Nivel intermediar

Inegalități cuadratice. Ghid cuprinzător (2019)

Pentru a ne da seama cum să rezolvăm ecuațiile pătratice, trebuie să înțelegem ce funcţie pătratică, și ce proprietăți are.

Probabil v-ați întrebat de ce este necesară o funcție pătratică? Unde este aplicabil graficul său (parabola)? Da, trebuie doar să te uiți în jur și vei observa asta în fiecare zi viata de zi cu zi o intalnesti. Ai observat cum zboară o minge aruncată în educația fizică? „De-a lungul arcului”? Cel mai corect răspuns ar fi „parabola”! Și pe ce traiectorie se mișcă jetul în fântână? Da, tot într-o parabolă! Cum zboară un glonț sau un obuz? Așa e, tot în parabolă! Astfel, cunoscând proprietățile unei funcții pătratice, se vor putea rezolva multe probleme practice. De exemplu, în ce unghi trebuie aruncată o minge pentru a asigura cea mai mare distanță? Sau, unde va ajunge proiectilul dacă îl lansați într-un anumit unghi? etc.

Funcția pătratică

Deci, hai să ne dăm seama.

De exemplu, . Care sunt egalii aici și? Ei bine, desigur!

Dacă, adică mai putin de zero? Ei bine, desigur, suntem „triști”, ceea ce înseamnă că ramurile vor fi îndreptate în jos! Să ne uităm la grafic.

Această figură prezintă graficul unei funcții. Din moment ce, i.e. mai puțin de zero, ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. În plus, probabil ați observat deja că ramurile acestei parabole intersectează axa, ceea ce înseamnă că ecuația are 2 rădăcini, iar funcția ia atât valori pozitive, cât și negative!

La început, când am dat definiția unei funcții pătratice, s-a spus că și sunt niște numere. Pot fi egale cu zero? Ei bine, bineînțeles că pot! Voi dezvălui chiar și un secret și mai mare (care nu este deloc un secret, dar merită menționat): nu există restricții impuse acestor numere (și) deloc!

Ei bine, să vedem ce se întâmplă cu graficele dacă și sunt egale cu zero.

După cum puteți vedea, graficele funcțiilor (și) luate în considerare s-au deplasat astfel încât vârfurile lor sunt acum în punctul cu coordonatele, adică la intersecția axelor și acest lucru nu are niciun efect asupra direcției ramurilor. . Astfel, putem concluziona că ei sunt responsabili pentru „mișcarea” graficului parabolei de-a lungul sistemului de coordonate.

Graficul unei funcții atinge axa într-un punct. Aceasta înseamnă că ecuația are o singură rădăcină. Astfel, funcția ia valori mai mari sau egale cu zero.

Urmăm aceeași logică cu graficul funcției. Atinge axa x într-un punct. Aceasta înseamnă că ecuația are o singură rădăcină. Astfel, funcția ia valori mai mici sau egale cu zero, adică.

Astfel, pentru a determina semnul unei expresii, primul lucru de făcut este să găsiți rădăcinile ecuației. Acest lucru ne va fi foarte util.

Inegalitatea pătratică

Când rezolvăm astfel de inegalități, vom avea nevoie de capacitatea de a determina unde o funcție pătratică este mai mare, mai mică sau egală cu zero. Adică:

• dacă avem o inegalitate a formei, atunci, de fapt, sarcina se reduce la determinarea intervalului numeric de valori pentru care parabola se află deasupra axei.
• dacă avem o inegalitate a formei, atunci de fapt sarcina se rezumă la determinarea intervalului numeric al valorilor x pentru care parabola se află sub axă.

Dacă inegalitățile nu sunt stricte, atunci rădăcinile (coordonatele intersecției parabolei cu axa) sunt incluse în intervalul numeric dorit în cazul inegalităților stricte, acestea sunt excluse;

Toate acestea sunt destul de formalizate, dar nu disperați și nu vă speriați! Acum să ne uităm la exemple și totul va fi la locul lui.

Când rezolvăm inegalitățile pătratice, vom adera la algoritmul dat, iar succesul inevitabil ne așteaptă!

Algoritm	Exemplu:
1) Să notăm inegalitatea corespunzătoare ecuație pătratică(doar schimbați semnul inegalității în semnul egal „=”).
2) Să găsim rădăcinile acestei ecuații.
3) Marcați rădăcinile pe axă și afișați schematic orientarea ramurilor parabolei („sus” sau „jos”)
4) Să plasăm semne pe axa corespunzătoare semnului funcției pătratice: unde parabola este deasupra axei, punem „ ”, iar unde dedesubt - „ „.
5) Scrieți intervalul (intervalele) corespunzător lui „ ” sau „ ”, în funcție de semnul de inegalitate. Dacă inegalitatea nu este strictă, rădăcinile sunt incluse în interval dacă este strictă, nu sunt;

Am înţeles? Atunci mergeți mai departe și fixați-l!

Exemplu:

Ei bine, a ieșit? Dacă aveți dificultăți, căutați soluții.

Soluţie:

Să notăm intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Inegalitatea nu este strictă, deci rădăcinile sunt incluse în intervalele:

Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare:

Să găsim rădăcinile acestei ecuații pătratice:

Să marchem schematic rădăcinile obținute pe axă și să aranjam semnele:

Să notăm intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Inegalitatea este strictă, deci rădăcinile nu sunt incluse în intervale:

Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare:

Să găsim rădăcinile acestei ecuații pătratice:

această ecuație are o singură rădăcină

Să marchem schematic rădăcinile obținute pe axă și să aranjam semnele:

Să notăm intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Pentru oricare, funcția ia valori nenegative. Deoarece inegalitatea nu este strictă, răspunsul va fi.

Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare:

Să găsim rădăcinile acestei ecuații pătratice:

Să desenăm schematic un grafic al unei parabole și să aranjam semnele:

Să notăm intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Pentru orice funcție acceptă valori pozitive, prin urmare, soluția inegalității va fi intervalul:

INEGALITĂȚI PĂTRATE. NIVEL MEDIU

Funcția pătratică.

Înainte de a vorbi despre subiectul „inegalități pătratice”, să ne amintim ce este o funcție pătratică și care este graficul acesteia.

O funcție pătratică este o funcție de forma,

Cu alte cuvinte, asta polinom de gradul II.

Graficul unei funcții pătratice este o parabolă (vă amintiți ce este?). Ramurile sale sunt îndreptate în sus dacă „a) funcția ia numai valori pozitive pentru toate, iar în a doua () - numai negative:

În cazul în care ecuația () are exact o rădăcină (de exemplu, dacă discriminantul este zero), aceasta înseamnă că graficul atinge axa:

Apoi, similar cu cazul precedent, pentru „ .

Deci, am învățat recent cum să determinăm unde o funcție pătratică este mai mare decât zero și unde este mai mică:

Dacă inegalitatea pătratică nestrict, atunci rădăcinile sunt incluse în intervalul numeric dacă sunt stricte, rădăcinile nu sunt incluse.

Dacă există o singură rădăcină, este în regulă, același semn va fi peste tot. Dacă nu există rădăcini, totul depinde doar de coeficient: dacă „25((x)^(2))-30x+9

Raspunsuri:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

Nu există rădăcini, așa că întreaga expresie din partea stângă ia semnul coeficientului înainte:

• Dacă doriți să găsiți un interval numeric în care trinomul pătratic este mai mare decât zero, atunci acesta este intervalul numeric în care parabola se află deasupra axei.
• Dacă doriți să găsiți un interval numeric pe care trinomul pătratic este mai mic decât zero, atunci acesta este intervalul numeric în care parabola se află sub axă.

INEGALITATI DE PATRAT. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Funcția pătratică este o funcție de forma: ,

Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Ramurile sale sunt îndreptate în sus dacă și în jos dacă:

Tipuri de inegalități pătratice:

Toate inegalitățile pătratice sunt reduse la următoarele patru tipuri:

Algoritm de rezolvare:

Algoritm	Exemplu:
1) Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare inegalității (pur și simplu schimbăm semnul inegalității în semnul egal „”).
2) Să găsim rădăcinile acestei ecuații.
3) Marcați rădăcinile pe axă și arată schematic orientarea ramurilor parabolei („sus” sau „jos”)
4) Să plasăm semne pe axa corespunzătoare semnului funcției pătratice: unde parabola este deasupra axei, punem „ ”, iar unde dedesubt - „ „.
5) Notează intervalul (intervalele) corespunzător lui „ ” sau „ ”, în funcție de semnul de inegalitate. Dacă inegalitatea nu este strictă, rădăcinile sunt incluse în interval dacă este strictă, nu sunt;

A fost necesară compararea cantităților și cantităților la rezolvarea problemelor practice încă din cele mai vechi timpuri. În același timp, au apărut cuvinte precum mai mult și mai puțin, mai mare și mai jos, mai ușor și mai greu, mai liniștit și mai tare, mai ieftin și mai scump etc., denotând rezultatele comparării cantităților omogene.

Conceptele de mai mult și mai puțin au apărut în legătură cu numărarea obiectelor, măsurarea și compararea cantităților. De exemplu, matematicienii din Grecia antică știau că latura oricărui triunghi este mai mică decât suma celorlalte două laturi și că latura mai mare a unui triunghi se află opusă unghiului mai mare. Arhimede, în timp ce a calculat circumferința, a stabilit că perimetrul oricărui cerc este egal cu de trei ori diametrul, cu un exces care este mai mic de o șapte din diametru, dar mai mult de zece șaptezeci de ori diametrul.

Scrieți simbolic relațiile dintre numere și mărimi folosind semnele > și b. Înregistrări în care două numere sunt legate printr-unul dintre semne: > (mai mare decât), Ați întâlnit și inegalități numerice în clasele inferioare. Știți că inegalitățile pot fi adevărate sau pot fi false. De exemplu, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) este o inegalitate numerică corectă, 0,23 > 0,235 este o inegalitate numerică incorectă.

Inegalitățile care implică necunoscute pot fi adevărate pentru unele valori ale necunoscutelor și false pentru altele. De exemplu, inegalitatea 2x+1>5 este adevărată pentru x = 3, dar falsă pentru x = -3. Pentru o inegalitate cu o necunoscută, puteți stabili sarcina: rezolvați inegalitatea. În practică, problemele de rezolvare a inegalităților sunt puse și rezolvate nu mai rar decât problemele de rezolvare a ecuațiilor. De exemplu, multe probleme economice se reduc la studiul și rezolvarea sistemelor de inegalități liniare. În multe ramuri ale matematicii, inegalitățile sunt mai frecvente decât ecuațiile.

Unele inegalități servesc ca singurul mijloc auxiliar de a demonstra sau de a infirma existența unui anumit obiect, de exemplu, rădăcina unei ecuații.

Inegalități numerice

Puteți compara numere întregi și fracții zecimale. Cunoașteți regulile de comparare a fracțiilor obișnuite cu aceiași numitori, dar cu numărători diferiți; cu aceiași numărători dar numitori diferiți. Aici veți învăța cum să comparați oricare două numere găsind semnul diferenței lor.

Compararea numerelor este utilizată pe scară largă în practică. De exemplu, un economist compară indicatorii planificați cu cei reali, un medic compară temperatura unui pacient cu cea normală, un strunjător compară dimensiunile unei piese prelucrate cu un standard. În toate astfel de cazuri, unele numere sunt comparate. Ca rezultat al comparării numerelor, apar inegalități numerice.

Definiţie. Numărul a este mai mare decât numărul b dacă diferența a-b este pozitivă. Numărul a este mai mic decât numărul b dacă diferența a-b este negativă.

Dacă a este mai mare decât b, atunci se scrie: a > b; dacă a este mai mic decât b, atunci se scrie: a Astfel, inegalitatea a > b înseamnă că diferența a - b este pozitivă, i.e. a - b > 0. Inegalitatea a Pentru oricare două numere a și b din următoarele trei relații a > b, a = b, a A compara numerele a și b înseamnă a afla care dintre semne >, = sau Teorema. Dacă a > b și b > c, atunci a > c.

Teorema. Dacă adăugați același număr la ambele părți ale inegalității, semnul inegalității nu se va schimba.
Consecinţă. Orice termen poate fi transferat dintr-o parte a inegalității în alta prin schimbarea semnului acestui termen în opus.

Teorema. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu același număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se schimbă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu același număr negativ, atunci semnul inegalității se va schimba în opus.
Consecinţă. Dacă ambele părți ale inegalității sunt împărțite la același număr pozitiv, atunci semnul inegalității nu se va schimba. Dacă ambele părți ale inegalității sunt împărțite la același număr negativ, atunci semnul inegalității se va schimba în opus.

Știți că egalitățile numerice pot fi adăugate și înmulțite termen cu termen. În continuare, veți învăța cum să efectuați acțiuni similare cu inegalități. Capacitatea de a adăuga și înmulți inegalitățile termen cu termen este adesea folosită în practică. Aceste acțiuni ajută la rezolvarea problemelor de evaluare și comparare a semnificațiilor expresiilor.

Când se rezolvă diverse probleme, este adesea necesar să se adună sau să se înmulțească părțile stânga și dreaptă ale inegalităților termen cu termen. În același timp, se spune uneori că inegalitățile se adună sau se înmulțesc. De exemplu, dacă un turist a mers mai mult de 20 km în prima zi și mai mult de 25 km în a doua, atunci putem spune că în două zile a mers mai mult de 45 km. În mod similar, dacă lungimea unui dreptunghi este mai mică de 13 cm și lățimea este mai mică de 5 cm, atunci putem spune că aria acestui dreptunghi este mai mică de 65 cm2.

Când luăm în considerare aceste exemple, s-au folosit următoarele: teoreme de adunare și înmulțire a inegalităților:

Teorema. La adunarea inegalităților de același semn se obține o inegalitate de același semn: dacă a > b și c > d, atunci a + c > b + d.

Teorema. La înmulțirea inegalităților de același semn, ale căror laturi stânga și dreaptă sunt pozitive, se obține o inegalitate de același semn: dacă a > b, c > d și a, b, c, d sunt numere pozitive, atunci ac > bd.

Inegalități cu semnul > (mai mare decât) și 1/2, 3/4 b, c Alături de semnele inegalităților stricte > și În același mod, inegalitatea \(a \geq b \) înseamnă că numărul a este mai mare sau egal cu b, adică și nu mai puțin b.

Inegalitățile care conțin semnul \(\geq \) sau semnul \(\leq \) se numesc nestrict. De exemplu, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) nu sunt inegalități stricte.

Toate proprietățile inegalităților stricte sunt valabile și pentru inegalitățile nestricte. Mai mult, dacă pentru inegalități stricte semnele > au fost considerate opuse și știi că pentru a rezolva o serie de probleme aplicate trebuie să creezi un model matematic sub forma unei ecuații sau a unui sistem de ecuații. În continuare, veți afla că modelele matematice pentru rezolvarea multor probleme sunt inegalități cu necunoscute. Va fi introdus conceptul de rezolvare a unei inegalități și va fi prezentat modul de a testa dacă un anumit număr este o soluție a unei anumite inegalități.

Inegalitățile de formă
\(ax > b, \quad ax în care a și b sunt date numere, iar x este o necunoscută, sunt numite inegalități liniare cu o necunoscută.

Definiţie. Soluția la o inegalitate cu o necunoscută este valoarea necunoscutului la care această inegalitate devine o adevărată inegalitate numerică. Rezolvarea unei inegalități înseamnă găsirea tuturor soluțiilor acesteia sau stabilirea faptului că nu există.

Ați rezolvat ecuațiile reducându-le la cele mai simple ecuații. În mod similar, la rezolvarea inegalităților, se încearcă să le reducă, folosind proprietăți, la forma unor inegalități simple.

Rezolvarea inegalităților de gradul doi cu o variabilă

Inegalitățile de formă
\(ax^2+bx+c >0 \) și \(ax^2+bx+c unde x este o variabilă, a, b și c sunt niște numere și \(a \neq 0 \), numite inegalități de gradul doi cu o variabilă.

Soluție la inegalitate
\(ax^2+bx+c >0 \) sau \(ax^2+bx+c pot fi considerate ca fiind găsirea de intervale în care funcția \(y= ax^2+bx+c \) ia pozitiv sau negativ valori Pentru a face acest lucru, este suficient să analizăm modul în care graficul funcției \(y= ax^2+bx+c\) este situat în planul de coordonate: unde sunt direcționate ramurile parabolei - în sus sau în jos, indiferent dacă parabola intersectează axa x și dacă o face, atunci în ce puncte.

Algoritm pentru rezolvarea inegalităților de gradul doi cu o variabilă:
1) aflați discriminantul trinomului pătrat \(ax^2+bx+c\) și aflați dacă trinomul are rădăcini;
2) dacă trinomul are rădăcini, marcați-le pe axa x și prin punctele marcate desenați o parabolă schematică, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus pentru a > 0 sau în jos pentru a 0 sau în partea de jos pentru a 3) găsiți intervale pe axa x pentru care parabolele punctelor sunt situate deasupra axei x (dacă rezolvă inegalitatea \(ax^2+bx+c >0\)) sau sub axa x (dacă rezolvă inegalitate
\(ax^2+bx+c Rezolvarea inegalităților folosind metoda intervalului

Luați în considerare funcția
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Domeniul acestei funcții este mulțimea tuturor numerelor. Zerourile funcției sunt numerele -2, 3, 5. Ele împart domeniul de definiție al funcției în intervalele \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) și \( (5; +\infty)\)

Să aflăm care sunt semnele acestei funcții în fiecare dintre intervalele indicate.

Expresia (x + 2)(x - 3)(x - 5) este produsul a trei factori. Semnul fiecăruia dintre acești factori în intervalele luate în considerare este indicat în tabel:

În general, să fie dată funcția de formulă
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
unde x este o variabilă și x 1, x 2, ..., x n sunt numere care nu sunt egale între ele. Numerele x 1 , x 2 , ..., x n sunt zerourile funcției. În fiecare dintre intervalele în care domeniul de definiție este împărțit la zerouri ale funcției, semnul funcției este păstrat, iar la trecerea prin zero semnul acesteia se schimbă.

Această proprietate este folosită pentru a rezolva inegalitățile de formă
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) unde x 1, x 2, ..., x n sunt numere care nu sunt egale între ele

Metodă considerată rezolvarea inegalităților se numește metoda intervalului.

Să dăm exemple de rezolvare a inegalităților folosind metoda intervalului.

Rezolvați inegalitatea:

\(x(0,5-x)(x+4) În mod evident, zerourile funcției f(x) = x(0,5-x)(x+4) sunt punctele \(x=0, \; x= \ frac(1)(2) , \ x=-4 \)

Reprezentăm zerourile funcției pe axa numerelor și calculăm semnul pe fiecare interval:

Selectăm acele intervale la care funcția este mai mică sau egală cu zero și notăm răspunsul.

Răspuns:
\(x \în \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

Metoda intervalelor este considerată pe bună dreptate o metodă universală de rezolvare a inegalităților. Este cel mai ușor de utilizat pentru rezolvarea inegalităților pătratice dintr-o variabilă. În acest material ne vom uita la toate aspectele utilizării metodei intervalului pentru a rezolva inegalitățile pătratice. Pentru a facilita asimilarea materialului, vom lua în considerare un număr mare de exemple de diferite grade de complexitate.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Algoritm pentru aplicarea metodei intervalului

Să luăm în considerare un algoritm pentru utilizarea metodei intervalului într-o versiune adaptată, care este potrivit pentru rezolvarea inegalităților pătratice. Este această versiune a metodei intervalului pe care elevii sunt introduși în lecțiile de algebră. Să nu complicăm nici sarcina.

Să trecem la algoritmul în sine.

Avem trinomul pătratic a · x 2 + b · x + c din partea stângă a inegalității pătratice. Găsim zerourile acestui trinom.

În sistemul de coordonate descriem o linie de coordonate. Marcam rădăcinile pe el. Pentru comoditate, putem introduce diferite moduri de notare a punctelor pentru inegalități stricte și nestrictive. Să fim de acord că vom folosi puncte „vide” pentru a marca coordonatele atunci când rezolvăm o inegalitate strictă și puncte obișnuite pentru a le marca pe cele nestrictive. Prin marcarea punctelor, obținem mai multe intervale pe axa de coordonate.

Dacă la primul pas am găsit zerouri, atunci determinăm semnele valorilor trinomului pentru fiecare dintre intervalele rezultate. Dacă nu primim zerouri, atunci efectuăm această acțiune pentru întreaga linie numerică. Marcam golurile cu semnele „+” sau „-”.

În plus, vom introduce umbrirea în cazurile în care rezolvăm inegalități cu semne > sau ≥ și< или ≤ . В первом случае штриховка будет наноситься над промежутками, отмеченными « + », во втором над участками, отмеченными « - ».

Notând semnele valorilor trinomului și aplicând umbrire peste segmente, obținem o imagine geometrică a unei anumite mulțimi numerice, care este de fapt o soluție a inegalității. Tot ce trebuie să facem este să scriem răspunsul.

Să ne oprim mai în detaliu asupra celui de-al treilea pas al algoritmului, care implică determinarea semnului decalajului. Există mai multe abordări pentru definirea semnelor. Să le privim în ordine, începând cu cele mai precise, deși nu cele mai rapide. Această metodă implică calcularea valorilor trinomului în mai multe puncte ale intervalelor rezultate.

Exemplul 1

De exemplu, să luăm trinomul x 2 + 4 · x − 5 .

Rădăcinile acestui trinom 1 și - 5 împart axa de coordonate în trei intervale (− ∞, − 5), (− 5, 1) și (1, + ∞).

Să începem cu intervalul (1, + ∞). Pentru a ne simplifica sarcina, să luăm x = 2. Se obține 2 2 + 4 · 2 − 5 = 7.

7 este un număr pozitiv. Aceasta înseamnă că valorile acestui trinom pătratic pe intervalul (1, + ∞) sunt pozitive și pot fi notate cu semnul „+”.

Pentru a determina semnul intervalului (− 5, 1) luăm x = 0. Avem 0 2 + 4 · 0 − 5 = − 5 . Puneți un semn „-” deasupra intervalului.

Pentru intervalul (− ∞, − 5) luăm x = − 6, obținem (− 6) 2 + 4 · (− 6) − 5 = 7. Marcam acest interval cu semnul „+”.

Puteți identifica semnele mult mai rapid ținând cont de următoarele fapte.

Cu un discriminant pozitiv, un trinom pătrat cu două rădăcini oferă o alternanță de semne ale valorilor sale pe intervale în care linia numerică este împărțită la rădăcinile acestui trinom. Aceasta înseamnă că nu trebuie neapărat să definim semne pentru fiecare dintre intervale. Este suficient să efectuați calcule pentru unul și să puneți semne pentru restul, ținând cont de principiul alternanței.

Dacă doriți, puteți face cu totul fără calcule trăgând concluzii despre semne pe baza valorii coeficientului de conducere. Dacă a > 0, atunci obținem o succesiune de semne +, −, + și dacă a< 0 – то − , + , − .

Pentru trinoamele pătratice cu o rădăcină, când discriminantul este zero, obținem două intervale pe axa de coordonate cu aceleași semne. Aceasta înseamnă că determinăm semnul pentru unul dintre intervale și setăm același lucru pentru al doilea.

Aici aplicăm și metoda de determinare a semnului pe baza valorii coeficientului a: dacă a > 0, atunci va fi +, + și dacă a< 0 , то − , − .

Dacă un trinom pătrat nu are rădăcini, atunci semnele valorilor sale pentru întreaga linie de coordonate coincid atât cu semnul coeficientului principal a, cât și cu semnul termenului liber c.

De exemplu, dacă luăm trinomul pătratic − 4 x 2 − 7, acesta nu are rădăcini (discriminantul său este negativ). Coeficientul lui x 2 este negativ − 4, iar intersecția − 7 este, de asemenea, negativă. Aceasta înseamnă că pe intervalul (− ∞, + ∞) valorile sale sunt negative.

Să ne uităm la exemple de rezolvare a inegalităților pătratice folosind algoritmul discutat mai sus.

Exemplul 2

Rezolvați inegalitatea 8 x 2 − 4 x − 1 ≥ 0.

Soluţie

Folosim metoda intervalului pentru a rezolva inegalitatea. Pentru a face acest lucru, să găsim rădăcinile trinomului pătrat 8 x 2 − 4 x − 1 . Datorită faptului că coeficientul pentru x este par, ne va fi mai convenabil să calculăm nu discriminantul, ci a patra parte a discriminantului: D " = (− 2) 2 − 8 · (− 1) = 12 .

Discriminantul este mai mare decât zero. Acest lucru ne permite să găsim cele două rădăcini ale trinomului pătrat: x 1 = 2 - 12 9 , x 1 = 1 - 3 4 și x 2 = 2 + 12 8 , x 2 = 1 + 3 4 . Să marchem aceste valori pe linia numerică. Deoarece ecuația nu este strictă, folosim puncte obișnuite pe grafic.

Acum, folosind metoda intervalului, determinăm semnele celor trei intervale rezultate. Coeficientul lui x 2 este egal cu 8, adică pozitiv, prin urmare, succesiunea semnelor va fi +, −, +.

Deoarece rezolvăm o inegalitate cu semnul ≥, trasăm umbrirea intervalelor cu semne plus:

Să scriem setul numeric analitic din imaginea grafică rezultată. Putem face acest lucru în două moduri:

Răspuns:(- ∞ ; 1 - 3 4 ] ∪ [ 1 + 3 4 , + ∞) sau x ≤ 1 - 3 4 , x ≥ 1 + 3 4 .

Exemplul 3

Rezolvați inegalitatea pătratică - 1 7 x 2 + 2 x - 7< 0 методом интервалов.

Soluţie

Mai întâi, să găsim rădăcinile trinomului pătratic din partea stângă a inegalității:

D " = 1 2 - - 1 7 · - 7 = 0 x 0 = - 1 - 1 7 x 0 = 7

Aceasta este o inegalitate strictă, așa că folosim un punct „gol” pe grafic. Cu coordonata 7.

Acum trebuie să determinăm semnele intervalelor rezultate (− ∞, 7) și (7, + ∞). Deoarece discriminantul unui trinom pătratic este zero și coeficientul principal este negativ, punem semnele − , − :

Deoarece rezolvăm o inegalitate cu un semn< , то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

În acest caz, soluțiile sunt ambele intervale (− ∞ , 7) , (7 , + ∞) .

Răspuns:(− ∞ , 7) ∪ (7 , + ∞) sau în altă notație x ≠ 7 .

Exemplul 4

Are inegalitatea pătratică x 2 + x + 7< 0 решения?

Soluţie

Să găsim rădăcinile trinomului pătratic din partea stângă a inegalității. Pentru a face acest lucru, găsim discriminantul: D = 1 2 − 4 1 7 = 1 − 28 = − 27 . Discriminantul este mai mic decât zero, ceea ce înseamnă că nu există rădăcini reale.

Imaginea grafică va arăta ca o linie numerică fără puncte marcate pe ea.

Să determinăm semnul valorilor trinomului pătratic. La D< 0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак + :

În acest caz, am putea aplica umbrirea spațiilor cu semnul „-”. Dar nu avem astfel de lacune. Prin urmare, desenul arată astfel:

În urma calculelor, am primit un set gol. Aceasta înseamnă că această inegalitate pătratică nu are soluții.

Răspuns: Nu.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Definiţia quadratic inequality

Nota 1

Inegalitatea se numește pătratică deoarece variabila este la pătrat. Se mai numesc și inegalitățile cuadratice inegalități de gradul doi.

Exemplul 1

Exemplu.

$7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ – inegalități pătratice.

După cum se poate vedea din exemplu, nu toate elementele inegalității de forma $ax^2+bx+c > 0$ sunt prezente.

De exemplu, în inegalitatea $\frac(5)(11) y^2+\sqrt(11) y>0$ nu există termen liber (termen $с$), iar în inegalitatea $11z^2+8 \le 0$ nu există termen cu coeficient $b$. Astfel de inegalități sunt, de asemenea, pătratice, dar se mai numesc inegalități pătratice incomplete. Înseamnă doar că coeficienții $b$ sau $c$ sunt egali cu zero.

Metode de rezolvare a inegalităților pătratice

La rezolvarea inegalităților pătratice se folosesc următoarele metode de bază:

• grafic;
• metoda intervalului;
• izolând pătratul unui binom.

Metoda grafică

Nota 2

Metodă grafică pentru rezolvarea inegalităților pătratice $ax^2+bx+c > 0$ (sau cu semnul $

Aceste intervale sunt rezolvarea inegalității pătratice.

Metoda intervalului

Nota 3

Metoda intervalului pentru rezolvarea inegalităților pătratice de forma $ax^2+bx+c > 0$ (semnul de inegalitate poate fi și $

Soluții ale inegalităților pătratice cu semnul $""$ - intervale pozitive, cu semnele $"≤"$ și $"≥"$ - intervale negative și pozitive (respectiv), inclusiv punctele care corespund zerourilor trinomului.

Izolarea pătratului unui binom

Metoda de rezolvare a unei inegalități pătratice prin izolarea pătratului binomului este de a trece la o inegalitate echivalentă de forma $(x-n)^2 > m$ (sau cu semnul $

Inegalități care se reduc la pătratice

Nota 4

Adesea, atunci când rezolvăm inegalități, acestea trebuie reduse la inegalități pătratice de forma $ax^2+bx+c > 0$ (semnul de inegalitate poate fi și $ inegalități care se reduc la inegalități pătratice.

Nota 5

Cel mai simplu mod de a reduce inegalitățile la cele pătratice este de a rearanja termenii din inegalitatea inițială sau de a le transfera, de exemplu, din partea dreaptă la stânga.

De exemplu, când transferăm toți termenii inegalității $7x > 6-3x^2$ din partea dreaptă spre stânga, obținem o inegalitate pătratică de forma $3x^2+7x-6 > 0$.

Dacă rearanjam termenii din partea stângă a inegalității $1.5y-2+5.3x^2 \ge 0$ în ordinea descrescătoare a gradului variabilei $y$, atunci aceasta va duce la o inegalitate pătratică echivalentă de forma $5,3x^2+1,5y-2 \ge 0$.

La rezolvarea inegalităților raționale, acestea sunt adesea reduse la inegalități pătratice. În acest caz, este necesar să transferați toți termenii în partea stângă și să transformați expresia rezultată în forma unui trinom pătratic.

Exemplul 2

Exemplu.

Reduceți inegalitatea $7 \cdot (x+0.5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$ la una pătratică.

Soluţie.

Să mutăm toți termenii în partea stângă a inegalității:

$7 \cdot (x+0,5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$.

Folosind formule de înmulțire abreviate și paranteze de deschidere, simplificăm expresia din partea stângă a inegalității:

$7x^2+3,5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$;

$x^2-21,5x-19 > 0$.

Răspuns: $x^2-21,5x-19 > 0$.

Nivel intermediar

Inegalități cuadratice. Ghidul suprem (2019)

Pentru a ne da seama cum să rezolvăm ecuațiile pătratice, trebuie să înțelegem ce este o funcție pătratică și ce proprietăți are.

Probabil v-ați întrebat de ce este necesară o funcție pătratică? Unde este aplicabil graficul său (parabola)? Da, trebuie doar să te uiți în jur și vei observa că dai peste el în fiecare zi în viața de zi cu zi. Ai observat cum zboară o minge aruncată în educația fizică? „De-a lungul arcului”? Cel mai corect răspuns ar fi „parabola”! Și pe ce traiectorie se mișcă jetul în fântână? Da, tot într-o parabolă! Cum zboară un glonț sau un obuz? Așa e, tot în parabolă! Astfel, cunoscând proprietățile unei funcții pătratice, se vor putea rezolva multe probleme practice. De exemplu, în ce unghi trebuie aruncată o minge pentru a asigura cea mai mare distanță? Sau, unde va ajunge proiectilul dacă îl lansați într-un anumit unghi? etc.

Funcția pătratică

Deci, hai să ne dăm seama.

De exemplu, . Care sunt egalii aici și? Ei bine, desigur!

Dacă, adică mai putin de zero? Ei bine, desigur, suntem „triști”, ceea ce înseamnă că ramurile vor fi îndreptate în jos! Să ne uităm la grafic.

Această figură prezintă graficul unei funcții. Din moment ce, i.e. mai puțin de zero, ramurile parabolei sunt îndreptate în jos. În plus, probabil ați observat deja că ramurile acestei parabole intersectează axa, ceea ce înseamnă că ecuația are 2 rădăcini, iar funcția ia atât valori pozitive, cât și negative!

La început, când am dat definiția unei funcții pătratice, s-a spus că și sunt niște numere. Pot fi egale cu zero? Ei bine, bineînțeles că pot! Voi dezvălui chiar și un secret și mai mare (care nu este deloc un secret, dar merită menționat): nu există restricții impuse acestor numere (și) deloc!

Ei bine, să vedem ce se întâmplă cu graficele dacă și sunt egale cu zero.

După cum puteți vedea, graficele funcțiilor (și) luate în considerare s-au deplasat astfel încât vârfurile lor sunt acum în punctul cu coordonatele, adică la intersecția axelor și acest lucru nu are niciun efect asupra direcției ramurilor. . Astfel, putem concluziona că ei sunt responsabili pentru „mișcarea” graficului parabolei de-a lungul sistemului de coordonate.

Graficul unei funcții atinge axa într-un punct. Aceasta înseamnă că ecuația are o singură rădăcină. Astfel, funcția ia valori mai mari sau egale cu zero.

Urmăm aceeași logică cu graficul funcției. Atinge axa x într-un punct. Aceasta înseamnă că ecuația are o singură rădăcină. Astfel, funcția ia valori mai mici sau egale cu zero, adică.

Astfel, pentru a determina semnul unei expresii, primul lucru de făcut este să găsiți rădăcinile ecuației. Acest lucru ne va fi foarte util.

Inegalitatea pătratică

Când rezolvăm astfel de inegalități, vom avea nevoie de capacitatea de a determina unde o funcție pătratică este mai mare, mai mică sau egală cu zero. Adică:

• dacă avem o inegalitate a formei, atunci, de fapt, sarcina se reduce la determinarea intervalului numeric de valori pentru care parabola se află deasupra axei.
• dacă avem o inegalitate a formei, atunci de fapt sarcina se rezumă la determinarea intervalului numeric al valorilor x pentru care parabola se află sub axă.

Dacă inegalitățile nu sunt stricte, atunci rădăcinile (coordonatele intersecției parabolei cu axa) sunt incluse în intervalul numeric dorit în cazul inegalităților stricte, acestea sunt excluse;

Toate acestea sunt destul de formalizate, dar nu disperați și nu vă speriați! Acum să ne uităm la exemple și totul va fi la locul lui.

Când rezolvăm inegalitățile pătratice, vom adera la algoritmul dat, iar succesul inevitabil ne așteaptă!

Algoritm	Exemplu:
1) Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare inegalității (pur și simplu schimbăm semnul inegalității în semnul egal „=”).
2) Să găsim rădăcinile acestei ecuații.
3) Marcați rădăcinile pe axă și afișați schematic orientarea ramurilor parabolei („sus” sau „jos”)
4) Să plasăm semne pe axa corespunzătoare semnului funcției pătratice: unde parabola este deasupra axei, punem „ ”, iar unde dedesubt - „ „.
5) Scrieți intervalul (intervalele) corespunzător lui „ ” sau „ ”, în funcție de semnul de inegalitate. Dacă inegalitatea nu este strictă, rădăcinile sunt incluse în interval dacă este strictă, nu sunt;

Am înţeles? Atunci mergeți mai departe și fixați-l!

Exemplu:

Ei bine, a ieșit? Dacă aveți dificultăți, căutați soluții.

Soluţie:

Să notăm intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Inegalitatea nu este strictă, deci rădăcinile sunt incluse în intervalele:

Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare:

Să găsim rădăcinile acestei ecuații pătratice:

Să marchem schematic rădăcinile obținute pe axă și să aranjam semnele:

Să notăm intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Inegalitatea este strictă, deci rădăcinile nu sunt incluse în intervale:

Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare:

Să găsim rădăcinile acestei ecuații pătratice:

această ecuație are o singură rădăcină

Să marchem schematic rădăcinile obținute pe axă și să aranjam semnele:

Să notăm intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Pentru oricare, funcția ia valori nenegative. Deoarece inegalitatea nu este strictă, răspunsul va fi.

Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare:

Să găsim rădăcinile acestei ecuații pătratice:

Să desenăm schematic un grafic al unei parabole și să aranjam semnele:

Să notăm intervalele corespunzătoare semnului " ", deoarece semnul inegalității este " ". Pentru oricare, funcția ia valori pozitive, prin urmare, soluția inegalității va fi intervalul:

INEGALITĂȚI PĂTRATE. NIVEL MEDIU

Funcția pătratică.

Înainte de a vorbi despre subiectul „inegalități pătratice”, să ne amintim ce este o funcție pătratică și care este graficul acesteia.

O funcție pătratică este o funcție de forma,

Cu alte cuvinte, asta polinom de gradul II.

Graficul unei funcții pătratice este o parabolă (vă amintiți ce este?). Ramurile sale sunt îndreptate în sus dacă „a) funcția ia numai valori pozitive pentru toate, iar în a doua () - numai negative:

În cazul în care ecuația () are exact o rădăcină (de exemplu, dacă discriminantul este zero), aceasta înseamnă că graficul atinge axa:

Apoi, similar cu cazul precedent, pentru „ .

Deci, am învățat recent cum să determinăm unde o funcție pătratică este mai mare decât zero și unde este mai mică:

Dacă inegalitatea pătratică nu este strictă, atunci rădăcinile sunt incluse în intervalul numeric dacă este strictă, nu sunt;

Dacă există o singură rădăcină, este în regulă, același semn va fi peste tot. Dacă nu există rădăcini, totul depinde doar de coeficient: dacă „25((x)^(2))-30x+9

Raspunsuri:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

Nu există rădăcini, așa că întreaga expresie din partea stângă ia semnul coeficientului înainte:

• Dacă doriți să găsiți un interval numeric în care trinomul pătratic este mai mare decât zero, atunci acesta este intervalul numeric în care parabola se află deasupra axei.
• Dacă doriți să găsiți un interval numeric pe care trinomul pătratic este mai mic decât zero, atunci acesta este intervalul numeric în care parabola se află sub axă.

INEGALITATI DE PATRAT. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Funcția pătratică este o funcție de forma: ,

Graficul unei funcții pătratice este o parabolă. Ramurile sale sunt îndreptate în sus dacă și în jos dacă:

Tipuri de inegalități pătratice:

Toate inegalitățile pătratice sunt reduse la următoarele patru tipuri:

Algoritm de rezolvare:

Algoritm	Exemplu:
1) Să scriem ecuația pătratică corespunzătoare inegalității (pur și simplu schimbăm semnul inegalității în semnul egal „”).
2) Să găsim rădăcinile acestei ecuații.
3) Marcați rădăcinile pe axă și arată schematic orientarea ramurilor parabolei („sus” sau „jos”)
4) Să plasăm semne pe axa corespunzătoare semnului funcției pătratice: unde parabola este deasupra axei, punem „ ”, iar unde dedesubt - „ „.
5) Notează intervalul (intervalele) corespunzător lui „ ” sau „ ”, în funcție de semnul de inegalitate. Dacă inegalitatea nu este strictă, rădăcinile sunt incluse în interval dacă este strictă, nu sunt;