurile de teste și teste. munca independenta. Și la acest examen al tău.

Ca întotdeauna, să începem cu definiția. O inegalitate exponențială este orice inegalitate care conține o funcție exponențială. Cu alte cuvinte, poate fi întotdeauna redusă la o inegalitate a formei

\[((a)^(x)) \gt b\]

Unde rolul lui $b$ poate fi un număr obișnuit, sau poate ceva mai dur. Exemple? Da te rog:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\end(align)\]

Cred că sensul este clar: există o funcție exponențială $((a)^(x))$, este comparată cu ceva și apoi i se cere să găsească $x$. În cazuri deosebit de clinice, în loc de variabila $x$, pot pune o funcție $f\left(x \right)$ și astfel pot complica puțin inegalitatea.

Desigur, în unele cazuri inegalitatea poate părea mai gravă. Aici, de exemplu:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Sau chiar asta:

În general, complexitatea unor astfel de inegalități poate fi foarte diferită, dar până la urmă ele se rezumă totuși la construcția simplă $((a)^(x)) \gt b$. Și ne vom da seama cumva de o astfel de construcție (în cazuri mai ales clinice, când nu ne vine nimic în minte, logaritmii ne vor ajuta). Prin urmare, acum vă vom învăța cum să rezolvați astfel de construcții simple.

Rezolvarea inegalităților exponențiale simple

Să luăm în considerare ceva foarte simplu. De exemplu, aceasta:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Evident, numărul din dreapta poate fi rescris ca o putere a doi: $4=((2)^(2))$. Astfel, inegalitatea originală poate fi rescrisă într-o formă foarte convenabilă:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Și acum mâinile mele sunt mâncărime să le „trag” pe cei doi din bazele puterilor pentru a obține răspunsul $x \gt 2$. Dar înainte de a tăia orice, să ne amintim puterile a doi:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

După cum vedem, decât număr mai mare este în exponent, cu atât numărul de ieșire este mai mare. „Mulțumesc, Cap!” – va exclama unul dintre elevi. Este diferit? Din păcate, se întâmplă. De exemplu:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ dreapta))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Și aici totul este logic: cu cât gradul este mai mare, cu atât numărul 0,5 este înmulțit cu el însuși (adică, împărțit la jumătate). Astfel, succesiunea de numere rezultată este în scădere, iar diferența dintre prima și a doua secvență este doar în bază:

• Dacă baza gradului $a \gt 1$, atunci pe măsură ce exponentul $n$ crește, va crește și numărul $((a)^(n))$;
• Și invers, dacă $0 \lt a \lt 1$, atunci pe măsură ce exponentul $n$ crește, numărul $((a)^(n))$ va scădea.

Rezumând aceste fapte, obținem cea mai importantă afirmație pe care se bazează întreaga soluție a inegalităților exponențiale:

Dacă $a \gt 1$, atunci inegalitatea $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $x \gt n$. Dacă $0 \lt a \lt 1$, atunci inegalitatea $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $x \lt n$.

Cu alte cuvinte, dacă baza este mai mare decât unu, o puteți elimina pur și simplu - semnul inegalității nu se va schimba. Și dacă baza este mai mică de unu, atunci poate fi și eliminată, dar în același timp va trebui să schimbați semnul inegalității.

Vă rugăm să rețineți că nu am luat în considerare opțiunile $a=1$ și $a\le 0$. Pentru că în aceste cazuri apare incertitudinea. Să spunem cum se rezolvă o inegalitate de forma $((1)^(x)) \gt 3$? Unul pentru orice putere va da din nou unul - nu vom primi niciodată trei sau mai multe. Aceste. nu exista solutii.

Din motive negative, totul este și mai interesant. De exemplu, luați în considerare această inegalitate:

\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]

La prima vedere, totul este simplu:

Corect? Dar nu! Este suficient să înlocuiți câteva numere pare și câteva impare în loc de $x$ pentru a vă asigura că soluția este incorectă. Aruncă o privire:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, semnele se alternează. Dar există și puteri fracționale și alte prostii. Cum, de exemplu, ați ordona să calculați $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus doi la puterea lui șapte)? În nici un caz!

Prin urmare, pentru certitudine, presupunem că în toate inegalitățile exponențiale (și ecuațiile, apropo, de asemenea) $1\ne a \gt 0$. Și apoi totul este rezolvat foarte simplu:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(aliniere) \dreapta.\]

În general, amintiți-vă din nou regula principală: dacă baza într-o ecuație exponențială este mai mare decât unu, o puteți elimina pur și simplu; iar dacă baza este mai mică de unu, poate fi și eliminată, dar semnul inegalității se va schimba.

Exemple de soluții

Deci, să ne uităm la câteva inegalități exponențiale simple:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

Sarcina principală în toate cazurile este aceeași: reducerea inegalităților la cea mai simplă formă $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Este exact ceea ce vom face acum cu fiecare inegalitate și, în același timp, vom repeta proprietățile gradelor și ale funcțiilor exponențiale. Deci, hai să mergem!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Ce poți face aici? Ei bine, în stânga avem deja o expresie orientativă - nimic nu trebuie schimbat. Dar în dreapta este un fel de porcărie: o fracție și chiar o rădăcină în numitor!

Cu toate acestea, să ne amintim regulile de lucru cu fracții și puteri:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

Ce înseamnă? În primul rând, putem scăpa cu ușurință de fracțiune transformând-o într-o putere cu exponent negativ. Și în al doilea rând, deoarece numitorul are o rădăcină, ar fi bine să-l transformăm într-o putere - de data aceasta cu un exponent fracționar.

Să aplicăm secvențial aceste acțiuni în partea dreaptă a inegalității și să vedem ce se întâmplă:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac() 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Nu uitați că atunci când ridicați un grad la o putere, exponenții acestor grade se adună. Și, în general, atunci când lucrați cu ecuații și inegalități exponențiale, este absolut necesar să cunoașteți cel puțin cele mai simple reguli pentru lucrul cu puteri:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

De fapt, ultima regula tocmai l-am aplicat. Prin urmare, inegalitatea noastră inițială va fi rescrisă după cum urmează:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Acum scăpăm de cele două de la bază. Deoarece 2 > 1, semnul inegalității va rămâne același:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

Asta e solutia! Principala dificultate nu este deloc în funcția exponențială, ci în transformarea competentă a expresiei originale: trebuie să o aduceți cu atenție și rapid la forma sa cea mai simplă.

Luați în considerare a doua inegalitate:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Da, da. Fracțiile zecimale ne așteaptă aici. După cum am spus de multe ori, în orice expresii cu puteri ar trebui să scapi de zecimale - aceasta este adesea singura modalitate de a vedea o soluție rapidă și simplă. Aici vom scăpa de:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]

Aici avem din nou cea mai simplă inegalitate și chiar și cu o bază de 1/10, i.e. mai putin de unul. Ei bine, eliminăm bazele, schimbând simultan semnul de la „mai puțin” la „mai mult”, și obținem:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

Am primit răspunsul final: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Vă rugăm să rețineți: răspunsul este tocmai o mulțime, și în niciun caz o construcție de forma $x \lt -1$. Pentru că formal, o astfel de construcție nu este deloc o mulțime, ci o inegalitate față de variabila $x$. Da, este foarte simplu, dar nu este răspunsul!

Notă importantă. Această inegalitate ar putea fi rezolvată într-un alt mod - prin reducerea ambelor părți la o putere cu o bază mai mare decât unu. Aruncă o privire:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

După o astfel de transformare primim din nou inegalitatea exponenţială, dar cu o bază de 10 > 1. Aceasta înseamnă că puteți tăia pur și simplu zece - semnul inegalității nu se va schimba. Primim:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, răspunsul a fost exact același. În același timp, ne-am ferit de nevoia de a schimba semnul și, în general, ne-am amintit orice reguli.

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Cu toate acestea, nu lăsați acest lucru să vă sperie. Indiferent de ceea ce se află în indicatori, tehnologia de rezolvare a inegalității în sine rămâne aceeași. Prin urmare, să remarcăm mai întâi că 16 = 2 4. Să rescriem inegalitatea inițială ținând cont de acest fapt:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Ura! Avem cele obișnuite inegalitatea pătratică! Semnul nu s-a schimbat nicăieri, deoarece baza este doi - un număr mai mare decât unu.

Zerourile unei funcții pe linia numerică

Aranjam semnele functiei $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - evident, graficul acesteia va fi o parabolă cu ramuri în sus, deci vor exista „plusuri”. ” pe laterale. Suntem interesați de regiunea în care funcționează mai putin de zero, adică $x\in \left(2;5 \right)$ este răspunsul la problema inițială.

În cele din urmă, luați în considerare o altă inegalitate:

\[(((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Din nou vedem o funcție exponențială cu o fracție zecimală la bază. Să transformăm această fracție într-o fracție comună:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

ÎN în acest caz, Am folosit observația dată mai devreme - am redus baza la numărul 5 > 1 pentru a simplifica soluția noastră ulterioară. Să facem același lucru cu partea dreaptă:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ dreapta))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Să rescriem inegalitatea inițială ținând cont de ambele transformări:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \dreapta)))\ge ((5)^(-2))\]

Bazele de pe ambele părți sunt aceleași și depășesc unul. Nu există alți termeni la dreapta și la stânga, așa că pur și simplu „trăgem” cei cinci și obținem o expresie foarte simplă:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Aici trebuie să fii mai atent. Mulți studenți le place să extragă pur și simplu rădăcină pătrată de ambele părți ale inegalității și scrieți ceva de genul $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. În niciun caz nu ar trebui să faceți acest lucru, deoarece rădăcina unui pătrat exact este modul, și în niciun caz variabila originală:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\dreapta|\]

Cu toate acestea, lucrul cu module nu este cea mai plăcută experiență, nu-i așa? Deci nu vom lucra. În schimb, pur și simplu mutăm toți termenii la stânga și rezolvăm inegalitatea obișnuită folosind metoda intervalului:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$

Marcam din nou punctele obținute pe linia numerică și ne uităm la semnele:

Vă rugăm să rețineți: punctele sunt umbrite

Deoarece rezolvăm o inegalitate nestrictă, toate punctele din grafic sunt umbrite. Prin urmare, răspunsul va fi: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nu este un interval, ci un segment.

În general, aș dori să observ că nu este nimic complicat în ceea ce privește inegalitățile exponențiale. Semnificația tuturor transformărilor pe care le-am efectuat astăzi se rezumă la un algoritm simplu:

• Găsiți baza la care vom reduce toate gradele;
• Efectuați cu atenție transformările pentru a obține o inegalitate de forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Desigur, în loc de variabilele $x$ și $n$ pot fi mult mai multe funcții complexe, dar sensul nu se va schimba;
• Tăiați bazele gradelor. În acest caz, semnul de inegalitate se poate schimba dacă baza $a \lt 1$.

De fapt, acesta este un algoritm universal pentru rezolvarea tuturor acestor inegalități. Și tot ceea ce vă vor spune despre acest subiect este doar tehnici și trucuri specifice care vor simplifica și accelera transformarea. Vom vorbi acum despre una dintre aceste tehnici :)

Metoda raționalizării

Să luăm în considerare un alt set de inegalități:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9)) \dreapta))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Deci, ce este atât de special la ei? Sunt ușoare. Deși, oprește-te! Este numărul π ridicat la o anumită putere? Ce prostie?

Cum se ridică numărul $2\sqrt(3)-3$ la o putere? Sau $3-2\sqrt(2)$? Scriitorii cu probleme au băut, evident, prea mult Hawthorn înainte de a se așeza la muncă :)

De fapt, nu este nimic înfricoșător în aceste sarcini. Permiteți-mi să vă reamintesc: o funcție exponențială este o expresie de forma $((a)^(x))$, unde baza $a$ este oricare număr pozitiv, cu excepția unuia. Numărul π este pozitiv - știm deja asta. Numerele $2\sqrt(3)-3$ și $3-2\sqrt(2)$ sunt de asemenea pozitive - acest lucru este ușor de observat dacă le compari cu zero.

Se dovedește că toate aceste inegalități „înfricoșătoare” sunt rezolvate cu nimic diferit de cele simple discutate mai sus? Și sunt rezolvate în același mod? Da, este absolut corect. Cu toate acestea, folosind exemplul lor, aș dori să iau în considerare o tehnică care economisește mult timp pentru munca independentă și examene. Vom vorbi despre metoda raționalizării. Deci, atentie:

Orice inegalitate exponențială de forma $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ este echivalentă cu inegalitatea $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ dreapta) \gt 0 $.

Asta e toată metoda :) Te-ai gândit că va exista un alt joc? Nimic de genul! Dar acest fapt simplu, scris literalmente într-o singură linie, ne va simplifica foarte mult munca. Aruncă o privire:

\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Deci nu mai există funcții exponențiale! Și nu trebuie să vă amintiți dacă semnul se schimbă sau nu. Dar apare o nouă problemă: ce să faci cu blestemul de multiplicare \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Nu știm despre ce este vorba valoarea exacta numerele π. Cu toate acestea, căpitanul pare să sugereze ceea ce este evident:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\aprox 3.14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

În general, valoarea exactă a lui π nu ne privește cu adevărat - este important doar pentru noi să înțelegem că, în orice caz, $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t .e. aceasta este o constantă pozitivă și putem împărți ambele părți ale inegalității cu aceasta:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, la un moment dat a trebuit să împărțim cu minus unu - și semnul inegalității s-a schimbat. La final, am extins trinomul pătratic folosind teorema lui Vieta - este evident că rădăcinile sunt egale cu $((x)_(1))=5$ și $((x)_(2))=-1$ . Apoi totul este rezolvat folosind metoda clasică a intervalului:

Rezolvarea inegalității folosind metoda intervalului

Toate punctele sunt eliminate deoarece inegalitatea originală este strictă. Ne interesează regiunea cu valori negative, deci răspunsul este $x\in \left(-1;5 \right)$. asta e solutia :)

Să trecem la următoarea problemă:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Totul aici este în general simplu, deoarece există o unitate în dreapta. Și ne amintim că unu este orice număr ridicat la puterea zero. Chiar dacă acest număr este o expresie irațională la baza din stânga:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \dreapta))^(0)); \\\end(align)\]

Ei bine, hai să raționalizăm:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Tot ce rămâne este să descoperi semnele. Factorul $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ nu conține variabila $x$ - este doar o constantă și trebuie să aflăm semnul acesteia. Pentru a face acest lucru, rețineți următoarele:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrice)\]

Se pare că al doilea factor nu este doar o constantă, ci o constantă negativă! Și la împărțirea la ea, semnul inegalității originale se schimbă în opus:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Acum totul devine complet evident. Rădăcinile trinomului pătrat din dreapta sunt: ​​$((x)_(1))=0$ și $((x)_(2))=2$. Le marchem pe linia numerică și ne uităm la semnele funcției $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Cazul când ne interesează intervalele laterale

Ne interesează intervalele marcate cu semnul plus. Rămâne doar să scrieți răspunsul:

Să trecem la următorul exemplu:

\[((\left(\frac(1)(3) \right)))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ dreapta))^(16-x))\]

Ei bine, totul este complet evident aici: bazele conțin puteri de același număr. Prin urmare, voi scrie totul pe scurt:

\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \În jos \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrice)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ stânga(16-x \dreapta))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

După cum puteți vedea, în timpul procesului de transformare a trebuit să ne înmulțim cu număr negativ, deci semnul inegalității s-a schimbat. La final, am aplicat din nou teorema lui Vieta pentru a factoriza trinomul pătratic. Ca urmare, răspunsul va fi următorul: $x\in \left(-8;4 \right)$ - oricine poate verifica acest lucru prin trasarea unei linii numerice, marcarea punctelor și numărarea semnelor. Între timp, vom trece la ultima inegalitate din „setul” nostru:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

După cum puteți vedea, la bază există din nou număr irațional, iar în dreapta e din nou unul. Prin urmare, rescriem inegalitatea noastră exponențială după cum urmează:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2)) \ dreapta))^(0))\]

Aplicam rationalizarea:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Cu toate acestea, este destul de evident că $1-\sqrt(2) \lt 0$, deoarece $\sqrt(2)\aproximativ 1,4... \gt 1$. Prin urmare, al doilea factor este din nou o constantă negativă, prin care ambele părți ale inegalității pot fi împărțite:

\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrice)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Mutați-vă la o altă bază

O problemă separată la rezolvarea inegalităților exponențiale este căutarea bazei „corecte”. Din păcate, nu este întotdeauna evident la prima vedere asupra unei sarcini ce să ia ca bază și ce să facă în funcție de gradul acestei baze.

Dar nu vă faceți griji: aici nu există magie sau tehnologie „secretă”. În matematică, orice abilitate care nu poate fi algoritmizată poate fi dezvoltată cu ușurință prin practică. Dar pentru asta va trebui să rezolvi probleme diferite niveluri complexitate. De exemplu, așa:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ sfârşitul (alinierea)\]

Dificil? Înfricoșător? E mai ușor decât să lovești un pui pe asfalt! Să încercăm. Prima inegalitate:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Ei bine, cred că totul este clar aici:

Rescriem inegalitatea originală, reducând totul la baza două:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Da, da, ați auzit bine: tocmai am aplicat metoda de raționalizare descrisă mai sus. Acum trebuie să lucrăm cu atenție: avem o inegalitate fracțională-rațională (aceasta este una care are o variabilă la numitor), așa că înainte de a echivala ceva cu zero, trebuie să aducem totul la un numitor comun și să scăpăm de factorul constant .

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Acum folosim metoda intervalului standard. Zerourile numeratorului: $x=\pm 4$. Numitorul ajunge la zero numai atunci când $x=0$. Există trei puncte în total care trebuie marcate pe linia numerică (toate punctele sunt fixate deoarece semnul inegalității este strict). Primim:

Caz mai complex: trei rădăcini

După cum ați putea ghici, umbrirea marchează acele intervale la care ia expresia din stânga valori negative. Prin urmare, răspunsul final va include două intervale simultan:

Capetele intervalelor nu sunt incluse în răspuns deoarece inegalitatea inițială a fost strictă. Nu este necesară verificarea suplimentară a acestui răspuns. În acest sens, inegalitățile exponențiale sunt mult mai simple decât cele logaritmice: fără ODZ, fără restricții etc.

Să trecem la următoarea sarcină:

\[((\left(\frac(1)(3) \right)))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Nici aici nu există probleme, deoarece știm deja că $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, deci întreaga inegalitate poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\stânga(-2 \dreapta) \dreapta. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Vă rugăm să rețineți: în a treia linie am decis să nu pierd timpul cu fleacuri și să împart imediat totul la (−2). Minul a intrat în prima paranteză (acum sunt plusuri peste tot), iar două au fost reduse cu un factor constant. Este exact ceea ce ar trebui să faceți atunci când pregătiți afișaje reale pe independent și teste— nu este nevoie să descriem fiecare acțiune și transformare.

În continuare, intră în joc metoda familiară a intervalelor. Zerouri ale numărătorului: dar nu există. Pentru că discriminantul va fi negativ. La rândul său, numitorul este resetat doar la $x=0$ - la fel ca data trecută. Ei bine, este clar că în dreapta lui $x=0$ fracția va lua valori pozitive, iar în stânga - negativă. Deoarece ne interesează valorile negative, răspunsul final este: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Ce ar trebui să faci cu fracțiile zecimale din inegalitățile exponențiale? Așa este: scapă de ele, transformându-le în altele obișnuite. Aici vom traduce:

\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ stânga(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)) (4)\dreapta))^(x)). \\\end(align)\]

Deci, ce am obținut în bazele funcțiilor exponențiale? Și avem două numere reciproc inverse:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ dreapta))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ stânga(\frac(4)(25) \dreapta))^(-x))\]

Astfel, inegalitatea originală poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \dreapta))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]

Desigur, la înmulțirea puterilor cu aceeași bază, exponenții acestora se adună, ceea ce s-a întâmplat în a doua linie. În plus, am reprezentat unitatea din dreapta, tot ca putere în baza 4/25. Rămâne doar să raționalizezi:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Rețineți că $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, adică. cel de-al doilea factor este o constantă negativă, iar la împărțirea la acesta, semnul inegalității se va schimba:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\în \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

În cele din urmă, ultima inegalitate din „mulțimea” actuală:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

În principiu, ideea soluției de aici este de asemenea clară: toate funcțiile exponențiale incluse în inegalitate trebuie reduse la baza „3”. Dar pentru asta va trebui să te chinui puțin cu rădăcini și puteri:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac((((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

Luând în considerare aceste fapte, inegalitatea inițială poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\dreapta))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

Atenție la rândurile 2 și 3 ale calculelor: înainte de a face ceva cu inegalitatea, asigurați-vă că o aduceți la forma despre care am vorbit încă de la începutul lecției: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Atâta timp cât aveți niște factori stângaci, constante suplimentare etc. în stânga sau în dreapta, nu poate fi efectuată nicio raționalizare sau „radiere” a terenurilor! Nenumărate sarcini au fost finalizate incorect din cauza lipsei de înțelegere a acestui lucru simplu fapt. Eu însumi observ constant această problemă cu studenții mei când abia începem să analizăm inegalitățile exponențiale și logaritmice.

Dar să revenim la sarcina noastră. Să încercăm de data asta să facem fără raționalizare. Să ne amintim: baza gradului este mai mare decât unu, astfel încât triplele pot fi pur și simplu tăiate - semnul inegalității nu se va schimba. Primim:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

Asta este. Răspuns final: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Izolarea unei expresii stabile și înlocuirea unei variabile

În concluzie, propun rezolvarea a încă patru inegalități exponențiale, care sunt deja destul de dificile pentru elevii nepregătiți. Pentru a le face față, trebuie să vă amintiți regulile de lucru cu grade. În special, scoaterea din paranteze a factorilor comuni.

Dar cel mai important lucru este să înveți să înțelegi ce anume poate fi scos dintre paranteze. O astfel de expresie se numește stabilă - poate fi notată printr-o nouă variabilă și astfel scăpați de funcția exponențială. Deci, să ne uităm la sarcini:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Să începem de la prima linie. Să scriem separat această inegalitate:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Rețineți că $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, prin urmare partea dreaptă poate fi rescris:

Rețineți că nu există alte funcții exponențiale cu excepția $((5)^(x+1))$ în inegalitate. Și, în general, variabila $x$ nu apare nicăieri altundeva, așa că să introducem o nouă variabilă: $((5)^(x+1))=t$. Obținem următoarea construcție:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Revenim la variabila originală ($t=((5)^(x+1))$), și în același timp ne amintim că 1=5 0 . Avem:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

Asta e solutia! Răspuns: $x\în \left[ -1;+\infty \right)$. Să trecem la a doua inegalitate:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Totul este la fel aici. Rețineți că $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Apoi partea stângă poate fi rescris:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \dreapta. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]

Cam așa trebuie să elaborezi o soluție pentru teste reale și muncă independentă.

Ei bine, hai să încercăm ceva mai complicat. De exemplu, iată inegalitatea:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Care este problema aici? În primul rând, bazele funcțiilor exponențiale din stânga sunt diferite: 5 și 25. Totuși, 25 = 5 2, deci primul termen poate fi transformat:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left((((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align) )\]

După cum puteți vedea, la început am adus totul la aceeași bază, apoi am observat că primul termen poate fi redus cu ușurință la al doilea - trebuie doar să extindeți exponentul. Acum puteți introduce în siguranță o nouă variabilă: $((5)^(2x+2))=t$, iar întreaga inegalitate va fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

Și din nou, fără dificultăți! Răspuns final: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Să trecem la inegalitatea finală în lecția de astăzi:

\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Primul lucru la care ar trebui să acordați atenție este, desigur, zecimal la baza gradului I. Este necesar să scăpați de el și, în același timp, să aduceți toate funcțiile exponențiale la aceeași bază - numărul „2”:

\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Grozav, am făcut primul pas – totul a dus la aceeași fundație. Acum trebuie să selectați o expresie stabilă. Rețineți că $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Dacă introducem o nouă variabilă $((2)^(4x+6))=t$, atunci inegalitatea originală poate fi rescrisă după cum urmează:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]

Desigur, poate apărea întrebarea: cum am descoperit că 256 = 2 8? Din păcate, aici trebuie doar să cunoști puterile lui doi (și în același timp puterile lui trei și cinci). Ei bine, sau împărțiți 256 la 2 (puteți împărți, deoarece 256 este număr par) până când obținem rezultatul. Va arata cam asa:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

Același lucru este valabil și cu trei (numerele 9, 27, 81 și 243 sunt gradele sale) și cu șapte (numerele 49 și 343 ar fi, de asemenea, bine de reținut). Ei bine, cele cinci au și grade „frumoase” pe care trebuie să le știi:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

Desigur, dacă doriți, toate aceste numere pot fi restaurate în mintea voastră prin simpla înmulțire succesivă între ele. Totuși, când trebuie să rezolvi mai multe inegalități exponențiale, iar fiecare următoare este mai dificilă decât cea anterioară, ultimul lucru la care vrei să te gândești este puterile unor numere. Și în acest sens, aceste probleme sunt mai complexe decât inegalitățile „clasice” care sunt rezolvate prin metoda intervalului.

Pe această lecție ne vom uita la diverse inegalități exponențiale și vom învăța cum să le rezolvăm, pe baza tehnicii de rezolvare a celor mai simple inegalități exponențiale

1. Definiția și proprietățile unei funcții exponențiale

Să ne amintim definiția și proprietățile de bază ale funcției exponențiale. Rezolvarea tuturor ecuațiilor și inegalităților exponențiale se bazează pe aceste proprietăți.

Funcția exponențială este o funcție de forma , unde baza este gradul și Aici x este variabila independentă, argument; y este variabila dependentă, funcție.

Orez. 1. Graficul funcției exponențiale

Graficul prezintă exponenți crescători și descrescători, ilustrând funcția exponențială cu o bază mai mare de unu și mai mică de unu, dar mai mare de zero, respectiv.

Ambele curbe trec prin punctul (0;1)

Proprietățile funcției exponențiale:

Domeniul de aplicare: ;

Interval de valori: ;

Funcția este monotonă, crește cu, scade cu.

O funcție monotonă ia fiecare dintre valorile sale având în vedere o singură valoare a argumentului.

Când , când argumentul crește de la minus la plus infinit, funcția crește de la zero inclusiv la plus infinit, adică pentru valori date ale argumentului avem o funcție crescătoare monotonă (). Dimpotrivă, atunci când argumentul crește de la minus la plus infinit, funcția scade de la infinit la zero inclusiv, adică pentru valori date ale argumentului avem o funcție monotonă descrescătoare ().

2. Cele mai simple inegalități exponențiale, metoda soluției, exemplu

Pe baza celor de mai sus, prezentăm o metodă de rezolvare a inegalităților exponențiale simple:

Tehnica de rezolvare a inegalităților:

Echivalează bazele gradelor;

Comparați indicatorii menținând sau schimbând semnul inegalității cu cel opus.

Soluția la inegalitățile exponențiale complexe constă de obicei în reducerea lor la cele mai simple inegalități exponențiale.

Baza gradului este mai mare decât unu, ceea ce înseamnă că semnul inegalității este păstrat:

Să transformăm partea dreaptă în funcție de proprietățile gradului:

Baza gradului este mai mică de unu, semnul inegalității trebuie inversat:

Pentru a rezolva inegalitatea pătratică, rezolvăm ecuația pătratică corespunzătoare:

Folosind teorema lui Vieta găsim rădăcinile:

Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Astfel, avem o soluție la inegalitate:

Este ușor de ghicit că partea dreaptă poate fi reprezentată ca o putere cu un exponent de zero:

Baza gradului este mai mare decât unu, semnul inegalității nu se schimbă, obținem:

Să ne amintim tehnica de rezolvare a unor astfel de inegalități.

Luați în considerare funcția fracționară-rațională:

Găsim domeniul de definiție:

Găsirea rădăcinilor funcției:

Funcția are o singură rădăcină,

Selectăm intervale de semn constant și determinăm semnele funcției pe fiecare interval:

Orez. 2. Intervale de constanță a semnului

Astfel, am primit răspunsul.

Răspuns:

3. Rezolvarea inegalităților exponențiale standard

Să luăm în considerare inegalitățile cu aceiași indicatori, dar baze diferite.

Una dintre proprietățile funcției exponențiale este că ia valori strict pozitive pentru orice valoare a argumentului, ceea ce înseamnă că poate fi împărțită într-o funcție exponențială. Să împărțim inegalitatea dată la partea sa dreaptă:

Baza gradului este mai mare decât unu, se păstrează semnul inegalității.

Să ilustrăm soluția:

Figura 6.3 prezintă grafice ale funcţiilor şi . Evident, când argumentul este mai mare decât zero, graficul funcției este mai mare, această funcție este mai mare. Când valorile argumentului sunt negative, funcția scade, este mai mică. Dacă argumentul este egal, funcțiile sunt egale, ceea ce înseamnă că acest punct este și o soluție a inegalității date.

Orez. 3. Ilustrație de exemplu 4

Să transformăm inegalitatea dată în funcție de proprietățile gradului:

Iată câțiva termeni similari:

Să împărțim ambele părți în:

Acum vom continua să rezolvăm în mod similar cu exemplul 4, împărțim ambele părți la:

Baza gradului este mai mare decât unu, semnul inegalității rămâne:

4. Rezolvarea grafică a inegalităților exponențiale

Exemplul 6 - Rezolvați grafic inegalitatea:

Să ne uităm la funcțiile din stânga și din dreapta și să construim un grafic pentru fiecare dintre ele.

Funcția este exponențială și crește pe întregul său domeniu de definiție, adică pentru toate valorile reale ale argumentului.

Funcția este liniară și scade pe întregul său domeniu de definiție, adică pentru toate valorile reale ale argumentului.

Dacă aceste funcții se intersectează, adică sistemul are o soluție, atunci o astfel de soluție este unică și poate fi ușor de ghicit. Pentru a face acest lucru, iterăm peste numere întregi ()

Este ușor de observat că rădăcina acestui sistem este:

Astfel, graficele funcțiilor se intersectează într-un punct cu un argument egal cu unu.

Acum trebuie să obținem un răspuns. Semnificația inegalității date este că exponentul trebuie să fie mai mare sau egal cu funcţie liniară, adică să fie mai înalt sau să coincidă cu ea. Răspunsul este evident: (Figura 6.4)

Orez. 4. Ilustrație de exemplu 6

Deci, ne-am uitat la rezolvarea diferitelor inegalități exponențiale standard. În continuare trecem la considerarea inegalităților exponențiale mai complexe.

Referințe

Mordkovich A. G. Algebră și principii analiză matematică. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra și începuturile analizei matematice. - M.: Dropia. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu et algebra și începuturile analizei matematice. - M.: Iluminismul.

Matematică. md. Matematică-repetiție. com. Diffur. kemsu. ru.

Teme pentru acasă

1. Algebra și începuturile analizei, clasele 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, nr. 472, 473;

2. Rezolvați inegalitatea:

3. Rezolvați inegalitatea.

Ecuațiile exponențiale și inegalitățile sunt cele în care necunoscutul este conținut în exponent.

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale se reduce adesea la rezolvarea ecuației a x = a b, unde a > 0, a ≠ 1, x este o necunoscută. Această ecuație are o singură rădăcină x = b, deoarece următoarea teoremă este adevărată:

Teorema. Dacă a > 0, a ≠ 1 și a x 1 = a x 2, atunci x 1 = x 2.

Să argumentăm afirmația luată în considerare.

Să presupunem că egalitatea x 1 = x 2 nu este valabilă, adică. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, atunci funcția exponențială y = a x crește și, prin urmare, inegalitatea a x 1 trebuie satisfăcută< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. În ambele cazuri am primit o contradicție cu condiția a x 1 = a x 2.

Să luăm în considerare mai multe probleme.

Rezolvați ecuația 4 ∙ 2 x = 1.

Soluţie.

Să scriem ecuația sub forma 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, din care obținem x + 2 = 0, adică. x = -2.

Răspuns. x = -2.

Rezolvați ecuația 2 3x ∙ 3 x = 576.

Soluţie.

Deoarece 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, ecuația poate fi scrisă ca 8 x ∙ 3 x = 24 2 sau ca 24 x = 24 2.

De aici obținem x = 2.

Răspuns. x = 2.

Rezolvați ecuația 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Soluţie.

Luând factorul comun 3 x - 2 din paranteze din partea stângă, obținem 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

de unde 3 x - 2 = 1, adică. x – 2 = 0, x = 2.

Răspuns. x = 2.

Rezolvați ecuația 3 x = 7 x.

Soluţie.

Deoarece 7 x ≠ 0, ecuația poate fi scrisă ca 3 x /7 x = 1, de unde (3/7) x = 1, x = 0.

Răspuns. x = 0.

Rezolvați ecuația 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Soluţie.

Prin înlocuirea 3 x = a această ecuație se reduce la ecuație pătratică a 2 – 4a – 45 = 0.

Rezolvând această ecuație, găsim rădăcinile ei: a 1 = 9 și 2 = -5, de unde 3 x = 9, 3 x = -5.

Ecuația 3 x = 9 are rădăcina 2, iar ecuația 3 x = -5 nu are rădăcini, deoarece funcția exponențială nu poate lua valori negative.

Răspuns. x = 2.

Rezolvarea inegalităților exponențiale se reduce adesea la rezolvarea inegalităților a x > a b sau a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Să ne uităm la câteva probleme.

Rezolvați inegalitatea 3 x< 81.

Soluţie.

Să scriem inegalitatea sub forma 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, atunci funcția y = 3 x este în creștere.

Prin urmare, pentru x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Astfel, la x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Răspuns. X< 4.

Rezolvați inegalitatea 16 x +4 x – 2 > 0.

Soluţie.

Notăm 4 x = t, apoi obținem inegalitatea pătratică t2 + t – 2 > 0.

Această inegalitate este valabilă pentru t< -2 и при t > 1.

Deoarece t = 4 x, obținem două inegalități 4 x< -2, 4 х > 1.

Prima inegalitate nu are soluții, deoarece 4 x > 0 pentru toate x € R.

Scriem a doua inegalitate sub forma 4 x > 4 0, de unde x > 0.

Răspuns. x > 0.

Rezolvați grafic ecuația (1/3) x = x – 2/3.

Soluţie.

1) Să construim grafice ale funcțiilor y = (1/3) x și y = x – 2/3.

2) Pe baza figurii noastre, putem concluziona că graficele funcțiilor considerate se intersectează în punctul cu abscisa x ≈ 1. Verificarea demonstrează că

x = 1 este rădăcina acestei ecuații:

(1/3) 1 = 1/3 și 1 – 2/3 = 1/3.

Cu alte cuvinte, am găsit una dintre rădăcinile ecuației.

3) Să găsim alte rădăcini sau să dovedim că nu există. Funcția (1/3) x este în scădere, iar funcția y = x – 2/3 este în creștere. Prin urmare, pentru x > 1, valorile primei funcție sunt mai mici de 1/3, iar a doua - mai mult de 1/3; la x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 și x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Răspuns. x = 1.

Rețineți că din rezolvarea acestei probleme, în special, rezultă că inegalitatea (1/3) x > x – 2/3 este satisfăcută pentru x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Lecție și prezentare pe tema: „Ecuații exponențiale și inegalități exponențiale”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a 11-a
Manual interactiv pentru clasele 9-11 „Trigonometrie”
Manual interactiv pentru clasele 10-11 „Logaritmi”

Definiția ecuațiilor exponențiale

Băieți, am studiat funcțiile exponențiale, le-am învățat proprietățile și am construit grafice, am analizat exemple de ecuații în care s-au găsit funcții exponențiale. Astăzi vom studia ecuațiile exponențiale și inegalitățile.

Definiţie. Ecuațiile de forma: $a^(f(x))=a^(g(x))$, unde $a>0$, $a≠1$ se numesc ecuații exponențiale.

Reamintind teoremele pe care le-am studiat la tema „Funcția exponențială”, putem introduce o nouă teoremă:
Teorema. Ecuație exponențială$a^(f(x))=a^(g(x))$, unde $a>0$, $a≠1$ este echivalent cu ecuația $f(x)=g(x)$.

Exemple de ecuații exponențiale

Exemplu.
Rezolvarea ecuațiilor:
a) $3^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Soluţie.
a) Știm bine că $27=3^3$.
Să ne rescriem ecuația: $3^(3x-3)=3^3$.
Folosind teorema de mai sus, aflăm că ecuația noastră se reduce la ecuația $3x-3=3$, rezolvând această ecuație, obținem $x=2$;
Răspuns: $x=2$.

B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
Atunci ecuația noastră poate fi rescrisă: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2х+0,2=0,2$.
$x=0$.
Răspuns: $x=0$.

C) Ecuația inițială este echivalentă cu ecuația: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ și $x_2=-3$.
Răspuns: $x_1=6$ și $x_2=-3$.

Exemplu.
Rezolvați ecuația: $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Soluţie:
Să efectuăm o serie de acțiuni secvențial și să aducem ambele părți ale ecuației noastre la aceleași baze.
Să efectuăm o serie de operații în partea stângă:
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0,5+0,5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Să trecem la partea dreaptă:
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
Ecuația inițială este echivalentă cu ecuația:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Răspuns: $x=0$.

Exemplu.
Rezolvați ecuația: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Soluţie:
Să ne rescriem ecuația: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Să facem o schimbare de variabile, fie $a=3^x$.
În nou ecuație variabilă va lua forma: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ și $a_2=3$.
Să efectuăm schimbarea inversă a variabilelor: $3^x=-12$ și $3^x=3$.
În ultima lecție am învățat că expresiile exponențiale pot lua doar valori pozitive, amintiți-vă graficul. Aceasta înseamnă că prima ecuație nu are soluții, a doua ecuație are o singură soluție: $x=1$.
Răspuns: $x=1$.

Să ne amintim cum să rezolvăm ecuațiile exponențiale:
1. Metoda grafică. Reprezentăm ambele părți ale ecuației sub formă de funcții și construim graficele acestora, găsim punctele de intersecție ale graficelor. (Am folosit această metodă în ultima lecție).
2. Principiul egalității indicatorilor. Principiul se bazează pe faptul că două expresii cu aceleași baze sunt egale dacă și numai dacă gradele (exponenții) acestor baze sunt egale. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Metoda de înlocuire variabilă. Această metodă ar trebui folosită dacă ecuația, la înlocuirea variabilelor, își simplifică forma și este mult mai ușor de rezolvat.

Exemplu.
Rezolvați sistemul de ecuații: $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \end (cazuri)$.
Soluţie.
Să luăm în considerare ambele ecuații ale sistemului separat:
27$^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Luați în considerare a doua ecuație:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Să folosim metoda schimbării variabilelor, fie $y=2^(x+y)$.
Atunci ecuația va lua forma:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ și $y_2=-3$.
Să trecem la variabilele inițiale, din prima ecuație obținem $x+y=2$. A doua ecuație nu are soluții. Apoi al nostru sistem initial ecuații este echivalentă cu sistemul: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \end (cazuri)$.
Scăderea a doua din prima ecuație, obținem: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \end (cazuri)$.
$\begin (cazuri) y=-1, \\ x=3. \end (cazuri)$.
Răspuns: $(3;-1)$.

Inegalități exponențiale

Să trecem la inegalități. Când rezolvați inegalitățile, este necesar să acordați atenție bazei gradului. Există două scenarii posibile pentru dezvoltarea evenimentelor la rezolvarea inegalităților.

Teorema. Dacă $a>1$, atunci inegalitatea exponențială $a^(f(x))>a^(g(x))$ este echivalentă cu inegalitatea $f(x)>g(x)$.
Dacă 0 USD a^(g(x))$ este echivalent cu inegalitatea $f(x)

Exemplu.
Rezolvarea inegalităților:
a) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Soluţie.
a) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Inegalitatea noastră este echivalentă cu inegalitatea:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.

B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) În ecuația noastră, baza este atunci când gradul este mai mic decât 1, atunci Când înlocuiți o inegalitate cu una echivalentă, este necesar să schimbați semnul.
$2x-4>2$.
$x>3$.

C) Inegalitatea noastră este echivalentă cu inegalitatea:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Să folosim metoda soluției pe intervale:
Răspuns: $(-∞;-5]U)