機械システムの静的平衡の条件。 メカニカルバランス

メカニカルバランス

メカニカルバランス- 機械システムの状態。各粒子に作用するすべての力の合計がゼロに等しく、任意の回転軸に対して物体に加えられるすべての力のモーメントの合計もゼロに等しい。 。

平衡状態では、物体は選択した基準系内で静止しており (速度ベクトルはゼロに等しい)、直線上を均一に移動するか、接線方向の加速なしに回転します。

システムのエネルギーによる定義

エネルギーと力は基本的な依存関係によって接続されているため、この定義は最初の定義と同等です。 ただし、平衡位置の安定性に関する情報を得るために、エネルギーの観点からの定義を拡張することができます。

天びんの種類

1 つの自由度を持つシステムの例を見てみましょう。 この場合、平衡位置の十分条件は、調査中の点に局所的な極値が存在することになります。 知られているように、微分可能関数の局所極値の条件は、その一次導関数がゼロに等しいことです。 この点がいつ最小値または最大値になるかを判断するには、その 2 次導関数を分析する必要があります。 平衡位置の安定性は、次のオプションによって特徴付けられます。

• 不安定な平衡状態。
• 安定したバランス。
• 無関心なバランス。

不安定な平衡

二次導関数が負の場合、系の位置エネルギーは極大の状態にあります。 これは、平衡位置を意味します。 不安定な。 システムがわずかな距離だけ変位すると、システムに作用する力により動きを続けます。

持続可能なバランス

二次導関数 > 0: 極小値、平衡位置での位置エネルギー 着実に(平衡の安定性に関するラグランジュの定理を参照)。 システムが少し変位すると、平衡状態に戻ります。 体の重心が、隣接するすべての可能な位置と比較して最も低い位置を占める場合、平衡は安定します。

無関心なバランス

二次導関数 = 0: この領域では、エネルギーは変化せず、平衡位置は次のようになります。 無関心。 システムを少しだけ移動しても、新しい位置に留まります。

自由度の高いシステムの安定性

システムに複数の自由度がある場合、ある方向のシフトでは平衡が安定し、他の方向では不安定になることが判明する可能性があります。 そのような状況の最も単純な例は、「サドル」または「パス」です（この場所には写真を配置すると良いでしょう）。

いくつかの自由度を持つシステムの平衡は、それが安定している場合にのみ安定します。 あらゆる方向に.

ウィキメディア財団。 2010年。

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理想的な制約を持つシステムの平衡には、 or が必要かつ十分であることが知られています。 （7）

一般化された座標の変化は互いに独立しており、一般的な場合にはゼロに等しくないため、次のことが必要です。
,
,…,
.

ホロノミック閉じ込め、定常、理想的な制約を備えたシステムの平衡のためには、選択された一般化座標に対応するすべての一般化力がゼロに等しいことが必要かつ十分です。

潜在的な力の場合:

システムが潜在力場にある場合、

,
,…,

,
,…,

つまり、システムの平衡位置は、力関数が適用される一般化座標の値に対してのみ存在します。 Uそして位置エネルギー P極端な値を持っています( 最大また 分).

平衡安定性の概念。

システムが平衡になれる位置を決定すると、これらの位置のうちどの位置が実現可能でどの位置が実現不可能であるかを決定することができます。つまり、どの位置が安定でどの位置が不安定であるかを決定することができます。

一般に、必要な 平衡安定の兆し リャプノフによれば、次のように定式化できます。

一般化された座標とその速度の小さなモジュロ値を報告することで、システムを平衡位置から外してみましょう。 システムをさらに検討した結果、一般化された座標とその速度が小さい値を法として保たれている場合、つまりシステムが平衡位置から大きく逸脱していない場合、そのような平衡位置は安定しています。

平衡が安定するための十分条件 システムが決まっている ラグランジュ・ディリヒルの定理 :

理想的な接続を備えた機械システムの平衡位置で位置エネルギーが最小値を持つ場合、そのような平衡位置は安定しています。

,
- 持続可能な。

質点の振動運動を研究する例からわかるように、システムの固有運動は弾性力によって引き起こされます。 弾性力は潜在力場に属することが以前に示されました。 したがって、機械システムの自然振動運動の研究に進むと、そのような運動はポテンシャル場の力によって引き起こされると想定する必要があります。 したがって、システムに s の自由度がある場合、その一般化された力は、力関数 U または位置エネルギー П の形式で次のように記述されます。

点の運動の研究からわかるように、点の振動は平衡位置の周囲で発生します。 システムの振動運動は、条件によって特徴付けられる平衡位置の近くでも発生します。

これらの条件は、システムの力関数または位置エネルギーの相対的な極値によって特徴付けられる位置の近くでシステムの振動運動が発生する可能性があることを示しています。 ただし、システムの振動運動は、平衡位置付近では発生しません。

機械システムの安定した平衡位置の決定

機械システムが、力の作用下で平衡状態にある物質点で構成されているとします。 このシステムの点に平衡位置からの小さな偏差と小さな初速度を与えてみましょう。 するとシステムが動き始めます。 平衡の違反後も常にシステムの点が平衡位置のすぐ近くに留まる場合、この位置は安定と呼ばれます。 それ以外の場合、システムの平衡は不安定と呼ばれます。 システムの振動について語ることができるのは、これらの振動が安定した平衡位置の近くで発生する場合に限られます。 システムの位置が不安定な場合、つまり、平衡位置からわずかにずれて速度が遅い場合、システムが平衡位置からさらに離れる場合、この位置付近でのシステムの振動について話すことはできません。 したがって、システムの振動の研究は、機械システムの平衡の安定性の基準を確立することから始める必要があります。

保守的な機械システムの平衡安定性基準

保守的なシステムの平衡に対する安定性の基準は、ラグランジュ ディリクレの定理によって次のように確立されます。機械システムに定常制約があり、保守的である場合、およびこのシステムの平衡位置にある場合、その位置エネルギーは最小値を持ちます。 (つまり、力関数に最大値がある)、システムの平衡は持続可能です。

この定理を証明してみましょう。 機械システムの位置を、平衡位置から測定される一般化座標によって決定するとします。 この位置では次のようになります。

量は、次元空間内の点の座標と考えることができます。 この場合、システムの各位置はこの空間の特定の点に対応します。 特に、座標原点 O は平衡位置に対応します。

位置エネルギー P は、位置エネルギーが任意の定数まで決定されるため、この位置では推論の一般性に違反しないと仮定して、平衡位置から数えられます。

何らかの正の数をとり、点 O から半径 の球を記述してみましょう。 この球によって境界付けられる領域は で示されます。この数は任意であると考えられますが、十分に小さいです。 次に、領域 D の境界上の任意の点について、次の不等式が成り立ちます。

なぜなら、点Oでは関数Pはゼロに等しく、最小値を持つからです。

領域 D の境界上の П の最小値が Р に等しいとすると、この境界に属する任意の点については、次のようになります。

ここで、不等式が成り立つような小さな初期偏差と小さな初速度を点に与えることにより、システムを平衡状態から外してみましょう。

ここで、 は位置エネルギーと運動エネルギーの初期値です。 すると、次のようになります。

しかし、システムがさらに動くと、力学的エネルギー保存の法則により、定常的な制約を持つ保守的なシステムに有効であり、平等性が満たされます。

座標に対する位置エネルギーの依存性がわかっている場合、動きの一般的なパターンを分析できます。 たとえば、軸に沿った質点 (粒子) の 1 次元の動きを考えてみましょう。 0x図に示すポテンシャル場にある。 4.12.

図4.12。 安定平衡位置および不安定平衡位置付近での粒子の運動

一様重力場の位置エネルギーは物体の高さに比例するため、関数に対応するプロファイルを持つ氷の山（摩擦を無視）を想像できます。 P(x)画像上にあります。

エネルギー保存則より E = K + Pそして運動エネルギーが K = E - Pが常に非負である場合、粒子は次の領域にのみ位置することができるということになります。 E > P。 図では、全エネルギーを持つ粒子 Eエリア内でのみ移動可能

最初の領域では、その運動は（有限に）制限されます。与えられた総エネルギーでは、粒子は途中で「丘」を乗り越えることができません（それらは「丘」と呼ばれます）。 潜在的な障壁）そしてそれらの間の「谷」に永遠に残る運命にあります。 永遠に - 私たちが現在研究している古典力学の観点から。 コースの最後には、量子力学がどのようにして粒子がポテン​​シャル井戸、つまり領域の捕らわれの状態から抜け出すのに役立つのかを見ていきます。

2 番目の領域では、粒子の動きは (無限に) 制限されず、原点から右に無限に遠くまで移動できますが、左側ではその動きは依然としてポテンシャル バリアによって制限されています。

ビデオ4.6。 有限と無限の動きのデモンストレーション。

位置エネルギーの極値点で × 最小と ×MAX位置エネルギーの導関数がゼロであるため、粒子に作用する力はゼロです。

静止している粒子がこれらの点に置かれると、位置が変動しない限り、粒子はそこに留まり続けることになります...再び、永遠に。 この世界には厳密に静止しているものは何もなく、粒子は小さな経験をすることができます。 逸脱 (変動) 平衡位置から。 そうすると自然に力が生まれます。 粒子を平衡位置に戻す場合、そのような平衡はと呼ばれます。 持続可能な。 粒子が逸脱したときに発生する力によって粒子が平衡位置からさらに遠ざかると、次のようになります。 不安定な平衡状態にあり、この位置にある粒子は通常長くは留まりません。 氷の滑り台から類推すると、その位置は位置エネルギーが最小の場合は安定し、最大の場合は不安定になることが推測できます。

これが実際に当てはまることを証明します。 極値点にある粒子の場合 ×M (× 最小また ×MAX)それに作用する力 F x (x M) = 0。 ゆらぎにより粒子の座標が微量変化するようにする バツ。 このような座標の変化により、粒子に力が働き始めます。

(破線は座標に関する導関数を示します) バツ）。 とすれば Fx\u003d -P "、力の式が得られます。

最小点では、位置エネルギーの二次導関数は正になります。 U"(x MIN) > 0。 次に、平衡位置からの正の偏差の場合 バツ > 0 結果として生じる力が負であり、 バツ<0 強さはポジティブです。 どちらの場合も、力によって粒子の座標の変化が防止され、位置エネルギー最小値での平衡位置は安定します。

逆に、最大点では、二次導関数は負になります。 U"(x MAX)<0 。 次に、粒子座標 Δx の増加により正の力が発生し、平衡位置からの偏差がさらに増加し​​ます。 で バツ<0 力は負です。つまり、この場合、力は粒子のさらなる偏向にも寄与します。 この平衡状態は不安定です。

したがって、方程式と不等式を一緒に解くことによって、安定平衡の位置を見つけることができます。

ビデオ4.7。 ポテンシャル井戸、ポテンシャル障壁、平衡: 安定と不安定。

例。 二原子分子の位置エネルギー (たとえば、 H2また 約2) は次の形式の式で記述されます。

どこ rは原子間の距離であり、 あ, Bは正の定数です。 平衡距離を決定する rM分子の原子と原子の間。 二原子分子は安定ですか?

解決。 最初の項は、近距離での原子の反発 (分子が圧縮に抵抗する) を表し、2 番目の項は遠距離での引力 (分子が破壊に抵抗する) を表します。 これまでの説明によれば、平衡距離は次の方程式を解くことによって求められます。

位置エネルギーを微分すると、次のようになります。

ここで位置エネルギーの二次導関数を求めます。

そこに平衡距離の値を代入します rM :

平衡位置が安定します。

図上。 4.13 は、ボールの電位曲線と平衡状態を研究した経験を示しています。 ポテンシャル曲線のモデル上で、ボールがポテンシャル障壁の高さよりも高い高さに置かれている場合 (ボールのエネルギーが障壁のエネルギーより大きい場合)、ボールはポテンシャル障壁を乗り越えます。 ボールの初期の高さがバリアの高さよりも低い場合、ボールはポテンシャル井戸内に残ります。

ポテンシャル障壁の最高点に置かれたボールは、外部からの影響によってボールがポテンシャル井戸の最低点に移行するため、不安定な平衡状態にあります。 外部からの作用によりボールがポテンシャル井戸の下点に戻るため、ポテンシャル井戸の下点ではボールは安定した平衡状態にあります。

米。 4.13。 電位曲線の実験的研究

追加情報

http://vivovoco.rsl.ru/quantum/2001.01/KALEID.PDF - ジャーナル「Kvant」の補足 - 安定平衡と不安定平衡に関する議論 (A. Leonovich)。

http://mehanika.3dn.ru/load/24-1-0-3278 – ターグ S.M. A Short Course in Theoretical Mechanics、出版社、高等学校、1986 - pp. 11–15、§2 - 静力学の最初の規定。

機械システムの平衡とは、検討中のシステムのすべての点が選択された基準座標系に対して静止している状態です。

平衡状態を見つける最も簡単な方法は、最も単純な機械システムである物質点を例にすることです。 力学の第一法則 (力学を参照) によれば、慣性座標系における質点の静止 (または等速直線運動) の条件は、それに加えられるすべての力のベクトル和が 0 に等しいことです。

より複雑な機械システムへの移行では、この平衡条件だけでは十分ではありません。 補償されていない外力によって引き起こされる並進運動に加えて、複雑な機械システムは回転運動や変形を実行する可能性があります。 絶対剛体、つまり相互の距離が変化しない粒子の集合からなる機械システムの平衡条件を調べてみましょう。

機械システムの（加速度を伴う）並進運動の可能性は、システムのすべての点に加えられる力の合計がゼロに等しいことを必要とする、質点の場合と同じ方法で排除できます。 これは、機械システムの平衡のための最初の条件です。

私たちの場合、剛体は変形できません。剛体の点間の相互距離は変わらないことに同意したからです。 しかし、物質点とは異なり、絶対剛体のさまざまな点に、等しい逆方向の力のペアを加えることができます。 さらに、これら 2 つの力の合計はゼロに等しいため、考慮されている並進運動の機械システムは機能しません。 しかし、そのような一対の力の作用下で、物体は増加し続ける角速度で何らかの軸の周りを回転し始めることは明らかです。

考慮中のシステムで回転運動が発生するのは、補償されていない力のモーメントが存在するためです。 任意の軸に対する力のモーメントは、肩 d によるこの力 F の大きさと、軸が通過する点 O (図を参照) から下ろした垂線の長さと、方向との積です。力の。 この定義による力のモーメントは代数的な量であることに注意してください。力が反時計回りの回転をもたらす場合は正とみなされ、そうでない場合は負とみなされます。 したがって、剛体の平衡に関する 2 番目の条件は、任意の回転軸の周りのすべての力のモーメントの合計がゼロに等しいという要件です。

見つかった両方の平衡条件が満たされている場合、力が作用し始めた瞬間にそのすべての点の速度がゼロに等しい場合、剛体は静止しています。

そうしないと慣性により等速運動をしてしまいます。

機械システムの平衡について検討されている定義では、システムが平衡位置からわずかに外れた場合に何が起こるかについては何も述べられていません。 この場合、3 つの可能性があります。システムは以前の平衡状態に戻ります。 システムは、逸脱にもかかわらず、平衡状態を変更しません。 システムは平衡を失います。 最初のケースは安定した平衡状態と呼ばれ、2番目は無関心、3番目は不安定です。 平衡位置の性質は、座標に対する系の位置エネルギーの依存性によって決まります。 この図は、凹部に置かれた重いボール (安定したバランス)、滑らかな水平テーブルの上 (無関心)、結節の上部に置かれた (不安定) という例で、3 つのタイプのバランスをすべて示しています (p.220 の図を参照) ）。

機械システムの平衡の問題に対する上記のアプローチは、古代の科学者によって検討されました。 したがって、テコ (つまり、回転軸が固定された剛体) の平衡の法則は、3 世紀にアルキメデスによって発見されました。 紀元前 e.

1717 年、ヨハン ベルヌーイは、機械システムの平衡状態を見つけるためのまったく異なるアプローチ、つまり仮想変位の方法を開発しました。 これは、エネルギー保存則から生じる結合反力の特性に基づいています。つまり、システムが平衡位置からわずかにずれると、結合反力の総仕事はゼロになります。

静力学の問題 (「力学」を参照) を解くとき、上記の平衡条件に基づいて、システム内に存在する接続 (サポート、ねじ、ロッド) は、それらの中で生じる反力によって特徴付けられます。 複数の物体で構成されるシステムの場合、平衡状態を決定するときにこれらの力を考慮する必要があるため、計算が煩雑になります。 ただし、結合反力の仕事は平衡位置からのわずかな偏差ではゼロに等しいため、一般にこれらの力を考慮することを避けることができます。

反力に加えて、外力も機械システムの点に作用します。 平衡位置からわずかにずれた場合の仕事は何でしょうか? システムは最初は停止しているため、システムが動くには何らかの積極的な作業が必要です。 原則として、この仕事は外力と結合の反力の両方によって行われます。 しかし、すでにご存知のように、反力の仕事の合計はゼロです。 したがって、システムが平衡状態から離れるためには、起こり得るあらゆる変位に対する外力の仕事の合計が正でなければなりません。 したがって、運動の不可能性の条件、つまり平衡の条件は、外力の総仕事量があらゆる可能な変位に対して非正であるという要件として定式化できます。

系の点が移動するとき、外力の仕事の合計が に等しいことが判明したと仮定します。 そして、システムが動きをすると何が起こるか - これらの動きは最初のものと同じ方法で可能です。 ただし、外力の働きは符号を変えます。 前の場合と同様に議論すると、システムの平衡状態は次の形式になるという結論に達します。つまり、外力の働きは非負でなければなりません。 これら 2 つのほぼ矛盾した条件を「調和」させる唯一の方法は、平衡位置からシステムが (仮想的に) 変位する可能性に対して、外力の総仕事量がゼロに正確に等しいことを要求することです。 ここでの可能な（仮想的な）動きとは、システムに課せられたつながりと矛盾しない、システムの微小な精神的な動きを意味します。

したがって、仮想変位の原理の形で機械システムの平衡状態は次のように定式化されます。

「理想的な接続を備えた機械システムの平衡のためには、起こり得るあらゆる変位に対してシステムに作用する力の基本仕事の合計がゼロに等しくなることが必要かつ十分です。」

仮想変位の原理を使用して、静力学だけでなく、流体静力学および静電気の問題も解決します。