Понятие о призме. Формулы объема призм разного типа: правильной, прямой и наклонной

Объем является характеристикой любой фигуры, имеющей ненулевые размеры во всех трех измерениях пространства. В данной статье с точки зрения стереометрии (геометрии пространственных фигур) мы рассмотрим призму и покажем, как находить объемы призм различного вида.

Стереометрия располагает точным ответом на этот вопрос. Под призмой в ней понимают фигуру, образованную двумя многоугольными одинаковыми гранями и несколькими параллелограммами. На рисунке ниже показаны четыре разные призмы.

Каждую из них можно получить следующим образом: необходимо взять многоугольник (треугольник, четырехугольник и так далее) и отрезок определенной длины. Затем каждую вершину многоугольника следует перенести с помощью параллельных отрезков в другую плоскость. В новой плоскости, которая будет параллельна исходной, получится новый многоугольник, аналогичный выбранному изначально.

Призмы могут иметь разный тип. Так, они могут быть прямыми, наклонными и правильными. Если боковое ребро призмы (отрезок, соединяющий вершины оснований) перпендикулярно основаниям фигуры, то последняя является прямой. Соответственно, если это условие не выполняется, то речь идет о наклонной призме. Правильная фигура — это прямая призма с равноугольным и равносторонним основанием.

Объем правильных призм

Начнем с самого простого случая. Приведем формулу объема призмы правильной, имеющей n-угольное основание. Формула объема V для любой фигуры рассматриваемого класса имеет следующий вид:

То есть для определения объема достаточно рассчитать площадь одного из оснований S o и умножить ее на высоту h фигуры.

В случае правильной призмы обозначим длину стороны ее основания буквой a, а высоту, которая равна длине бокового ребра, буквой h. Если основание n-угольник правильный представляет, то для расчета его площади проще всего воспользоваться следующей универсальной формулой:

S n = n/4*a2*ctg(pi/n).

Подставляя в равенство значение числа сторон n и длину одной стороны a, можно вычислить площадь n-угольного основания. Отметим, что функция котангенса здесь вычисляется для угла pi/n, который выражен в радианах.

Учитывая записанное для S n равенство, получаем конечную формулу объема призмы правильной:

V n = n/4*a2*h*ctg(pi/n).

Для каждого конкретного случая можно записать соответствующие формулы для V, но все они однозначно следуют из записанного общего выражения. Например, для четырехугольной призмы правильной, которая в общем случае является прямоугольным параллелепипедом, получаем:

V 4 = 4/4*a2*h*ctg(pi/4) = a2*h.

Если в этом выражении принять h=a, то мы получаем формулу для объема куба.

Объем прямых призм

Отметим сразу, что для прямых фигур не существует общей формулы для вычисления объема, которая была приведена выше для правильных призм. При нахождении рассматриваемой величины следует использовать исходное выражение:

Здесь h — это длина бокового ребра, как и в предыдущем случае. Что касается площади основания S o , то она может принимать самые разные значения. Задача расчета у прямой призмы объема сводится к нахождению площади ее основания.

Расчет величины S o следует проводить, исходя из особенностей самого основания. Например, если оно является треугольником, тогда площадь вычислить можно так:

Здесь h a — апофема треугольника, то есть его высота, опущенная на основание a.

Если основанием является четырехугольник, то он может быть трапецией, параллелограммом, прямоугольником или иметь совершенно произвольный тип. Для всех названых случаев следует воспользоваться соответствующей формулой планиметрии для определения площади. Например, для трапеции эта формула имеет вид:

S o4 = 1/2*(a 1 + a 2)*h a .

Где h a — высота трапеции, a 1 и a 2 — это длины ее параллельных сторон.

Чтобы определить площадь для многоугольников более высокого порядка, следует разбивать их на простые фигуры (треугольники, четырехугольники) и рассчитывать сумму площадей последних.

Объем наклонных призм

Это самый сложный случай расчета объема призмы. Общая формула для таких фигур также применима:

Тем не менее, к сложности нахождения площади основания, представляющего многоугольник произвольного типа, добавляется проблема определения высоты фигуры. Она в наклонной призме всегда меньше длины бокового ребра.

Проще всего эту высоту найти, если известен какой-либо угол фигуры (плоский или двугранный). Если такой угол дан, тогда следует с его использованием построить внутри призмы прямоугольный треугольник, который бы содержал в качестве одной из сторон высоту h и, пользуясь тригонометрическими функциями и теоремой Пифагора, найти величину h.

Геометрическая задача на определение объема

Дана правильная призма с треугольным основанием, имеющая высоту 14 см и длину стороны 5 см. Чему равен объем треугольной призмы?

Поскольку речь идет о правильной фигуре, то мы вправе воспользоваться известной формулой. Имеем:

V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151,55 см3.

Треугольная призма является достаточно симметричной фигурой, в форме которой часто выполняют разные архитектурные сооружения. Эту призму из стекла используют в оптике.

Понятие о призме. Формулы объема призм разного типа: правильной, прямой и наклонной. Решение задачи — все о путешествиях на сайт

Объем наклонной призмы

Все призмы делятся на прямые и наклонные .

Прямая призма, основанием

которой служит правильный

многоугольник, называется

правильной призмой.

Свойства правильной призмы:

1. Основания правильной призмы являются правильными многоугольниками. 2. Боковые грани правильной призмы являются равными прямоугольниками. 3. Боковые ребра правильной призмы равны .

Сечение ПРИЗМЫ.

Ортогональное сечение призмы - это сечение, образованное плоскостью, перпендикулярной к боковому ребру.

Боковая поверхность призмы равна произведению периметра ортогонального сечения на длину бокового ребра.

S б =P орт.сеч C

1. Расстояния между ребрами наклонной

треугольной призмы равны: 2см, 3 см и 4см

Боковая поверхность призмы- 45см 2 .Найдите ее боковое ребро.

Решение:

В перпендикулярном сечении призмы треугольник, периметр которого 2+3+4=9

Значит боковое ребро равно 45:9=5(см)

Найдите неизвестные элементы

правильной треугольной

Призмы

по элементам, заданным в таблице.

ОТВЕТЫ.

Спасибо за урок.

Домашнее задание.

«Объём тел» - Ф(x). Ф(х1). Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса. Ф(хi). Ф(х2). a x b x. При а =х и b=x в сечение может вырождаться точка, например, при х = а.

«Объем понятия» - 1.Площадь полной поверхности куба равна 6 м2. Или объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту. В ходе урока проводится дифференцированная проверочная работа с использованием тестов. Объёмы геометрических тел.

«Объёмы» - Упражнение 7. Упражнение 8*. Боковые ребра равны 3 и составляют с плоскостью основания угол 45о. Объем наклонной призмы 3. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60о. Объем наклонной призмы 1. Ответ: Плоскость, проходящая через центры симметрии параллелепипедов. Принцип Кавальери.

«Объёмы тел» - Объём пирамиды равен одной трети произведения основания на высоту. Объём пирамиды. Объём цилиндра. 2010 г. h. V=1/3S*h. Объемы подобных тел. V=a*b*c. Объём прямой призмы. Объемы тел. Следствие. Объём наклонной призмы. Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту. Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Две грани которого являются равными многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях , а остальные грани - параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.

Призма является частным случаем цилиндра. Параллелепипед является частным случаем призмы.

Призма обладает следующим свойством:

Любое сечение призмы плоскостью, параллельной её основанию, делит данную призму на две призмы так, что отношение боковых поверхностей и отношение объёмов этих призм равно отношению длин их боковых рёбер. Любое сечение призмы плоскостью, параллельной её боковому ребру, делит данную призму на две призмы так, что отношение объёмов этих призм равно отношению длин их боковых рёбер. Любое сечение призмы плоскостью, параллельной её боковому ребру, делит данную призму на две призмы так, что отношение объёмов этих призм равно отношению площадей их основания.

Виды призм

Прямая призма. Боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны плоскости основания.

Наклонная призма. Боковые рёбра наклонной призмы находятся относительно плоскости основания под углом, отличным от $90^\circ$.

Правильная призма. Основанием прямой призмы является правильный многоугольник. Её боковые гран -- равные прямоугольники.

Полуправильным многогранником называется правильная призма, боковые грани которой -- квадраты.

Объём прямой призмы

Для вывода формулы вычисления объёма правильной призмы возьмём призму, в основании которой лежит треугольник. Достроим её до прямоугольного параллелепипеда (рисунок 1).

Рисунок 1. Тетраэдр, достроенный до параллелепипеда

Из предыдущей главы мы знаем, что объём прямоугольного параллелепипеда равен:

Т.к. полученный параллелепипед состоит из исходной призмы и призмы, равной ей по объёму, то объём исходной призмы будет равен

где $a$, $b$, $c$ длины сторон $AB$, $BC$, $AC$ соответственно, и их произведение равно площади основания исходной призмы, то запишем в общем виде формулу нахождения объёма прямой призмы:

где $S_{осн.}$ -- площадь основания призмы, $H$ -- высота, проведённая к основанию призмы.

Данная формула верна для прямой призмы с любым многоугольником в основании.

Объём наклонной призмы

Для вывода формулы нахождения объёма наклонной призмы рассмотрим треугольную наклонную призму $ABCDFE$. Проведём через ребро $DC$ плоскость $\alpha $, перпендикулярную основанию $ABCD$ исходной призмы, и построим треугольную усечённую призму (рисунок 2).

Рисунок 2. Наклонная призма, плоскость $\alpha $

Теперь через ребро $AB$ проведём плоскость $\beta $, параллельную плоскости $\alpha $ (рисунок 3).

Рисунок 3. Наклонная призма, плоскости $\alpha $ и $\beta $

Если применить такое преобразования к наклонным граням ещё раз, то получится призма, у которой все боковые грани перпендикулярны основанию. Снова получился прямая призма.

Если её подвергнуть подобному преобразованию (сначала дополнить первой усечённой призмой, затем отсечь вторую усечённую призму), то достроенная и отсекаемая призмы совмещаются параллельным переносом на отрезок $AB$. Из этого следует, что фигуры имеют одинаковый объём.

Следовательно, объём построенной прямой призмы равен объёму исходной наклонной.

Объём наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту:

Вывод

Объём любой призмы (наклонной и прямой) находится по формуле:

где $a\cdot b$ - площадь основания, $c$ - высота призмы.

«Геометрическое тело призма» - Прямоугольный параллелепипед. Прямоугольник. Диагональные сечения. Теорема Пифагора. Сумма площадей. Вершины. Основание призмы. Как называется призма изображённая на рисунке. Математический бой. Решение. Призма. Какая призма называется прямой. Полученные знания. Диагональ правильной треугольной призмы.

«Фигура призма» - Определение призмы. Наклонная и прямая призма. Докажем сначала теорему для треугольной призмы. Виды призм. Объем наклонной призмы. Призма. Площадь боковой поверхности призмы. Площадь полной поверхности призмы. Докажем теперь теорему для произвольной призмы. Правильная призма.

«Объём призмы» - Площадь S основания исходной призмы. Решение задачи. Цели урока. Объем исходной призмы равен произведению S · h. Объем прямой призмы. Призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Понятие призмы. Проведение высоты треугольника ABC. Вопросы. Изучение теоремы об объеме призмы. Основные шаги при доказательстве теоремы прямой призмы?

«Понятие призмы» - Площадь полной поверхности призмы. Прямая призма. Площадь боковой поверхности призмы. Многоугольник. Сечения призмы. Правильная призма. Призмы встречающиеся в жизни. Треугольные призмы. Доказательство. Объем наклонной призмы. Определение призмы. Наклонная и прямая призма. Виды призм. Призма.

«Свойства призмы» - Существую ли наклонные призмы, в которые можно вписать сферу. Свойства призмы. Условие, сформулированное для прямой призмы. Цилиндр. Призма. Сечение цилиндра. Формула трех косинусов. Основание. Треугольная призма. Теорема синусов для трехгранного угла. Ребро треугольной призмы. Вокруг каких из разновидностей призм всегда можно описать сферу.

«Понятие многогранника призмы» - В сечении образуется параллелограмм. Следствие. Свойства призмы. Термин “призма” греческого происхождения и буквально означает “отпиленное” (тело). Площадь поверхности призмы и площадь боковой поверхности призмы. Такое сечение называется диагональным сечением призмы. Дано: Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро - 6 см.