간접 측정의 오류 결정 예. 간접 측정의 오류 계산

간접 측정의 오류 계산 공식은 미분 계산의 개념을 기반으로 합니다.

양의 의존성을 보자 와이측정값에서 지간단한 형식을 갖습니다: .

여기 값이 알려진 상수입니다. z가 특정 숫자만큼 증가하거나 감소하면 그에 따라 다음과 같이 변경됩니다.

측정값의 오류인 경우 지, 그러면 계산된 값에 오류가 발생하게 됩니다. 와이.

하나의 변수로 구성된 함수의 일반적인 경우 절대 오차에 대한 공식을 구해 보겠습니다. 이 함수의 그래프를 그림 1과 같은 형태로 만드십시오. 인수 z 0의 정확한 값은 함수 y 0 = f(z 0)의 정확한 값에 해당합니다.

인수의 측정값은 측정 오류로 인해 인수의 정확한 값과 Δz만큼 다릅니다. 함수의 값은 정확한 값과 Δy 만큼 다릅니다.

주어진 지점 (그림 1)에서 곡선에 대한 접선의 경사각의 접선으로서의 미분의 기하학적 의미로부터 다음과 같습니다.

. (10)

하나의 변수로 구성된 함수의 경우 간접 측정의 상대 오차 공식은 다음과 같습니다.
. (11)

함수의 미분이 와 같다고 생각하면, 우리는 다음을 얻습니다.

(12)

간접 측정이 함수인 경우 중변수 , 간접 측정의 오류는 직접 측정의 오류에 따라 달라집니다. 인수의 측정 오류와 관련된 부분 오류를 나타냅니다. 다른 모든 인수가 변경되지 않은 경우 함수를 증가시키면 함수가 증가하는 것과 같습니다. 따라서 (10)에 따른 부분 절대 오차를 다음 형식으로 작성합니다.

(13)

따라서 간접측정의 부분오차를 구하기 위해서는 (13)에 따라 편도함수에 직접측정의 오차를 곱하는 것이 필요하다. 에 대한 함수의 편도함수를 계산할 때 나머지 인수는 상수로 간주됩니다.

간접 측정의 결과 절대 오차는 부분 오차의 제곱을 포함하는 공식에 의해 결정됩니다.

간접 측정:

또는 고려 (13)

(14)

간접 측정의 상대 오차는 다음 공식으로 결정됩니다.

또는 (11)과 (12)를 고려하면

. (15)

(14)와 (15)를 사용하면 계산의 편의에 따라 절대적이거나 상대적인 오류 중 하나가 발견됩니다. 따라서 예를 들어 작업 공식이 측정된 양의 비율인 곱의 형태인 경우 로그를 취하고 공식(15)을 사용하여 간접 측정의 상대 오차를 결정하는 것이 쉽습니다. 그런 다음 공식 (16)을 사용하여 절대 오차를 계산합니다.

간접 측정의 오류를 결정하는 위의 절차를 설명하기 위해 가상 실험실 작업 "수학 진자를 사용하여 자유 낙하 가속도 결정"으로 돌아가 보겠습니다.

작업 공식(1)은 측정량의 비율 형태를 갖습니다.

그러므로 상대 오차의 정의부터 시작하겠습니다. 이를 수행하려면 이 표현식의 로그를 취한 다음 편도함수를 계산합니다.

; ; .

공식 (15)로 대체하면 간접 측정의 상대 오차에 대한 공식이 도출됩니다.

(17)

직접 측정 결과를 대입한 후

{ ; ) (17)에서 우리는 다음을 얻습니다:

(18)

절대 오차를 계산하기 위해 식 (16)과 이전에 계산된 자유 낙하 가속도 값 (9)를 사용합니다. g:

절대오차를 계산한 결과는 유효숫자 1자리로 반올림됩니다. 계산된 절대 오차 값은 최종 결과 기록의 정확성을 결정합니다.

, α ≒ 1. (19)

이 경우 신뢰 확률은 간접 측정의 오류에 결정적인 기여를 한 직접 측정의 신뢰 확률에 의해 결정됩니다. 이 경우 이는 기간 측정입니다.

따라서 확률이 1에 가까운 값은 g 8~12 범위에 속합니다.

중력으로 인한 가속도의 보다 정확한 값을 얻으려면 g측정 방법론을 개선할 필요가 있습니다. 이를 위해서는 상대오차를 줄이는 것이 필요하며 이는 주로 시간 측정의 오차에 의해 결정되는 식 (18)과 같이 다음과 같다.

이를 위해서는 1회의 완전한 진동이 아닌, 예를 들어 10회의 완전한 진동 시간을 측정해야 합니다. 그러면 (2)에서 다음과 같이 상대 오차 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

. (20)

표 4는 에 대한 시간 측정 결과를 나타냅니다. N = 10

가치를 위해 엘표 2의 측정 결과를 살펴보겠습니다. 직접 측정 결과를 공식 (20)에 대입하면 간접 측정의 상대 오차를 찾을 수 있습니다.

공식 (2)를 사용하여 간접적으로 측정된 수량의 값을 계산합니다.

.

.

최종 결과는 다음과 같이 작성됩니다.

; ; .

이 예는 측정 기술 개선을 위한 가능한 방향 분석에서 상대 오차 공식의 역할을 보여줍니다.

원하는 물리량을 장치로 직접 측정할 수 없지만 공식을 사용하여 측정된 양을 통해 표현하는 경우 이러한 측정을 호출합니다. 간접적인.

직접 측정과 마찬가지로 간접 측정의 평균 절대(산술 평균) 오류 또는 평균 제곱 오류를 계산할 수 있습니다.

두 경우 모두 오류를 계산하는 일반적인 규칙은 미분 계산을 사용하여 도출됩니다.

물리량 j( 엑스, 와이, 지, ...)는 다수의 독립 인수의 함수입니다. x, y, z, ..., 각각은 실험적으로 결정될 수 있습니다. 직접 측정을 통해 수량을 결정하고 평균 절대 오차 또는 제곱 평균 오차를 추정합니다.

물리량 j의 간접 측정의 평균 절대 오차는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

에 대한 ψ의 편도함수는 어디에 있습니까? x, y, z,해당 인수의 평균값에 대해 계산됩니다.

공식은 합의 모든 항의 절대 값을 사용하므로 에 대한 표현식은 독립 변수의 주어진 최대 오류에 대한 함수 측정의 최대 오류를 추정합니다.

물리량 j의 간접 측정의 평균 제곱 오차

물리량 j의 간접 측정의 상대 최대 오차

어디서 등등

마찬가지로, 간접 측정의 상대 평균 제곱근 오차 j를 쓸 수 있습니다.

공식이 대수화에 편리한 표현식(즉, 곱, 분수, 거듭제곱)을 나타내는 경우 먼저 상대 오차를 계산하는 것이 더 편리합니다. 이를 수행하려면(평균 절대 오류의 경우) 다음을 수행해야 합니다.

1. 물리량을 간접적으로 측정하기 위해 식에 로그를 취합니다.

2. 차별화하세요.

3. 모든 용어를 동일한 미분으로 묶어 괄호 안에 넣습니다.

4. 다양한 모듈로 미분 앞에 표현을 취하십시오.

5. 공식적으로 차동 기호를 절대 오차 기호 D로 바꿉니다.

그런 다음 e를 알면 다음 공식을 사용하여 절대 오류 Dj를 계산할 수 있습니다.

예시 1.실린더 부피의 간접 측정의 최대 상대 오차를 계산하기 위한 공식 유도.

물리량을 간접적으로 측정하는 표현(원식)

직경 크기 디및 실린더 높이 시간직접 측정 오류가 있는 기기로 직접 측정함D 디그리고 디 시간.

원래 공식에 로그를 취하여 다음을 얻습니다.

결과 방정식을 미분해보자

미분 기호를 절대 오차 기호 D로 바꾸면 최종적으로 실린더 부피의 간접 측정의 최대 상대 오차를 계산하는 공식을 얻을 수 있습니다.

실험실 실습에서 대부분의 측정은 간접적이며 관심 있는 양은 하나 이상의 직접 측정된 양의 함수입니다.

N= f(x, y, z, ...) (13)

확률이론에 따르면 다음과 같이 직접 측정한 수량의 평균값을 식 (13)에 대입하여 수량의 평균값을 결정합니다. 즉,

¯ N= ̅(̅ x, ̅ y, ̅ z, ...) (14)

독립변수의 오차를 알고 있는 경우 이 함수의 절대오차와 상대오차를 찾는 것이 필요합니다.

오류가 체계적이거나 무작위인 두 가지 극단적인 경우를 고려해 보겠습니다. 간접 측정의 체계적 오류 계산에 관한 합의는 없습니다. 그러나 시스템 오류를 가능한 최대 오류로 정의하는 경우 다음을 찾는 것이 좋습니다. 체계적인 오류공식에 따르면

(15) 또는

어디

편도함수 N= 도함수가 발견된 인수를 제외한 다른 모든 인수가 일정하다는 가정 하에서 발견된 인수 x, y, z...에 대한 θ(x, y, z, ...) ;
δx, δy, δz 인수의 체계적 오류.

함수가 인수의 합이나 차의 형태를 가질 경우 식 (15)를 사용하면 편리합니다. 함수가 인수의 곱이나 몫의 형태를 갖는 경우 식 (16)을 사용하는 것이 좋습니다.

찾다 무작위 오류간접 측정의 경우 다음 공식을 사용해야 합니다.

(17) 또는

여기서 Δx, Δy, Δz, ... 인수 x, y, z, ...에 대한 주어진 신뢰 확률(신뢰도)에서의 신뢰 구간입니다. 신뢰 구간 Δx, Δy, Δz, ...는 동일한 신뢰 확률 P 1 = P 2 = ... = P n = P에서 취해야 한다는 점을 명심해야 합니다.

이 경우 신뢰구간 Δ에 대한 신뢰도는 다음과 같습니다. N P도 될 것이다.

공식 (17)은 다음과 같은 경우에 사용하기 편리합니다. N= f(x, y, z, ...)는 인수의 합 또는 차의 형태를 갖습니다. 공식 (18)은 다음과 같은 경우에 사용하기 편리합니다. N= f(x, y, z, ...)는 인수의 곱 또는 몫의 형식을 갖습니다.

체계적 오류와 무작위 오류가 서로 가깝고 둘 다 결과의 정확도를 동일하게 결정하는 경우가 종종 관찰됩니다. 이 경우 총 오류 ∑는 P 이상의 확률을 갖는 무작위 Δ 및 체계적 δ 오류의 2차 합으로 구됩니다. 여기서 P는 무작위 오류의 신뢰 확률입니다.

간접 측정을 수행하는 경우 재현 불가능한 조건에서개별 측정마다 함수를 구하고 직접 측정과 동일한 방법으로 원하는 수량의 값을 얻기 위해 신뢰 구간을 계산합니다.

로그화에 편리한 공식으로 표현되는 함수 의존성의 경우 먼저 상대 오차를 결정한 다음 Δ 표현식에서 결정하는 것이 더 쉽다는 점에 유의해야 합니다. N = ε ¯ N절대 오류를 찾아보세요.

측정을 시작하기 전에 항상 후속 계산에 대해 생각하고 오류를 계산하는 공식을 적어야 합니다. 이 공식을 사용하면 어떤 측정을 특히 주의 깊게 수행해야 하는지, 어떤 측정은 많은 노력이 필요하지 않은지 이해할 수 있습니다.

간접 측정 결과를 처리할 때 다음과 같은 작업 순서가 제안됩니다.

1. 직접 측정 결과를 처리하는 규칙에 따라 직접 측정으로 발견된 모든 수량을 처리합니다. 이 경우 모든 측정량에 대해 동일한 신뢰도 값 P를 설정하십시오.
2. 양의 평균값에 대한 미분을 계산하는 공식 (15) (16)을 사용하여 간접 측정 결과의 정확성을 평가하십시오.
   개별 측정값의 오차가 여러 번 미분 결과에 들어가는 경우 동일한 미분을 포함하는 모든 용어를 그룹화하고 미분 앞의 괄호 안의 표현을 그룹화해야 합니다. 모듈로를 취하다; 징후 디Δ(또는 δ)로 대체합니다.
3. 무작위 오류와 체계적 오류의 크기가 서로 가까우면 오류 추가 규칙에 따라 추가합니다. 오류 중 하나가 다른 오류보다 3배 이상 작으면 더 작은 오류를 폐기합니다.
4. 측정 결과를 다음 형식으로 작성하십시오.

   N= ̅(̅ x, ̅ y, ̅ z, ...) ± Δ́.

5. 일련의 간접 측정 결과의 상대 오차를 결정합니다.

   ε = Δf · 100%.
   ¯¯ ƒ¯

   간접 측정의 오류를 계산하는 예를 들어 보겠습니다.

   예시 1.실린더의 부피는 공식을 사용하여 구합니다.

   V = πd 2h ,
   

   4

   여기서 d 원통 직경, h 원통 높이.

   이 두 수량은 모두 직접 결정됩니다. 이 양을 측정하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.

   d = (4.01 ± 0.03) mm,

   h = (8.65 ± 0.02) mm,동일한 신뢰도 P = 0.95.

   (14)에 따른 평균 부피 값은 다음과 같습니다.

   V = 3.14 · (4.01) 2 · 8.65 = 109.19 mm
   

   4

   식 (18)을 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

   ln V = ln π + 2 lnd + lnh - ln4;

   ;

   마이크로미터로 측정하였기 때문에 나누는 값은 0.01 입니다. mm, 체계적인 오류
   δd = δh = 0.01 mm.(16)에 기초하여, 체계적 오류 δV는 다음과 같습니다.

   체계적 오류는 무작위 오류와 비교할 수 있는 것으로 나타났습니다.

대부분의 경우 실험 중에 여러 장비를 사용하여 여러 양을 측정하며 최종 결과를 얻으려면 이러한 측정을 수학적 연산(덧셈, 곱셈 등)을 사용하여 처리해야 합니다. 따라서 실험의 한계오차와 평균제곱오차를 계산하여 실험의 정확성을 전체적으로 평가할 필요가 있다.

최대 상대 실험 오차 계산 규칙:

1. 합의 오류는 항의 상대 오류 중 가장 큰 것과 가장 작은 것 사이에 있습니다. 일반적으로 가장 큰 오류 또는 산술 평균 값이 고려됩니다(실험실 작업에서는 산술 평균 값을 사용합니다).

2. 곱이나 몫의 오차는 각각 인수 또는 피제수와 제수의 상대 오차의 합과 같습니다.

3. 오류 N기본의 도수 N베이스의 상대 오차를 곱합니다.

간접 측정 결과의 제곱평균제곱근 오차를 계산하려면 측정 결과의 독립성을 보장해야 합니다. 이 경우 값을 계산할 때 제곱평균제곱근 오류가 발생합니다. 여, 이는 직접 측정된 매개변수의 함수입니다. 엑스, 와이, 지, ...는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

매개변수의 평균값에서 계산된 함수의 편도함수는 어디에 있습니까? 엑스, 와이, 지, …, - 각각 수정된 분산 엑스, 와이, 지, ….

예. 간접 측정의 오류 결정

반복 측정 결과, 서로 독립적인 3개 매개변수의 평균값과 제곱평균제곱근 오차가 얻어졌습니다.

a) 함수 결정 시 최대 상대 측정 오류 및 최대 상대 오류

b) 함수 결정의 평균값 및 평균 제곱근 오차

a) 최대 상대 측정 오류를 찾습니다. 엑스, 와이, 지식(13)에 따르면:

함수 결정 시 최대 상대 오차

실험의 최대 상대 오차를 계산하는 규칙에 따라 다음을 찾아보겠습니다.

b) 함수의 평균값을 계산합니다.

공식 (14)를 사용하여 함수를 결정할 때 제곱평균제곱근 오차를 계산하기 위해 편도함수를 찾습니다.

평균값으로 계산합니다. 엑스, 와이, 지:

공식 (14)로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

4. 선형 회귀 모델 특성 계산

요인 간의 관계를 설정하는 효과적인 방법 중 하나는 상관-회귀 분석입니다.

상관-회귀 방법의 임무는 결과 매개변수 간의 관계를 특성화하는 경험적 방정식을 찾는 것입니다. 와이특정 입력 요소로 엑스.

의사소통의 형태로 와이그리고 엑스선형 의존성은 계산이 간단하고 다른 많은 유형의 의존성을 줄일 수 있기 때문에 널리 사용됩니다.

선형 회귀 모델 계산에는 다음 단계가 포함됩니다.

1. 이론적 선형 회귀 방정식의 계산;

2. 연결 강도를 평가하고 상관 계수를 계산합니다.

3. 상관계수의 유의성 평가

4. 회귀 방정식 계수의 중요성을 평가합니다.

5. 회귀 방정식 및 신뢰 한계의 적절성을 결정합니다.

선형 회귀 와이~에 엑스형식은 다음과 같습니다.

여기서 α와 β는 회귀 매개변수입니다(β는 회귀 계수라고 함).

회귀 매개변수 α와 β의 통계적 추정치는 공식에 의해 계산된 값이 경험적 값에 최대한 가깝도록 선택됩니다. 편차 제곱의 합이 근접성의 척도로 선택됩니다. 동일한 지점에서 실험값과 이론값의 편차의 제곱합을 최소화하여 매개변수를 찾는 방법을 최소자승법이라고 합니다.

이 방법에 따라 얻은 최적의 매개변수 값은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

평균값은 어디에 있고 는 무엇입니까? 엑스그리고 와이, 이는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

(15)를 고려하여 경험적 회귀선을 다음 형식으로 작성합니다.

선형 상관 의존성의 강도 와이그리고 엑스상관 계수를 특성화합니다. 아르 자형. 계수 아르 자형에서 1까지 다양합니다. 에 가까울수록 선형 관계가 강해집니다. 와이그리고 엑스, 제한적인 경우, 이면 정확한 선형 함수 의존성이 있습니다. 와이~에서 엑스. 그렇다면 와이그리고 엑스상관하지 마십시오. 상관계수를 추정하여 아르 자형다음 공식으로 계산되는 샘플 상관 계수 역할을 합니다.

표본 데이터에서 결정된 상관 계수는 일반 인구에 해당하는 실제 값과 일치하지 않을 수 있습니다. 표본 상관 계수의 유의성에 대한 통계적 가설을 검정하려면 다음을 사용하십시오. 티-학생의 t-검정, 관찰된 값은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

결정적인 가치 티- 자유도 수와 유의 수준 α에 대한 기준은 스튜던트 분포의 임계점 표에서 찾을 수 있습니다. 이면 상관계수의 0값에 대한 가정이 확인되지 않으며 표본 상관계수가 유의미한 것으로 간주된다. 이면 값은 아르 자형 0에 가깝습니다.

회귀 방정식(16)에 포함된 매개변수를 추정하기 위해 실제 문제를 해결할 때 신뢰 구간을 구성하는 것으로 제한할 수 있습니다. 주어진 신뢰도 γ에 대해 매개변수 및 β에 대한 신뢰 구간은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

임계값은 어디에 있는가 티- 스튜던트 분포의 임계점 표에서 찾을 수 있는 자유도 및 유의 수준에 대한 기준, - 다음 공식으로 구한 잔차 분산의 제곱근:

경험적 회귀식을 구한 후, 관측 결과와 얼마나 잘 일치하는지 확인합니다. 회귀 방정식의 중요성에 대한 가설을 테스트하려면 다음을 사용하십시오. 에프- 피셔 기준(Fisher criterion), 관찰된 값은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

수정된 분산은 어디에 있나요? 와이, 이는 다음 공식으로 계산됩니다.

결정적인 가치 에프- 자유도 수와 유의 수준 α에 대한 기준은 Fisher-Snedecor 분포의 임계점 표에서 찾을 수 있습니다. 이면 회귀식의 무의미성에 대한 가설은 확인되지 않으며, 방정식은 관찰 결과와 일치한다. 이면 결과 방정식은 중요하지 않습니다.

경험식이 주어진 관측 시스템을 얼마나 잘 설명하는지 측정하는 또 다른 특성은 결정 계수입니다. 디, 이는 다음 공식으로 계산됩니다.

계수가 가까울수록 디하나, 설명이 더 좋습니다.

모델이 구축되면 분석 및 예측에 사용됩니다. 예측은 방정식 (17)에 인수를 대입하여 수행됩니다. 결과 점 추정치는 다음과 같습니다.

예측값의 신뢰구간은 다음과 같습니다.

임계값은 어디에 있는가 티-학생 분포의 임계점 표에서 찾을 수 있는 자유도 및 유의 수준에 대한 기준.

예.선형 회귀 모델 구축

관측 데이터를 기반으로 선형 회귀 방정식의 매개변수를 결정합니다. 와이~에 엑스. 회귀계수와 상관계수를 찾고 표본 상관계수의 유의성에 대한 가설을 검정합니다. 회귀 방정식의 매개변수에 대한 신뢰 구간을 찾습니다. 결정계수를 결정합니다. 결과 회귀 방정식의 중요성에 대한 가설을 테스트합니다. 모델이 예측한 값 찾기 와이~에 x=x 0이고 이에 대한 신뢰구간을 구합니다. 유의수준을 0.05로 가정합니다.

엑스
와이	0,5	0,7	0,9	1,1	1,4	1,4	1,7	1,9

회귀 방정식의 매개변수를 얻기 위해 테이블을 만들어 보겠습니다. 표 2

	0,5 0,7 0,9 1,1 1,4 1,4 1,7 1,9	-40 -28 -11	-0,7 -0,5 -0,3 -0,1 0,2 0,2 0,5 0,7		0,49 0,25 0,09 0,01 0,04 0,04 0,25 0,49	3,3 -0,2 1,8 2,6 10,5 23,8	0,43 0,661 0,998 1,239 1,373 1,450 1,604 1,854	0,0049 0,0015 0,0077 0,0193 0,0007 0,0025 0,0092 0,0021
	9,6				1,66	83,8		0,0479

테이블의 마지막 행에는 계산에 사용된 열의 합계가 표시됩니다.

평균값을 구해보자 엑스그리고 와이식(16)에 따르면:

공식 (15)을 사용하여 회귀 계수를 계산해 보겠습니다.

그리고 (17)에 대입하여 경험적 회귀 방정식을 얻습니다.

공식 (28)을 사용하여 이론값을 계산하고 표 2의 마지막 두 열을 채웁니다.

공식 (18)을 사용하여 상관 계수를 계산해 보겠습니다.

그리고 그 중요성에 대한 가설을 테스트해 보겠습니다. 우리는 공식 (19)를 사용하여 기준의 관찰된 값을 찾습니다.

Student 분포의 임계점 표를 사용하여 자유도와 유의 수준을 사용하여 Student 분포의 임계점을 구하고 비교합니다. 따라서 상관 계수는 중요합니다. 와이그리고 엑스선형 상관 관계로 연결됩니다.

선형 회귀 방정식(28) 매개변수의 신뢰 구간을 결정하기 위해 공식(22)을 사용하여 잔차 분산을 찾습니다.

공식 (20)으로 대체하여 신뢰 구간을 얻습니다. 계산하면 신뢰도로 구간 추정치를 얻습니다.

공식 (21)을 사용하여 신뢰 구간을 얻습니다.

따라서 신뢰성이 있는 모수에 대한 구간 추정은

결과로 나온 회귀식의 유의성에 대한 가설을 확인해 보겠습니다. 관찰된 값을 계산하려면 에프- 기준에 따라 수정된 분산을 찾습니다. 와이공식 (24)를 사용하여: 공식 (23)으로 대체하면 다음을 얻습니다. 자유도 수와 유의 수준에 대한 Fisher-Snedecor 분포의 임계점 표를 사용하여 관찰된 값과 임계 값을 비교합니다. 에프-기준, 따라서 우리는 방정식이 중요하다는 것을 얻습니다.

관측된 값에 대한 선형 모델의 적절성을 평가하기 위해 공식 (25)를 사용하여 결정 계수를 찾습니다.

이 결과는 다음과 같이 해석됩니다: 97.1% 변동성 와이요인의 변화로 설명됨 엑스이고 나머지 변량 요인은 변동성의 2.9%를 설명합니다. 그러나 이 결론은 고려된 값 범위에 대해서만 유효합니다. 엑스.

예측을 위해 방정식 (28)을 사용합니다. 점 추정으로 와이우리는 공식 (28)에 대체하여 얻습니다. 공식 (27)에서 얻는 신뢰 구간은 다음과 같습니다.

마지막으로 신뢰도에 대한 구간 추정

독립적으로 측정된 두 개의 물리량이 각각 오류가 있는 것으로 알려졌습니다. 그러면 다음 규칙이 유효합니다.

1. 합(차)의 절대오차는 절대오차의 합이다. 즉, 만약

보다 합리적인 추정치(값이 독립적이고 실제 값이 동시에 범위의 끝에 있을 가능성이 없다는 점을 고려)는 다음 공식을 사용하여 얻습니다.

모든 학교 올림피아드에서는 이 두 공식 중 하나를 사용할 수 있습니다. 여러(셋 이상) 용어의 경우에도 유사한 공식이 유효합니다.

예:

가치를 보자 ,

.

2. 제품의 상대 오차(몫)는 상대 오차의 합입니다.

즉, 만약

이전 사례와 마찬가지로 공식이 더 합리적입니다.

여러(셋 이상) 요인의 경우에도 유사한 공식이 유효합니다.

따라서 두 수량을 더한 결과 수량의 절대 오차를 먼저 계산하고 그 후에 상대 오차를 계산할 수 있습니다.

예:

가치를 보자 ,

3. 지수화 규칙. 그렇다면.

예:

4. 상수에 의한 곱셈의 법칙. 만약에 .

예:

5. 더 복잡한 양의 함수는 더 간단한 계산으로 분류되며, 그 오류는 위에 제시된 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

예:

허락하다

6. 계산식이 복잡하고 위에서 설명한 경우로 축소할 수 없는 경우 편도함수 개념에 익숙한 학생들은 다음과 같이 간접 측정의 오류를 찾을 수 있습니다.

또는 더 간단한 추정:

예:

허락하다

7. 파생 상품에 익숙하지 않은 학생들은 다음으로 구성된 경계 방법을 사용할 수 있습니다. 각 수량에 대해 실제 값이 속하는 범위가 있음을 알려주세요. 값이 지정된 영역에서 값의 가능한 최소값과 최대값을 계산해 보겠습니다.

값의 절대 오차의 경우 최대값과 최소값의 절반 차이를 사용합니다.

예:

허락하다

반올림 규칙

측정 결과를 처리할 때 반올림이 필요한 경우가 많습니다. 이 경우 반올림 중에 발생하는 오류가 다른 오류보다 최소한 한 단계 작은지 확인해야 합니다. 그러나 유효숫자를 너무 많이 남겨두는 것도 귀중한 시간을 낭비하게 되므로 잘못된 것입니다. 대부분의 경우 오류를 두 개의 유효 숫자로 반올림하고 결과를 오류와 동일한 순서로 반올림하는 것으로 충분합니다. 최종 답변을 작성할 때 오류에 유효 숫자 1개만 남겨 두는 것이 관례입니다. 단, 이 숫자가 1인 경우에는 오류에 유효 숫자 2개를 남겨 두어야 합니다. 또한 숫자의 순서는 대괄호에서 제외되어 숫자의 첫 번째 유효 숫자가 단위 순서 또는 10분의 1 순서로 유지되는 경우가 많습니다.

예를 들어, 강철과 알루미늄의 영률을 측정하고 다음 값을 얻었다고 가정합니다(반올림 전).

, , , .

그러면 올바르게 작성된 최종 답변은 다음과 같습니다.

그래프 작성

학생을 위한 물리학 올림피아드에서 제안된 많은 문제에서 한 물리량의 다른 물리량에 대한 의존성을 제거한 다음 이 의존성을 분석해야 합니다(실험적 의존성을 이론적 의존성과 비교하고 이론적 의존성의 알려지지 않은 매개 변수를 결정). 그래프는 데이터를 제시하고 추가 분석하는 가장 편리하고 시각적인 방법입니다. 따라서 대부분의 실험 문제에 대한 채점 기준에는 조건에서 그래프 표시가 명시적으로 필요하지 않은 경우에도 그래프 표시 점수가 포함됩니다. 따라서 문제를 해결할 때 주어진 작업에 그래프 구성이 필요한지 여부가 의심스러우면 그래프를 선호하는 선택을 하십시오.

그래프 구성 규칙

1. 그래프는 모눈종이에 그려집니다. 올림피아드 실험 라운드에서 그래프 용지가 즉시 제공되지 않은 경우 주최자에게 요청해야 합니다.

2. 그래프 상단에 서명을 해야 누가 이 그래프를 구성했는지 항상 알 수 있습니다. 검토 중 그래프가 유실될 경우를 대비하여 적절한 그래프가 구성되었음을 저작물에 표시해야 합니다.

3. 그래프 용지의 방향은 가로 또는 세로가 될 수 있습니다.

4. 그래프에는 좌표축이 있어야 합니다. 세로축은 그래프의 왼쪽에 있고, 가로축은 아래쪽에 있습니다.

5. 세로축은 함수값에 대응하고, 가로축은 인수값에 대응해야 합니다.

6. 그래프의 축은 그래프 용지 가장자리에서 1~2cm의 들여쓰기로 그려집니다.

7. 각 축에는 라벨이 붙어야 합니다. 즉, 이 축을 따라 표시된 물리량과 측정 단위(쉼표로 구분)를 표시해야 합니다. " ", " " 및 " " 형식의 항목은 동일하지만 처음 두 옵션이 더 좋습니다. 가로축은 상단 왼쪽에, 세로축은 하단 오른쪽에 표시됩니다.

8. 축은 (0,0) 지점에서 교차할 필요가 없습니다.

9. 가능한 경우 플롯된 점이 시트의 전체 영역에 위치하도록 그래프의 축척과 좌표축의 원점 위치를 선택합니다. 이 경우 좌표축의 영점이 그래프에 전혀 표시되지 않을 수 있습니다.

10. 그래프 용지에 1cm 단위로 그린 선은 반올림 값에 해당해야 합니다. 그래프 용지의 1cm가 주어진 축을 따라 1, 2, 4, 5 * 10 n 측정 단위에 해당하는 경우 그래프로 작업하는 것이 편리합니다. 축의 일부 부서에는 서명이 필요합니다. 표시된 구분선은 서로 동일한 거리에 있어야 합니다. 축에는 최소 4개의 레이블이 지정된 분할이 있어야 하며 10개를 초과할 수 없습니다.

11. 포인트는 명확하고 명확하게 보이도록 그래프에 표시되어야 합니다. 그래프에 표시된 값에 오류가 있음을 보여주기 위해 각 지점에서 상하, 오른쪽, 왼쪽으로 선분을 그립니다. 가로 세그먼트의 길이는 가로 축을 따라 표시된 값의 오류에 해당하고, 세로 세그먼트의 길이는 세로 축을 따라 표시된 값의 오류에 해당합니다. 따라서 오류 교차라고 불리는 실험점의 정의 영역이 지정됩니다. 다음과 같은 경우를 제외하고 오류 십자 표시를 그래프에 표시해야 합니다. 문제 설명에서 오류를 평가하지 말라고 직접 지시한 경우 해당 축의 눈금에서 오류가 1mm 미만입니다. 후자의 경우, 값의 오차가 너무 작아서 이 축을 따라 플롯할 수 없음을 나타낼 필요가 있습니다. 이러한 경우 점의 크기는 측정 오류에 해당하는 것으로 간주됩니다.

12. 일정이 편리하고 이해하기 쉽고 깔끔하도록 노력하십시오. 실수를 바로잡을 수 있도록 연필로 조립해보세요. 점 옆에 해당 값에 레이블을 지정하지 마십시오. 이렇게 하면 그래프가 복잡해집니다. 동일한 그래프에 여러 관계가 표시되는 경우 포인트에 서로 다른 기호나 색상을 사용하세요. 어떤 유형의 실험 지점이 어떤 종속성과 일치하는지 확인하려면 플롯 범례를 사용하십시오. 그래프에 줄을 그어 표시하는 것이 허용되지만(지우개가 실패했거나 손에 좋은 연필이 없는 경우) 조심스럽게 그려야 합니다. 스트로크 교정기를 사용하면 안 됩니다. 보기에도 좋지 않습니다.

메모:위의 모든 규칙은 일정 작업의 편의를 위해서만 발생합니다. 그러나 올림피아드에서 작품을 확인할 때 배심원 단은 이러한 규칙을 공식적인 기준으로 사용합니다. 척도가 제대로 선택되지 않았습니다-반점을 뺀 것입니다. 따라서 올림피아드에서는 이러한 규칙을 엄격히 준수해야 합니다.

예:

오른쪽에는 기준에 따라 작성된 그래프가 없고 왼쪽에는 위의 규칙에 따라 작성된 그래프가 있습니다.