Homogén lineáris egyenletrendszerek. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása, megoldási módszerek, példák

Hadd M 0 a (4) homogén rendszer megoldásainak halmaza lineáris egyenletek.

Meghatározás 6.12. Vektorok Val vel 1 ,Val vel 2 , …, p, amelyek egy homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai, úgynevezett alapvető megoldáskészlet(rövidítve FNR) ha

1) vektorok Val vel 1 ,Val vel 2 , …, p lineárisan független (azaz egyik sem fejezhető ki a többivel);

2) egy homogén lineáris egyenletrendszer bármely más megoldása kifejezhető megoldásokkal Val vel 1 ,Val vel 2 , …, p.

Vegye figyelembe, hogy ha Val vel 1 ,Val vel 2 , …, p néhány f.n.r., akkor a kifejezés alapján k 1× Val vel 1 + k 2× Val vel 2 + … + kp× p le tudja írni az egész készletet M 0 megoldása a (4) rendszernek, így hívják a rendszermegoldás általános képe (4).

6.6. Tétel. Bármely határozatlan homogén lineáris egyenletrendszernek van egy alapvető megoldási halmaza.

A megoldások alapvető halmazának megtalálásának módja a következő:

megtalálja közös döntés homogén lineáris egyenletrendszer;

Épít ( n – r) ennek a rendszernek a részmegoldásai, míg a szabad ismeretlenek értékeinek identitásmátrixot kell alkotniuk;

Írja le a benne szereplő megoldás általános formáját! M 0 .

6.5. példa. Keresse meg a következő rendszer alapvető megoldási halmazát:

Megoldás. Keressük ennek a rendszernek az általános megoldását.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Ennek a rendszernek öt ismeretlenje van ( n= 5), ebből két fő ismeretlen ( r= 2), három szabad ismeretlen ( n – r), azaz a megoldások alapvető halmaza három megoldási vektort tartalmaz. Építsük meg őket. Nekünk van x 1 és x 3 - fő ismeretlenek, x 2 , x 4 , x 5 - ingyenes ismeretlenek

A szabad ismeretlenek értékei x 2 , x 4 , x 5 alkotják az identitásmátrixot E harmadik rend. Megvannak a vektorok Val vel 1 ,Val vel 2 , Val vel 3 forma f.n.r. ezt a rendszert. Ekkor ennek a homogén rendszernek a megoldásainak halmaza lesz M 0 = {k 1× Val vel 1 + k 2× Val vel 2 + k 3× Val vel 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Nézzük most meg egy homogén lineáris egyenletrendszer nullától eltérő megoldásainak létezésének feltételeit, más szóval egy alapvető megoldáshalmaz létezésének feltételeit.

Egy homogén lineáris egyenletrendszernek nullától eltérő megoldásai vannak, azaz határozatlan, ha

1) a rendszer főmátrixának rangja számnál kisebb ismeretlen;

2) egy homogén lineáris egyenletrendszerben az egyenletek száma kevesebb, mint az ismeretlenek száma;

3) ha egy homogén lineáris egyenletrendszerben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlenek számával, és a főmátrix determinánsa egyenlő nullával (azaz | A| = 0).

6.6. példa. A paraméter melyik értékénél a homogén lineáris egyenletrendszer vannak nem nulla megoldások?

Megoldás. Állítsuk össze ennek a rendszernek a főmátrixát és keressük meg a determinánsát: = = 1×(–1) 1+1 × = – a– 4. Ennek a mátrixnak a determinánsa egyenlő nullával, amikor a = –4.

Válasz: –4.

7. Számtan n-dimenziós vektortér

Alapfogalmak

Az előző részekben már találkoztunk a bizonyos sorrendbe rendezett valós számok halmazának fogalmával. Ez egy sormátrix (vagy oszlopmátrix) és egy lineáris egyenletrendszer megoldása n ismeretlen. Ez az információ összefoglalható.

Meghatározás 7.1. n-dimenziós aritmetikai vektor rendezett halmazának nevezzük n valós számok.

Eszközök a= (a 1 , a 2 , …, a n), hol egy énО R, én = 1, 2, …, n a vektor általános képe. Szám n hívott dimenzió vektor, és a számok a én hívta koordináták.

Például: a= (1, –8, 7, 4, ) egy ötdimenziós vektor.

Minden kész n-dimenziós vektorokat általában úgy jelöljük R n.

Meghatározás 7.2. Két vektor a= (a 1 , a 2 , …, a n) és b= (b 1 , b 2 , …, b n) azonos méretű egyenlő akkor és csak akkor, ha a megfelelő koordinátáik egyenlőek, azaz a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Meghatározás 7.3.összeg két n-dimenziós vektorok a= (a 1 , a 2 , …, a n) és b= (b 1 , b 2 , …, b n) vektornak nevezzük a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).

Meghatározás 7.4. munka valós szám k vektoronként a= (a 1 , a 2 , …, a n) vektornak nevezzük k× a = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a n)

Meghatározás 7.5. Vektor ról ről= (0, 0, …, 0) meghívásra kerül nulla(vagy null-vektor).

Könnyen ellenőrizhető, hogy a vektorok összeadásának és valós számmal való szorzásának műveletei (műveletei) a következő tulajdonságokkal rendelkeznek-e: a, b, c Î R n, " k, lОR:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + ról ről = a;

4) a+ (–a) = ról ről;

5) 1× a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Meghatározás 7.6. Sok R n a vektorok összeadása és a rajta megadott valós számmal való szorzás műveleteivel nevezzük aritmetikai n-dimenziós vektortér.

Lineáris rendszerek megoldása algebrai egyenletek(SLAE) kétségtelenül a lineáris algebra kurzus legfontosabb témája. A matematika minden ágából származó feladatok nagy száma a lineáris egyenletrendszerek megoldására redukálódik. Ezek a tényezők magyarázzák a cikk létrehozásának okát. A cikk anyaga úgy van megválogatva és felépített, hogy segítségével Ön is meg tudja tenni

• válassza ki a lineáris algebrai egyenletrendszer optimális megoldási módját,
• tanulmányozza a választott módszer elméletét,
• oldja meg lineáris egyenletrendszerét, miután részletesen átgondolta a tipikus példák és problémák megoldását.

A cikk anyagának rövid ismertetése.

Először megadjuk az összes szükséges definíciót, fogalmat, és bevezetünk néhány jelölést.

Ezután megvizsgáljuk azokat a lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldási módszereit, amelyekben az egyenletek száma megegyezik az ismeretlen változók számával, és amelyeknek egyedi megoldása van. Először a Cramer-módszerre összpontosítunk, másodszor bemutatjuk az ilyen egyenletrendszerek megoldására szolgáló mátrixmódszert, harmadszor pedig a Gauss-módszert (az ismeretlen változók egymást követő kiküszöbölésének módszerét) elemezzük. Az elmélet megszilárdítása érdekében minden bizonnyal számos SLAE-t fogunk különféle módon megoldani.

Ezt követően térjünk át a lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására Általános nézet, amelyben az egyenletek száma nem esik egybe az ismeretlen változók számával vagy a rendszer fő mátrixa degenerált. Megfogalmazzuk a Kronecker-Capelli tételt, amely lehetővé teszi az SLAE-k kompatibilitásának megállapítását. Elemezzük a rendszerek megoldását (kompatibilitásuk esetén) egy mátrix base moll fogalmával. Megfontoljuk a Gauss-módszert is, és részletesen leírjuk a példák megoldásait.

Ügyeljen arra, hogy foglalkozzon a homogén és inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszerek általános megoldásának szerkezetével. Adjuk meg az alapvető megoldási rendszer fogalmát, és mutassuk meg, hogyan íródik le az SLAE általános megoldása az alapvető megoldási rendszer vektorai segítségével. A jobb megértés érdekében nézzünk meg néhány példát.

Végezetül figyelembe vesszük a lineárisra redukált egyenletrendszereket, valamint különféle problémákat, amelyek megoldásában SLAE-k merülnek fel.

Oldalnavigáció.

Definíciók, fogalmak, megnevezések.

P lineáris algebrai egyenletekből álló rendszereket fogunk figyelembe venni n ismeretlen változóval (p egyenlő lehet n ) alakú

Ismeretlen változók, - együtthatók (néhány valós ill komplex számok), - szabad tagok (valós vagy komplex számok is).

A SLAE ezen formáját hívják koordináta.

NÁL NÉL mátrix forma ennek az egyenletrendszernek az alakja,
ahol - a rendszer főmátrixa, - az ismeretlen változók mátrixoszlopa, - a szabad tagok mátrixoszlopa.

Ha az A mátrixhoz (n + 1)-edik oszlopként hozzáadjuk a szabad tagok mátrixoszlopát, akkor megkapjuk az ún. kiterjesztett mátrix lineáris egyenletrendszerek. Általában a kibővített mátrixot T betűvel jelöljük, és a szabad tagok oszlopát függőleges vonal választja el a többi oszloptól, azaz

Lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásával Ismeretlen változók értékkészletének nevezzük, amely a rendszer összes egyenletét azonossággá alakítja. Mátrix egyenlet ugyanis az ismeretlen változók adott értékei is azonossággá alakulnak.

Ha egy egyenletrendszernek van legalább egy megoldása, akkor azt ún közös.

Ha az egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor ún összeegyeztethetetlen.

Ha egy SLAE-nek egyedi megoldása van, akkor azt hívják bizonyos; ha több megoldás létezik, akkor - bizonytalan.

Ha a rendszer összes egyenletének szabad tagja nulla , akkor a rendszer meghívásra kerül homogén, másképp - heterogén.

Elemi lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása.

Ha a rendszeregyenletek száma megegyezik az ismeretlen változók számával, és főmátrixának determinánsa nem egyenlő nullával, akkor az ilyen SLAE-ket hívjuk. alapvető. Az ilyen egyenletrendszereknek egyedi megoldásuk van, és homogén rendszer esetén minden ismeretlen változó nullával egyenlő.

Az ilyen SLAE-ket ben kezdtük el tanulmányozni Gimnázium. Megoldásukkor vettünk egy egyenletet, egy ismeretlen változót a többiekkel kifejeztünk és behelyettesítettünk a többi egyenletbe, majd vettük a következő egyenletet, kifejeztük a következő ismeretlen változót és behelyettesítettük más egyenletekkel stb. Vagy az összeadás módszerét alkalmazták, vagyis két vagy több egyenletet adtak hozzá néhány ismeretlen változó kiküszöbölésére. Ezekkel a módszerekkel nem foglalkozunk részletesen, mivel ezek lényegében a Gauss-módszer módosításai.

Az elemi lineáris egyenletrendszerek megoldásának fő módszerei a Cramer-módszer, a mátrix-módszer és a Gauss-módszer. Tegyük rendbe őket.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Cramer módszerével.

Meg kell oldanunk egy lineáris algebrai egyenletrendszert

amelyben az egyenletek száma egyenlő az ismeretlen változók számával és a rendszer főmátrixának determinánsa nullától eltérő, azaz.

Legyen a rendszer főmátrixának determinánsa, és olyan mátrixok determinánsai, amelyeket A-ból cserével kapunk 1., 2., …, n-edik oszlop, illetve a szabad tagok oszlopa:

Ilyen jelöléssel az ismeretlen változókat a Cramer-féle as módszer képleteivel számítjuk ki . Így találjuk meg a Cramer-módszerrel egy lineáris algebrai egyenletrendszer megoldását.

Példa.

Cramer módszer .

Megoldás.

A rendszer fő mátrixának van formája . Számítsa ki a meghatározóját (ha szükséges, lásd a cikket):

Mivel a rendszer főmátrixának determinánsa nem nulla, a rendszernek van egy egyedi megoldása, amelyet Cramer módszerével találhatunk meg.

Állítsa össze és számítsa ki a szükséges determinánsokat! (a determinánst úgy kapjuk meg, hogy az A mátrix első oszlopát szabad tagokból álló oszlopra cseréljük, a determinánst - ha a második oszlopot szabad tagokból álló oszlopra cseréljük, - az A mátrix harmadik oszlopát szabad tagokból álló oszlopra cseréljük ):

Ismeretlen változók keresése képletekkel :

Válasz:

A Cramer-módszer fő hátránya (ha hátránynak nevezhető) a determinánsok kiszámításának bonyolultsága, ha a rendszeregyenletek száma több mint három.

Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása mátrix módszerrel (inverz mátrix segítségével).

Adjuk meg a lineáris algebrai egyenletrendszert mátrix formában, ahol az A mátrix mérete n x n, determinánsa pedig nem nulla.

Mivel , akkor az A mátrix invertálható, azaz van inverz mátrix. Ha az egyenlőség mindkét részét megszorozzuk a bal oldalon, akkor egy képletet kapunk az ismeretlen változók oszlopmátrixának megkeresésére. Így megkaptuk a megoldást a lineáris algebrai egyenletrendszerre mátrix módszer.

Példa.

Lineáris egyenletrendszer megoldása mátrix módszer.

Megoldás.

Írjuk át az egyenletrendszert mátrix alakban:

Mert

akkor az SLAE mátrix módszerrel megoldható. Használva inverz mátrix ennek a rendszernek a megoldása a következőképpen érhető el .

Építsünk inverz mátrixot az A mátrix elemeinek algebrai komplementereinek mátrixával (ha szükséges, lásd a cikket):

Ki kell számítani - az ismeretlen változók mátrixát az inverz mátrix szorzásával a szabad tagok mátrixoszlopán (ha szükséges, lásd a cikket):

Válasz:

vagy más jelöléssel x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

A lineáris algebrai egyenletrendszerek mátrix módszerrel történő megoldásának fő problémája az inverz mátrix megtalálásának bonyolultsága, különösen a harmadiknál ​​magasabb rendű négyzetmátrixok esetében.

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss módszerrel.

Tegyük fel, hogy megoldást kell találnunk egy n lineáris egyenletrendszerre n ismeretlen változóval
amelynek főmátrixának determinánsa nullától eltérő.

A Gauss-módszer lényege ismeretlen változók egymást követő kizárásából áll: először x 1 ki van zárva a rendszer összes egyenletéből, a másodiktól kezdve, majd x 2 ki van zárva minden egyenletből, a harmadiktól kezdve, és így tovább, amíg csak az ismeretlen változóig x n az utolsó egyenletben marad. A rendszer egyenleteinek egy ilyen transzformációját az ismeretlen változók egymás utáni kiküszöbölésére az ún. közvetlen Gauss-módszer. A Gauss-módszer előrefutásának befejezése után az utolsó egyenletből x n, az utolsó előtti egyenletből x n-1 kerül kiszámításra ezzel az értékkel, és így tovább, x 1 az első egyenletből. Az ismeretlen változók kiszámításának folyamatát, amikor a rendszer utolsó egyenletéből az első egyenletbe lépünk, az ún. fordított Gauss-módszer.

Röviden írjuk le az ismeretlen változók kiküszöbölésére szolgáló algoritmust.

Feltételezzük, hogy , mivel ezt mindig elérhetjük a rendszer egyenleteinek átrendezésével. Az ismeretlen x 1 változót kizárjuk a rendszer összes egyenletéből, a másodiktól kezdve. Ehhez adjuk hozzá az első egyenletet szorozva a rendszer második egyenletéhez, adjuk hozzá az első szorzatot a harmadik egyenlethez, és így tovább, adjuk hozzá az első egyenletet szorozva az n-edik egyenlethez. Az egyenletrendszer az ilyen transzformációk után a következő alakot veszi fel

hol egy .

Ugyanerre az eredményre jutnánk, ha x 1-et más ismeretlen változókkal fejeznénk ki a rendszer első egyenletében, és a kapott kifejezést behelyettesítenénk az összes többi egyenletbe. Így az x 1 változót a másodiktól kezdve minden egyenletből kizárjuk.

Ezután hasonlóan járunk el, de csak a kapott rendszer egy részével, amelyet az ábrán jelölünk

Ehhez adjuk hozzá a másodikat szorozva a rendszer harmadik egyenletéhez, adjuk hozzá a másodikat szorozva a negyedik egyenlethez, és így tovább, adjuk hozzá a másodikat szorozva az n-edik egyenlethez. Az egyenletrendszer az ilyen transzformációk után a következő alakot veszi fel

hol egy . Így az x 2 változót a harmadiktól kezdve minden egyenletből kizárjuk.

Ezután továbblépünk az ismeretlen x 3 kiküszöbölésére, miközben hasonlóan járunk el az ábrán jelölt rendszerrésszel

Folytatjuk tehát a Gauss-módszer közvetlen menetét, amíg a rendszer fel nem veszi a formát

Ettől a pillanattól kezdve elkezdjük a Gauss-módszer fordított lefolyását: az utolsó egyenletből kiszámoljuk x n-t, a kapott x n érték felhasználásával az utolsó előtti egyenletből x n-1-et, és így tovább, az első egyenletből x 1-et. egyenlet.

Példa.

Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss módszer.

Megoldás.

Zárjuk ki a rendszer második és harmadik egyenletéből az ismeretlen x 1 változót. Ehhez a második és a harmadik egyenlet mindkét részéhez hozzáadjuk az első egyenlet megfelelő részét, szorozva ezzel:

Most kivesszük x 2-t a harmadik egyenletből úgy, hogy hozzáadjuk a bal és a megfelelő részek a második egyenlet bal és jobb oldala, megszorozva:

Ezen a Gauss-módszer előremenete befejeződött, elkezdjük a fordított pályát.

A kapott egyenletrendszer utolsó egyenletéből x 3-at találunk:

A második egyenletből azt kapjuk, hogy .

Az első egyenletből megtaláljuk a fennmaradó ismeretlen változót, és ezzel teljessé válik a Gauss-módszer fordított menete.

Válasz:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Általános alakú lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása.

Általános esetben a p rendszer egyenleteinek száma nem esik egybe az n ismeretlen változók számával:

Az ilyen SLAE-knek nincs megoldása, egyetlen megoldásuk van, vagy végtelen sok megoldásuk van. Ez az állítás azokra az egyenletrendszerekre is vonatkozik, amelyek fő mátrixa négyzetes és degenerált.

Kronecker-Capelli tétel.

Mielőtt megoldást találnánk egy lineáris egyenletrendszerre, meg kell állapítani annak kompatibilitását. Arra a kérdésre, hogy mikor kompatibilis az SLAE, és mikor nem kompatibilis, megadja a választ Kronecker–Capelli tétel:
Ahhoz, hogy egy p egyenletrendszer n ismeretlennel (p egyenlő n-nel) konzisztens legyen, szükséges és elegendő, hogy a rendszer főmátrixának rangja egyenlő legyen a kiterjesztett mátrix rangjával, azaz Rank( A)=Ranghely(T) .

Példaként tekintsük a Kronecker-Cappelli tétel alkalmazását lineáris egyenletrendszer kompatibilitásának meghatározására.

Példa.

Nézze meg, hogy a lineáris egyenletrendszer rendelkezik-e megoldásokat.

Megoldás.

. Használjuk a kiskorúak határolásának módszerét. Másodrendű minor különbözik a nullától. Nézzük a körülötte lévő harmadrendű kiskorúakat:

Mivel az összes szomszédos harmadrendű kiskorú nulla, a főmátrix rangja kettő.

Viszont a kiterjesztett mátrix rangja egyenlő hárommal, mivel a harmadrendű moll

különbözik a nullától.

Ily módon Rang(A) , ezért a Kronecker-Capelli-tétel szerint azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az eredeti lineáris egyenletrendszer inkonzisztens.

Válasz:

Nincs megoldási rendszer.

Tehát megtanultuk megállapítani a rendszer inkonzisztenciáját a Kronecker-Capelli tétel segítségével.

De hogyan találjuk meg az SLAE megoldását, ha a kompatibilitás megvan?

Ehhez szükségünk van a mátrix base moll fogalmára és a mátrix rangjára vonatkozó tételre.

Az A mátrix nullától eltérő legmagasabb rendű mollját hívjuk alapvető.

A base moll definíciójából következik, hogy sorrendje megegyezik a mátrix rangjával. Egy nem nulla A mátrixhoz több alapmoll is lehet, mindig van egy alapmoll.

Vegyük például a mátrixot .

Ennek a mátrixnak minden harmadrendű minorja nulla, mivel a mátrix harmadik sorának elemei az első és a második sor megfelelő elemeinek összege.

A következő másodrendű minorok alapvetőek, mivel nem nullák

Kiskorúak nem alapvetőek, mivel egyenlők nullával.

Mátrix rangtétel.

Ha egy p-rendű mátrix rangja r, akkor a mátrix sorainak (és oszlopainak) minden olyan eleme, amely nem képezi a választott bázis-mollt, lineárisan a sorok (és oszlopok) megfelelő elemeivel van kifejezve. ), amelyek a minor alapját képezik.

Mit ad nekünk a mátrix rangtétel?

Ha a Kronecker-Capelli tétellel megállapítottuk a rendszer kompatibilitását, akkor a rendszer főmátrixának bármely alapmollját választjuk (sorrendje egyenlő r-vel), és kizárunk a rendszerből minden olyan egyenletet, amely nem alkotják a választott alapmollt. Az így kapott SLAE ekvivalens lesz az eredetivel, mivel az elvetett egyenletek továbbra is redundánsak (a mátrix rangtétel szerint a fennmaradó egyenletek lineáris kombinációja).

Ennek eredményeként a rendszer túlzott egyenleteinek elvetése után két eset lehetséges.

Ha a kapott rendszerben az r egyenletek száma megegyezik az ismeretlen változók számával, akkor ez határozott lesz, és az egyetlen megoldást a Cramer módszerrel, a mátrix módszerrel vagy a Gauss módszerrel találhatjuk meg.

Példa.

.

Megoldás.

A rendszer főmátrixának rangja egyenlő kettővel, mivel a másodrendű moll különbözik a nullától. Kiterjesztett mátrix rang is egyenlő kettővel, mivel a harmadrendű egyetlen moll egyenlő nullával

és a fent vizsgált másodrendű moll nullától eltérő. A Kronecker-Capelli tétel alapján megállapítható az eredeti lineáris egyenletrendszer kompatibilitása, mivel Rank(A)=Rank(T)=2 .

Alapnak kisebbet vesszük . Az első és a második egyenlet együtthatói alkotják:


A rendszer harmadik egyenlete nem vesz részt az alapmoll kialakításában, ezért a mátrix rangtétel alapján kizárjuk a rendszerből:


Így kaptunk egy elemi lineáris algebrai egyenletrendszert. Oldjuk meg Cramer módszerével:


Válasz:

x 1 \u003d 1, x 2 = 2.

Ha az eredményül kapott SLAE-ben az r egyenletek száma kisebb, mint az n ismeretlen változók száma, akkor az alap-mollt alkotó tagokat az egyenletek bal oldali részeiben hagyjuk, a fennmaradó tagokat pedig átvisszük az egyenletek jobb oldali részébe. ellentétes előjelű rendszer.

Az egyenletek bal oldalán maradó ismeretlen változókat (r darab van belőlük) ún. fő-.

A jobb oldalon kötött ismeretlen változókat (n - r van belőlük) hívjuk ingyenes.

Most feltételezzük, hogy a szabad ismeretlen változók tetszőleges értéket vehetnek fel, míg az r fő ismeretlen változót egyedi módon fejezzük ki a szabad ismeretlen változókkal. Kifejezésüket a kapott SLAE Cramer módszerrel, mátrix módszerrel vagy Gauss módszerrel történő megoldásával találhatjuk meg.

Vegyünk egy példát.

Példa.

Lineáris algebrai egyenletrendszer megoldása .

Megoldás.

Keresse meg a rendszer főmátrixának rangját! határos kiskorúak módszerével. Vegyünk egy 1 1 = 1-et nem nulla elsőrendű mollnak. Kezdjünk el keresni egy nem nulla másodrendű mollot, amely körülveszi ezt a minort:


Így találtunk egy nem nulla másodrendű mollot. Kezdjük el keresni egy nem nulla határos harmadrendű mollot:


Így a fő mátrix rangja három. A kiterjesztett mátrix rangja szintén három, vagyis a rendszer konzisztens.

A talált, harmadrendű nem nulla moll alapnak számít.

Az érthetőség kedvéért bemutatjuk azokat az elemeket, amelyek a minor alapját képezik:


Az alapmollban részt vevő kifejezéseket a rendszer egyenletek bal oldalán hagyjuk, a többit pedig ellentétes előjellel a jobb oldalra helyezzük át:


A szabad ismeretlen változóknak x 2 és x 5 tetszőleges értéket adunk, vagyis veszünk , ahol tetszőleges számok vannak. Ebben az esetben a SLAE a formát veszi fel


A kapott elemi lineáris algebrai egyenletrendszert Cramer módszerrel oldjuk meg:


Következésképpen,.

A válaszban ne felejtse el megadni a szabad ismeretlen változókat.

Válasz:

Hol vannak tetszőleges számok.

Összesít.

Egy általános formájú lineáris algebrai egyenletrendszer megoldásához először a Kronecker-Capelli-tétel segítségével megtudjuk annak kompatibilitását. Ha a fő mátrix rangja nem egyenlő a kiterjesztett mátrix rangjával, akkor arra a következtetésre jutunk, hogy a rendszer inkonzisztens.

Ha a főmátrix rangja megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával, akkor az alapmollt választjuk, és elvetjük a rendszer azon egyenleteit, amelyek nem vesznek részt a választott alapmoll kialakításában.

Ha a sorrend az alap kiskorú egyenlő a számmal ismeretlen változókat, akkor az SLAE egyedi megoldással rendelkezik, amely bármely általunk ismert módszerrel megtalálható.

Ha az alapmoll sorrendje kisebb, mint az ismeretlen változók száma, akkor a fő ismeretlen változókkal rendelkező tagokat a rendszer egyenleteinek bal oldalán hagyjuk, a fennmaradó tagokat áthelyezzük a jobb oldalra, és tetszőleges értékeket adunk hozzá. a szabad ismeretlen változókhoz. A kapott lineáris egyenletrendszerből a fő ismeretlen változókat Cramer módszerrel, mátrix módszerrel vagy Gauss módszerrel találjuk meg.

Gauss-módszer általános alakú lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására.

A Gauss-módszerrel bármilyen típusú lineáris algebrai egyenletrendszer megoldható anélkül, hogy előzetes kompatibilitási vizsgálatokat végeznénk. Az ismeretlen változók egymás utáni kiküszöbölésének folyamata lehetővé teszi mind az SLAE kompatibilitására, mind inkonzisztenciájára vonatkozó következtetések levonását, és ha létezik megoldás, akkor azt megtalálni.

A számítási munka szempontjából a Gauss-módszer előnyösebb.

Nézd Részletes leírásés példákat elemzett a Gauss-módszer általános alakú lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldására című cikkben.

Homogén és inhomogén lineáris algebrai rendszerek általános megoldásának rögzítése az alapvető megoldási rendszer vektoraival.

Ebben a részben a végtelen számú megoldással rendelkező lineáris algebrai egyenletek együttes homogén és inhomogén rendszereire összpontosítunk.

Először foglalkozzunk a homogén rendszerekkel.

Alapvető döntési rendszer Egy p lineáris algebrai egyenletekből álló, n ismeretlen változós homogén rendszer ennek a rendszernek (n – r) lineárisan független megoldásainak halmaza, ahol r a rendszer főmátrixának alapmoll sorrendje.

Ha egy homogén SLAE lineárisan független megoldásait X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) mátrixoszlopoknak jelöljük 1 ) , akkor ennek a homogén rendszernek az általános megoldását a megoldások alaprendszerének vektorainak lineáris kombinációjaként ábrázoljuk tetszőleges állandó együtthatóval С 1 , С 2 , …, С (n-r), azaz .

Mit jelent a homogén lineáris algebrai egyenletrendszer (oroslau) általános megoldása?

A jelentés egyszerű: a képlet megadja az eredeti SLAE összes lehetséges megoldását, vagyis a C 1 , C 2 , ..., C (n-r) tetszőleges konstansok értékeinek tetszőleges halmazát figyelembe véve a képlet szerint az eredeti homogén SLAE egyik megoldását kapja majd.

Így, ha találunk egy alapvető megoldási rendszert, akkor ennek a homogén SLAE-nek minden megoldását beállíthatjuk .

Mutassuk meg a homogén SLAE alapvető megoldási rendszerének felépítésének folyamatát.

Az eredeti lineáris egyenletrendszer alapmollját választjuk, minden más egyenletet kizárunk a rendszerből, és az ellentétes előjelű rendszer egyenleteinek jobb oldalára visszük át az összes szabad ismeretlen változót tartalmazó tagot. Adjunk szabadon ismeretleneket változó értékek 1,0,0,…,0 és számítsa ki a fő ismeretleneket úgy, hogy a kapott elemi lineáris egyenletrendszert bármilyen módon, például Cramer-módszerrel megoldja. Így X (1) lesz – az alaprendszer első megoldása. Ha a szabad ismeretleneknek megadjuk a 0,1,0,0,…,0 értékeket és kiszámítjuk a fő ismeretleneket, akkor X (2)-t kapunk. Stb. Ha a szabad ismeretlen változóknak 0,0,…,0,1 értékeket adunk, és kiszámítjuk a fő ismeretleneket, akkor X (n-r) -t kapunk. Így épül fel a homogén SLAE alapvető megoldási rendszere és írható fel általános megoldása a formába.

Inhomogén lineáris algebrai egyenletrendszerek esetén az általános megoldást a következőképpen ábrázoljuk

Nézzünk példákat.

Példa.

Keresse meg az alapvető megoldási rendszert és egy homogén lineáris algebrai egyenletrendszer általános megoldását .

Megoldás.

A homogén lineáris egyenletrendszerek főmátrixának rangja mindig megegyezik a kiterjesztett mátrix rangjával. Határozzuk meg a főmátrix rangját a kiskorúak szegélyezésének módszerével. Elsőrendű nem nulla mollként a rendszer főmátrixának a 1 1 = 9 elemét vesszük. Keresse meg a másodrendű nem-nulla moll határvonalát:

A nullától eltérő másodrendű moll található. Nézzük végig a vele határos harmadrendű kiskorúakat, keresve egy nem nulla egyet:

A harmadik rendű összes szomszédos kiskorú nulla, ezért a fő és a kiterjesztett mátrix rangja kettő. Vegyük az alap minort. Az érthetőség kedvéért megjegyezzük a rendszer elemeit, amelyek azt alkotják:

Az eredeti SLAE harmadik egyenlete nem vesz részt az alapmoll kialakításában, ezért kizárható:

A fő ismeretleneket tartalmazó kifejezéseket az egyenletek jobb oldalán hagyjuk, a szabad ismeretleneket tartalmazó tagokat pedig átvisszük a jobb oldalra:

Alkossunk egy alapvető megoldási rendszert az eredeti homogén lineáris egyenletrendszerre. Ennek az SLAE-nek az alapvető megoldási rendszere két megoldásból áll, mivel az eredeti SLAE négy ismeretlen változót tartalmaz, az alapmoll sorrendje pedig kettő. Az X (1) megtalálásához a szabad ismeretlen változóknak az x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 értékeket adjuk meg, majd az egyenletrendszerből megtaláljuk a fő ismeretleneket.
.

Mátrix adatok

Keresse meg: 1) aA - bB,

Megoldás: 1) A mátrix számmal való szorzására és mátrixok összeadására vonatkozó szabályokat használva szekvenciálisan megtaláljuk a ..

2. Keresse meg az A*B-t, ha

Megoldás: Használja a mátrixszorzási szabályt

Válasz:

3. Adott mátrixhoz keressük meg a minor M 31-et, és számítsuk ki a determinánst.

Megoldás: A kisebb M 31 az A-ból kapott mátrix determinánsa

a 3. sor és az 1. oszlop törlése után. Keresse meg

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Alakítsuk át az A mátrixot a determináns megváltoztatása nélkül (tegyünk nullákat az 1. sorban)

-3*, -, -4*
-10			-15
-20			-25
-4			-5

Most kiszámítjuk az A mátrix determinánsát az 1. sor mentén történő kiterjesztéssel

Válasz: M 31 = 0, detA = 0

Oldja meg a Gauss módszerrel és a Cramer módszerrel.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x1 + x2 + 2x3 = 5

Megoldás: Nézzük meg

Használhatja Cramer módszerét

Rendszermegoldás: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

A Gauss-módszert alkalmazzuk.

A rendszer kiterjesztett mátrixát redukáljuk háromszög alakú.

A számítások megkönnyítése érdekében felcseréljük a sorokat:

Szorozzuk meg a 2. sort ezzel (k = -1 / 2 = -1 / 2 ), és a 3.-hoz add hozzá:

	1 / 2		7 / 2

Szorozzuk meg az 1. sort ezzel (k = -2 / 2 = -1 ), és a másodikhoz adjuk hozzá:

Most az eredeti rendszer így írható:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6x 3)

A 2. sorból fejezzük ki

Az 1. sorból fejezzük ki

A megoldás ugyanaz.

Válasz: (2; -5; 3)

Keresse meg a rendszer és az FSR általános megoldását

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Megoldás: Alkalmazza a Gauss-módszert. A rendszer kiterjesztett mátrixát háromszög alakúra redukáljuk.

	-4	-1	-4	-6
	-2		-2	-3
x 1	x2	x 3	x4	x5

Szorozzuk meg az 1. sort (-11)-el. Szorozzuk meg a 2. sort (13-mal). Adjuk hozzá a 2. sort az 1. sorhoz:

	-2		-2	-3

Szorozzuk meg a 2. sort (-5)-tel. Szorozzuk meg a 3. sort (11-gyel). Adjuk hozzá a 3. sort a 2. sorhoz:

Szorozzuk meg a 3. sort (-7)-tel. Szorozzuk meg a 4. sort (5-tel). Adjuk hozzá a negyedik sort a harmadikhoz:

A második egyenlet a többi lineáris kombinációja

Keresse meg a mátrix rangját!

	-18	-24	-18	-27
x 1	x2	x 3	x4	x5

A jeles kiskorúnak van legmagasabb rendű(a lehetséges minorok közül), és különbözik nullától (egyenlő a reciprok átló elemeinek szorzatával), ezért rang(A) = 2.

Ez a minor alap. Ismeretlen x 1, x 2 együtthatóit tartalmaz, ami azt jelenti, hogy az ismeretlen x 1, x 2 függő (alap), az x 3, x 4, x 5 pedig szabad.

A mátrix együtthatóival rendelkező rendszer megegyezik az eredeti rendszerrel, és a következő formában van:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x1 + 2x2 = - 5x3 - 2x4 - 3x5

Az ismeretlenek kiküszöbölésének módszerével azt találjuk közös döntés:

x 2 = – 4/3 x 3 – x 4 – 3/2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Megtaláljuk a megoldások alapvető rendszerét (FSR), amely (n-r) megoldásokból áll. Esetünkben n=5, r=2, ezért a megoldások alaprendszere 3 megoldásból áll, és ezeknek a megoldásoknak lineárisan függetleneknek kell lenniük.

Ahhoz, hogy a sorok lineárisan függetlenek legyenek, szükséges és elegendő, hogy a sorok elemeiből összeállított mátrix rangja egyenlő legyen a sorok számával, azaz 3-mal.

A szabad ismeretleneknek elegendő x 3 ,x 4 ,x 5 értéket megadni a 3. rendű determináns nullától eltérő soraiból, és kiszámolni x 1 ,x 2 -t.

A legegyszerűbb nem nulla determináns az azonosságmátrix.

De itt kényelmesebb venni

Az általános megoldást használva találjuk:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = -2, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 4 Þ

I FSR döntés: (-2; -4; 6; 0; 0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = - 6 Þ

II. FSR döntés: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

III. FSR döntés: (0; - 9; 0; 0; 6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; -9; 0; 0; 6)

6. Adott: z 1 \u003d -4 + 5i, z 2 \u003d 2 - 4i. Keresse meg: a) z 1 - 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 / z 2

Megoldás: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Válasz: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 - 0,3i

1. példa. Keressen egy általános megoldást és néhány alapvető megoldási rendszert a rendszer számára

Megoldás számológéppel keresse meg. A megoldási algoritmus ugyanaz, mint a lineáris inhomogén egyenletrendszereknél.
Csak sorokkal operálva megtaláljuk a mátrix rangját, az alapmollt; függő és szabad ismeretleneket deklarálunk, és megtaláljuk az általános megoldást.

Az első és a második sor arányos, az egyik törlődik:

.
Függő változók - x 2, x 3, x 5, szabad - x 1, x 4. Az első 10x 5 = 0 egyenletből azt találjuk, hogy x 5 = 0, akkor
; .
Az általános megoldás így néz ki:

Megtaláljuk a megoldások alapvető rendszerét, amely (n-r) megoldásokból áll. Esetünkben n=5, r=3, tehát a megoldások alapvető rendszere két megoldásból áll, és ezeknek a megoldásoknak lineárisan függetleneknek kell lenniük. Ahhoz, hogy a sorok lineárisan függetlenek legyenek, szükséges és elegendő, hogy a sorok elemeiből álló mátrix rangja egyenlő legyen a sorok számával, azaz 2-vel. Elegendő megadni a szabad ismeretleneket x 1 és x 4 értéket a nullától eltérő másodrendű determináns soraiból, és számítsa ki az x 2 , x 3 , x 5 értéket. A legegyszerűbb nem nulla determináns a.
Tehát az első megoldás: , a második - .
Ez a két döntés alkotja az alapvető döntési rendszert. Ne feledje, hogy az alaprendszer nem egyedi (a nullától eltérő determinánsok tetszőleges számút alkothatnak).

2. példa. Keresse meg az általános megoldást és a rendszer alapvető megoldási rendszerét!
Megoldás.



,
ebből következik, hogy a mátrix rangja 3, és egyenlő az ismeretlenek számával. Ez azt jelenti, hogy a rendszerben nincsenek szabad ismeretlenek, ezért van egy egyedi megoldása - egy triviális.

Gyakorlat . Lineáris egyenletrendszer feltárása és megoldása.
4. példa

Gyakorlat . Keressen általános és egyedi megoldásokat minden rendszerhez.
Megoldás. Felírjuk a rendszer fő mátrixát:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

A mátrixot háromszög alakúra hozzuk. Csak sorokkal fogunk dolgozni, mivel ha egy mátrixsort nullától eltérő számmal megszorozunk, és egy másik sort adunk hozzá a rendszerhez, akkor az egyenletet meg kell szorozni ugyanazzal a számmal, és hozzáadni egy másik egyenlethez, ami nem változtatja meg a rendszer megoldását. .
Szorozzuk meg a 2. sort (-5)-tel. Adjuk hozzá a 2. sort az 1. sorhoz:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Szorozzuk meg a 2. sort (6-tal). Szorozzuk meg a 3. sort (-1)-gyel. Adjuk hozzá a 3. sort a 2. sorhoz:
Keresse meg a mátrix rangját!

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

A kiválasztott moll a legmagasabb rendű (az összes lehetséges moll közül), és nem nulla (egyenlő a reciprok átlón lévő elemek szorzatával), ezért rang(A) = 2.
Ez a minor alap. Ismeretlen x 1, x 2 együtthatóit tartalmaz, ami azt jelenti, hogy az ismeretlen x 1, x 2 függő (alap), az x 3, x 4, x 5 pedig szabad.
Átalakítjuk a mátrixot úgy, hogy csak az alapmoll marad a bal oldalon.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

A mátrix együtthatóival rendelkező rendszer megegyezik az eredeti rendszerrel, és a következő formában van:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Az ismeretlenek kiküszöbölésének módszerével azt találjuk nem triviális megoldás:
Az x 1 ,x 2 és a szabad x 3 ,x 4 ,x 5 közötti függő változókat kifejező relációkat kaptunk, azaz közös döntés:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x 1 = -0,55x4 - 1,82x3 - 0,64x5
Megtaláljuk a megoldások alapvető rendszerét, amely (n-r) megoldásokból áll.
Esetünkben n=5, r=2, ezért a megoldások alaprendszere 3 megoldásból áll, és ezeknek a megoldásoknak lineárisan függetleneknek kell lenniük.
Ahhoz, hogy a sorok lineárisan függetlenek legyenek, szükséges és elegendő, hogy a sorok elemeiből összeállított mátrix rangja egyenlő legyen a sorok számával, azaz 3-mal.
A szabad ismeretleneknek elegendő x 3 ,x 4 ,x 5 értéket megadni a 3. rendű determináns nullától eltérő soraiból, és kiszámolni x 1 ,x 2 -t.
A legegyszerűbb nem nulla determináns az azonosságmátrix.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Egy feladat . Találja meg a megoldások alapvető halmazát egy homogén lineáris egyenletrendszerre.

A homogén rendszer oldatai a következő tulajdonságokkal rendelkeznek. Ha a vektor = (α 1 , α 2 ,... , α n) a (15.14) rendszer megoldása, akkor tetszőleges számra k vektor k = (kα 1 , ka 2 ,..., kα n) lesz a megoldás erre a rendszerre. Ha a (15.14) rendszer megoldása az = (γ 1 , γ 2 , ... ,γ vektor n), majd az összeget + ennek a rendszernek a megoldása is lesz. Ebből következik tehát egy homogén rendszer megoldásainak tetszőleges lineáris kombinációja ennek a rendszernek a megoldása is.

Mint a 12.2. szakaszból tudjuk, bármely rendszer n-dimenziós vektorok, amelyek több mint P vektorok, lineárisan függ. Így a (15.14) homogén rendszer megoldásvektorainak halmazából választhatunk egy bázist, azaz. az adott rendszer bármely megoldásvektora ennek a bázisnak a vektorainak lineáris kombinációja lesz. Minden ilyen alapot nevezünk alapvető döntési rendszer homogén lineáris egyenletrendszer. A következő tétel igaz, amit bizonyítás nélkül mutatunk be.

4. TÉTEL. Ha egy homogén egyenletrendszer r rangja(15.14) kisebb, mint az n ismeretlenek száma, akkor a rendszer bármely alapvető megoldási rendszere (15.14) n - r megoldásból áll.

Mutassunk most egy módszert az alapvető megoldási rendszer (FSR) megtalálására. Legyen rangja a (15.14) homogén egyenletrendszernek r< п. Aztán, ahogy Cramer szabályaiból következik, ennek a rendszernek az alapvető ismeretlenségei x 1 , x 2 , … x r lineárisan fejezik ki szabad változókkal x r + 1 , x r + 2 , ..., x n:

A homogén rendszer (15.14) egyes megoldásait a következő elv szerint különítjük el. Az első 1. megoldásvektor megtalálásához beállítjuk x r + 1 = 1, x r + 2 = x r +3 = ... = x n= 0. Ekkor megtaláljuk a második megoldást 2: elfogadjuk x r+2 = 1 és a többi r- 1 szabad változó nullára van állítva. Más szóval, minden szabad változóhoz szekvenciálisan egyetlen értéket rendelünk, a többit nullára állítjuk. Így a megoldások alapvető rendszere vektor formában, figyelembe véve az elsőt r bázisváltozók (15.15) alakja

Az FSR (15.16) a homogén rendszer (15.14) egyik alapvető megoldási halmaza.

1. példa Keressen megoldást és FSR-t egy homogén egyenletrendszerre

Megoldás. Ezt a rendszert Gauss-módszerrel fogjuk megoldani. Mivel a rendszeregyenletek száma kevesebb, mint az ismeretlenek száma, feltételezzük x 1 , x 2 , x 3 alapvető ismeretlen, és x 4 , X 5 , x 6 - szabad változók. Állítsuk össze a rendszer kiterjesztett mátrixát, és hajtsuk végre azokat a műveleteket, amelyek a metódus közvetlen menetét alkotják.