Általános és Szakoktatási Minisztérium

Szocsi Állami Egyetem idegenforgalom

és üdülő üzlet

Pedagógiai Intézet

Matematikai Kar

Általános Matematika Tanszék

VÉGZETT MUNKA

Fourier sorozatok és alkalmazásaik

a matematikai fizikában.

Végezte: 5. éves hallgató

nappali aláírás

Különlegesség 010100

"Matematika"

Kasperova N.S.

95471 sz. diákigazolvány

Tudományos tanácsadó: egyetemi docens, Ph.D.

műszaki aláírás. Tudományok

Pozin P.A.

Szocsi, 2000

1. Bemutatkozás.

2. A Fourier-sor fogalma.

2.1. A Fourier-sor együtthatóinak meghatározása.

2.2. Periodikus függvények integráljai.

3. Fourier-sorok konvergenciájának kritériumai.

3.1. Példák a függvények kiterjesztésére Fourier-sorokban.

4. Megjegyzés egy Fourier-sor periodikus függvényének kiterjesztéséhez

5. Fourier-sorok páros és páratlan függvényekhez.

6. Fourier-sor a 2. periódusú függvényekhez l .

7. Nem periodikus függvény Fourier kiterjesztése.

Bevezetés.

Jean Baptiste Joseph Fourier - francia matematikus, a Párizsi Tudományos Akadémia tagja (1817).

Fourier első munkái az algebrához kapcsolódnak. Már az 1796-os előadásokban megfogalmazta a tételt a valós gyökök számáról algebrai egyenlet e határok között fekszik (1820. közl.), róla nevezték el; egy algebrai egyenlet valós gyökeinek számára kapott teljes megoldást 1829-ben J.Sh.F. Vihar. Fourier 1818-ban vizsgálta a Newton által az egyenletek numerikus megoldására kidolgozott módszer alkalmazhatóságának feltételeit, nem tudott hasonló eredményekről, amelyeket 1768-ban a francia matematikus, J.R. Murail. Fourier egyenletek megoldásának numerikus módszereivel foglalkozó munkájának eredménye az „Elemzés bizonyos egyenletek”, amely posztumusz, 1831-ben jelent meg.

Fourier fő tanulmányi területe a matematikai fizika volt. 1807-ben és 1811-ben a párizsi Tudományos Akadémiának nyújtotta be első felfedezéseit a hő szilárd testekben való terjedésének elméletéről, 1822-ben pedig megjelentette a Hőelemzés elmélete című jól ismert munkát, amely fontos szerepet játszott a későbbi történelemben. a matematikából. Ez- matematikai elmélet hővezető. A módszer általánossága miatt ez a könyv mindennek a forrása lett modern módszerek matematikai fizika. Ebben a munkában Fourier differenciálegyenletet vezetett le a hővezetésre, és kidolgozta a D. Bernoulli által korábban felvázolt elképzeléseket a legáltalánosabb megfogalmazásban, kidolgozta a változók szétválasztási módszerét (Fourier-módszer) a hőegyenlet megoldására bizonyos adott peremfeltételekre, ami számos speciális esetre alkalmazta (kocka, henger stb.). Ez a módszer a függvények trigonometrikus Fourier-soros ábrázolásán alapul.

A Fourier-sorok mára jól fejlett eszközzé váltak a parciális differenciálegyenletek elméletében határérték-feladatok megoldására.

1. A Fourier-sor fogalma.(94. o., Uvarenkov)

A Fourier-sorok fontos szerepet játszanak a matematikai fizikában, a rugalmasságelméletben, az elektrotechnikában, és különösen ezekben. különleges eset trigonometrikus Fourier-sorok.

A trigonometrikus sorozat az űrlap sorozata

vagy szimbolikusan:

(1)

ahol ω, a 0, a 1, …, a n, …, b 0, b 1, …, b n, … állandó számok (ω>0).

Néhány fizikai probléma történelmileg vezetett az ilyen sorozatok tanulmányozásához, például a húrrezgések problémája (18. század), a hővezetési jelenségek szabályszerűségeinek problémája stb. Az alkalmazásokban a trigonometrikus sorozatok figyelembevétele , elsősorban egy adott mozgás ábrázolásának problémájához kapcsolódik, amelyet az y = ƒ(χ) egyenlet ír le,

a legegyszerűbbek összege harmonikus rezgések, gyakran a végtelenségig veszik nagy számok, azaz az (1) alakú sorozat összegeként.

Így a következő problémához jutunk: megtudni, hogy egy adott ƒ(x) függvényhez egy adott intervallumon létezik-e olyan (1) sorozat, amely ezen az intervallumon ehhez a függvényhez konvergálna. Ha ez lehetséges, akkor a ƒ(x) függvény trigonometrikus sorozattá bővül ezen az intervallumon.

Az (1) sorozat egy x 0 pontban konvergál, a függvények periodicitása miatt

(n=1,2,..), akkor is konvergálni fog az alak minden pontján (m tetszőleges egész szám), így S(x) összege (a sorozat konvergencia tartományában) periodikus lesz. függvény: ha S n ( x) - n-edik részleges ennek a sorozatnak az összege, akkor megvan

és ezért

, azaz S(x0+T)=S(x0). Ezért, ha valamely ƒ(x) függvény (1) alakú sorozatra való kiterjesztéséről beszélünk, feltételezzük, hogy ƒ(x) periodikus függvény.

2. A sorozat együtthatóinak meghatározása Fourier-képletekkel.

Legyen egy ƒ(x) 2π periódusú periodikus függvény olyan, hogy a (-π, π) intervallumban egy adott függvényhez konvergáló trigonometrikus sorozat reprezentálja, azaz ennek a sorozatnak az összege:

. (2)

Tegyük fel, hogy ennek az egyenlőségnek a bal oldalán lévő függvény integrálja egyenlő a sorozat tagjainak integráljainak összegével. Ez akkor lesz igaz, ha feltételezzük, hogy az adott trigonometrikus sorozat együtthatóiból álló számsorok abszolút konvergálnak, azaz a pozitív számsorok konvergálnak.

(3)

Az (1) sorozat majorizált, és tagonként integrálható a (-π, π) intervallumba. Az egyenlőség mindkét részét integráljuk (2):

.

A jobb oldalon előforduló integrálokat külön számítjuk ki:

, , .

Ily módon

, ahol . (4)

A Fourier-együtthatók becslése.(Bugrov)

1. tétel. Legyen a 2π periódusú ƒ(x) függvénynek folytonos deriváltja ƒ ( s) (x) végzés s kielégíti az egyenlőtlenséget a teljes valós tengelyen:

│ ƒ (s) (x) ≤ M s; (5)

akkor a függvény Fourier-együtthatóit ƒ kielégíti az egyenlőtlenséget

(6)

Bizonyíték. Alkatrészenkénti integrálás és ennek figyelembe vétele

ƒ(-π) = ƒ(π), van

A (7) jobb oldalának szekvenciális integrálása, figyelembe véve, hogy a ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) deriváltak folytonosak, és a t = -π és t = π pontokban is azonos értékeket vesznek fel. becslésként (5) megkapjuk az első becslést (6).

A második becslést (6) hasonló módon kapjuk.

2. tétel. A ƒ(x) Fourier együtthatók kielégítik az egyenlőtlenséget

(8)

Bizonyíték. Nekünk van

Úgy működik, hogy komponensekre bontja őket. váltakozó áramok jellemzőek a hajtókarok feszültségei, elmozdulásai, sebessége és gyorsulása, valamint az akusztikus hullámok gyakorlati példák periodikus függvények alkalmazása mérnöki számításokban.

A Fourier-sor kiterjesztése azon a feltételezésen alapul, hogy a -π ≤ x ≤ π intervallumban minden gyakorlati jelentőségű függvény kifejezhető konvergens trigonometrikus sorozatként (egy sorozat akkor tekinthető konvergensnek, ha a részeiből álló részösszegek sorozata konvergál) :

Szabványos (=szokásos) jelölés a sinx és cosx összegén keresztül

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

ahol a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. valós állandók, azaz.

Ahol a -π és π közötti tartományban a Fourier-sor együtthatóit a következő képletekkel számítjuk ki:

Az a o ,a n és b n együtthatókat nevezzük Fourier-együtthatók, és ha megtalálhatók, akkor az (1) sorozatot hívjuk meg Fourier közelében, az f(x) függvénynek megfelelő. Az (1) sorozatnál az (a 1 cosx+b 1 sinx) kifejezést az első ill főharmonika,

A sorozat írásának másik módja az acosx+bsinx=csin(x+α) reláció használata

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Ahol a o egy állandó, c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 a különböző komponensek amplitúdói, és egyenlő a n \ u003d arctg a n /b n.

Az (1) sorozatnál az (a 1 cosx + b 1 sinx) vagy c 1 sin (x + α 1) kifejezést az első ill. főharmonika,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) vagy c 2 sin(2x+α 2) ún. második harmonikus stb.

Egy összetett jel pontos ábrázolásához általában végtelen számú kifejezésre van szükség. Sok gyakorlati probléma esetén azonban elegendő csak az első néhány kifejezést figyelembe venni.

Nem periódusos függvények Fourier sorozata 2π periódussal.

Nem periodikus függvények kiterjesztése Fourier sorozatban.

Ha az f(x) függvény nem periodikus, akkor nem bontható ki Fourier-sorba x összes értékére. Azonban lehetséges olyan Fourier-sort definiálni, amely egy függvényt reprezentál bármely 2π szélességi tartományban.

Adott egy nem periodikus függvény, új függvényt állíthatunk össze úgy, hogy f(x) értékeket választunk egy bizonyos tartományon belül, és megismételjük azokat ezen a tartományon kívül 2π időközönként. Mivel az új függvény periodikus, 2π periódussal, ezért minden x értékre Fourier-sorba bővíthető. Például az f(x)=x függvény nem periodikus. Ha azonban a 0-tól 2π-ig terjedő intervallumban szükséges Fourier-sorrá bővíteni, akkor ezen az intervallumon kívül egy 2π periódusú periodikus függvényt szerkesztünk (ahogy az alábbi ábrán látható).

Nem periodikus függvényeknél, mint például f(x)=x, a Fourier-sor összege az adott tartomány minden pontjában egyenlő f(x) értékkel, de pontok esetén nem egyenlő f(x) értékkel. tartományon kívül. Egy nem periodikus függvény Fourier-sorának megtalálásához a 2π tartományban a Fourier-együtthatók ugyanazt a képletét használjuk.

Páros és páratlan függvények.

Azt mondják, az y=f(x) függvény még ha f(-x)=f(x) x minden értékére. A páros függvények grafikonjai mindig szimmetrikusak az y tengelyre (azaz tükröződnek). Két példa a páros függvényekre: y=x 2 és y=cosx.

Azt mondják, hogy az y=f(x) függvény páratlan, ha f(-x)=-f(x) x minden értékére. A páratlan függvények grafikonjai mindig szimmetrikusak az origóra.

Sok függvény nem páros és nem páratlan.

Fourier-soros bővítés koszinuszokban.

A 2π periódusú f(x) páros periodikus függvény Fourier-sora csak koszinusz tagokat tartalmaz (azaz nem tartalmaz szinusztagokat), és tartalmazhat konstans tagot is. Következésképpen,

hol vannak a Fourier-sor együtthatói,

A 2π periódusú f(x) páratlan periodikus függvény Fourier-sora csak szinuszos tagokat tartalmaz (azaz nem tartalmaz koszinuszos tagokat).

Következésképpen,

hol vannak a Fourier-sor együtthatói,

Fourier-sorozat félcikluson.

Ha egy függvény egy tartományra van definiálva, mondjuk 0-tól π-ig, és nem csak 0-tól 2π-ig, akkor csak szinuszokkal vagy csak koszinuszokkal bővíthető sorozattá. Az így kapott Fourier-sort ún Fourier közelében fél cikluson.

Ha bomlást akarsz kapni Fourier félcikluson koszinuszban f(x) függvényeket a 0-tól π-ig terjedő tartományban, akkor páros periodikus függvényt kell összeállítani. ábrán. alább látható az f(x)=x függvény, amely az x=0 és x=π közötti intervallumra épül. Mert a páros funkcióábra szerint szimmetrikus az f(x) tengelyre, az AB egyenest húzzuk. lent. Ha feltételezzük, hogy a vizsgált intervallumon kívül a kapott háromszög alakzat periodikus 2π periódussal, akkor a végső gráfnak van formája, megjelenítése. ábrán. lent. Mivel a Fourier-kiterjesztést koszinuszokban kell megkapni, mint korábban, kiszámítjuk az a o és a n Fourier-együtthatókat.

Ha az f (x) függvényeket 0 és π közötti tartományban szeretné elérni, akkor páratlan periodikus függvényt kell összeállítania. ábrán. alább látható az f(x)=x függvény, amely az x=0 és x=π közötti intervallumra épül. Mert a páratlan függvény Az origóhoz képest szimmetrikus, a CD vonalat építjük fel, ahogy az ábra mutatja. Ha feltételezzük, hogy a vizsgált intervallumon kívül a vett fűrészfog jel periodikus, 2π periódussal, akkor a végső grafikon az 1. ábrán látható alakot kapja. Mivel a Fourier-tágulást félcikluson kell megkapni szinuszokban, mint korábban, a Fourier-együtthatót számítjuk ki. b

Fourier-sorok tetszőleges intervallumhoz.

Periodikus függvény bővítése L periódussal.

Az f(x) periodikus függvény ismétlődik, ha x növekszik L-vel, azaz. f(x+L)=f(x). A korábban vizsgált 2π periódusú függvényekről az L periódusú függvényekre való átmenet meglehetősen egyszerű, hiszen változó változtatással is megtehető.

Ahhoz, hogy az f(x) függvény Fourier-sorát megtaláljuk a -L/2≤x≤L/2 tartományban, bevezetünk egy új u változót úgy, hogy az f(x) függvény u-hoz képest 2π periódusú legyen. Ha u=2πx/L, akkor x=-L/2 u=-π esetén és x=L/2 u=π esetén. Legyen f(x)=f(Lu/2π)=F(u) is. Az F(u) Fourier-sor alakja a következő

Hol vannak a Fourier-sor együtthatói,

Gyakrabban azonban a fenti képlet x-től való függéshez vezet. Mivel u=2πх/L, akkor du=(2π/L)dx, és az integráció határai -L/2-től L/2-ig a -π és π helyett. Ezért az x-től való függés Fourier-sorának alakja van

ahol az -L/2 és L/2 közötti tartományban a Fourier-sor együtthatói,

(Az integrációs határértékeket bármely L hosszúságú intervallum helyettesítheti, például 0-tól L-ig)

Fourier-sor félcikluson az L≠2π intervallumban megadott függvényekhez.

Az u=πx/L helyettesítésnél az x=0 és x=L közötti intervallum az u=0 és u=π közötti intervallumnak felel meg. Ezért a függvény csak koszinuszban vagy csak szinuszban bontható ki sorozattá, azaz. ban ben Fourier sorozat fél cikluson.

A 0-tól L-ig terjedő tartományban a koszinuszokban a bővítés alakja

A 2p periódusú f(x) páros periodikus függvény Fourier-sora csak koszinusz tagokat tartalmaz (azaz nem tartalmaz szinusztagokat), és tartalmazhat konstans tagot is. Következésképpen,

hol vannak a Fourier-sor együtthatói,

Fourier-tágulás szinuszokban

A 2p periódusú f (x) páratlan periodikus függvény Fourier-sora csak szinuszos tagokat tartalmaz (azaz nem koszinuszos tagokat).

Következésképpen,

hol vannak a Fourier-sor együtthatói,

Fourier sorozat fél cikluson

Ha egy függvény egy tartományra van definiálva, mondjuk 0-tól p-ig, és nem csak 0-tól 2p-ig, akkor csak szinuszokkal vagy csak koszinuszokkal bővíthető sorozattá. Az így kapott Fourier-sort ún mellett Fourier a fél ciklus.

Ha bomlást akarsz kapni Fourier a fél ciklus tovább koszinuszokat f (x) függvények 0-tól p-ig terjedő tartományban, akkor páros periodikus függvényt kell összeállítani. ábrán. alább látható az f (x) =x függvény, amely az x=0 és x=p közötti intervallumra épül. Mivel a páros függvény szimmetrikus az f (x) tengelyre, húzzuk meg az AB egyenest, ahogy az ábra mutatja. lent. Ha feltételezzük, hogy a vizsgált intervallumon kívül a kapott háromszög alakzat periodikus 2p periódussal, akkor a végső gráfnak van formája, megjelenítése. ábrán. lent. Mivel a Fourier-kiterjesztést koszinuszokban kell megkapni, mint korábban, kiszámítjuk az a o és a n Fourier-együtthatókat.

Ha meg kell szereznie bomlás Fourier a fél ciklus tovább melléküregek f (x) függvény 0 és p tartományban van, akkor páratlan periodikus függvényt kell összeállítani. ábrán. alább látható az f(x)=x függvény, amely az x=0 és x=p közötti intervallumra épül. Mivel a páratlan függvény szimmetrikus az origóhoz képest, megszerkesztjük a CD vonalat, amint az ábra mutatja.

Ha feltételezzük, hogy a vizsgált intervallumon kívül a vett fűrészfog jel periodikus, 2p periódussal, akkor a végső grafikon az 1. ábrán látható alakot kapja. Mivel a Fourier-tágulást félcikluson kell megkapni szinuszokban, mint korábban, a Fourier-együtthatót számítjuk ki. b

átirat

1 AZ OROSZ FÖDERÁCIÓ OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUMA NOVOSZIBIRSZ ÁLLAMI EGYETEM FIZIKAI KAR R. K. Belkheeva FOURIER SOROZAT PÉLDÁKBAN ÉS FELADATOKBAN Oktatóanyag Novoszibirszk 211

2 UDC BBK V161 B44 B44 Belkheeva R. K. Fourier-sorozat példákban és problémákban: Tankönyv / Novoszib. állapot un-t. Novoszibirszk, s. ISBN B tanulási útmutató bemutatjuk a Fourier-sorokkal kapcsolatos alapinformációkat, példákat adunk az egyes vizsgált témákhoz. Részletesen elemzünk egy példát a Fourier-módszer alkalmazására egy húr keresztirányú rezgésének problémájának megoldására. Szemléltető anyagot adunk. Vannak feladatok független megoldás. A Novoszibirszki Állami Egyetem Fizikai Karának hallgatói és tanárai számára készült. Megjelent az NSU Fizikai Karának Módszertani Bizottságának határozata alapján. Lektor Dr. fiz.-math. Tudományok. V. A. Aleksandrov ISBN c Novoszibirszki Állami Egyetem, 211 c Belkheeva R. K., 211

3 1. 2π-periodikus függvény Fourier-soros kiterjesztése Definíció. Az f(x) függvény Fourier-sora az a 2 + (a n cosnx + b n sin nx), (1) függvénysor, ahol az a n, b n együtthatókat a következő képletekkel számítjuk ki: a n = 1 π b n = 1 π f (x) cosnxdx, n = , 1,..., (2) f(x) sin nxdx, n = 1, 2,.... (3) A (2) (3) képleteket Euler Fourier-képleteknek nevezzük . Azt a tényt, hogy az f(x) függvény megfelel az (1) Fourier-sornak, f(x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) (4) képletként írják le, és azt mondják, hogy jobb rész A (4) képlet az f(x) függvény formális Fourier-sora. Más szóval, a (4) képlet csak azt jelenti, hogy az a n, b n együtthatókat a (2), (3) képletek találják meg. 3

4 Definíció. Egy 2π-periodikus f(x) függvényt darabonként simának nevezünk, ha a [, π] intervallum véges számú pontot tartalmaz = x< x 1 <... < x n = π таких, что в каждом открытом промежутке (x j, x j+1) функция f(x) непрерывно дифференцируема, а в каждой точке x j существуют конечные пределы слева и справа: f(x j) = lim h + f(x j h), f(x j +) = lim h + f(x j + h), (5) f(x j h) f(x j) f(x j + h) f(x j +) lim, lim. h + h h + h (6) Отметим, что последние два предела превратятся в односторонние производные после замены предельных значений f(x j) и f(x j +) значениями f(x j). Теорема о представимости кусочно-гладкой функции в точке своим рядом Фурье (теорема о поточечной сходимости). Ряд Фурье кусочно-гладкой 2π-периодической функции f(x) сходится в каждой точке x R, а его сумма равна числу f(x), если x точка непрерывности функции f(x), f(x +) + f(x) и равна числу, если x точка разрыва 2 функции f(x). ПРИМЕР 1. Нарисуем график, найдем ряд Фурье функции, заданной на промежутке [, π] формулой, f(x) = x, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы 1 1 числовых рядов (2n + 1) 2, n 2. n= Решение. Построим график функции f(x). Получим кусочно-линейную непрерывную кривую с изломами в точках x = πk, k целое число (рис. 1). 4

5 Fig. 1. Az f(x) nx + π n n 2 = 2 π (1) n 1 n 2 = b n = 1 π π = 2 π f(x) cosnxdx = cos nx cos n 2 = 4 πn2 függvény grafikonja páratlan n, páros n esetén f(x ) sin nxdx = mert az f(x) függvény páros. Az f(x) függvényre felírjuk a formális Fourier-sort: f(x) π 2 4 π k= 5 cos (2k + 1)x (2k + 1) 2.

6 Nézze meg, hogy az f(x) függvény darabonként sima-e. Mivel folytonos, ezért az x = ±π intervallum végpontjaiban és az x = : és f(π h) f(π) π h π lim = lim h + töréspontjában csak a (6) határértékeket számítjuk ki. h h + h = 1, f(+ h) f(+) + h () lim = lim h + h h + h f(+ h) f(+) + h lim = lim = 1, h + h h + h = 1 , f(h) f () h () lim = lim = 1. h + h h + h A határértékek léteznek és végesek, ezért a függvény darabonként sima. A pontonkénti konvergenciatétel alapján annak Fourier-sora minden pontban az f(x) számhoz konvergál, azaz f(x) = π 2 4 π k= cos (2k + 1) + x (2k + 1) 2 = = π 2 4 (cosx + 19 π cos 3x) cos 5x (7) A 2. és 3. ábra az S n (x) Fourier-sor parciális összegeinek közelítésének jellegét mutatja be, ahol S n (x) = a n 2 + (a k coskx + b k sin kx), k=1, a függvényhez. f(x) a [, π] intervallumban. 6

7 Fig. 2. ábra. Az f(x) függvény grafikonja S (x) = a 2 és S 1(x) = a 2 + a 1 cos x részösszegek szuperponált gráfjaival 3. Az f (x) függvény grafikonja egy ráhelyezett részösszeg gráfral S 99 (x) \u003d a 2 + a 1 cos x + + a 99 cos 99x 7

8 A (7) x =-ben behelyettesítve a következőt kapjuk: = π 2 4 π k= 1 (2k + 1) 2, ahonnan az összeget kapjuk számsorozat: = π2 8. E sorozat összegének ismeretében könnyen megtalálhatjuk a következő összeget: S = () S = ()= π S, ezért S = π2 6, azaz 1 n = π Gyakran megtalálható a matematikai elemzésben és alkalmazásaiban. 2. PÉLDA Rajzoljon grafikont, keresse meg az f(x) = x képlettel megadott függvény Fourier-sorát x-re< π, предполагая, что она имеет период 2π, и вычислим суммы числовых (1) n) рядов + n= ((2n + 1,) (k k + 1) Решение. График функции f(x) приведен на рис. 4. 8

9 Fig. 4. Az f(x) függvény grafikonja Az f(x) függvény folyamatosan differenciálható a (, π) intervallumon. Az x = ±π pontokban véges határai (5) vannak: f() =, f(π) = π. Ezen kívül vannak véges határértékek (6): f(+ h) f(+) lim = 1 és h + h f(π h) f(π +) lim = 1. h + h Tehát f(x) darabonként sima funkció. Mivel az f(x) függvény páratlan, akkor a n =. A b n együtthatókat részenkénti integrálással találjuk meg: b n = 1 π f(x) sin πnxdx= 1 [ x cosnx π πn + 1 n = 1 πn [(1)n π + (1) n π] = 2(1) )n+ egy. n Állítsuk össze a 2(1) n+1 f(x) sin nx függvény formális Fourier-sorát. n 9 cosnxdx ] =

10 A pontonkénti konvergencia tétele szerint darabonként sima 2π-periodikus függvényre az f(x) függvény Fourier-sora az összeghez konvergál: 2(1) n+1 sin nx = n f(x) = x ha π< x < π, = f(π) + f(π +) 2 =, если x = π, (8) f() + f(+) =, если x =. 2 На рис. 5 8 показан характер приближения частичных сумм S n (x) ряда Фурье к функции f(x). Рис. 5. График функции f(x) с наложенным на него графиком частичной суммы S 1 (x) = a 2 + a 1 cos x 1

11 Fig. 6. ábra Az f(x) függvény grafikonja az S 2 (x) részösszeg rárakásával. 7. Az f(x) függvény grafikonja az S 3 (x) 11 részösszeg grafikonjával rárakva

12 Fig. 8. Az f(x) függvény grafikonja az S 99 (x) részösszeg grafikonjával rárakva, A kapott Fourier-sorok segítségével megkeressük két numerikus sorozat összegét. Betesszük (8) x = π/2. Ekkor 2 () +... = π 2, vagy = n= (1) n 2n + 1 = π 4. Könnyen megtaláltuk a jól ismert Leibniz-sor összegét. Ha x = π/3-at (8-ba) teszünk, azt kapjuk, hogy () +... = π 2 3, vagy (1+ 1) () (k) 3π +...= 3k

13 3. PÉLDA Rajzoljon grafikont, keresse meg az f(x) = sin x függvény Fourier-sorát, feltételezve, hogy periódusa 2π, és 1 számítsa ki a 4n 2 számsor összegét 1. Megoldás. ábrán látható az f(x) függvény grafikonja. 9. Nyilvánvaló, hogy f(x) = sin x folytonos páros függvény π periódussal. De 2π az f(x) függvény periódusa is. Rizs. 9. Az f(x) függvény grafikonja Számítsuk ki a Fourier-együtthatókat! Mind b n = mert a függvény páros. Trigonometrikus képletek segítségével kiszámítjuk a n-t n 1-re: a n = 1 π = 1 π sin x cosnxdx = 2 π sin x cosnxdx = (sin(1 + n)x sin(1 n)x) dx = = 1 () π cos( 1 + n)x cos(1 n)x + = 2 () 1 + (1) n = π 1 + n 1 n π 1 n 2 ( 4 1, ha n = 2k, = π n 2 1, ha n = 2k

14 Ez a számítás nem teszi lehetővé, hogy megtaláljuk az a 1 együtthatót, mert n = 1 esetén a nevező nullára megy. Ezért az a 1 együtthatót közvetlenül számítjuk ki: a 1 = 1 π sin x cosxdx =. Mivel f(x) folyamatosan differenciálható (,) és (, π) pontokon, valamint a kπ, (k egy egész szám), véges határértékei vannak (5) és (6), a függvény Fourier-sora konvergál minden pontban: = 2 π 4 π sinx = 2 π 4 π cos 2nx 4n 2 1 = (1 1 cos 2x cos 4x + 1) cos 6x 1. Az f(x) függvény grafikonja az S(x) részösszeg grafikonjával rárakva 14

15 Fig. 11. ábra Az f(x) függvény grafikonja az S 1 (x) részösszeg rárakódásával. 12. ábra Az f(x) függvény grafikonja az S 2 (x) részösszeg rárakódásával. 13. Az f(x) függvény grafikonja az S 99 (x) 15 részösszeg grafikonjával rárakva

16 1 Számítsa ki a számsorok összegét! Ehhez a (9) x =-be 4n 2 1-et teszünk. Ekkor cosnx = 1 minden n = 1, 2,... esetén, és ezért 2 π 4 π 1 4n 2 1 =. 1 4n 2 1 = = 1 2. 4. PÉLDA Bizonyítsuk be, hogy ha egy f(x) darabonként sima folytonos függvény teljesíti az f(x π) = f(x) feltételt minden x esetén (azaz π-periodikus) , akkor a 2n 1 = b 2n 1 = minden n 1-re, és fordítva, ha a 2n 1 = b 2n 1 = minden n 1-re, akkor f(x) π-periodikus. Megoldás. Legyen az f(x) függvény π-periodikus. Számítsuk ki a Fourier-együtthatóit a 2n 1 és b 2n 1: = 1 π (a 2n 1 = 1 π f(x) cos(2n 1)xdx + f(x) cos(2n 1)xdx =) f(x) ) cos (2n 1)xdx. Az első integrálban végrehajtjuk az x = t π változó változását: f(x) cos(2n 1)xdx = f(t π) cos(2n 1)(t + π) dt. 16

17 Felhasználva azt a tényt, hogy cos(2n 1)(t + π) = cos(2n 1)t és f(t π) = f(t), a következőt kapjuk: a 2n 1 = 1 π (f(x) cos( 2n 1)x dx+) f(x) cos(2n 1)x dx =. Hasonlóképpen bebizonyosodik, hogy b 2n 1 =. Fordítva, legyen a 2n 1 = b 2n 1 =. Mivel az f(x) függvény folytonos, ezért egy függvénynek egy pontban annak Fourier-sorával való ábrázolhatóságára vonatkozó tétel alapján akkor f(x π) = f(x) = (a 2n cos 2nx + b 2n sin 2nx). (a2n cos 2n(x π) + b 2n sin 2n(x π)) = (a2n cos 2nx + b 2n sin 2nx) = f(x), ami azt jelenti, hogy f(x) π-periodikus függvény. 5. PÉLDA Bizonyítsuk be, hogy ha egy f(x) darabonkénti sima függvény teljesíti az f(x) = f(x) feltételt minden x-re, akkor a = és a 2n = b 2n = minden n 1-re, és fordítva , ha a = a 2n = b 2n =, akkor f(x π) = f(x) minden x esetén. Megoldás. Az f(x) függvény teljesítse az f(x π) = f(x) feltételt. Számítsuk ki a Fourier-együtthatóit: 17

18 = 1 π (a n = 1 π f(x) cos nxdx + f(x) cosnxdx =) f(x) cosnxdx. Az első integrálban végrehajtjuk az x = t π változó változását. Ekkor f(x) cosnxdx = f(t π) cosn(t π) dt. Felhasználva azt a tényt, hogy cos n(t π) = (1) n költség és f(t π) = f(t), megkapjuk: a n = 1 π ((1) n) f(t) költség dt = ha n páros, = 2 π f(t) cos nt dt, ha n páratlan. π Hasonlóképpen bebizonyosodik, hogy b 2n =. Fordítva, legyen a = a 2n = b 2n =, minden n 1-re. Mivel az f(x) függvény folytonos, ezért a függvény egy pontban való ábrázolhatóságára vonatkozó tétel alapján annak Fourier-sora kielégíti az f() egyenlőséget. x) = (a 2n 1 cos ( 2n 1)x + b 2n 1 sin (2n 1)x). tizennyolc

19 Ekkor = f(x π) = = = f(x). 6. PÉLDA Vizsgáljuk meg, hogyan lehet kiterjeszteni a [, π/2] intervallumra integrálható f(x) függvényt a [, π] intervallumra úgy, hogy Fourier-sorának alakja: a 2n 1 cos(2n 1) x. (1) Megoldás. Legyen a függvény grafikonja az ábrán látható formában. 14. Mivel az (1) sorozatban a = a 2n = b 2n = minden n-re, az 5. példából következik, hogy az f(x) függvénynek teljesítenie kell az f(x π) = f(x) egyenlőséget minden x esetén. Ez a megfigyelés lehetőséget ad az f(x) függvény kiterjesztésére a [, /2] intervallumra: f(x) = f(x+π), ábra. 15. Abból, hogy az (1) sorozat csak koszinuszokat tartalmaz, arra a következtetésre jutunk, hogy az f (x) folytonos függvénynek párosnak kell lennie (vagyis a grafikonjának szimmetrikusnak kell lennie az Oy tengelyre), Fig.

20 Fig. 14. Az f(x) függvény grafikonja 15. Az f(x) függvény [, /2] 2 intervallumon való folytatásának grafikonja

21 Tehát a kívánt függvény alakja az ábrán látható. 16. ábra. 16. Az f(x) függvény [, π] intervallumon való folytatásának grafikonja Összegezve azt a következtetést vonjuk le, hogy a függvényt a következőképpen kell folytatni: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), azaz [π/2, π] intervallum, az f(x) függvény grafikonja a (π/2,) pontra centrálisan szimmetrikus, a [, π] intervallumon pedig a grafikonja szimmetrikus az Oy tengelyre. 21

22 A PÉLDÁK ÁLTALÁNOSÍTÁSA 3 6 Legyen l >. Tekintsünk két feltételt: a) f(l x) = f(x); b) f(l + x) = f(x), x [, l/2]. TÓL TŐL geometriai pont Szempontból az (a) feltétel azt jelenti, hogy az f(x) függvény grafikonja szimmetrikus az x = l/2 függőleges egyenesre, a (b) feltétel pedig azt, hogy az f(x) gráf középpontosan szimmetrikus a pont (l/2;) az x tengelyen. Ekkor a következő állítások igazak: 1) ha az f(x) függvény páros és az (a) feltétel teljesül, akkor b 1 = b 2 = b 3 =... =, a 1 = a 3 = a 5 = ... = ; 2) ha az f(x) függvény páros és a (b) feltétel teljesül, akkor b 1 = b 2 = b 3 =... =, a = a 2 = a 4 =... = ; 3) ha az f(x) függvény páratlan és az (a) feltétel teljesül, akkor a = a 1 = a 2 =... =, b 2 = b 4 = b 6 =... = ; 4) ha az f(x) függvény páratlan és a (b) feltétel teljesül, akkor a = a 1 = a 2 =... =, b 1 = b 3 = b 5 =... =. PROBLÉMÁK Az 1 7. feladatban rajzoljunk grafikonokat, és keressük meg a függvények Fourier-sorait (feltételezve, hogy periódusuk 2π: ha< x <, 1. f(x) = 1, если < x < π. 1, если < x < /2, 2. f(x) =, если /2 < x < π/2, 1, если π/2 < x < π. 3. f(x) = x 2 (< x < π). 4. f(x) = x 3 (< x < π). { π/2 + x, если < x <, 5. f(x) = π/2 x, если < x < π. 22

23 ( 1 ha /2< x < π/2, 6. f(x) = 1, если π/2 < x < 3π/2. {, если < x <, 7. f(x) = sin x, если < x < π. 8. Как следует продолжить интегрируемую на промежутке [, π/2] функцию f(x) на промежуток [, π], чтобы ее ряд Фурье имел вид: b 2n 1 sin (2n 1)x? Ответы sin(2n 1)x sin(2n + 1)x. π 2n 1 π 2n + 1 n= 3. 1 (1) n () 12 3 π2 + 4 cosnx. 4. (1) n n 2 n 2π2 sin nx. 3 n 5. 4 cos(2n + 1)x π (2n + 1) (1) n cos(2n + 1)x. π 2n + 1 n= n= 7. 1 π sin x 2 cos 2nx. 8. Функцию следует продолжить следующим образом: f(x) = f(x), f(π x) = f(x), π 4n 2 1 то есть на промежутке [, π], график функции f(x) будет симметричен относительно вертикальной прямой x = π/2, на промежутке [, π] ее график центрально симметричен относительно точки (,). 23

24 2. A [, π] intervallumban megadott függvény kibővítése csak szinuszokkal vagy csak koszinuszokkal Legyen adott egy f függvény a [, π] intervallumban. Ahhoz, hogy ebben az intervallumban Fourier-sorrá bővítsük, először tetszőleges módon kiterjesztjük f-et a [, π] intervallumra, majd az Euler Fourier-képleteket használjuk. A függvény folytatásának tetszőlegessége oda vezet, hogy ugyanazon f: [, π] R függvényre különböző Fourier-sorokat kaphatunk. De fel lehet használni ezt az önkényességet úgy, hogy csak szinuszokban vagy csak koszinuszokban kapjunk bővítést: az első esetben elegendő f-et páratlan módon, a másodikban pedig páros módon folytatni. Megoldási algoritmus 1. Folytassa a függvényt páratlan (páros) módon a (,) ponton, majd periodikusan 2π periódussal folytassa a függvényt a teljes tengelyre. 2. Számítsa ki a Fourier-együtthatókat! 3. Állítsa össze az f(x) függvény Fourier-sorát! 4. Ellenőrizze a sorozatok konvergenciájának feltételeit! 5. Adja meg azt a függvényt, amelyhez ez a sorozat konvergál. 7. PÉLDA Bontsa ki az f(x) = cosx függvényt,< x < π, в ряд Фурье только по синусам. Решение. Продолжим функцию нечетным образом на (,) (т. е. так, чтобы равенство f(x) = f(x) выполнялось для всех x (, π)), а затем периодически с периодом 2π на всю ось. Получим функцию f (x), график которой приведен на рис

25 Fig. 17. A folytatási függvény grafikonja Nyilvánvaló, hogy az f (x) függvény darabonként sima. Számítsuk ki a Fourier-együtthatókat: a n = minden n-re, mert az f (x) függvény páratlan. Ha n 1, akkor b n = 2 π f(x) sin πnxdx = 2 π cosx sin nxdx = = 2 π dx = = 2 π cos (n + 1) x cos (n 1) x + = π n + 1 n 1 = 1 (1) n (1)n 1 1 = π n + 1 n 1 = 1, ha n = 2 k + 1, (1) n+1 (n 1) + (n + 1) = π ( n + 1)(n 1) 2 2n, ha n = 2k. π n 2 1 Az előző számításokban n = 1 esetén a nevező eltűnik, így a b 1 együttható közvetlenül számítható.

26 Lényegében: b 1 = 2 π cosx sin xdx =. Állítsa össze az f (x) függvény Fourier-sorát: f (x) 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx. Mivel az f (x) függvény darabonként sima, ezért a pontonkénti konvergenciatétel alapján az f (x) függvény Fourier-sora a cosx összeghez konvergál, ha π< x <, S(x) =, если x =, x = ±π, cosx, если < x < π. В результате функция f(x) = cosx, заданная на промежутке (, π), выражена через синусы: cosx = 8 π k=1 k 4k 2 1 sin 2kx, x (, π). Рис демонстрируют постепенное приближение частичных сумм S 1 (x), S 2 (x), S 3 (x) к разрывной функции f (x). 26

27 Fig. 18. ábra Az f (x) függvény grafikonja az S 1 (x) részösszeg rárakódásával. 19. Az f(x) függvény grafikonja az S 2 (x) részösszeg grafikonjával rárakva 27

28 Fig. 2. ábra. Az f (x) függvény grafikonja az S 3 (x) részösszeg grafikonjával rárakva. A 21. ábra az f(x) függvény és S 99(x) részösszegének grafikonjait mutatja. Rizs. 21. Az f (x) függvény grafikonja az S 99 (x) 28 részösszeg grafikonjával rárakva

29 8. PÉLDA Az f(x) = e ax, a >, x [, π] függvényt Fourier-sorban csak koszinuszokban bontsuk ki. Megoldás. Folytatjuk a függvényt egyenletesen (,)-ig (azaz úgy, hogy az f(x) = f(x) egyenlőség minden x-re (, π) teljesüljön), majd periodikusan 2π periódussal a teljes valós értékre. tengely. Megkapjuk az f (x) függvényt, melynek grafikonja a 2. ábrán látható. 22. f (x) függvény a pontokban 22. Az f (x) x = kπ folytonos függvény grafikonja, k egész szám, törésekkel rendelkezik. Számítsuk ki a Fourier-együtthatókat: b n =, mivel f (x) páros. Alkatrészenként integrálva 29-et kapunk

30 a n = 2 π a = 2 π = 2 cosnxd(e ax) = 2 πa e ax dx = 2 π a (eaπ 1), f(x) cos πnxdx = 2 π π πa eax cosnx = 2 ) + 2n πa 2 π e ax cos nxdx = + 2n e ax sin nxdx = πa sin nxde ax = = 2 π a (eaπ cos n π 1) + 2n π sin nx π a 2nxxs nx π a 2eax a 2 π a (eaπ cos n π 1) n2 a a n. 2 Ezért a n = 2a e aπ cos n π 1. π a 2 + n 2 Mivel f (x) folytonos, a pontszerű konvergenciatétel szerint Fourier-sora f (x)-hez konvergál. Ezért minden x [, π] esetén f(x) = 1 π a (eaπ 1)+ 2a π k=1 e aπ (1) k 1 a 2 + k 2 coskx (x π). Az ábrák a Fourier-sor parciális összegeinek fokozatos közelítését mutatják egy adott nem folytonos függvényhez. 3

31 Fig. 23. f (x) és S (x) függvények grafikonjai 24. Az f (x) és S 1 (x) függvények grafikonjai 25. Az f (x) és S 2 (x) függvények grafikonjai 26. Az f (x) és S 3 (x) függvények grafikonjai 31

32 Fig. 27. Az f (x) és S 4 (x) függvények grafikonjai 28. Az f (x) és S 99 (x) függvények grafikonjai 9. FELADAT. Bontsa ki az f (x) = cos x, x π függvényt egy Fourier-sorban csak koszinuszokban! 1. Bontsa ki az f (x) \u003d e ax, a >, x π függvényt egy Fourier-sorban csak szinuszokkal. 11. Bontsa ki az f (x) \u003d x 2, x π függvényt egy Fourier-sorban csak szinuszokban. 12. Bontsa ki az f (x) \u003d sin ax, x π függvényt egy Fourier-sorban csak koszinuszokkal. 13. Bontsa ki az f (x) \u003d x sin x, x π függvényt egy Fourier-sorban csak szinuszokban. A válaszok 9. cosx = cosx. 1. e ax = 2 [ 1 (1) k e aπ] k sin kx. π a 2 + k2 k=1 11. x 2 2 [ π 2 (1) n 1 π n + 2 ] n 3 ((1)n 1) sin nx. 32

33 12. Ha a nem egész szám, akkor sin ax = 1 cosaπ (1 + +2a cos 2nx ) + π a 2 (2n) 2 +2a 1 + cosaπ cos(2n 1)x π a 2 (2n 1) 2; ha a = 2m páros szám, akkor sin 2mx = 8m cos(2n 1)x π (2m) 2 (2n 1) 2; ha a = 2m 1 pozitív páratlan szám, akkor sin(2m 1)x = 2 ( cos 2nx ) 1 + 2(2m 1). π (2m 1) 2 (2n) π 16 n sin x sin 2nx. 2 π (4n 2 1) 2 3. Tetszőleges periódusú függvény Fourier-sorai Tegyük fel, hogy az f(x) függvény az [ l, l], l > intervallumban van definiálva. Az x = ly, y π behelyettesítésével a π [, π] intervallumban definiált g(y) = f(ly/π) függvényt kapjuk. Ez a g(y) függvény a (formális) Fourier-sornak () ly f = g(y) a π 2 + (a n cosny + b n sin ny) felel meg, amelynek együtthatóit az Euler Fourier-képletek határozzák meg: a n = 1 π g(y) cosny dy = 1 π f (ly π) cosny dy, n =, 1, 2,..., 33

34 b n = 1 π g(y) sinny dy = 1 π f () ly sin ny dy, n = 1, 2,.... π l, az f(x) függvényre egy kissé módosított trigonometrikus sorozatot kapunk: ahol f(x) a 2 + a n = 1 l b n = 1 l l l l l (a n cos πnx l f(x) cos πnx l f(x) sin πnx l + b n sin πnx), (11) l dx, n2 =, ,..., (12) dx, n = 1, 2,.... (13) A (11) (13) képletek azt mondják, hogy egy tetszőleges periódusú függvény Fourier-sorában határozzák meg a kiterjesztést. 9. PÉLDA Keresse meg az (l, l) intervallumban megadott függvény Fourier-sorát az ( A ha l) kifejezéssel< x, f(x) = B, если < x < l, считая, что она периодична с периодом 2l. Решение. Продолжим функцию периодически, с периодом 2l, на всю ось. Получим функцию f (x), кусочно-постоянную в промежутках (l + 2kl, l + 2kl), и претерпевающую разрывы первого рода в точках x = lk, k целое число. Ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (12) и (13): 34

35 a = 1 l l f(x) dx = 1 l A dx + 1 l l B dx = A + B, l l a n = 1 l l l f(x) cos πnx l dx = = 1 l = 1 l l A cos π + B π n l b n = 1 l dx + 1 l l B cos πnx l sin πn = ha n, l l A sin πnx l f(x) sin πnx l dx + 1 l l dx = B sin πnx l = B A (1). πn Állítsa össze az f (x) függvény Fourier-sorát: f(x) A + B π (B A Mivel cosπn = (1) n, akkor n dx = dx = (1 cosπn) sin πnx). l n = 2k esetén b n = b 2k =, n = 2k 1 esetén b n = b 2k 1 = 35 2(B A) π(2k 1).

36 Innen f(x) A + B (B A) π (sin πx + 1 3πx sin + 1 5πx sin +... l 3 l 5 l A pontszerű konvergenciatétel szerint az f(x) függvény Fourier-sora konvergál az A összeghez, ha l< x, S(x) = A + B, если x =, x = ±l, 2 B, если < x < l. Придавая параметрам l, A, B конкретные значения получим разложения в ряд Фурье различных функций. Пусть l = π, A =, B = 3π. На рис. 29 приведены графики первых пяти членов ряда, функции f (x) и частичной суммы S 7 (x) = a 2 + b 1 sin x b 7 sin 7x. Величина a является средним значением функции на промежутке. Обратим внимание на то, что с возрастанием ча- 2 стоты гармоники ее амплитуда уменьшается. Для наглядности графики трех высших гармоник сдвинуты по вертикали. На рис. 3 приведен график функции f(x) и частичной суммы S 99 (x) = a 2 + b 1 sin x b 99 sin 99x. Для наглядности на рис. 31 приведен тот же график в другом масштабе. Последние два графика иллюстрируют явление Гиббса. 36).

37 Fig. 29. Az f (x) függvény grafikonja az S (x) = a 2 és S 1 (x) = b 1 sinx felharmonikusok egymásra helyezett grafikonjaival. Az egyértelműség kedvéért a három magasabb harmonikus S 3 (x) \u003d b 3 sin 3πx, S l 5 (x) \u003d b 5 sin 5πx l és S 7 (x) \u003d b 7 sin 7πx grafikonjai függőlegesen el vannak tolva. fel l 37

38 Fig. 3. ábra Az f(x) függvény grafikonja az S 99 (x) részösszeg grafikonjával rárakva. 31. ábra töredéke. 3 egy másik skálán 38

39 PROBLÉMÁK Problémák esetén adott időközönként bővítse ki a Fourier-sorokban megadott függvényeket. 14. f(x) = x 1, (1, 1). 15. f(x) = ch2x, (2, 2] f(x) = x (1 x), (1, 1]. 17. f(x) = cos π x, [ 1, 1] f(x) ) = sin π x, (1, 1).( 2 1 ha 1< x < 1, 19. f(x) = 2l = 4., если 1 < x < 3; x, если x 1, 2. f(x) = 1, если 1 < x < 2, 2l = 3. { 3 x, если 2 x < 3;, если ωx, 21. f(x) = 2l = 2π/ω. sin ωx, если ωx π; Разложить в ряды Фурье: а) только по косинусам; б) только по синусам указанные функции в заданных промежутках (, l) { 22. f(x) = { 23. f(x) = ax, если < x < l/2, a(l x), если l/2 < x < l. 1, если < x 1, 2 x, если 1 x 2. Ответы 14. f(x) = 4 cos(2n 1)πx. π 2 (2n 1) f(x) = sh sh4 (1) n nπx cos 16 + π 2 n f(x) = cos 2nπx. π 2 n f(x) = 2 π + 8 π (1) n n 1 4n 2 cosnπx. 39

40 18. f(x) = 8 (1) n n sin nπx. π 1 4n (1) n 2n + 1 cos πx. π 2n πn 2πnx π 2 sin2 cos n π sin ωx 2 cos 2nωx π 4n 2 1. (l 22. a) f(x) = al 4 2) 1 (4n 2)πx cos, π 1) 2 (2n) l b) f(x) = 4al (1) n 1 (2n 1) πx sin. π 2 (2n 1) 2 l 23. a) f(x) = (cos π π 2 2 x 2 2 cos 2π 2 2 x cos 3π 2 2 x cos 5π), 2 2 x... b) f( x) = 4 (sin π π 2 2 x 1 3 sin 3π)+ 2 2 x (sin π π 2 x cos 2π) 2 x A Fourier-sor összetett formája Felbontás f(x) = c n e inx, ahol c n = 1 2π f (x)e inx dx, n = ±1, ±2,..., a Fourier-sor összetett alakjának nevezzük. A függvény összetett Fourier-sorrá bővül, ugyanolyan feltételek mellett, mint amelyek mellett valódi Fourier-sorrá bővül. négy

41 1. PÉLDA Keresse meg a Fourier-sort az f(x) = e ax képlettel megadott függvény komplex alakjában a [, π intervallumban, ahol a valós szám! Megoldás. Számítsuk ki az együtthatókat: = c n = 1 2π f(x)e inx dx = 1 2π e (a in)x dx = 1 ((1) n e aπ (1) n e aπ) = (1)n sh aπ. 2π(a in) π(a in) Az f függvény komplex Fourier-sorának alakja f(x) sh aπ π n= (1) n a in einx. Ellenőrizzük, hogy az f(x) függvény darabonként sima: a (, π) intervallumban folytonosan differenciálható, és az x = ±π pontokban véges határok (5), (6) lim h + ea( +h) = e aπ, lim h + ea(π h) = e aπ, e a(+h) e a(+) lim h + h = ae aπ e a(π h) e a(π), lim h + h = ae aπ. Ezért az f(x) függvény egy Fourier-sorral reprezentálható sh aπ π n= (1) n a in einx, amely konvergál az összeghez: ( e S(x) = ax, ha π< x < π, ch a, если x = ±π. 41

42 11. PÉLDA Keresse meg a Fourier-sort az f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a2 képlettel megadott függvény komplex és valós alakjában, ahol a< 1, a R. Решение. Функция f(x) является четной, поэтому для всех n b n =, а a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 (1 a2) π cos nxdx 1 2a cosx + a 2. Не будем вычислять такой сложный интеграл, а применим следующий прием: 1. используя формулы Эйлера sin x = eix e ix 2i = z z 1, cosx = eix + e ix 2i 2 = z + z 1, 2 где z = e ix, преобразуем f(x) к рациональной функции комплексной переменной z; 2. полученную рациональную функцию разложим на простейшие дроби; 3. разложим простейшую дробь по формуле геометрической прогрессии; 4. упростим полученную формулу. Итак, по формулам Эйлера получаем = f(x) = 1 a 2 1 a(z + z 1) + a 2 = (a 2 1)z (z a)(z a 1) = a z a az. (14) 42

43 Emlékezzünk vissza, hogy egy végtelen geometriai haladás összege q (q) nevezővel< 1) вычисляется по формуле: + n= q n = 1 1 q. Эта формула верна как для вещественных, так и для комплексных чисел. Поскольку az = a < 1 и a/z = a < 1, то az = + a n z n = a n e inx, a z a = a z 1 1 a/z = a z n= + n= a n z = + n n= n= a n+1 z = + a n+1 e i(n+1)x. n+1 После замены переменной (n + 1) = k, < k < 1, получим: 1 a z a = a k e ikx. Следовательно, f(x) + n= k= c n e inx, где c n = n= { a n, если n, a n, если n <, то есть c n = a n. Поскольку функция f(x) непрерывна, то в силу теоремы о поточечной сходимости имеет место равенство: f(x) = + n= a n e inx. Тем самым мы разложили функцию f(x) в ряд Фурье в комплексной форме. 43

44 Most nézzük meg a Fourier-sort valós formában. Ehhez az n és n számokkal rendelkező tagokat csoportosítjuk n-re: a n e inx + a n e inx = 2a neinx + e inx Mivel c = 1, akkor 2 = 2a n cos nx. f(x) = 1 a 2 1 2a cosx + a = a n cosnx. 2 Ez egy Fourier-sor az f(x) függvény valós alakjában. Így egyetlen integrál kiszámítása nélkül is megtaláltuk a függvény Fourier-sorát. Ennek során a cos nxdx 1 2a cosx + a = 2 π an 2 1 a2 paramétertől függő kemény integrált számoltunk ki, a< 1. (15) ПРИМЕР 12. Найдем ряд Фурье в комплексной и вещественной форме функции, заданной формулой a sin x f(x) = 1 2a cosx + a2, a < 1, a R. Решение. Функция f(x) является нечетной, поэтому для всех n a n = и b n = 2 π f(x) sin nxdx = 2a π sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2. Чтобы записать ряд Фурье нужно вычислить сложные интегралы или воспользоваться приемом, описанным выше. Поступим вторым способом: 44

45 a(z z 1) f(x) = 2i (1 a(z z 1) + a 2) = i 2 + i (a + a 1) z 2 2 (z a) (z a 1) = = i 2 + i () a 2 z a + a 1. z a 1 Az egyszerű törtek mindegyikét kibővítjük a geometriai progressziós képlet szerint: + a z a = a 1 z 1 a = a a n z z n, n= z a 1 z a = az = a n z n. n= Ez azért lehetséges, mert az = a/z = a< 1. Значит + ia n /2, если n <, f(x) c n e inx, где c n =, если n =, n= ia n /2, если n >, vagy rövidebben c n = 1 2i a n sgnn. Így a Fourier-sor összetett formában található. Az n és n számokkal csoportosítva a függvény Fourier-sorát valós formában kapjuk: = f(x) = + a sin x 1 2a cosx + a + 2 (1 2i an e inx 1 2i an e inx n= +) = c n e inx = a n sin nx. Ismét a következő komplex integrált sikerült kiszámítanunk: sin x sin nxdx 1 2a cosx + a 2 = π an 1. (16) 45

46 24. FELADAT. A (15) segítségével számítsa ki a cos nxdx 1 2a cosx + a 2 integrált a valós a, a > A (16) segítségével számítsa ki a sin x sin nxdx integrált valós a, a > a cosx + a2 integrált feladatokban. , keresse meg a Fourier sorozatot komplex formában a függvényekhez. 26. f(x) = sgn x, π< x < π. 27. f(x) = ln(1 2a cosx + a 2), a < 1. 1 a cosx 28. f(x) = 1 2a cosx + a2, a < Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], вещественнозначна, если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является четной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n = ±1, ±2, Докажите, что функция f, определенная в промежутке [, π], является нечетной (т. е. удовлетворяет соотношению f(x) = f(x)), если и только если коэффициенты c n ее комплексного ряда Фурье связаны соотношениями c n = c n, n =, ±1, ±2,.... Ответы 1 2π 24. a n a π a n i + e 2inx, где подразумевается, что слагаемое, соответствующее n =, пропущено. π n n= a n n cosnx. 28. a n cosnx. n= 46

47 5. Ljapunov-egyenlőség tétele (Ljapunov-egyenlőség). Legyen egy f: [, π] R függvény olyan, hogy f 2 (x) dx< +, и пусть a n, b n ее коэффициенты Фурье. Тогда справедливо равенство, a (a 2 n + b2 n) = 1 π называемое равенством Ляпунова. f 2 (x) dx, ПРИМЕР 13. Напишем равенство Ляпунова для функции { 1, если x < a, f(x) =, если a < x < π и найдем с его помощью суммы числовых рядов + sin 2 na n 2 и + Решение. Очевидно, 1 (2n 1) 2. 1 π f 2 (x) dx = 1 π a a dx = 2a π. Так как f(x) четная функция, то для всех n имеем b n =, a = 2 π f(x) dx = 2 π a dx = 2a π, 47

48 a n = 2 π f(x) cosnxdx = 2 π a cos nxdx = 2 sin na πn. Ezért az f(x) függvény Ljapunov-egyenlősége a következő alakot ölti: 2 a 2 π + 4 sin 2 na = 2a 2 π 2 n 2 π. A π utolsó egyenlőségéből megtaláljuk sin 2 na n 2 = a(π a) 2 Feltételezve, hogy a = π 2, akkor sin2 na = 1 n = 2k 1 esetén sin 2 na = n = 2k esetén. Ezért k=1 1 (2k 1) 2 = π2 8. 14. PÉLDA Írjuk fel az f(x) = x cosx, x [, π] függvényre a Ljapunov-egyenlőséget, és keressük meg vele a szám összegét. sorozat (4n 2 + 1) 2 (4n 2 1) 4. 1 π Megoldás. A közvetlen számítások a következőt adják: = π π f 2 (x) dx = 1 π x 2 cos 2 xdx = 1 π x sin 2xdx = π π x cos x = π x 21 + cos 2x dx = 2 π 1 4π cos 2xdx =

49 Mivel f(x) páros függvény, akkor minden n-re b n =, a n = 2 π = 1 π 1 = π(n + 1) = f(x) cosnxdx = 2 π 1 cos(n + 1) )x π (n + 1) 2 x cosxcosnxdx = x (cos(n + 1)x + cos(n 1)x) dx = 1 π sin(n + 1)xdx sin(n 1)xdx = π(n 1) π π 1 + cos(n 1)x = π(n 1) 2 1 (= (1) (n+1) 1) 1 (+ (1) (n+1) 1) = π(n + 1) 2 π(n 1) 2 () = (1) (n+1) 1 1 π (n + 1) + 1 = 2 (n 1) 2 = 2 (1) (n+1) 1 n k π (n 2 1) = π (4k 2 1) 2, ha n = 2k, 2, ha n = 2k + 1. Az a 1 együtthatót külön kell kiszámítani, mivel az n = 1 általános képletben a tört nevezője eltűnik . = 1 π a 1 = 2 π f(x) cosxdx = 2 π x(1 + cos 2x)dx = π 2 1 2π 49 x cos 2 xdx = sin 2xdx = π 2.

50 Így az f(x) függvény Ljapunov-egyenlőségének alakja: 8 π + π (4n 2 + 1) 2 π 2 (4n 2 1) = π 2 1) = π π 32. FELADAT. Írja fel a Ljapunov-egyenlőséget az ( x f(x) = 2 πx függvényre, ha x< π, x 2 πx, если π < x. 33. Напишите равенства Ляпунова для функций f(x) = cos ax и g(x) = sin ax, x [, π]. 34. Используя результат предыдущей задачи и предполагая, что a не является целым числом, выведите следующие классические разложения функций πctgaπ и (π/ sin aπ) 2 по рациональным функциям: πctgaπ = 1 a + + 2a a 2 n 2, (π) = sin aπ (a n) 2. n= 35. Выведите комплексную форму обобщенного равенства Ляпунова. 36. Покажите, что комплексная форма равенства Ляпунова справедлива не только для вещественнозначных функций, но и для комплекснозначных функций. 5

51 π (2n + 1) = π sin 2απ 2απ = 2sin2 απ α 2 π 2 Válaszok + 4 sin2 απ π 2 α 2 (α 2 n 2) 2; sin 2απ 1 2απ = απ n 2 4sin2 π 2 (α 2 n 2) 2. 1 π 35. f(x)g(x) dx= c n d n, ahol c n az f(n) 2π Fourier-együtthatója, és a g(x) Fourier-együttható függvény. 6. Fourier-sorok differenciálása Legyen f: R R folytonosan differenciálható 2π-periodikus függvény. Fourier-sorának alakja: f(x) = a 2 + (a n cos nx + b n sin nx). Ennek a függvénynek az f (x) deriváltja egy folytonos és 2π-periodikus függvény lesz, amelyre formális Fourier-sor írható: f (x) a 2 + (a n cos nx + b n sin nx), ahol a, a n , b n, n = 1 , 2,... Az f (x) függvény Fourier-együtthatói. 51

52 Tétel (a Fourier-sorok tagonkénti differenciálásáról). A fenti feltételezések szerint az a =, a n = nb n, b n = na n, n 1 egyenlőségek igazak 15. PÉLDA Legyen egy f(x) darabonként sima függvény folytonos a [, π] intervallumban. Bizonyítsuk be, hogy ha az f(x)dx = feltétel teljesül, akkor teljesül a 2 dx 2 dx egyenlőtlenség, amelyet Szteklov-egyenlőtlenségnek nevezünk, és ellenőrizzük, hogy az egyenlőség csak az f(x) = A alakú függvényekre valósul meg. cosx. Más szóval, a Steklov-egyenlőtlenség olyan feltételeket ad, amelyek mellett a derivált kicsinysége (effektív értékben) a függvény kicsinységét jelenti (effektív értékben). Megoldás. Bővítsük ki egyenletesen az f(x) függvényt a [, ] intervallumra. Jelölje a kiterjesztett függvényt ugyanazzal az f(x) szimbólummal. Ekkor a folytonos függvény folyamatos és darabonként sima lesz a [, π] intervallumon. Mivel az f(x) függvény folytonos, ezért f 2 (x) folytonos az intervallumon és 2 dx< +, следовательно, можно применить теорему Ляпунова, согласно которой имеет место равенство 1 π 2 dx = a () a 2 n + b 2 n. 52

53 Mivel a folyamatos függvény páros, akkor b n =, a = feltétel szerint. Következésképpen a Ljapunov-egyenlőség 1 π 2 dx = a 2 π n alakot ölt. (17) Győződjön meg arról, hogy f (x) kielégíti a Fourier-sor tagonkénti differenciálására vonatkozó tétel következtetését, vagyis azt, hogy a =, a n = nb n, b n = na n, n 1. Hagyja, hogy az f (x) derivált töréseket szenvedjen a [, π] intervallum x 1, x 2,..., x N pontjaiban. Jelölje x =, x N+1 = π. Osszuk fel a [, π] integrációs intervallumot N +1 intervallumra (x, x 1),..., (x N, x N+1), amelyek mindegyikén f(x) folytonosan differenciálható. Ekkor az integrál additív tulajdonságát felhasználva, majd részenként integrálva kapjuk: b n = 1 π = 1 π = 1 π f (x) sin nxdx = 1 π N f(x) sin nx j= N f(x) ) sin nx j= x j+1 x j x j+1 x j n n π N j= x j+1 x j x j+1 x j f (x) sin nxdx = f(x) cosnxdx = f(x) cosnxdx = = 1 π [( f(x 1) sin nx 1 f(x) sin nx) + + (f(x 2) sinnx 2 f(x 1) sin nx 1)

54 + (f(x N+1) sin nx N+1 f(x N) sin nx N)] na n = = 1 π na n = = 1 π na n = na n. x j+1 a = 1 f (x) dx = 1 N f (x) dx = π π j= x j = 1 N x j+1 f(x) π = 1 (f(π) f()) = . x j π j= Hasonlóképpen kapjuk, hogy a n = nb n. Megmutattuk, hogy a Fourier-sorok tagonkénti differenciálására vonatkozó tétel egy folytonos darabonként sima 2π-periodikus függvényre, amelynek [, π] intervallumbeli deriváltja az első típusú diszkontinuitásokon megy keresztül, igaz. Tehát f (x) a 2 + (a n cosnx + b n sin nx) = (na n)sin nx, mivel a =, a n = nb n =, b n = na n, n = 1, 2,... Mert 2dx< +, то по равенству Ляпунова 1 π 2 dx = 54 n 2 a 2 n. (18)

55 Mivel a (18)-beli sorozat minden tagja nagyobb vagy egyenlő a (17)-beli sorozat megfelelő tagjával, akkor 2 dx 2 dx. Emlékeztetve arra, hogy f(x) az eredeti függvény egyenletes folytatása, van 2 dx 2 dx. Ami a Szteklov-egyenlőséget bizonyítja. Vizsgáljuk meg most, hogy mely függvényekre érvényesül az egyenlőség Szteklov-egyenlőtlenségében. Ha legalább egy n 2 esetén az a n együttható nullától eltérő, akkor a 2 n< na 2 n. Следовательно, равенство a 2 n = n 2 a 2 n возможно только если a n = для n 2. При этом a 1 = A может быть произвольным. Значит в неравенстве Стеклова равенство достигается только на функциях вида f(x) = A cosx. Отметим, что условие πa = f(x)dx = (19) существенно для выполнения неравенства Стеклова, ведь если условие (19) нарушено, то неравенство примет вид: a a 2 n n 2 a 2 n, а это не может быть верно при произвольном a. 55

56 FELADATOK 37. Legyen egy f(x) darabonkénti sima függvény folytonos a [, π] intervallumon. Bizonyítsuk be, hogy az f() = f(π) = feltétel mellett teljesül a 2 dx 2 dx egyenlőtlenség, amelyet Szteklov-egyenlőtlenségnek is neveznek, és győződjön meg arról, hogy a benne lévő egyenlőség csak az f(x) = B sin x alakú függvényekre áll fenn. . 38. Legyen egy f függvény folytonos a [, π] intervallumban, és legyen benne (talán csak véges számú pont kivételével) négyzetesen integrálható f(x) deriváltja. Bizonyítsuk be, hogy ha az f() = f(π) és f(x) dx = feltételek teljesülnek, akkor a 2 dx 2 dx egyenlőtlenség, amelyet Wirtinger-egyenlőtlenségnek nevezünk, teljesül, és a benne lévő egyenlőség csak a alak f(x ) = A cosx + B sinx. 56

57 7. Fourier-sorok alkalmazása parciális differenciálegyenletek megoldására Valós tárgy (természeti jelenségek, termelési folyamat, vezérlőrendszer stb.) vizsgálatakor két tényező bizonyul jelentősnek: a vizsgált objektumról felhalmozott tudás szintje, ill. a matematikai apparátus fejlettségi foka. A jelenlegi szakaszában tudományos kutatások során a következő láncot dolgozták ki: jelenség fizikai modell matematikai modell. A probléma fizikai megfogalmazása (modellje) a következő: azonosításra kerülnek a folyamat kialakulásának feltételei és az azt befolyásoló főbb tényezők. A matematikai megfogalmazás (modell) abból áll, hogy a fizikai megfogalmazásban választott tényezőket és feltételeket egyenletrendszer (algebrai, differenciál, integrál stb.) formájában írja le. Egy problémát akkor mondunk jól feltettnek, ha egy adott funkcionális térben a probléma megoldása létezik, egyedileg és folyamatosan függ a kezdeti és peremfeltételektől. Matematikai modell nem azonos a vizsgált tárggyal, de hozzávetőleges leírása A húr szabad kis keresztirányú rezgései egyenletének levezetése Követjük a tankönyvet. Legyen rögzítve a húr vége, maga a húr pedig legyen feszes. Ha a húr kikerül az egyensúlyból (például húzással vagy ütéssel), akkor a húr elindul 57

58 habozzon. Feltételezzük, hogy a húr minden pontja merőlegesen mozog az egyensúlyi helyzetére (keresztirányú rezgések), és a húr minden pillanatban ugyanabban a síkban fekszik. Vegyünk egy xou derékszögű koordinátarendszert ezen a síkon. Ekkor, ha a kezdeti t = időpontban a húr az Ox tengely mentén helyezkedett el, akkor u a húr egyensúlyi helyzetétől való eltérését jelenti, vagyis az x abszcissza húrpont helyzetét tetszőleges t időpontban. megfelel az u(x, t) függvény értékének. A t minden rögzített értékére az u(x, t) függvény grafikonja ábrázolja a rezgő húr alakját a t időpontban (32. ábra). Állandó x érték mellett az u(x, t) függvény megadja egy x abszcisszán lévő pont mozgásának törvényét az Ou tengellyel párhuzamos egyenes mentén, u t deriváltja ennek a mozgásnak a sebessége, és a második derivált 2 u t 2 a gyorsulás. Rizs. 32. Egy karakterlánc végtelen kis szakaszára ható erők Írjunk fel egy egyenletet, amelyet az u(x, t) függvénynek teljesítenie kell. Ehhez még néhány egyszerűsítő feltevést teszünk. Feltételezzük, hogy a karakterlánc abszolút rugalmas.

59 coy, azaz feltételezzük, hogy a húr nem ellenáll a hajlításnak; ez azt jelenti, hogy a húrban fellépő feszültségek mindig érintőlegesen irányulnak a pillanatnyi profiljára. Feltételezzük, hogy a húr rugalmas, és alá van vetve Hooke törvényének; ez azt jelenti, hogy a feszítőerő nagyságának változása arányos a húr hosszának változásával. Tegyük fel, hogy a karakterlánc homogén; ez azt jelenti, hogy ρ lineáris sűrűsége állandó. Elhanyagoljuk a külső erőket. Ez azt jelenti, hogy szabad oszcillációra gondolunk. Csak egy húr kis rezgéseit vizsgáljuk. Ha ϕ(x, t)-vel jelöljük az abszcissza tengelye és a húr érintője közötti szöget az x abszcissza pontban t időpontban, akkor a kis rezgések feltétele, hogy ϕ 2 (x, t) elhanyagolható ϕ (x, t)-hez képest, azaz ϕ 2. Mivel a ϕ szög kicsi, ezért cos ϕ 1, ϕ sin ϕ tg ϕ u, ezért az (u x x,) 2 érték is figyelmen kívül kell hagyni. Ebből rögtön következik, hogy az oszcilláció során a húr bármely szakaszának hosszának változását figyelmen kívül hagyhatjuk. Valójában egy M 1 M 2 húrdarab hossza az x tengely intervallumába vetítve, ahol x 2 = x 1 + x egyenlő l = x 2 x () 2 u dx x. x Mutassuk meg, hogy feltételezésünk szerint a T feszítőerő értéke állandó lesz a teljes húr mentén. Ehhez kivesszük az M 1 M 2 húr egy részét (32. ábra) a t időpontban, és pótoljuk az eldobott részek hatását.

60 kov a T 1 és T 2 feszítőerők által. Mivel a feltétel szerint a húr minden pontja párhuzamosan mozog az Ou tengellyel, és nincsenek külső erők, a feszítőerők Ox tengelyre vetületeinek összege egyenlőnek kell lennie nullával: T 1 cosϕ(x 1, t) + T 2 cosϕ(x 2, t) =. Ezért a ϕ 1 = ϕ(x 1, t) és ϕ 2 = ϕ(x 2, t) szögek kicsinysége miatt arra a következtetésre jutunk, hogy T 1 = T 2. általános jelentése T 1 \u003d T 2 - T. Most kiszámítjuk ugyanazon erők F u vetületeinek összegét az Ou tengelyre: F u \u003d T sin ϕ (x 2, t) T sin ϕ (x 1, t) . (2) Mivel kis szögekre sin ϕ(x, t) tg ϕ(x, t), és tg ϕ(x, t) u(x, t)/x, a (2) egyenlet F u T-re írható át. (tan ϕ(x 2, t) tan ϕ(x 1, t)) (u T x (x 2, t) u) x (x 1, t) x x T 2 u x 2(x 1, t) x . Mivel az x 1 pontot tetszőlegesen választjuk, akkor F u T 2 u x2(x, t) x. Miután megtaláltuk az M 1 M 2 szakaszra ható összes erőt, alkalmazzuk rá Newton második törvényét, amely szerint a tömeg és a gyorsulás szorzata egyenlő az összes ható erő összegével. Az M 1 M 2 húrdarab tömege egyenlő m = ρ l ρ x, a gyorsulás pedig 2 u(x, t). A Newton-féle t 2 egyenlet a következő formában jelenik meg: 2 u t (x, t) x = u 2 α2 2 x2(x, t) x, ahol α 2 = T ρ egy állandó pozitív szám. 6

61 X-szel redukálva 2 u t (x, t) = u 2 α2 2 x2(x, t) kapjuk. (21) Ennek eredményeként egy másodrendű lineáris homogén parciális differenciálegyenletet kaptunk, állandó együtthatókkal. Ezt nevezik húrrezgés-egyenletnek vagy egydimenziós hullámegyenletnek. A (21) egyenlet lényegében a Newton-törvény újrafogalmazása, és egy húr mozgását írja le. De a probléma fizikai megfogalmazásánál követelmény volt, hogy a húr végei rögzítve legyenek, és ismert legyen a húr helyzete egy adott időpontban. Ezeket a feltételeket a következőképpen írjuk fel egyenletekbe: a) feltételezzük, hogy a karakterlánc végei az x = és x = l pontokban rögzítettek, azaz feltesszük, hogy minden t esetén az u(, t) = összefüggések , u(l, t ) = ; (22) b) feltételezzük, hogy t = időpontban a karakterlánc pozíciója egybeesik az f(x) függvény grafikonjával, azaz feltesszük, hogy minden x [, l] esetén az u(x, ) = f(x); (23) c) tételezzük fel, hogy amikor t = az x abszcisszával rendelkező karakterlánc pontja, akkor g(x) sebességet kapunk, azaz feltesszük, hogy u (x,) = g(x). (24) t A (22) relációkat peremfeltételeknek, a (23) és (24) relációkat pedig kezdeti feltételeknek nevezzük. A szabad kis keresztirányú matematikai modellje 61

62 húrrezgések az, hogy meg kell oldani a (21) egyenletet peremfeltételekkel (22) és kezdeti feltételekkel (23) és (24) A húr szabad kis keresztirányú rezgésének egyenletének megoldása Fourier módszerrel< t <, удовлетворяющие граничным условиям (22) и начальным условиям (23) и (24), будем искать методом Фурье (называемым также методом разделения переменных). Метод Фурье состоит в том, что частные решения ищутся в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а другая только от t. То есть мы ищем решения уравнения (21), которые имеют специальный вид: u(x, t) = X(x)T(t), (25) где X дважды непрерывно дифференцируемая функция от x на [, l], а T дважды непрерывно дифференцируемая функция от t, t >. (25)-et (21) behelyettesítve a következőket kapjuk: X T = α 2 X T, (26) vagy T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x). (27) Azt mondják, hogy a változók szétválnak. Mivel x és t függetlenek egymástól, akkor bal oldal a (27)-ben nem x-től függ, hanem a jobb oldali t-től, és ezeknek az arányoknak az összértéke 62

63-nak állandónak kell lennie, amit λ-val jelölünk: T (t) α 2 T(t) = X (x) X(x) = λ. Ebből kapunk két közönséges differenciál egyenletek: X (x) λx(x) =, (28) T (t) α 2 λt(t) =. (29) Ebben az esetben a (22) peremfeltételek X()T(t) = és X(l)T(t) = alakot öltik. Mivel minden t, t > esetén teljesülniük kell, akkor X() = X(l) =. (3) Keressünk olyan megoldásokat a (28) egyenletre, amely kielégíti a (3) peremfeltételeket. Nézzünk három esetet. 1. eset: λ >. Jelölje λ = β 2. A (28) egyenlet X (x) β 2 X(x) = alakot ölt. A k 2 β 2 = karakterisztikus egyenletének gyökei k = ± β. Következésképpen, közös döntés a (28) egyenlet alakja X(x) = C e βx + De βx. A C és D állandókat úgy kell választanunk, hogy a (3) peremfeltételek teljesüljenek, azaz X() = C + D =, X(l) = C e βl + De βl =. Mivel β, akkor ennek az egyenletrendszernek egyedi megoldása van C = D =. Ezért X(x) és 63

64 u(x, t). Így az 1. esetben egy triviális megoldást kaptunk, amelyet nem vizsgálunk tovább. 2. eset: λ =. Ekkor a (28) egyenlet X (x) = alakot ölt, és megoldását nyilvánvalóan a következő képlet adja: X(x) = C x+d. Ezt a megoldást a (3) peremfeltételekbe behelyettesítve X() = D = és X(l) = Cl =, így C = D =. Ebből X(x) és u(x, t), és megint van egy triviális megoldásunk. 3. eset: λ<. Обозначим λ = β 2. Уравнение (28) принимает вид: X (x)+β 2 X(x) =. Его характеристическое уравнение имеет вид k 2 + β 2 =, а k = ±βi являются его корнями. Следовательно, общее решение уравнения (28) в этом случае имеет вид X(x) = C sin βx + D cosβx. В силу граничных условий (3) имеем X() = D =, X(l) = C sin βl =. Поскольку мы ищем нетривиальные решения (т. е. такие, когда C и D не равны нулю одновременно), то из последнего равенства находим sin βl =, т. е. βl = nπ, n = ±1, ±2,..., n не равно нулю, так как сейчас мы рассматриваем случай 3, в котором β. Итак, если β = nπ (nπ) 2, l, т. е. λ = то существуют l решения X n (x) = C n sin πnx, (31) l C n произвольные постоянные, уравнения (28), не равные тождественно нулю. 64

65 A következőkben n-hez csak pozitív n = 1, 2,... értékeket rendelünk, mivel negatív n esetén azonos alakú (nπ) megoldásokat kapunk. A λ n = értékek: sajátértékeknek nevezzük, és a (28) differenciálegyenlet X n (x) = C n sin πnx sajátfüggvényei peremfeltételekkel (3). Most oldjuk meg a (29) egyenletet. Számára a karakterisztikus egyenlet alakja k 2 α 2 λ =. (32) l 2 Mivel fentebb megtudtuk, hogy a (28) egyenlet X(x) nemtriviális megoldásai csak λ = n2 π 2 negatív λ esetén léteznek, az alábbiakban ezeket a λ-kat fogjuk figyelembe venni. A (32) egyenlet gyökei k = ±iα λ, és a (29) egyenlet megoldásainak alakja: T n (t) = A n sin πnαt + B n cos πnαt, (33) l l ahol A n és B n tetszőleges állandók. A (31) és (33) képleteket (25) behelyettesítve a (21) egyenlet sajátos megoldásait találjuk, amelyek kielégítik a (22) peremfeltételeket: (u n (x, t) = B n cos πnαt + A n sin πnαt) C n sin pnx. l l l Zárójelben megadva a C n tényezőt és bevezetve a C n A n = b n és a B n C n = a n jelölést, u n (X, T)-t úgy írjuk, hogy (u n (x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt ) sin pnx. (34) l l l 65

66 Az u n (x, t) megoldásoknak megfelelő húr rezgéseit a húr természetes rezgéseinek nevezzük. Mivel a (21) egyenlet és a (22) peremfeltételek lineárisak és homogének, ezért a (34) megoldások lineáris kombinációja (u(x, t) = a n cos πnαt + b n sin πnαt) sin πnx (35) l l l lesz a a (21 ) egyenlet megoldása, amely kielégíti a (22) peremfeltételeket az a n és b n együtthatók speciális megválasztásával, amely biztosítja a sorozatok egyenletes konvergenciáját. Most a (35) megoldás a n és b n együtthatóit választjuk úgy, hogy az ne csak a peremfeltételeket teljesítse, hanem a (23) és (24) kezdeti feltételeket is, ahol f(x), g(x) adott függvények ( sőt f() = f (l) = g() = g(l) =). Feltételezzük, hogy az f(x) és g(x) függvények kielégítik a Fourier kiterjesztési feltételeket. A t = értéket (35) behelyettesítve u(x,) = a n sin πnx l = f(x) kapjuk. Differenciálva a (35) sorozatot t-re és behelyettesítve t =-t, azt kapjuk, hogy u t (x,) = πnα b n sin πnx l l = g(x), és ez az f(x) és g(x) függvények kiterjesztése. a Fourier sorozatba. Ezért a n = 2 l l f(x) sin πnx l dx, b n = 2 l g(x) sin πnx dx. πnα l (36) 66

67 Az a n és b n együtthatók kifejezéseit behelyettesítve a (35) sorozatba, a (21) egyenletnek olyan megoldását kapjuk, amely teljesíti a (22) peremfeltételeket, valamint a (23) és (24) kezdeti feltételeket. Így megoldottuk a húr szabad kis keresztirányú rezgésének problémáját. Tisztázzuk a (34) képlettel definiált húr szabad rezgések problémájának u n (x, t) sajátfüggvényeinek fizikai jelentését. Írjuk át így, ahol u n (x, t) = α n cos πnα l α n = a 2 n + b2 n, (t + δ n) sin πnx, (37) l πnα δ n = arctg b n. l a n A (37) képlet megmutatja, hogy a húr minden pontja azonos frekvenciájú ω n = πnα és πnα δ n frekvenciájú harmonikus rezgéseket hajt végre. Az oszcillációs amplitúdó a húrpont x abszcissza l l-től függ, és egyenlő α n sin πnx. Egy ilyen rezgéssel a húr minden pontja egyszerre éri el egyik vagy másik irányban a legnagyobb eltérését, és egyidejűleg lépi át az egyensúlyi helyzetet. Az ilyen rezgéseket állóhullámoknak nevezzük. Egy állóhullámnak n + 1 fix pontja lesz a sin πnx = egyenlet gyökei által a [, l] intervallumban. A rögzített pontokat az állóhullám csomópontjainak nevezzük. Középen a csomópontok között - l mi azok a pontok, ahol az eltérések elérik a maximumot; az ilyen pontokat antinódusoknak nevezzük. Minden karakterláncnak saját, szigorúan meghatározott frekvenciájú rezgései lehetnek ω n = πnα, n = 1, 2,.... Ezeket a frekvenciákat a karakterlánc sajátfrekvenciájának nevezzük. A legalacsonyabb l hangot, amelyet egy húr képes előállítani, maga határozza meg 67

68 alacsony sajátfrekvenciás ω 1 = π T, és a húr alaphangjának nevezzük. Az l ρ ω n, n = 2, 3,... frekvenciának megfelelő fennmaradó hangokat felhangoknak vagy harmonikusoknak nevezzük. Az érthetőség kedvéért az alaphangot (33. ábra), az első felhangot (34. ábra) és a második felhangot (35. ábra) kibocsátó húr tipikus profiljait ábrázoljuk. Rizs. 33. ábra Az alaphangot kibocsátó húr profilja. 34. ábra Az első felhangot kibocsátó karakterlánc profilja. 35. ábra Második felhangot kibocsátó karakterlánc profilja Ha a húr a kezdeti feltételek által meghatározott szabad rezgéseket hajt végre, akkor az u(x, t) függvény a (35) képletből látható módon a egyéni harmonikusok. Így az önkényes oszcilláció 68

A 69. húr állóhullámok szuperpozíciója. Ebben az esetben a húr hangjának jellege (hangszín, hangerő, hangszín) az egyes harmonikusok amplitúdóinak arányától függ A hang erőssége, magassága és hangszíne A vibráló húr az ember által érzékelt légrezgéseket gerjeszti fül, mint egy húr által kibocsátott hang. A hang erősségét a rezgések energiája vagy amplitúdója jellemzi: minél nagyobb az energia, annál erősebb a hang. A hang magasságát annak frekvenciája vagy rezgési periódusa határozza meg: minél magasabb a frekvencia, annál magasabb a hang. A hang hangszínét a felhangok jelenléte, az energia harmonikusok közötti eloszlása, azaz a rezgések gerjesztésének módja határozza meg. A felhangok amplitúdója általában kisebb, mint az alaphang amplitúdója, és a felhangok fázisai tetszőlegesek lehetnek. A fülünk nem érzékeny az oszcillációk fázisára. Hasonlítsa össze például az ábra két görbéjét. 36, től kölcsönzött. Ez a hangfelvétel azonos alaphanggal, a klarinétból (a) és a zongorából (b). Mindkét hang nem egyszerű szinuszos rezgés. A hang alapfrekvenciája mindkét esetben azonos, és ez ugyanazt a hangot hozza létre. De a görbeminták eltérőek, mert különböző felhangok vannak rárakva az alaphangra. Bizonyos értelemben ezek a rajzok megmutatják, mi az a hangszín. 69

OROSZORSZÁG OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUMA Szövetségi Állami Költségvetési Szakmai Felsőoktatási Intézmény MATI Orosz Állami Műszaki Egyetem, K. E. Ciolkovszkijról elnevezett

Szövetségi Oktatási Ügynökség Szövetségi Állami Szakmai Felsőoktatási Intézmény DÉL SZÖVETSÉGI EGYETEM R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya módszertani

A Fehérorosz Köztársaság Oktatási Minisztériuma Vitebsk Állami Műszaki Egyetem Téma. "Sorok" Elméleti és Alkalmazott Matematika Tanszék. dolgozta ki Assoc. E.B. Dunina. Fő

4. előadás Harmonikus elemzés. Fourier sorozat Periodikus függvények. Harmonikus elemzés A tudományban és a technológiában gyakran kell időszakos jelenségekkel foglalkozni, azaz olyanokkal, amelyek ismétlődnek.

MOSZKVA ÁLLAMI MŰSZAKI EGYETEM POLGÁRI REPÜLÉSI EGYETEM V.M. Lyubimov, E.A. Zsukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov

TARTALOM Fourier-sor 4 A periodikus függvény fogalma 4 Trigonometrikus polinom 6 3 Ortogonális függvényrendszerek 4 Trigonometrikus Fourier-sor 3 5 Fourier-sor páros és páratlan függvényekhez 6 6 Dekompozíció

HATÁROZOTT INTEGRÁL. Integrálösszegek és határozott integrál Legyen egy y = f () függvény definiálva a [, b ] szakaszon, ahol< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

SOROK ELMÉLETE A sorozatelmélet a matematikai elemzés legfontosabb eleme, és elméleti és számos gyakorlati alkalmazásra is talál. Tegyen különbséget numerikus és funkcionális sorozatok között.

V. TÉMAKÖR FOURIER SOROZAT 6. ELŐADÁS Periódusos függvény kiterjesztése Fourier-sorban A természetben és a technológiában előforduló számos folyamatnak megvan az a tulajdonsága, hogy bizonyos időközönként ismétlődik.

6 Fourier-sor 6 Ortogonális függvényrendszerek Fourier-sorok ortogonális függvényrendszer szempontjából A [, ] szakaszon definiált és integrálható ϕ () és ψ () függvényeket ezen a szakaszon ortogonálisnak nevezzük, ha

Szövetségi Vasúti Közlekedési Ügynökség Urál Állami Vasúti Közlekedési Egyetem "Felsőfokú és Alkalmazott Matematika" Tanszék N. P. Chuev A harmonikus elemzés módszertani elemei

BELORÚSZ ÁLLAMI EGYETEM ALKALMAZOTT MATEMATIKAI ÉS INFORMÁCIÓTUDOMÁNYI KAR Felsőfokú Matematika Tanszék Oktatási segédlet az Alkalmazott Matematikai és Informatikai Kar hallgatói számára

Magyarázatok a szöveghez: a jelet "egyenértékűnek" olvassuk, és azt jelenti, hogy az előjeltől jobbra és az előjeltől balra lévő egyenletek megoldásai megegyeznek, az IR előjel a valós számok halmazát jelöli, az előjel BAN BEN

A MATEMATIKAI FIZIKA EGYENLETEI 1. Parciális differenciálegyenletek

1 2 Tartalomjegyzék 1 Fourier-sor 5 1.1 Trigonometrikus Fourier-sor .................. 5 1.2 Csak sin és cos ............. ............ 7 1,3 Fourier-sor komplex formában............. 11 1,4 f(x) = c k?......... ......

82 4. 4. fejezet Funkcionális és teljesítménysorok 4.2. 3. lecke 4.2. 3. lecke 4.2.. Függvény Taylor-bővítése DEFINÍCIÓ 4.2.. Legyen az y = f(x) függvény végtelenül differenciálható valamelyik szomszédságban

8. előadás 4 Sturm-Liouville probléma

OROSZORSZÁG OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUMA SZÖVETSÉGI ÁLLAMI KÖLTSÉGVETÉSI SZAKMAI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY "SZAMARA ÁLLAMI MŰSZAKI EGYETEM" Alkalmazott Matematika Tanszék

Függvény (Riemann szerint) és határozott integrál integrálhatósága Példák problémamegoldásra 1. Az f(x) = C konstans függvény integrálható -ra, mivel bármely partícióra és tetszőleges ξ i pontválasztásra az integrál

MÓDSZERTANI UTASÍTÁSOK SZÁMÍTÁSI FELADATOKHOZ A FELSŐ MATEMATIKA TERVEZÉSÉN "KÖZÖSSÉGES DIFFERENCIÁL-EGYENLETEK SOROZAT KETTŐS INTEGRÁLOK" III. RÉSZ TÉMASOROZAT Tartalom Sorozat Numerikus sorozat Konvergencia és divergencia

SOROK. Számsorok. Alapvető definíciók Legyen adott egy végtelen számsor Az a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= kifejezést (végtelen összeget) a számsorozat. Számok

Cím Bevezetés. Alapfogalmak.... 4 1. Volterra integrál egyenletek... 5 Házi feladatlehetőségek.... 8 2. Volterra integrál egyenlet feloldója. 10 Házi feladat lehetőség... 11

3. előadás Taylor és Maclaurin sorozat Hatványsorok alkalmazása Függvények kiterjesztése hatványsorokká Taylor és Maclaurin sorozatok Az alkalmazásoknál fontos, hogy egy adott függvényt hatványsorba tudjunk bővíteni, azokat a függvényeket

35 7 Trigonometrikus Fourier-sor Fourier-sor T periódusú periodikus függvényekhez. Legyen f(x) darabonként folytonos T periódusú periodikus függvény. Tekintsük az alap trigonometrikus rendszert

ESZIK. ÉRC MATEMATIKAI ELEMZÉS. NUMERIKUS ÉS FUNKCIONÁLIS SOROZAT NOVOSIBIRSK 200 2 OROSZ OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS MINISZTÉRIUM SEI HPE "NOVOSIBIRSK ÁLLAMI PEDAGÓGIAI EGYETEM" E.M. Rudoy MATEMATIKAI ELEMZÉS.

Persze, feladat. Bizonyítsuk be, hogy a Riemann-függvény, ha 0, m m R(), ha, m, m 0, és a tört irreducibilis, 0, ha irracionális, akkor minden racionális pontban nem folytonos, és minden irracionális pontban folytonos. Megoldás.

1. Elektrosztatika 1 1. Elektrosztatika 6. lecke Változók szétválasztása derékszögű koordinátákban 1.1. (1.49. feladat) A z = síkot σ (x, y) = σ sin (αx) sin (βy) sűrűséggel töltjük fel, ahol σ, α, β állandók.

Ch Hatványsor a a a Az a a a a a () alakú sorozatot hatványsornak nevezzük, ahol, a, állandók, amelyeket a sorozat együtthatóinak nevezünk. a) a (a) (), ahol

S A Lavrenchenko wwwwrckoru Előadás Fourier transzformáció Az integrál transzformáció fogalma Az integrál transzformáció módszere a matematikai fizika egyik leghatékonyabb módszere és hatékony megoldás

Differenciálszámítás Bevezetés a matematikai elemzésbe Sorozat és függvényhatár. A belső bizonytalanságok feltárása. Függvény derivált. Differenciálási szabályok. A derivált alkalmazása

N 7. ELŐADÁS .Erő

Kohászati ​​Kar Felsőfokú Matematika Tanszék

9. Antiderivatív és határozatlan integrál 9.. Legyen adott az f() függvény az I R intervallumon. Az F () függvényt f() antiderivatív függvénynek nevezzük az I intervallumon, ha F () = f() bármely I-re, és az antiderivált függvényt

Moszkvai Fizikai és Technológiai Intézet (Állami Egyetem) O.V. Besov TRIGONOMETRIC FOURIER SOROZAT Oktatási segédlet Moszkva, 004 Összeállította: O.V.Besov UDC 517. Trigonometrikus sorozat

8. Hatványsorok 8.. Egy c n (z) n, (8.) n= alakú funkcionális sorozat, ahol c n egy numerikus sorozat, R egy fix szám, és z R-t c n együtthatójú hatványsornak nevezzük. . A változók megváltoztatásával

Matematika és Informatika Tanszék Felsőmatematika elemei Oktatási és módszertani komplexum távtechnológiát alkalmazó középfokú szakképzésben tanuló hallgatók számára Modul Differenciálszámítás Összeállította:

1. Határozott integrál 1.1. Legyen f a [, b] R szakaszon definiált korlátos függvény. A [, b] szakasz partíciója τ = (x, x 1,..., x n 1, x n ) [, b ] úgy, hogy = x< x 1 < < x n 1

KÉRDÉSEK ÉS JELLEMZŐ FELADATOK a záróvizsgához "Matematikai elemzés" Alkalmazott matematika szakterületen A szóbeli vizsgán a hallgató két elméleti kérdést és két feladatot kap Évente összesen 66 kérdés

Modul témakör Függvénysorozatok és sorozatok Sorozatok és sorozatok egyenletes konvergenciájának tulajdonságai Hatványsorok Előadás Függvénysorozatok és sorozatok definíciói Egységesen

~ ~ Határozatlan és határozott integrálok Az antiderivatív és határozatlan integrál fogalma. Definíció: Egy F függvényt antideriváltnak nevezünk egy f függvényhez képest, ha ezek a függvények a következőképpen kapcsolódnak

Az Orosz Föderáció Oktatási és Tudományos Minisztériuma Szövetségi Állami Költségvetési Szakmai Felsőoktatási Intézmény "Szibériai Állami Ipari Egyetem"

NEGYEDES EGYENLETEK

A LÉGERŐ KATONAI OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYOS KÖZPONTJA "N. E. ZSUKOVSZKIJ professzorról és Yu. A. GAGARIN professzorról elnevezett LÉGERŐ AKADÉMIA" PÉLDÁK

SZÖVETSÉGI OKTATÁSI ÜGYNÖKSÉG ÁLLAMI SZAKMAI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY Moszkvai Állami Műszermérnöki és Informatikai Egyetem Felsőoktatási Tanszék

5. fejezet. Fourier-sorok 5 .. 5. lecke 5 ... Alapvető definíciók Az a 2 + (a k cos x + b k si x) (5 ..) formájú funkcionális sorozatot trigonometrikusnak nevezzük.

Fourier sorozat Ortogonális függvényrendszerek Az algebra szempontjából az az egyenlőség, ahol egy adott osztály függvényei és R vagy C együtthatók, egyszerűen azt jelenti, hogy a vektor B vektorok lineáris kombinációja

3724 TÖBBSZÖRÖS ÉS GÖRBELI INTEGRÁL SOROZATA 1 "TÖBBSZÖRÖS ÉS GÖRBELI INTEGRÁLOK SOROZATAI" SZEKCIÓK MUNKAPROGRAMJA 11 Számsor A számsor fogalma A számsor tulajdonságai A konvergenciához szükséges kritérium

EGY VÁLTOZÓ FUNKCIÓJÁNAK DIFFERENCIÁLÁSA A derivált fogalma, geometriai és fizikai jelentése A derivált fogalmához vezető problémák Az S érintő definíciója az y f (x) egyeneshez az A x pontban; f(

DIFFERENCIAEGYENLETEK 1. Alapfogalmak A differenciálegyenlet valamely függvényre egy olyan egyenlet, amely ezt a függvényt független változóival és származékaival kapcsolja össze.

AZ ELSŐRENDŰ KÖZÖNÖSSÉGI DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Alapfogalmak A differenciálegyenlet olyan egyenlet, amelyben a derivált vagy differenciáljel alá ismeretlen függvény lép be.

DIFFERENCIÁL-EGYENLETEK Általános fogalmak A differenciálegyenleteknek számos és nagyon változatos alkalmazása van a mechanikában, fizikában, csillagászatban, technológiában és a magasabb matematika más ágaiban (pl.

Funkcionális sorozat Funkcionális sorozat annak összege és a funkcionális területe o Legyen megadva k (k 1) függvénysorozat a valós vagy komplex számok Δ tartományában

ORTOGONÁLIS POLINOMOK RENDSZEREI ÉS ALKALMAZÁSAIK A. Csebisev-Hermite polinomok

Az előadásokat készítette: adjunktus Musina MV Definíció A forma kifejezése Numerikus és funkcionális sorozat Numerikus sorozat: alapfogalmak (), ahol számsorozatnak (vagy csak sorozatnak) nevezik Számok, sorozat tagjai (attól függ

2π periódusú periodikus függvények Fourier sorozata.

A Fourier sorozat lehetővé teszi a periodikus függvények komponensekre bontásával történő tanulmányozását. A váltakozó áramok és feszültségek, az elmozdulások, a forgattyús mechanizmusok sebessége és gyorsulása, valamint az akusztikus hullámok tipikus gyakorlati példái a periodikus függvények alkalmazásának a mérnöki számításokban.

A Fourier-sor kiterjesztése azon a feltételezésen alapul, hogy a -π ≤ x ≤ π intervallumban minden gyakorlati jelentőségű függvény kifejezhető konvergens trigonometrikus sorozatként (egy sorozat akkor tekinthető konvergensnek, ha a részeiből álló részösszegek sorozata konvergál) :

Szabványos (=szokásos) jelölés a sinx és cosx összegén keresztül

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

ahol a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. valós állandók, azaz.

Ahol a -π és π közötti tartományban a Fourier-sor együtthatóit a következő képletekkel számítjuk ki:

Az a o ,a n és b n együtthatókat nevezzük Fourier-együtthatók, és ha megtalálhatók, akkor az (1) sorozatot hívjuk meg Fourier közelében, az f(x) függvénynek megfelelő. Az (1) sorozatnál az (a 1 cosx+b 1 sinx) kifejezést az első ill főharmonika,

A sorozat írásának másik módja az acosx+bsinx=csin(x+α) reláció használata

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Ahol a o egy állandó, c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 a különböző komponensek amplitúdói, és egyenlő a n \ u003d arctg a n /b n.

Az (1) sorozatnál az (a 1 cosx + b 1 sinx) vagy c 1 sin (x + α 1) kifejezést az első ill. főharmonika,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) vagy c 2 sin(2x+α 2) ún. második harmonikus stb.

Egy összetett jel pontos ábrázolásához általában végtelen számú kifejezésre van szükség. Sok gyakorlati probléma esetén azonban elegendő csak az első néhány kifejezést figyelembe venni.

Nem periódusos függvények Fourier sorozata 2π periódussal.

Nem periodikus függvények dekompozíciója.

Ha az f(x) függvény nem periodikus, akkor nem bontható ki Fourier-sorba x összes értékére. Azonban lehetséges olyan Fourier-sort definiálni, amely egy függvényt reprezentál bármely 2π szélességi tartományban.

Adott egy nem periodikus függvény, új függvényt állíthatunk össze úgy, hogy f(x) értékeket választunk egy bizonyos tartományon belül, és megismételjük azokat ezen a tartományon kívül 2π időközönként. Mivel az új függvény periodikus, 2π periódussal, ezért minden x értékre Fourier-sorba bővíthető. Például az f(x)=x függvény nem periodikus. Ha azonban a 0-tól 2π-ig terjedő intervallumban szükséges Fourier-sorrá bővíteni, akkor ezen az intervallumon kívül egy 2π periódusú periodikus függvényt szerkesztünk (ahogy az alábbi ábrán látható).

Nem periodikus függvényeknél, mint például f(x)=x, a Fourier-sor összege az adott tartomány minden pontjában egyenlő f(x) értékkel, de pontok esetén nem egyenlő f(x) értékkel. tartományon kívül. Egy nem periodikus függvény Fourier-sorának megtalálásához a 2π tartományban a Fourier-együtthatók ugyanazt a képletét használjuk.

Páros és páratlan függvények.

Azt mondják, az y=f(x) függvény még ha f(-x)=f(x) x minden értékére. A páros függvények grafikonjai mindig szimmetrikusak az y tengelyre (azaz tükröződnek). Két példa a páros függvényekre: y=x 2 és y=cosx.

Azt mondják, hogy az y=f(x) függvény páratlan, ha f(-x)=-f(x) x minden értékére. A páratlan függvények grafikonjai mindig szimmetrikusak az origóra.

Sok függvény nem páros és nem páratlan.

Fourier-soros bővítés koszinuszokban.

A 2π periódusú f(x) páros periodikus függvény Fourier-sora csak koszinusz tagokat tartalmaz (azaz nem tartalmaz szinusztagokat), és tartalmazhat konstans tagot is. Következésképpen,

hol vannak a Fourier-sor együtthatói,

A 2π periódusú f(x) páratlan periodikus függvény Fourier-sora csak szinuszos tagokat tartalmaz (azaz nem tartalmaz koszinuszos tagokat).

Következésképpen,

hol vannak a Fourier-sor együtthatói,

Fourier-sorozat félcikluson.

Ha egy függvény egy tartományra van definiálva, mondjuk 0-tól π-ig, és nem csak 0-tól 2π-ig, akkor csak szinuszokkal vagy csak koszinuszokkal bővíthető sorozattá. Az így kapott Fourier-sort ún Fourier közelében fél cikluson.

Ha bomlást akarsz kapni Fourier félcikluson koszinuszban f(x) függvényeket a 0-tól π-ig terjedő tartományban, akkor páros periodikus függvényt kell összeállítani. ábrán. alább látható az f(x)=x függvény, amely az x=0 és x=π közötti intervallumra épül. Mivel a páros függvény szimmetrikus az f(x) tengelyre, húzzuk az AB egyenest, ahogy az ábra mutatja. lent. Ha feltételezzük, hogy a vizsgált intervallumon kívül a kapott háromszög alakzat periodikus 2π periódussal, akkor a végső gráfnak van formája, megjelenítése. ábrán. lent. Mivel a Fourier-kiterjesztést koszinuszokban kell megkapni, mint korábban, kiszámítjuk az a o és a n Fourier-együtthatókat.

Ha meg kell szereznie szinuszos félciklusú Fourier-tágulás f(x) függvény 0-tól π-ig terjedő tartományban, akkor páratlan periodikus függvényt kell összeállítani. ábrán. alább látható az f(x)=x függvény, amely az x=0 és x=π közötti intervallumra épül. Mivel a páratlan függvény szimmetrikus az origóhoz képest, megszerkesztjük a CD vonalat, amint az ábra mutatja. Ha feltételezzük, hogy a vizsgált intervallumon kívül a vett fűrészfog jel periodikus, 2π periódussal, akkor a végső grafikon az 1. ábrán látható alakot kapja. Mivel a Fourier-tágulást félcikluson kell megkapni szinuszokban, mint korábban, a Fourier-együtthatót számítjuk ki. b

Fourier-sorok tetszőleges intervallumhoz.

Periodikus függvény bővítése L periódussal.

Az f(x) periodikus függvény ismétlődik, ha x növekszik L-vel, azaz. f(x+L)=f(x). A korábban vizsgált 2π periódusú függvényekről az L periódusú függvényekre való átmenet meglehetősen egyszerű, hiszen változó változtatással is megtehető.

Ahhoz, hogy az f(x) függvény Fourier-sorát megtaláljuk a -L/2≤x≤L/2 tartományban, bevezetünk egy új u változót úgy, hogy az f(x) függvény u-hoz képest 2π periódusú legyen. Ha u=2πx/L, akkor x=-L/2 u=-π esetén és x=L/2 u=π esetén. Legyen f(x)=f(Lu/2π)=F(u) is. Az F(u) Fourier-sor alakja a következő

(Az integrációs határértékeket bármely L hosszúságú intervallum helyettesítheti, például 0-tól L-ig)

Fourier-sor félcikluson az L≠2π intervallumban megadott függvényekhez.

Az u=πx/L helyettesítésnél az x=0 és x=L közötti intervallum az u=0 és u=π közötti intervallumnak felel meg. Ezért a függvény csak koszinuszban vagy csak szinuszban bontható ki sorozattá, azaz. ban ben Fourier sorozat fél cikluson.

A 0-tól L-ig terjedő tartományban a koszinuszokban a bővítés alakja