Cum să găsiți baza unui logaritm natural. Logaritm

Logaritmul unui număr pozitiv b la baza a (a>0, a nu este egal cu 1) este un număr c astfel încât a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Rețineți că logaritmul unui număr nepozitiv este nedefinit. În plus, baza logaritmului trebuie să fie număr pozitiv, nu este egal cu 1. De exemplu, dacă pătratăm -2, obținem numărul 4, dar asta nu înseamnă că logaritmul la baza -2 a lui 4 este egal cu 2.

Identitatea logaritmică de bază

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Este important ca domeniul de aplicare al definiției părților din dreapta și din stânga acestei formule să fie diferit. Partea stângă definit numai pentru b>0, a>0 și a ≠ 1. Partea dreaptă este definit pentru orice b, dar nu depinde deloc de a. Astfel, aplicarea „identității” logaritmice de bază la rezolvarea ecuațiilor și inegalităților poate duce la o modificare a DO.

Două consecințe evidente ale definiției logaritmului

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Într-adevăr, când ridicăm numărul a la prima putere, obținem același număr, iar când îl ridicăm la puterea zero, obținem unul.

Logaritmul produsului și logaritmul coeficientului

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Aș dori să îi avertizez pe școlari împotriva aplicării necugetate a acestor formule atunci când rezolvă ecuații logaritmiceși inegalități. Când le folosiți „de la stânga la dreapta”, ODZ se îngustează, iar când se trece de la suma sau diferența de logaritmi la logaritmul produsului sau al coeficientului, ODZ se extinde.

Într-adevăr, expresia log a (f (x) g (x)) este definită în două cazuri: când ambele funcții sunt strict pozitive sau când f(x) și g(x) sunt ambele mai mici decât zero.

Transformând această expresie în suma log a f (x) + log a g (x), suntem forțați să ne limităm doar la cazul în care f(x)>0 și g(x)>0. Există o restrângere a intervalului de valori acceptabile, iar acest lucru este categoric inacceptabil, deoarece poate duce la pierderea soluțiilor. O problemă similară există pentru formula (6).

Gradul poate fi scos din semnul logaritmului

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Și din nou aș dori să fac apel la acuratețe. Luați în considerare următorul exemplu:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Partea stângă a egalității este în mod evident definită pentru toate valorile lui f(x), cu excepția zero. Partea dreaptă este doar pentru f(x)>0! Luând gradul din logaritm, restrângem din nou ODZ. Procedura inversă duce la o extindere a intervalului de valori acceptabile. Toate aceste observații se aplică nu numai puterii 2, ci și oricărei puteri egale.

Formula pentru trecerea la o nouă fundație

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Acel caz rar în care ODZ nu se schimbă în timpul transformării. Dacă ați ales baza c cu înțelepciune (pozitivă și nu egală cu 1), formula pentru trecerea la o nouă bază este complet sigură.

Dacă alegem numărul b ca nouă bază c, obținem un important caz special formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Câteva exemple simple cu logaritmi

Exemplul 1. Calculați: log2 + log50.
Soluţie. log2 + log50 = log100 = 2. Am folosit formula sumei logaritmilor (5) și definiția logaritmului zecimal.

Exemplul 2. Calculați: lg125/lg5.
Soluţie. log125/log5 = log 5 125 = 3. Am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază (8).

Tabel de formule legate de logaritmi

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Lecție și prezentare pe teme: "Logaritmi naturali. Baza logaritmului natural. Logaritmul unui număr natural"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a 11-a
Manual interactiv pentru clasele 9-11 „Trigonometrie”
Manual interactiv pentru clasele 10-11 „Logaritmi”

Ce este logaritmul natural

Băieți, în ultima lecție am învățat un număr nou, special - e astăzi vom continua să lucrăm cu acest număr.
Am studiat logaritmii și știm că baza unui logaritm poate fi multe numere care sunt mai mari decât 0. Astăzi ne vom uita și la un logaritm a cărui bază este numărul e. Un astfel de logaritm se numește de obicei logaritm natural. Are propria sa notație: $\ln(n)$ este logaritmul natural. Această intrare este echivalentă cu intrarea: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Funcțiile exponențiale și logaritmice sunt inverse, atunci logaritmul natural este inversul funcției: $y=e^x$.
Funcțiile inverse sunt simetrice față de dreapta $y=x$.
Să trasăm logaritmul natural prin reprezentarea grafică a funcției exponențiale în raport cu linia dreaptă $y=x$.

Este de remarcat că unghiul de înclinare al tangentei la graficul funcţiei $y=e^x$ în punctul (0;1) este de 45°. Atunci unghiul de înclinare al tangentei la graficul logaritmului natural în punctul (1;0) va fi, de asemenea, egal cu 45°. Ambele tangente vor fi paralele cu dreapta $y=x$. Să diagramăm tangentele:

Proprietățile funcției $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Nu este nici par, nici impar.
3. Creșteri în întregul domeniu de definire.
4. Nelimitat de sus, nu limitat de jos.
5. Cea mai mare valoare Nu, cea mai mică valoare Nu.
6. Continuu.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Convex în sus.
9. Diferențiabil peste tot.

În cursul matematicii superioare se dovedeşte că derivata unei funcții inverse este inversa derivatei unei funcții date.
Nu are prea mult sens să mergem mai adânc în demonstrație, să scriem doar formula: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Exemplu.
Calculați valoarea derivatei funcției: $y=\ln(2x-7)$ în punctul $x=4$.
Soluţie.
ÎN vedere generală funcția noastră este reprezentată de funcția $y=f(kx+m)$, putem calcula derivatele unor astfel de funcții.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Să calculăm valoarea derivatei în punctul necesar: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Raspuns: 2.

Exemplu.
Desenați o tangentă la graficul funcției $y=ln(x)$ în punctul $х=е$.
Soluţie.
Ne amintim bine ecuația tangentei la graficul unei funcții în punctul $x=a$.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Calculăm secvenţial valorile necesare.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Ecuația tangentei în punctul $x=e$ este funcția $y=\frac(x)(e)$.
Să trasăm logaritmul natural și linia tangentă.

Exemplu.
Examinați funcția pentru monotonitate și extreme: $y=x^6-6*ln(x)$.
Soluţie.
Domeniul de definire al funcției $D(y)=(0;+∞)$.
Să găsim derivata funcției date:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Derivata există pentru tot x din domeniul definiției, atunci nu există puncte critice. Să găsim puncte staționare:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Punctul $х=-1$ nu aparține domeniului definiției. Atunci avem un punct staționar $x=1$. Să găsim intervalele de creștere și descreștere:

Punctul $x=1$ este punctul minim, apoi $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Răspuns: Funcția scade pe segmentul (0;1], funcția crește pe raza $ 2 .

sistem anglo-american

Matematicienii, statisticienii și unii ingineri folosesc de obicei pentru a desemna logaritmul natural sau „log( x)" sau "ln( x)", și pentru a desemna logaritmul de bază 10 - "log 10 ( x)».

Unii ingineri, biologi și alți specialiști scriu întotdeauna „ln( x)" (sau ocazional "log e ( x)") când înseamnă logaritmul natural și notația "log( x)" înseamnă log 10 ( x).

jurnal e este un logaritm „natural” deoarece apare automat și apare foarte des la matematică. De exemplu, luați în considerare problema derivatei unei funcții logaritmice:

Dacă baza b egală e, atunci derivata este pur și simplu 1/ x, și când x= 1 această derivată este egală cu 1. Un alt motiv pentru care baza e Cel mai firesc lucru despre logaritm este că poate fi definit destul de simplu în termeni de integrală simplă sau serie Taylor, ceea ce nu se poate spune despre alți logaritmi.

Alte justificări pentru naturalețe nu sunt legate de notație. De exemplu, există mai multe serii simple cu logaritmi naturali. Pietro Mengoli și Nicholas Mercator i-au numit logaritmul naturalis câteva decenii până când Newton și Leibniz au dezvoltat calculul diferențial și integral.

Definiţie

Formal ln( o) poate fi definită ca aria de sub curba graficului 1/ x de la 1 la o, adică ca o integrală:

Este cu adevărat un logaritm deoarece satisface proprietatea fundamentală a logaritmului:

Acest lucru poate fi demonstrat presupunând după cum urmează:

Valoare numerică

Pentru calcul valoare numerică logaritmul natural al unui număr, puteți utiliza extinderea seriei Taylor sub forma:

A obține viteza mai buna convergență, putem folosi următoarea identitate:

cu condiția ca y = (x−1)/(x+1) și x > 0.

Pentru ln( x), Unde x> 1, cu atât valoarea este mai apropiată x la 1, cu atât rata de convergență este mai rapidă. Identitățile asociate cu logaritmul pot fi utilizate pentru a atinge obiectivul:

Aceste metode au fost folosite chiar înainte de apariția calculatoarelor, pentru care s-au folosit tabele numerice și s-au efectuat manipulări similare celor descrise mai sus.

Precizie ridicată

Pentru calcularea logaritmului natural cu un număr mare de cifre de precizie, seria Taylor nu este eficientă deoarece convergența sa este lentă. O alternativă este să folosiți metoda lui Newton pentru a inversa într-o funcție exponențială a cărei serie converge mai repede.

O alternativă pentru o precizie foarte mare de calcul este formula:

Unde M denotă media aritmetico-geometrică de 1 și 4/s, și

m ales astfel încât p se obțin semne de precizie. (În majoritatea cazurilor, o valoare de 8 pentru m este suficientă.) De fapt, dacă se folosește această metodă, inversul lui Newton al logaritmului natural poate fi aplicat pentru a calcula eficient funcția exponențială. (Constantele ln 2 și pi pot fi precalculate cu precizia dorită folosind oricare dintre seriile cunoscute rapid convergente.)

Complexitatea computațională

Complexitatea computațională logaritmi naturali(folosind media aritmetică-geometrică) este egal cu O( M(n)ln n). Aici n este numărul de cifre de precizie pentru care trebuie evaluat logaritmul natural și M(n) este complexitatea de calcul a înmulțirii doi n- numere de cifre.

Fracții continuate

Deși nu există fracții continue simple care să reprezinte un logaritm, pot fi utilizate mai multe fracții continuate generalizate, inclusiv:

Logaritmi complexe

Funcția exponențială poate fi extinsă la o funcție care dă un număr complex al formei e x pentru orice arbitrar număr complex x, în acest caz o serie infinită cu complex x. Această funcție exponențială poate fi inversată pentru a forma un logaritm complex, care va avea majoritatea proprietăților logaritmilor obișnuiți. Există, totuși, două dificultăți: nu există x, pentru care e x= 0 și se dovedește că e 2πi = 1 = e 0 . Deoarece proprietatea multiplicativității este valabilă pentru o funcție exponențială complexă, atunci e z = e z+2nπi pentru toate complexele zși întreg n.

Logaritmul nu poate fi definit pe întregul plan complex și, chiar și așa, este multivaloric - orice logaritm complex poate fi înlocuit cu un logaritm „echivalent” prin adăugarea oricărui multiplu întreg de 2. πi. Logaritmul complex poate fi o singură valoare doar pe o secțiune a planului complex. De exemplu, ln i = 1/2 πi sau 5/2 πi sau −3/2 πi, etc., şi deşi i 4 = 1,4 log i poate fi definit ca 2 πi, sau 10 πi sau -6 πi, și așa mai departe.

Vezi de asemenea

• John Napier - inventatorul logaritmilor

Note

1. Matematică pentru chimie fizică. - al 3-lea. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5,Extract de la pagina 9
2. J J O"Connor și EF Robertson Numărul e. Arhiva MacTutor History of Mathematics (septembrie 2001). Arhivat
3. Cajori Florian O istorie a matematicii, ed. a 5-a. - Librăria AMS, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashman, Martin Estimarea integralelor folosind polinoame. Arhivat din original pe 12 februarie 2012.

Acesta ar putea fi, de exemplu, un calculator din setul de bază de programe de operație sisteme Windows. Linkul de lansare este ascuns destul de în meniul principal al sistemului de operare - deschideți-l făcând clic pe butonul „Start”, apoi deschideți secțiunea „Programe”, accesați subsecțiunea „Standard”, apoi la „Utilități” secțiunea și, în cele din urmă, faceți clic pe elementul „Calculator” „ În loc să folosiți mouse-ul și să navigați prin meniuri, puteți utiliza tastatura și dialogul de lansare a programului - apăsați combinația de taste WIN + R, tastați calc (acesta este numele fișierului executabil al calculatorului) și apăsați Enter.

Comutați interfața calculatorului în modul avansat, care vă permite să faceți... În mod implicit, se deschide în vizualizarea „normală”, dar aveți nevoie de „inginerie” sau „ ” (în funcție de versiunea sistemului de operare pe care o utilizați). Extindeți secțiunea „Vizualizare” din meniu și selectați linia corespunzătoare.

Introduceți argumentul al cărui număr natural doriți să îl evaluați. Acest lucru se poate face fie de la tastatură, fie făcând clic pe butoanele corespunzătoare din interfața calculatorului de pe ecran.

Faceți clic pe butonul etichetat ln - programul va calcula logaritmul la baza e și va afișa rezultatul.

Utilizați unul dintre calculatoarele - ca alternativă la calcularea valorii logaritmului natural. De exemplu, cel situat la http://calc.org.ua. Interfața sa este extrem de simplă - există un singur câmp de intrare în care trebuie să tastați valoarea numărului, al cărui logaritm trebuie să îl calculați. Printre butoane, găsiți și faceți clic pe cel care spune ln. Scriptul acestui calculator nu necesită trimiterea datelor către server și a unui răspuns, așa că veți primi rezultatul calculului aproape instantaneu. Singura caracteristică care trebuie luată în considerare este că separatorul dintre părțile fracționale și întregi ale numărului introdus trebuie să fie un punct și nu .

Termenul " logaritm„ provine din două cuvinte grecești, unul care înseamnă „număr” și celălalt care înseamnă „raport”. Denotă operația matematică de calcul a unei mărimi variabile (exponent) la care trebuie ridicată o valoare constantă (bază) pentru a obține numărul indicat sub semn logaritm O. Dacă baza este egală cu o constantă matematică numită numărul „e”, atunci logaritm numită „naturală”.

vei avea nevoie

• Acces la internet, Microsoft Office Excel sau calculator.

Instrucţiuni

Utilizați numeroasele calculatoare disponibile pe Internet - aceasta este poate o modalitate ușoară de a calcula a naturală. Nu trebuie să căutați serviciul adecvat, deoarece multe motoare de căutare în sine au calculatoare încorporate care sunt destul de potrivite pentru a lucra cu logaritm ami. De exemplu, accesați pagina principală a celui mai mare motor de căutare online - Google. Nu sunt necesare butoane aici pentru a introduce valori sau a selecta funcții, doar introduceți acțiunea matematică dorită în câmpul de introducere a interogării. Să zicem, să calculăm logaritmși numărul 457 în baza „e”, introduceți ln 457 - acest lucru va fi suficient pentru ca Google să afișeze cu o precizie de opt zecimale (6,12468339) chiar și fără a apăsa butonul pentru a trimite o solicitare către server.

Utilizați funcția încorporată corespunzătoare dacă trebuie să calculați valoarea unui natural logaritmși apare atunci când lucrați cu date în popularul editor de foi de calcul Microsoft Office Excel. Această funcție este numită aici folosind notația comună logaritm iar cu litere mari - LN. Selectați celula în care ar trebui să fie afișat rezultatul calculului și introduceți un semn egal - așa ar trebui să înceapă în acest editor de foi de calcul înregistrările din celulele care conțin în subsecțiunea „Standard” a secțiunii „Toate programele” din meniul principal. Comutați calculatorul într-un mod mai funcțional apăsând Alt + 2. Apoi introduceți valoarea, naturală logaritm pe care doriți să le calculați și faceți clic în interfața programului pe butonul indicat prin simbolurile ln. Aplicația va efectua calculul și va afișa rezultatul.

Video pe tema

Orez. 16. Comportarea funcției f(x) = x4 4x3

La trecerea prin punctul x = 0, derivata nu își schimbă semnul: funcția scade atât pe interval (1; 0], cât și pe interval. Prin urmare, punctul x = 0 este un punct șa al funcției.

Dar când trece prin punctul x = 3, derivata își schimbă semnul din () în (+). intre ele)