Punct de intersecție

Să ni se dea două drepte, definite de coeficienții lor și . Trebuie să găsiți punctul lor de intersecție sau să aflați că liniile sunt paralele.

Soluţie

Dacă două drepte nu sunt paralele, atunci se intersectează. Pentru a găsi punctul de intersecție, este suficient să creați un sistem de două ecuații drepte și să-l rezolvați:

Folosind formula lui Cramer, găsim imediat o soluție la sistem, care va fi cea dorită punct de intersecție:

Dacă numitorul este zero, i.e.

atunci sistemul nu are soluții (direct paralelși nu coincid) sau are infinit de multe (direct meci). Dacă este necesar să se facă distincția între aceste două cazuri, este necesar să se verifice dacă coeficienții liniilor sunt proporționale cu același coeficient de proporționalitate ca și coeficienții și , pentru care este suficient să se calculeze cei doi determinanți dacă sunt ambii; egal cu zero, atunci liniile coincid:

Implementarea

struct pt(dublu x, y;); linie struct (dublu a, b, c;); constdouble EPS =1e-9; dublu det (dublu a, dublu b, dublu c, dublu d)(return a * d - b * c;) bool intersect (linia m, linia n, pt & res)(double zn = det (m.a, m.b, n.a) , n.b);if(abs(zn)< EPS)returnfalse; res.x=- det (m.c, m.b, n.c, n.b)/ zn; res.y=- det (m.a, m.c, n.a, n.c)/ zn;returntrue;} bool parallel (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS;} bool equivalent (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS &&abs(det (m.a, m.c, n.a, n.c))< EPS &&abs(det (m.b, m.c, n.b, n.c))< EPS;}

Lecția din seria „ Algoritmi geometrici»

Bună dragă cititoare.

Sfat 1: Cum să găsiți coordonatele punctului de intersecție a două linii

Să mai scriem trei funcții noi.

Funcția LinesCross() va determina dacă se intersectează fie că doi segment. În ea poziție relativă segmentele se determină folosind produse vectoriale. Pentru a calcula produsele vectoriale, vom scrie o funcție – VektorMulti().

Funcția RealLess() va fi folosită pentru a implementa operația de comparare „<” (строго меньше) для вещественных чисел.

Sarcina 1. Două segmente sunt date de coordonatele lor. Scrieți un program care determină aceste segmente se intersectează? fără a găsi punctul de intersecție.

Soluţie
. Al doilea este dat de puncte.

Luați în considerare segmentul și punctele și .

Punctul se află la stânga dreptei, pentru el produsul vectorial > 0, deoarece vectorii sunt orientați pozitiv.

Punctul este situat în dreapta dreptei, pentru care este produsul vectorial< 0, так как векторы отрицательно ориентированы.

Pentru ca punctele și să se afle pe laturile opuse ale dreptei, este suficient ca condiția să fie îndeplinită< 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).

Raționament similar poate fi efectuat pentru segment și puncte și .

Deci dacă , apoi segmentele se intersectează.

Pentru a verifica această condiție, se folosește funcția LinesCross() și funcția VektorMulti() este folosită pentru a calcula produsele vectoriale.

ax, ay – coordonatele primului vector,

bx, prin – coordonatele celui de-al doilea vector.

Program geometr4; (Se intersectează 2 segmente?) Const _Eps: Real=1e-4; (acuratețea calculului) var x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4: real; var v1,v2,v3,v4: real;funcție RealLess(Const a, b: Real): Boolean; (Strict mai puțin decât) begin RealLess:= b-a> _Eps end; (RealLess)funcție VektorMulti(ax,ay,bx,by:real): real; (ax,ay - a coordonate bx,by - b coordonate) begin vektormulti:= ax*by-bx*ay; final;Function LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4:real): boolean; (Se intersectează segmentele?) begin v1:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x1-x3,y1-y3); v2:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x2-x3,y2-y3); v3:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1); v4:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1); dacă RealLess(v1*v2,0) și RealLess(v3*v4,0) (v1v2<0 и v3v4<0, отрезки пересекаются} then LinesCross:= true else LinesCross:= false end; {LinesCross}begin {main} writeln(‘Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4’); readln(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4); if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) then writeln (‘Да’) else writeln (‘Нет’) end.

Rezultatele executiei programului:

Introduceți coordonatele segmentelor: -1 1 2 2.52 2 1 -1 3
Da.

Am scris un program care determină dacă segmentele specificate de coordonatele lor se intersectează.

În lecția următoare vom crea un algoritm care poate fi folosit pentru a determina dacă un punct se află în interiorul unui triunghi.

Dragă cititor.

Ați făcut deja cunoștință cu câteva lecții din seria Algoritmi geometrici. Este totul scris într-un mod accesibil? Vă voi fi foarte recunoscător dacă lăsați feedback despre aceste lecții. Poate că ceva mai trebuie îmbunătățit.

Cu stimă, Vera Gospodarets.

Să fie date două segmente. Primul este dat de puncte P 1 (x 1 ;y 1)Şi P 2 (x 2 ;y 2). Al doilea este dat de puncte P 3 (x 3 ;y 3)Şi P 4 (x 4 ;y 4).

Poziția relativă a segmentelor poate fi verificată folosind produse vectoriale:

Luați în considerare segmentul P 3 P 4și puncte P 1Şi P2.

Punct P 1 se află în stânga liniei P 3 P 4, pentru ea produsul vectorial v 1 > 0, deoarece vectorii sunt orientați pozitiv.
Punct P2 situat în dreapta liniei, pentru aceasta produsul vectorial v 2< 0 , deoarece vectorii sunt orientați negativ.

Pentru a face ideea P 1Şi P2 așezați pe părțile opuse ale unei linii drepte P 3 P 4, este suficient ca condiția să fie îndeplinită v 1 v 2< 0 (produsele vectoriale aveau semne opuse).

Raționament similar poate fi efectuat pentru segment P 1 P 2și puncte P 3Şi P 4.

Deci dacă v 1 v 2< 0 Şi v 3 v 4< 0 , apoi segmentele se intersectează.

Produsul vectorial al doi vectori se calculează folosind formula:

Unde:
topor, da— coordonatele primului vector,
bx, de— coordonatele celui de-al doilea vector.

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte diferite specificate de coordonatele lor.

Să fie date două puncte necoincidente pe o linie dreaptă: P 1 cu coordonate ( x 1 ;y 1)Şi P2 cu coordonate (x 2 ; y 2).

Intersecția liniilor

În consecință, un vector cu originea în punct P 1și se termină într-un punct P2 are coordonate (x 2 -x 1 , y 2 -y 1). Dacă P(x, y) este un punct arbitrar pe o dreaptă, apoi coordonatele vectorului P 1 P egal (x - x 1, y - y 1).

Folosind produsul vectorial, condiția de coliniaritate a vectorilor P 1 PŞi P 1 P 2 se poate scrie asa:
|P 1 P, P 1 P 2 |=0, adică (x-x 1)(y 2 -y 1)-(y-y 1)(x 2 -x 1)=0
sau
(y 2 -y 1)x + (x 1 -x 2)y + x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1) = 0

Ultima ecuație este rescrisă după cum urmează:
ax + by + c = 0, (1)
Unde
a = (y 2 -y 1),
b = (x 1 -x 2),
c = x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1)

Deci, linia dreaptă poate fi specificată printr-o ecuație de forma (1).

Cum să găsiți punctul de intersecție al liniilor?
Soluția evidentă este rezolvarea sistemului de ecuații cu linii:

ax 1 +by 1 =-c 1
ax 2 +by 2 =-c 2 (2)

Introduceți simboluri:

Aici D este determinantul sistemului și Dx,Dy— determinanți rezultați din înlocuirea coloanei de coeficienți cu necunoscuta corespunzătoare cu o coloană de termeni liberi. Dacă D ≠ 0, atunci sistemul (2) este definit, adică are o soluție unică. Această soluție poate fi găsită folosind următoarele formule: x 1 =D x /D, y 1 =D y /D, care se numesc formulele lui Cramer. O reamintire rapidă a modului în care este calculat determinantul de ordinul doi. Determinantul distinge două diagonale: principală și secundară. Diagonala principală este formată din elemente luate în direcția de la colțul din stânga sus al determinantului până la colțul din dreapta jos. Diagonala laterală - din dreapta sus la stânga jos. Determinantul de ordinul doi este egal cu produsul elementelor diagonalei principale minus produsul elementelor diagonalei secundare.

1. Pentru a găsi coordonatele punctului de intersecție al graficelor funcțiilor, trebuie să echivalați ambele funcții una cu cealaltă, să mutați toți termenii care conțin $ x $ în partea stângă, iar restul în partea dreaptă și să găsiți rădăcinile ecuația rezultată.
2. A doua metodă este de a crea un sistem de ecuații și de a-l rezolva prin înlocuirea unei funcții cu alta
3. A treia metodă implică construirea grafică a funcțiilor și determinarea vizuală a punctului de intersecție.

Cazul a două funcții liniare

Se consideră două funcții liniare $ f(x) = k_1 x+m_1 $ și $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Aceste funcții se numesc directe. Este destul de ușor să le construiți, trebuie să luați oricare două valori $ x_1 $ și $ x_2 $ și să găsiți $ f(x_1) $ și $ (x_2) $. Apoi repetați același lucru cu funcția $ g(x) $. Apoi, găsiți vizual coordonatele punctului de intersecție al graficelor funcției.

Trebuie să știți că funcțiile liniare au un singur punct de intersecție și numai atunci când $ k_1 \neq k_2 $. În caz contrar, în cazul lui $ k_1=k_2 $ funcțiile sunt paralele între ele, deoarece $ k $ este coeficientul de pantă. Dacă $ k_1 \neq k_2 $ dar $ m_1=m_2 $, atunci punctul de intersecție va fi $ M(0;m) $. Este recomandabil să vă amintiți această regulă pentru a rezolva rapid problemele.

Exemplul 1

Fie $ f(x) = 2x-5 $ și $ g(x)=x+3 $. Găsiți coordonatele punctului de intersecție al graficelor funcției.

Soluţie

Cum să faci asta? Deoarece sunt prezentate două funcții liniare, primul lucru la care ne uităm este coeficientul de pantă al ambelor funcții $ k_1 = 2 $ și $ k_2 = 1 $. Observăm că $ k_1 \neq k_2 $, deci există un punct de intersecție. Să o găsim folosind ecuația $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Mutăm termenii cu $ x $ în partea stângă, iar restul la dreapta: $$ 2x - x = 3+5 $$ Am obținut $ x=8 $ abscisa punctului de intersecție al graficelor și acum să găsim ordonata. Pentru a face acest lucru, să substituim $ x = 8 $ în oricare dintre ecuații, fie în $ f(x) $, fie în $ g(x) $: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Deci, $ M (8;11) $ este punctul de intersecție al graficelor a două funcții liniare. Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vom oferi o soluție detaliată. Veți putea vizualiza progresul calculului și veți obține informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți nota de la profesorul dvs. în timp util!

Răspuns

$$ M (8;11) $$

Cazul a două funcții neliniare

Exemplul 3

Aflați coordonatele punctului de intersecție al graficelor funcției: $ f(x)=x^2-2x+1 $ și $ g(x)=x^2+1 $

Soluţie

Dar două funcții neliniare? Algoritmul este simplu: echivalăm ecuațiile între ele și găsim rădăcinile: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Distribuim termeni cu și fără $ x $ pe diferite părți ale ecuației: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Abscisa punctului dorit a fost găsită, dar nu este suficientă. Încă lipsește ordonata $y$. Substituim $ x = 0 $ în oricare dintre cele două ecuații ale condiției problemei. De exemplu: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - punctul de intersecție al graficelor de funcții

Răspuns

$$ M (0;1) $$

Când rezolvați unele probleme geometrice folosind metoda coordonatelor, trebuie să găsiți coordonatele punctului de intersecție al dreptelor. Cel mai adesea trebuie să căutați coordonatele punctului de intersecție a două linii pe un plan, dar uneori este nevoie să determinați coordonatele punctului de intersecție a două linii în spațiu. În acest articol ne vom ocupa de găsirea coordonatelor punctului în care două drepte se intersectează.

Navigare în pagină.

Punctul de intersecție a două drepte este o definiție.

Să definim mai întâi punctul de intersecție a două drepte.

În secțiunea privind poziția relativă a dreptelor pe un plan, se arată că două drepte dintr-un plan pot fie să coincidă (și au infinit de puncte comune), fie să fie paralele (și două drepte nu au puncte comune), fie să se intersecteze , având un punct comun. Există mai multe opțiuni pentru poziția relativă a două linii în spațiu - pot coincide (au infinit de puncte comune), pot fi paralele (adică se află în același plan și nu se intersectează), pot fi intersectate (nu se află în același plan) și pot avea și un punct comun, adică se intersectează. Deci, două drepte atât în ​​plan cât și în spațiu sunt numite intersectări dacă au un punct comun.

Din definiția liniilor care se intersectează rezultă determinarea punctului de intersecție a dreptelor: Punctul în care două drepte se intersectează se numește punctul de intersecție al acestor drepte. Cu alte cuvinte, singurul punct comun al două drepte care se intersectează este punctul de intersecție al acestor drepte.

Pentru claritate, prezentăm o ilustrare grafică a punctului de intersecție a două drepte pe un plan și în spațiu.

Începutul paginii

Aflarea coordonatelor punctului de intersecție a două drepte pe un plan.

Înainte de a găsi coordonatele punctului de intersecție a două drepte pe un plan folosind ecuațiile lor cunoscute, luați în considerare o problemă auxiliară.

Oxy oŞi b. Vom presupune asta direct o corespunde unei ecuații generale a dreptei de forma , și a dreptei b– tip . Să fie un punct în avion și trebuie să aflăm dacă punctul este M 0 punctul de intersecție al dreptelor date.

Să rezolvăm problema.

Dacă M0 oŞi b, atunci prin definiție aparține și liniei o si drept b, adică coordonatele sale trebuie să satisfacă atât ecuația, cât și ecuația. Prin urmare, trebuie să înlocuim coordonatele punctului M 0în ecuațiile liniilor date și vedeți dacă acest lucru are ca rezultat două egalități corecte. Dacă coordonatele punctului M 0 satisfac ambele ecuații și , atunci este punctul de intersecție al dreptelor oŞi b, altfel M 0 .

Este ideea M 0 cu coordonate (2, -3) punctul de intersecție al liniilor 5x-2y-16=0Şi 2x-5y-19=0?

Dacă M 0 este într-adevăr punctul de intersecție al dreptelor date, atunci coordonatele sale satisfac ecuațiile dreptelor. Să verificăm acest lucru înlocuind coordonatele punctului M 0în ecuațiile date:

Prin urmare, avem două egalități adevărate, M 0 (2, -3)- punctul de intersecție a dreptelor 5x-2y-16=0Şi 2x-5y-19=0.

Pentru claritate, vă prezentăm un desen care prezintă linii drepte și coordonatele punctelor lor de intersecție sunt vizibile.

da, punct M 0 (2, -3) este punctul de intersecție al dreptelor 5x-2y-16=0Şi 2x-5y-19=0.

Liniile se intersectează? 5x+3y-1=0Şi 7x-2y+11=0 la punct M 0 (2, -3)?

Să înlocuim coordonatele punctului M 0în ecuațiile liniilor drepte, această acțiune va verifica dacă punctul îi aparține M 0 ambele linii drepte în același timp:

De la a doua ecuație, când înlocuiți coordonatele punctului în ea M 0 nu sa transformat într-o adevărată egalitate, atunci punct M 0 nu aparține liniei 7x-2y+11=0. Din acest fapt putem trage concluzia că ideea M 0 nu este punctul de intersecție al dreptelor date.

Desenul arată, de asemenea, clar că ideea M 0 nu este punctul de intersecție al liniilor 5x+3y-1=0Şi 7x-2y+11=0. Evident, liniile date se intersectează într-un punct cu coordonate (-1, 2) .

M 0 (2, -3) nu este punctul de intersecție al liniilor 5x+3y-1=0Şi 7x-2y+11=0.

Acum putem trece la sarcina de a găsi coordonatele punctului de intersecție a două drepte folosind ecuațiile date ale dreptelor pe un plan.

Fie fixat pe plan un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxyși date două drepte care se intersectează oŞi b ecuaţii şi respectiv. Să notăm punctul de intersecție al dreptelor date ca M 0și rezolvați următoarea problemă: găsiți coordonatele punctului de intersecție a două drepte oŞi b conform ecuaţiilor cunoscute ale acestor drepte şi .

Punct M0 aparține fiecăreia dintre liniile care se intersectează oŞi b prin definiție. Apoi coordonatele punctului de intersecție al dreptelor oŞi b satisface atât ecuația cât și ecuația . Prin urmare, coordonatele punctului de intersecție a două drepte oŞi b sunt soluția unui sistem de ecuații (vezi articolul rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare).

Astfel, pentru a găsi coordonatele punctului de intersecție a două drepte definite pe un plan prin ecuații generale, trebuie să rezolvați un sistem compus din ecuații ale unor drepte date.

Să ne uităm la soluția exemplu.

Găsiți punctul de intersecție a două drepte definite într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan de ecuații x-9y+14=0Şi 5x-2y-16=0.

Ni se dau două ecuații generale de drepte, să facem un sistem din ele: . Soluțiile sistemului de ecuații rezultat se găsesc cu ușurință prin rezolvarea primei sale ecuații în raport cu variabila xși înlocuiți această expresie în a doua ecuație:

Soluția găsită a sistemului de ecuații ne oferă coordonatele dorite ale punctului de intersecție a două drepte.

M 0 (4, 2)– punctul de intersecție a dreptelor x-9y+14=0Şi 5x-2y-16=0.

Deci, găsirea coordonatelor punctului de intersecție a două drepte, definite prin ecuații generale pe un plan, se rezumă la rezolvarea unui sistem de două ecuații liniare cu două variabile necunoscute. Dar ce se întâmplă dacă liniile dintr-un plan sunt date nu de ecuații generale, ci de ecuații de alt tip (vezi tipurile de ecuații ale unei linii pe un plan)? În aceste cazuri, puteți mai întâi să reduceți ecuațiile de linii la o formă generală și numai după aceea să găsiți coordonatele punctului de intersecție.

Înainte de a găsi coordonatele punctului de intersecție al dreptelor date, reducem ecuațiile acestora la o formă generală. Tranziția de la ecuațiile parametrice ale unei linii la ecuația generală a acestei linii arată astfel:

Acum să efectuăm acțiunile necesare cu ecuația canonică a liniei drepte:

Astfel, coordonatele dorite ale punctului de intersecție al dreptelor sunt o soluție a unui sistem de ecuații de forma . Folosim metoda lui Cramer pentru a o rezolva:

M 0 (-5, 1)

Există o altă modalitate de a găsi coordonatele punctului de intersecție a două drepte pe un plan. Este convenabil de utilizat atunci când una dintre linii este dată de ecuații parametrice de formă, iar cealaltă de o ecuație de linie de alt tip. În acest caz, într-o altă ecuație în loc de variabile xŞi y puteți înlocui expresiile și , de unde puteți obține valoarea care corespunde punctului de intersecție al liniilor date. În acest caz, punctul de intersecție al liniilor are coordonate.

Să găsim coordonatele punctului de intersecție al liniilor din exemplul anterior folosind această metodă.

Determinați coordonatele punctului de intersecție al dreptelor și .

Să înlocuim expresia dreaptă în ecuație:

După ce am rezolvat ecuația rezultată, obținem . Această valoare corespunde punctului comun al liniilor și . Calculăm coordonatele punctului de intersecție prin înlocuirea unei linii drepte în ecuațiile parametrice:
.

M 0 (-5, 1).

Pentru a completa imaginea, mai trebuie discutat un punct.

Înainte de a găsi coordonatele punctului de intersecție a două drepte pe un plan, este util să vă asigurați că liniile date se intersectează efectiv. Dacă se dovedește că liniile inițiale coincid sau sunt paralele, atunci nu poate fi vorba de găsirea coordonatelor punctului de intersecție a unor astfel de linii.

Puteți, desigur, să faceți fără o astfel de verificare, dar să creați imediat un sistem de ecuații de formă și să îl rezolvați. Dacă un sistem de ecuații are o soluție unică, atunci acesta oferă coordonatele punctului în care se intersectează liniile originale. Dacă sistemul de ecuații nu are soluții, atunci putem concluziona că liniile originale sunt paralele (deoarece nu există o astfel de pereche de numere reale xŞi y, care ar satisface simultan ambele ecuații ale dreptelor date). Din prezența unui număr infinit de soluții la un sistem de ecuații, rezultă că liniile drepte originale au infinit de puncte comune, adică coincid.

Să ne uităm la exemple care se potrivesc acestor situații.

Aflați dacă liniile și se intersectează și dacă se intersectează, apoi găsiți coordonatele punctului de intersecție.

Ecuațiile date de drepte corespund ecuațiilor și . Să rezolvăm sistemul format din aceste ecuații.

Este evident că ecuațiile sistemului sunt exprimate liniar între ele (a doua ecuație a sistemului se obține din prima prin înmulțirea ambelor părți cu 4 ), prin urmare, sistemul de ecuații are un număr infinit de soluții. Astfel, ecuațiile definesc aceeași dreaptă și nu putem vorbi despre găsirea coordonatelor punctului de intersecție al acestor drepte.

ecuații și sunt definite într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxy aceeași linie dreaptă, deci nu putem vorbi despre găsirea coordonatelor punctului de intersecție.

Aflați coordonatele punctului de intersecție al dreptelor și, dacă este posibil.

Starea problemei permite ca liniile să nu se intersecteze. Să creăm un sistem din aceste ecuații. Să aplicăm metoda Gauss pentru a o rezolva, deoarece ne permite să stabilim compatibilitatea sau incompatibilitatea unui sistem de ecuații și, dacă este compatibil, găsim o soluție:

Ultima ecuație a sistemului după trecerea directă a metodei Gauss s-a transformat într-o egalitate incorectă, prin urmare, sistemul de ecuații nu are soluții. De aici putem concluziona că liniile inițiale sunt paralele și nu putem vorbi despre găsirea coordonatelor punctului de intersecție al acestor drepte.

A doua soluție.

Să aflăm dacă liniile date se intersectează.

Un vector normal este o linie, iar un vector este un vector normal al unei linii. Să verificăm dacă condiția de coliniaritate a vectorilor și : egalitatea este adevărată, deoarece, deci, vectorii normali ai dreptelor date sunt coliniari. Atunci aceste linii sunt paralele sau coincidente. Astfel, nu putem găsi coordonatele punctului de intersecție al liniilor originale.

este imposibil de găsit coordonatele punctului de intersecție al dreptelor date, deoarece aceste drepte sunt paralele.

Aflați coordonatele punctului de intersecție al dreptelor 2x-1=0și , dacă se intersectează.

Să compunem un sistem de ecuații care sunt ecuații generale ale dreptelor date: . Determinantul matricei principale a acestui sistem de ecuații este diferit de zero, prin urmare sistemul de ecuații are o soluție unică, care indică intersecția dreptelor date.

Pentru a găsi coordonatele punctului de intersecție al dreptelor, trebuie să rezolvăm sistemul:

Soluția rezultată ne oferă coordonatele punctului de intersecție al dreptelor, adică punctul de intersecție al dreptelor 2x-1=0Și .

Începutul paginii

Aflarea coordonatelor punctului de intersecție a două drepte în spațiu.

Coordonatele punctului de intersecție a două drepte în spațiul tridimensional se găsesc în mod similar.

Lasă liniile care se intersectează oŞi b specificate într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz ecuații a două plane care se intersectează, adică o dreaptă o este determinată de un sistem de forma , și linie dreaptă b- . Lasă M 0– punctul de intersecție a dreptelor oŞi b. Apoi punct M 0 prin definiție aparține și liniei o si drept b, prin urmare, coordonatele sale satisfac ecuațiile ambelor drepte. Astfel, coordonatele punctului de intersecție a liniilor oŞi b reprezintă o soluție a unui sistem de ecuații liniare de forma . Aici vom avea nevoie de informații din secțiunea de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de variabile necunoscute.

Să ne uităm la soluțiile exemplelor.

Aflați coordonatele punctului de intersecție a două drepte definite în spațiu de ecuațiile și .

Să compunem un sistem de ecuații din ecuațiile dreptelor date: . Rezolvarea acestui sistem ne va oferi coordonatele necesare ale punctului de intersecție a liniilor în spațiu. Să găsim soluția sistemului scris de ecuații.

Matricea principală a sistemului are forma , iar cea extinsă - .

Să determinăm rangul matricei Oși rangul matricei T. Folosim metoda limitării minorilor, dar nu vom descrie în detaliu calculul determinanților (dacă este necesar, consultați articolul Calculul determinantului unei matrice):

Astfel, rangul matricei principale este egal cu rangul matricei extinse și este egal cu trei.

În consecință, sistemul de ecuații are o soluție unică.

Vom lua determinantul drept bază minoră, prin urmare ultima ecuație ar trebui exclusă din sistemul de ecuații, deoarece nu participă la formarea bazei minore. Aşa,

Soluția pentru sistemul rezultat este ușor de găsit:

Astfel, punctul de intersecție al liniilor are coordonate (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Trebuie remarcat faptul că sistemul de ecuații are o soluție unică dacă și numai dacă liniile drepte oŞi b se intersectează. Dacă drept OŞi b paralelă sau încrucișată, atunci ultimul sistem de ecuații nu are soluții, deoarece în acest caz dreptele nu au puncte comune. Dacă drept oŞi b coincid, atunci au un număr infinit de puncte comune, prin urmare, sistemul de ecuații indicat are un număr infinit de soluții. Cu toate acestea, în aceste cazuri nu putem vorbi despre găsirea coordonatelor punctului de intersecție al liniilor, deoarece liniile nu se intersectează.

Astfel, dacă nu știm dinainte dacă liniile date se intersectează oŞi b sau nu, atunci este rezonabil să se creeze un sistem de ecuații de formă și să se rezolve prin metoda Gauss. Dacă obținem o soluție unică, atunci aceasta va corespunde coordonatele punctului de intersecție al dreptelor oŞi b. Dacă sistemul se dovedește a fi inconsecvent, atunci direct oŞi b nu se intersectează. Dacă sistemul are un număr infinit de soluții, atunci liniile drepte oŞi b meci.

Puteți face fără a utiliza metoda Gaussiană. Alternativ, puteți calcula rangurile matricelor principale și extinse ale acestui sistem și, pe baza datelor obținute și a teoremei Kronecker-Capelli, puteți concluziona fie existența unei singure soluții, fie existența mai multor soluții, fie absența solutii. E o chestiune de gust.

Dacă liniile se intersectează, atunci determinați coordonatele punctului de intersecție.

Să creăm un sistem din ecuațiile date: . Să o rezolvăm folosind metoda Gaussiană sub formă de matrice:

A devenit clar că sistemul de ecuații nu are soluții, prin urmare, dreptele date nu se intersectează și nu poate fi vorba de găsirea coordonatelor punctului de intersecție al acestor drepte.

nu putem găsi coordonatele punctului de intersecție al dreptelor date, deoarece aceste drepte nu se intersectează.

Când liniile care se intersectează sunt date de ecuații canonice ale unei linii în spațiu sau ecuații parametrice ale unei linii în spațiu, atunci trebuie să obținem mai întâi ecuațiile lor sub forma a două plane care se intersectează și numai după aceea să găsim coordonatele punctului de intersecție.

Două linii care se intersectează sunt definite într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz ecuații și . Aflați coordonatele punctului de intersecție al acestor drepte.

Să definim liniile drepte inițiale prin ecuațiile a două plane care se intersectează:

Pentru a găsi coordonatele punctului de intersecție al dreptelor, rămâne de rezolvat sistemul de ecuații. Rangul matricei principale a acestui sistem este egal cu rangul matricei extinse și este egal cu trei (recomandăm verificarea acestui fapt). Să luăm ca bază minoră, prin urmare, putem exclude ultima ecuație din sistem. După ce am rezolvat sistemul rezultat folosind orice metodă (de exemplu, metoda lui Cramer), obținem soluția. Astfel, punctul de intersecție al liniilor are coordonate (-2, 3, -5) .

Tema 3. Teorie

Geometrie analitică în spațiu.

Ecuațiile unui plan și ale unei drepte.

 Ecuaţia generală avion este o ecuație algebrică de ordinul întâi în raport cu coordonatele (x; y; z)

- normal , un vector perpendicular pe plan.

Condițiile de paralelism și perpendicularitate ale planelor sunt determinate de condițiile de coliniaritate și perpendicularitate ale normalelor.

Câteva tipuri standard de ecuații plane:

	Ecuația unui plan perpendicular pe un vector trecând printr-un punct dat M 0 (X 0 , y 0 , z 0 )	A(x-x 0 )+B(a-a 0 )+C(z-z 0 )=0
	Un avion care trece prin trei puncte date M 1 (X 1 , y 1 , z 1 ) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3 )
	Paralel cu doi vectori dați Şi , (necoliniare ), trecând prin punct M 0 (X 0 , y 0 , z 0 )
	Trecând prin două puncte date M 1 Şi M 2 , paralel cu vectorul , (necoliniare )
	Trecerea printr-un punct dat M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) , perpendicular pe două plane date: O 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 ; O 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 .

Ecuațiile efective ale planului se vor obține dacă extindem determinantul corespunzător din prima linie.

 Formula de calcul distante din punct dat M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) la avion, dat de ecuație Ah+De+ Cz+ D=0 :

.

Evident, dacă d=0 , apoi punct M 1 aparține avionului.

 Linie dreaptă în spațiu este definită ca linia de intersecție a două plane neparalele (orice plan care trece printr-o linie dreaptă).

Tipuri de ecuații ale unei linii drepte în spațiu:

		Ecuații generale ale unei drepte (intersecția a două plane)
	, M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) – orice punct situat pe o linie dreaptă. -vector ghid direct	Ecuații canonice linie dreaptă sau ecuații ale unei drepte care trece printr-un punct dat cu un vector de direcție dat
		Ecuație parametrică
		Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date M 1 și M 2

Condițiile de paralelism și perpendicularitate ale dreptelor în spațiu sunt definite ca fiind condițiile de coliniaritate și respectiv perpendicularitatea vectorilor lor de direcție. Să fie date drepte (1) și (2) în formă canonică sau parametrică

.

 Condiție pentru intersecția a două linii în spațiu – aceasta este condiția de complementaritate a trei vectori:

 Tranziţie de la ecuații liniare generale la ecuații în formă canonică sau parametrică se realizează după cum urmează (este posibilă și tranziția inversă).

Ecuațiile dreptei sunt date în formă generală:
.

Să găsim coordonatele vectorului direcție:
ca produs vectorial al normalelor planelor care definesc dreapta.

Vom găsi orice un punct aparținând unei drepte. De asemenea, aparține ambelor plane care definesc dreapta, astfel încât coordonatele acesteia (x 0, y 0, z 0) pot fi găsite din sistemul de ecuații:

,

în care una dintre coordonate trebuie specificată în mod arbitrar (deoarece găsim orice punct), dar astfel încât sistemul să aibă o soluție unică. Coordonatele vectoriale iar punctul găsit este substituit în ecuații canonice sau parametrice.

Condițiile de paralelism și perpendicularitate ale unei drepte și ale unui plan sunt formulate ca condiții de perpendicularitate și paralelism ale normalului și ale vectorului de direcție.

, Al+Bm+Cn=0.	, .

În spațiul bidimensional, două linii se intersectează doar într-un punct, definit de coordonatele (x,y). Deoarece ambele drepte trec prin punctul lor de intersecție, coordonatele (x,y) trebuie să satisfacă ambele ecuații care descriu aceste drepte. Cu unele abilități suplimentare, puteți găsi punctele de intersecție ale parabolelor și ale altor curbe pătratice.

Pași

Punct de intersecție a două drepte

Scrieți ecuația pentru fiecare dreaptă, izolând variabila „y” din partea stângă a ecuației. Ceilalți termeni ai ecuației ar trebui plasați în partea dreaptă a ecuației. Poate că ecuația care ți-a fost dată va conține variabila f(x) sau g(x) în loc de „y”; în acest caz, izolați o astfel de variabilă. Pentru a izola o variabilă, efectuați matematica adecvată pe ambele părți ale ecuației.

• Dacă nu vă sunt date ecuațiile dreptelor, pe baza informațiilor pe care le cunoașteți.
• Exemplu. Date drepte descrise prin ecuații și y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Pentru a izola „y” din a doua ecuație, adăugați numărul 12 de ambele părți ale ecuației:

1. Căutați punctul de intersecție al ambelor drepte, adică un punct ale cărui coordonate (x, y) satisfac ambele ecuații. Deoarece variabila „y” se află în partea stângă a fiecărei ecuații, expresiile situate în partea dreaptă a fiecărei ecuații pot fi egalate. Scrieți o nouă ecuație.

   • Exemplu. Deoarece y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)Şi y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x), atunci putem scrie următoarea egalitate: .

2. Aflați valoarea variabilei „x”. Noua ecuație conține o singură variabilă, „x”. Pentru a găsi „x”, izolați acea variabilă din partea stângă a ecuației, efectuând matematica corespunzătoare pe ambele părți ale ecuației. Ar trebui să obțineți o ecuație de forma x = __ (dacă nu puteți face acest lucru, consultați această secțiune).

   • Exemplu. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Adăuga 2 x (\displaystyle 2x) de fiecare parte a ecuației:
   • 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Scădeți 3 din fiecare parte a ecuației:
   • 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
   • Împărțiți fiecare parte a ecuației la 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Utilizați valoarea găsită a variabilei „x” pentru a calcula valoarea variabilei „y”. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valoarea găsită a lui „x” în ecuația (orice) a dreptei.

   • Exemplu. x = 3 (\displaystyle x=3)Şi y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)

4. Verificați răspunsul. Pentru a face acest lucru, înlocuiți valoarea lui „x” în cealaltă ecuație a dreptei și găsiți valoarea lui „y”. Dacă obțineți valori y diferite, verificați dacă calculele sunt corecte.

   • Exemplu: x = 3 (\displaystyle x=3)Şi y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Aveți aceeași valoare pentru y, deci nu există erori în calculele dvs.

5. Notați coordonatele (x,y). După ce ați calculat valorile „x” și „y”, ați găsit coordonatele punctului de intersecție a două linii. Notați coordonatele punctului de intersecție în forma (x,y).

   • Exemplu. x = 3 (\displaystyle x=3)Şi y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Astfel, două drepte se intersectează într-un punct cu coordonatele (3,6).

6. Calcule în cazuri speciale.În unele cazuri, valoarea variabilei „x” nu poate fi găsită. Dar asta nu înseamnă că ai făcut o greșeală. Un caz special apare atunci când este îndeplinită una dintre următoarele condiții:

   • Dacă două drepte sunt paralele, ele nu se intersectează. În acest caz, variabila „x” va fi pur și simplu redusă, iar ecuația ta se va transforma într-o egalitate fără sens (de exemplu, 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). În acest caz, notează în răspunsul tău că liniile nu se intersectează sau nu există o soluție.
   • Dacă ambele ecuații descriu o linie dreaptă, atunci va exista un număr infinit de puncte de intersecție. În acest caz, variabila „x” va fi pur și simplu redusă, iar ecuația dvs. se va transforma într-o egalitate strictă (de exemplu, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). În acest caz, notează în răspunsul tău că cele două rânduri coincid.

   Probleme cu funcțiile pătratice

   1. Definiția unei funcții pătratice.Într-o funcție pătratică, una sau mai multe variabile au un grad al doilea (dar nu mai mare), de exemplu, x 2 (\displaystyle x^(2)) sau y 2 (\displaystyle y^(2)). Graficele funcțiilor pătratice sunt curbe care nu se pot intersecta sau se pot intersecta în unul sau două puncte. În această secțiune, vă vom spune cum să găsiți punctul sau punctele de intersecție ale curbelor pătratice.

   2. Rescrieți fiecare ecuație izolând variabila „y” în partea stângă a ecuației. Ceilalți termeni ai ecuației ar trebui plasați în partea dreaptă a ecuației.

      • Exemplu. Găsiți punctul (punctele) de intersecție a graficelor x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1)Şi
      • Izolați variabila „y” din partea stângă a ecuației:
      • Şi y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • În acest exemplu, vi se oferă o funcție pătratică și o funcție liniară. Amintiți-vă că, dacă vi se dau două funcții pătratice, calculele sunt similare cu pașii descriși mai jos.

   3. Echivalează expresiile din partea dreaptă a fiecărei ecuații. Deoarece variabila „y” se află în partea stângă a fiecărei ecuații, expresiile situate în partea dreaptă a fiecărei ecuații pot fi egalate.

      • Exemplu. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1)Şi y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Transferați toți termenii ecuației rezultate în partea stângă și scrieți 0 în partea dreaptă. Pentru a face acest lucru, faceți niște matematici de bază. Acest lucru vă va permite să rezolvați ecuația rezultată.

      • Exemplu. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Scădeți „x” din ambele părți ale ecuației:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Scădeți 7 din ambele părți ale ecuației:

   5. Rezolvați ecuația pătratică. Mutând toți termenii ecuației în partea stângă, obțineți o ecuație pătratică. Poate fi rezolvată în trei moduri: folosind o formulă specială și.

      • Exemplu. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Când factorizați o ecuație, obțineți două binoame, care, atunci când sunt înmulțite, vă oferă ecuația inițială. În exemplul nostru, primul termen x 2 (\displaystyle x^(2)) poate fi descompus în x * x. Scrieți acest lucru: (x)(x) = 0
      • În exemplul nostru, termenul liber -6 poate fi factorizat în următorii factori: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • În exemplul nostru, al doilea termen este x (sau 1x). Adăugați fiecare pereche de factori ai termenului inactiv (în exemplul nostru -6) până când obțineți 1. În exemplul nostru, perechea adecvată de factori ai termenului inactiv sunt numerele -2 și 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), pentru că − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Completați spațiile libere cu perechea de numere găsită: .

   6. Nu uitați de al doilea punct de intersecție al celor două grafice. Dacă rezolvați problema rapid și nu foarte atent, este posibil să uitați de al doilea punct de intersecție. Iată cum să găsiți coordonatele x a două puncte de intersecție:

      • Exemplu (factorizare). Dacă în Ec. (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) una dintre expresiile dintre paranteze va fi egală cu 0, apoi întreaga ecuație va fi egală cu 0. Prin urmare, o putem scrie astfel: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) Şi x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (adică ați găsit două rădăcini ale ecuației).
      • Exemplu (folosind o formulă sau completând un pătrat perfect). Când utilizați una dintre aceste metode, va apărea o rădăcină pătrată în procesul de soluție. De exemplu, ecuația din exemplul nostru va lua forma x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Amintiți-vă că atunci când luați rădăcina pătrată veți obține două soluții. In cazul nostru: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), Şi 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Deci scrieți două ecuații și găsiți două valori ale lui x.

   7. Graficele se intersectează într-un punct sau nu se intersectează deloc. Astfel de situații apar dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

      • Dacă graficele se intersectează într-un punct, atunci ecuația pătratică este descompusă în factori identici, de exemplu, (x-1) (x-1) = 0, iar rădăcina pătrată a lui 0 apare în formula ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). În acest caz, ecuația are o singură soluție.
      • Dacă graficele nu se intersectează deloc, atunci ecuația nu este factorizată și rădăcina pătrată a unui număr negativ apare în formulă (de exemplu, − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). În acest caz, scrie în răspunsul tău că nu există soluție.