Wie man einen Vektor von einem Punkt aus verschiebt. Operationen mit Vektoren und ihren Eigenschaften: Addition und Multiplikation

Standarddefinition: "Ein Vektor ist eine gerichtete Strecke." Dies ist normalerweise die Grenze des Wissens eines Absolventen über Vektoren. Wer braucht eine Art "gerichtete Segmente"?

Aber was sind eigentlich Vektoren und warum sind sie das?
Wettervorhersage. "Wind Nordwest, Geschwindigkeit 18 Meter pro Sekunde." Stimmen Sie zu, die Richtung des Windes (woher er weht) und das Modul (dh der absolute Wert) seiner Geschwindigkeit sind ebenfalls von Bedeutung.

Größen ohne Richtung heißen Skalare. Masse, Arbeit, elektrische Ladung sind nirgendwohin gerichtet. Sie sind nur durch einen Zahlenwert gekennzeichnet – „wie viele Kilogramm“ oder „wie viele Joule“.

Physikalische Größen, die nicht nur einen Betrag, sondern auch eine Richtung haben, nennt man vektorielle Größen.

Geschwindigkeit, Kraft, Beschleunigung - Vektoren. Für sie ist es wichtig „wie viel“ und es ist wichtig „wo“. Beispielsweise ist die Beschleunigung des freien Falls auf die Erdoberfläche gerichtet und ihr Wert beträgt 9,8 m/s 2 . Impuls, elektrische Feldstärke, magnetische Feldinduktion sind ebenfalls Vektorgrößen.

Sie erinnern sich, dass physikalische Größen mit lateinischen oder griechischen Buchstaben bezeichnet werden. Der Pfeil über dem Buchstaben zeigt an, dass die Größe ein Vektor ist:

Hier ist ein weiteres Beispiel.
Das Auto fährt von A nach B. Das Endergebnis ist seine Bewegung von Punkt A nach Punkt B, d. h. eine Bewegung um einen Vektor .

Jetzt ist klar, warum ein Vektor ein gerichtetes Segment ist. Achtung, das Ende des Vektors ist dort, wo der Pfeil ist. Vektorlänge heißt die Länge dieses Segments. Benannt: oder

Bisher haben wir nach den Regeln der Arithmetik und elementaren Algebra mit skalaren Größen gearbeitet. Vektoren sind ein neues Konzept. Dies ist eine andere Klasse von mathematischen Objekten. Sie haben ihre eigenen Regeln.

Früher kannten wir nicht einmal Zahlen. Die Bekanntschaft mit ihnen begann in der Grundschule. Es stellte sich heraus, dass man Zahlen miteinander vergleichen, addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann. Wir haben gelernt, dass es eine Zahl eins und eine Zahl null gibt.
Jetzt lernen wir Vektoren kennen.

Die Begriffe "größer als" und "kleiner als" gibt es bei Vektoren nicht - schließlich können ihre Richtungen unterschiedlich sein. Sie können nur die Längen von Vektoren vergleichen.

Aber das Konzept der Gleichheit für Vektoren ist.
Gleich sind Vektoren gleicher Länge und gleicher Richtung. Das bedeutet, dass der Vektor parallel zu sich selbst an jeden beliebigen Punkt in der Ebene verschoben werden kann.
Single heißt ein Vektor, dessen Länge 1 ist. Null - ein Vektor, dessen Länge gleich Null ist, dh sein Anfang fällt mit dem Ende zusammen.

Es ist am bequemsten, mit Vektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem zu arbeiten – demjenigen, in dem wir Funktionsgraphen zeichnen. Jeder Punkt im Koordinatensystem entspricht zwei Zahlen - seinen x- und y-Koordinaten, der Abszisse und der Ordinate.
Der Vektor ist ebenfalls durch zwei Koordinaten gegeben:

Hier werden die Koordinaten des Vektors in Klammern geschrieben - in x und in y.
Sie sind leicht zu finden: die Koordinate des Endes des Vektors minus die Koordinate seines Anfangs.

Wenn die Vektorkoordinaten gegeben sind, wird seine Länge durch die Formel gefunden

Vektoraddition

Es gibt zwei Möglichkeiten, Vektoren hinzuzufügen.

eines . Parallelogrammregel. Um die Vektoren und zu addieren, platzieren wir die Ursprünge beider am selben Punkt. Wir vervollständigen das Parallelogramm und zeichnen die Diagonale des Parallelogramms vom selben Punkt aus. Dies ist die Summe der Vektoren und .

Erinnern Sie sich an die Fabel über Schwan, Krebs und Hecht? Sie haben sich sehr bemüht, aber sie haben den Karren nie bewegt. Immerhin war die Vektorsumme der von ihnen auf den Wagen aufgebrachten Kräfte gleich Null.

2. Die zweite Möglichkeit, Vektoren hinzuzufügen, ist die Dreiecksregel. Nehmen wir die gleichen Vektoren und . Wir addieren den Anfang des zweiten zum Ende des ersten Vektors. Verbinden wir nun den Anfang des ersten und das Ende des zweiten. Dies ist die Summe der Vektoren und .

Nach der gleichen Regel können Sie mehrere Vektoren hinzufügen. Wir befestigen sie einzeln und verbinden dann den Anfang des ersten mit dem Ende des letzten.

Stellen Sie sich vor, Sie gehen von Punkt A nach Punkt B, von B nach C, von C nach D, dann nach E und dann nach F. Das Endergebnis dieser Aktionen ist ein Wechsel von A nach F.

Beim Addieren von Vektoren und erhalten wir:

Vektorsubtraktion

Der Vektor ist dem Vektor entgegengesetzt gerichtet. Die Längen der Vektoren und sind gleich.

Jetzt ist klar, was Subtraktion von Vektoren ist. Die Differenz der Vektoren und ist die Summe aus dem Vektor und dem Vektor .

Multipliziere einen Vektor mit einer Zahl

Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl k ergibt einen Vektor, dessen Länge k mal von der Länge abweicht. Es ist mit dem Vektor gleichgerichtet, wenn k größer als Null ist, und entgegengesetzt gerichtet, wenn k kleiner als Null ist.

Skalarprodukt von Vektoren

Vektoren können nicht nur mit Zahlen, sondern auch untereinander multipliziert werden.

Das Skalarprodukt von Vektoren ist das Produkt der Längen von Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

Pass auf - wir haben zwei Vektoren multipliziert und wir haben einen Skalar bekommen, also eine Zahl. In der Physik ist mechanische Arbeit beispielsweise gleich dem Skalarprodukt zweier Vektoren - Kraft und Verschiebung:

Wenn die Vektoren senkrecht stehen, ist ihr Skalarprodukt Null.
Und so wird das Skalarprodukt in Bezug auf die Koordinaten der Vektoren ausgedrückt und:

Aus der Formel für das Skalarprodukt kannst du den Winkel zwischen den Vektoren ermitteln:

Diese Formel ist besonders praktisch in der Stereometrie. Beispielsweise müssen Sie in Aufgabe 14 des Profils USE in der Mathematik den Winkel zwischen sich schneidenden Linien oder zwischen einer Linie und einer Ebene finden. Problem 14 wird oft um ein Vielfaches schneller gelöst als das klassische.

Im Schullehrplan in Mathematik wird nur das Skalarprodukt von Vektoren untersucht.
Es stellt sich heraus, dass es neben dem Skalar auch ein Vektorprodukt gibt, wenn ein Vektor durch Multiplikation zweier Vektoren erhalten wird. Wer die Klausur in Physik besteht, kennt die Lorentzkraft und die Ampèrekraft. Die Formeln zum Auffinden dieser Kräfte beinhalten genau Vektorprodukte.

Vektoren sind ein sehr nützliches mathematisches Werkzeug. Davon werden Sie im ersten Kurs überzeugt.

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Frage 1. Was ist ein Vektor? Wie sind Vektoren definiert?
Antworten. Wir nennen ein gerichtetes Segment einen Vektor (Abb. 211). Die Richtung eines Vektors wird durch Angabe seines Anfangs und Endes bestimmt. In der Zeichnung ist die Richtung des Vektors mit einem Pfeil gekennzeichnet. Um Vektoren zu bezeichnen, verwenden wir lateinische Kleinbuchstaben a, b, c, ... . Sie können einen Vektor auch bestimmen, indem Sie seinen Anfang und sein Ende angeben. In diesem Fall wird der Anfang des Vektors an die erste Stelle gesetzt. Anstelle des Wortes "Vektor" wird manchmal ein Pfeil oder ein Strich über der Buchstabenbezeichnung des Vektors platziert. Der Vektor in Abbildung 211 kann wie folgt bezeichnet werden:

\(\overline(a)\), \(\overrightarrow(a)\) oder \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\).

Frage 2. Welche Vektoren heißen gleichgerichtet (entgegengesetzt gerichtet)?
Antworten. Die Vektoren \(\overline(AB)\) und \(\overline(CD)\) heißen gleich gerichtet, wenn die Halbgeraden AB und CD gleich gerichtet sind.
Die Vektoren \(\overline(AB)\) und \(\overline(CD)\) heißen entgegengesetzt gerichtet, wenn die Halbgeraden AB und CD entgegengesetzt gerichtet sind.
In Abbildung 212 haben die Vektoren \(\overline(a)\) und \(\overline(b)\) dieselbe Richtung, während die Vektoren \(\overline(a)\) und \(\overline(c) \) haben entgegengesetzte Richtungen.

Frage 3. Was ist der Betrag eines Vektors?
Antworten. Der absolute Wert (oder Modul) eines Vektors ist die Länge des Segments, das den Vektor darstellt. Der Betrag des Vektors \(\overline(a)\) wird mit |\(\overline(a)\)| bezeichnet.

Frage 4. Was ist ein Nullvektor?
Antworten. Der Anfang eines Vektors kann mit seinem Ende zusammenfallen. Ein solcher Vektor wird als Nullvektor bezeichnet. Der Nullvektor wird durch Null mit Bindestrich (\(\overline(0)\)) bezeichnet. Niemand spricht über die Richtung des Nullvektors. Der Absolutwert des Nullvektors wird als gleich Null betrachtet.

Frage 5. Welche Vektoren heißen gleich?
Antworten. Zwei Vektoren heißen gleich, wenn sie durch Paralleltranslation kombiniert werden. Das bedeutet, dass es eine Parallelverschiebung gibt, die den Anfang und das Ende eines Vektors an den Anfang bzw. das Ende eines anderen Vektors verschiebt.

Frage 6. Beweisen Sie, dass gleiche Vektoren die gleiche Richtung haben und betragsmäßig gleich sind. Und umgekehrt: Gleich gerichtete und betragsmäßig gleiche Vektoren sind gleich.
Antworten. Bei der Parallelverschiebung behält der Vektor seine Richtung sowie seinen Absolutwert. Das bedeutet, dass gleiche Vektoren die gleiche Richtung haben und betragsmäßig gleich sind.
Seien \(\overline(AB)\) und \(\overline(CD)\) gleichgerichtete, betragsgleiche Vektoren (Abb. 213). Eine parallele Verschiebung, die Punkt C nach Punkt A führt, kombiniert die Halblinie CD mit der Halblinie AB, da sie gleich gerichtet sind. Und da die Segmente AB und CD gleich sind, fällt der Punkt D mit dem Punkt B zusammen, d.h. parallele Übersetzung übersetzt den Vektor \(\overline(CD)\) in den Vektor \(\overline(AB)\). Die Vektoren \(\overline(AB)\) und \(\overline(CD)\) sind also wie gefordert gleich.

Frage 7. Beweisen Sie, dass man von jedem Punkt aus einen Vektor zeichnen kann, der gleich dem gegebenen Vektor ist, und nur einen.
Antworten. Sei CD eine Gerade und der Vektor \(\overline(CD)\) ein Teil der Geraden CD. Sei AB die Gerade, in die die Gerade CD bei der parallelen Translation geht, \(\overline(AB)\) der Vektor, in den der Vektor \(\overline(CD)\) bei der parallelen Translation geht, also die Vektoren \(\ overline(AB)\) und \(\overline(CD)\) sind gleich, und die Linien AB und CD sind parallel (siehe Abb. 213). Wie wir wissen, ist es möglich, durch einen Punkt, der nicht auf einer gegebenen Linie liegt, in der Ebene höchstens eine Linie parallel zu der gegebenen zu zeichnen (das Axiom der parallelen Linien). Daher kann man durch den Punkt A eine Linie parallel zur Linie CD ziehen. Da der Vektor \(\overline(AB)\) Teil der Linie AB ist, ist es möglich, einen Vektor \(\overline(AB)\) durch den Punkt A zu zeichnen, der gleich dem Vektor \(\overline (CD)\).

Frage 8. Was sind Vektorkoordinaten? Wie groß ist der Betrag des Vektors mit den Koordinaten a 1 , a 2 ?
Antworten. Der Vektor \(\overline(a)\) soll am Punkt A 1 (x 1 ; y 1) beginnen und am Punkt A 2 (x 2 ; y 2) enden. Die Koordinaten des Vektors \(\overline(a)\) sind die Zahlen a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 . Wir setzen die Vektorkoordinaten neben die Buchstabenbezeichnung des Vektors, in diesem Fall \(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) oder einfach nur \((\overline(a 1 ; a 2 ))\ ). Die Nullvektorkoordinaten sind gleich Null.
Aus der Formel, die den Abstand zwischen zwei Punkten in Bezug auf ihre Koordinaten ausdrückt, folgt, dass der Absolutwert des Vektors mit den Koordinaten a 1 , a 2 \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2 )\) ist.

Frage 9. Beweisen Sie, dass gleiche Vektoren jeweils gleiche Koordinaten haben und Vektoren mit jeweils gleichen Koordinaten gleich sind.
Antworten. Seien A 1 (x 1 ; y 1) und A 2 (x 2 ; y 2) Anfang und Ende des Vektors \(\overline(a)\). Da der ihm gleiche Vektor \(\overline(a")\) aus dem Vektor \(\overline(a)\) durch Parallelverschiebung erhalten wird, sind sein Anfang und sein Ende jeweils A" 1 (x 1 + c ; y 1 + d ), A" 2 (x 2 + c; y 2 ​​​​+ d). Dies zeigt, dass beide Vektoren \(\overline(a)\) und \(\overline(a")\) haben dieselben Koordinaten: x 2 - x 1 , y 2 - y 1 .
Beweisen wir nun die umgekehrte Behauptung. Die entsprechenden Koordinaten der Vektoren \(\overline(A 1 A 2 )\) und \(\overline(A" 1 A" 2 )\) seien gleich. Wir beweisen, dass die Vektoren gleich sind.
Seien x" 1 und y" 1 die Koordinaten des Punktes A" 1 und x" 2, y" 2 die Koordinaten des Punktes A" 2. Nach der Bedingung des Satzes x 2 - x 1 \u003d x "2 - x" 1, y 2 - y 1 \u003d y "2 - y" 1. Also x "2 = x 2 + x" 1 - x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1. Parallelübersetzung durch Formeln gegeben

x" = x + x" 1 - x 1, y" = y + y" 1 - y 1,

überträgt Punkt A 1 zu Punkt A" 1 und Punkt A 2 zu Punkt A" 2 , d. h. die Vektoren \(\overline(A 1 A 2 )\) und \(\overline(A" 1 A" 2 )\) sind wie gefordert gleich.

Frage 10. Definiere die Summe von Vektoren.
Antworten. Die Summe der Vektoren \(\overline(a)\) und \(\overline(b)\) mit den Koordinaten a 1 , a 2 und b 1 , b 2 ist der Vektor \(\overline(c)\) mit Koordinaten a 1 + b 1 , a 2 + b a 2 , d.h.

\(\overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).

Einige physikalische Größen, beispielsweise Kraft oder Geschwindigkeit, sind nicht nur durch einen Zahlenwert, sondern auch durch eine Richtung gekennzeichnet. Solche Größen nennt man Vektorgrößen: F⃗ - Stärke, v⃗ - Geschwindigkeit.
Lassen Sie uns eine geometrische Definition eines Vektors geben.
Vektor ein Segment aufgerufen wird, für das angegeben ist, welcher seiner Randpunkte als Anfang und welcher als Ende gilt.
In den Zeichnungen ist ein Vektor als Liniensegment dargestellt, wobei ein Pfeil das Ende des Vektors anzeigt. Ein Vektor wird durch zwei lateinische Großbuchstaben mit einem Pfeil darüber gekennzeichnet. Der erste Buchstabe gibt den Anfang des Vektors an, der zweite das Ende.

Ein Vektor kann auch durch einen einzelnen lateinischen Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber gekennzeichnet werden.

Die Länge eines Vektors ist die Länge des Segments, das diesen Vektor darstellt. Vertikale Klammern werden verwendet, um die Länge eines Vektors anzugeben.
Ein Vektor, dessen Ende mit seinem Anfang übereinstimmt, wird aufgerufen Null Vektor. Der Nullvektor wird durch einen Punkt dargestellt und mit zwei identischen Buchstaben oder Null mit einem Pfeil darüber bezeichnet. Die Länge des Nullvektors ist gleich Null: |0 ⃗|= 0.

Lassen Sie uns das Konzept vorstellen kollinear Vektoren. Vektoren ungleich Null heißen kollinear, wenn sie auf derselben Linie oder auf parallelen Linien liegen. Der Nullvektor wird als kollinear zu jedem Vektor betrachtet.

Wenn kollineare Vektoren ungleich Null die gleiche Richtung haben, dann sind solche Vektoren kodirektional. Wenn ihre Richtungen entgegengesetzt sind, werden sie als entgegengesetzt gerichtet bezeichnet.
Es gibt spezielle Notationen zur Bezeichnung von gleichgerichteten und entgegengesetzt gerichteten Vektoren:
- m ⃗ R⃗ wenn die Vektoren m⃗ und R⃗ Co-Regie;
- m ⃗ ↓ n⃗ wenn die Vektoren m⃗ und n⃗ Gegenläufig.
Betrachten Sie die Bewegung eines Autos. Die Geschwindigkeit jedes ihrer Punkte ist eine Vektorgröße und wird durch ein gerichtetes Segment dargestellt. Da sich alle Punkte des Autos mit derselben Geschwindigkeit bewegen, haben alle gerichteten Segmente, die die Geschwindigkeiten verschiedener Punkte darstellen, dieselbe Richtung und ihre Längen sind gleich. Dieses Beispiel gibt uns einen Hinweis darauf, wie wir feststellen können, ob Vektoren gleich sind.
Zwei Vektoren heißen gleich, wenn sie in die gleiche Richtung weisen und gleich lang sind. Die Gleichheit von Vektoren kann mit dem Gleichheitszeichen geschrieben werden: a ⃗ = b ⃗, KH ⃗ = OE ⃗
Wenn Punkt R Vektorstart R⃗, dann betrachten wir das als den Vektor R⃗ vom Punkt verschoben R.

Lassen Sie uns das von jedem Punkt aus beweisen Ö Sie können einen Vektor gleich einem gegebenen Vektor beiseite legen R⃗ und nur einer.

Nachweisen:
1) Wenn R⃗ ist dann der Nullvektor OO ⃗ = R ⃗.
2) Wenn der Vektor R⃗ ungleich Null, Punkt R ist der Anfang dieses Vektors und der Punkt T- das Ende.
Pass durch den Punkt Ö gerade, parallel RT. Auf der konstruierten Geraden legen wir die Segmente beiseite OA 1 und OA 2 gleich dem Segment RT.

Wählen Sie aus Vektoren OA 1 und OA 2 Vektor, der mit dem Vektor gleichgerichtet ist R⃗. In unserer Zeichnung ist dies ein Vektor OA eines . Dieser Vektor ist gleich dem Vektor R⃗. Aus der Konstruktion folgt, dass ein solcher Vektor eindeutig ist.

Bevor wir zum Thema des Artikels übergehen, erinnern wir uns an die grundlegenden Konzepte.

Bestimmung 1

Vektor- ein gerades Liniensegment, das durch einen Zahlenwert und eine Richtung gekennzeichnet ist. Ein Vektor wird durch einen lateinischen Kleinbuchstaben mit einem Pfeil oben gekennzeichnet. Wenn es bestimmte Grenzpunkte gibt, sieht die Bezeichnung des Vektors aus wie zwei lateinische Großbuchstaben (die die Grenzen des Vektors markieren), ebenfalls mit einem Pfeil darüber.

Bestimmung 2

Nullvektor- irgendein Punkt der Ebene, gekennzeichnet als Null mit einem Pfeil darüber.

Bestimmung 3

Vektorlänge- ein Wert gleich oder größer als Null, der die Länge des Segments bestimmt, aus dem der Vektor besteht.

Bestimmung 4

Kollineare Vektoren- auf einer Linie oder auf parallelen Linien liegen. Vektoren, die diese Bedingung nicht erfüllen, heißen nicht-kollinear.

Eingabe: Vektoren ein → und b →. Um die Additionsoperation an ihnen auszuführen, ist es notwendig, den Vektor von einem beliebigen Punkt zu verschieben A B →, gleich dem Vektor ein →; vom empfangenen Punkt undefiniert - Vektor In C →, gleich dem Vektor b →. Durch Verbinden der Punkte undefined und C erhalten wir ein Segment (Vektor) Ein C →, die die Summe der ursprünglichen Daten sein wird. Andernfalls wird das beschriebene Vektoradditionsschema aufgerufen Dreiecksregel.

Geometrisch sieht die Vektoraddition so aus:

Für nicht kollineare Vektoren:

Für kollineare (kodirektionale oder entgegengesetzte) Vektoren:

Wenn wir das oben beschriebene Schema zugrunde legen, haben wir die Möglichkeit, die Operation des Addierens von mehr als 2 Vektoren durchzuführen: Hinzufügen jedes nachfolgenden Vektors der Reihe nach.

Bestimmung 6

Eingabe: Vektoren ein → , b → , c →, d → . Von einem beliebigen Punkt A in der Ebene aus muss ein Segment (Vektor) gleich dem Vektor beiseite gelegt werden ein →; dann, vom Ende des resultierenden Vektors, ein Vektor gleich dem Vektor b →; weiter - die nachfolgenden Vektoren werden nach dem gleichen Prinzip verschoben. Der Endpunkt des letzten verschobenen Vektors ist Punkt B und das resultierende Segment (Vektor) A B →- die Summe aller Anfangsdaten. Das beschriebene Schema zum Addieren mehrerer Vektoren wird auch aufgerufen Polygonregel .

Geometrisch sieht das so aus:

Bestimmung 7

Ein separates Aktionsschema für Vektorsubtraktion Nein, weil in der Tat die Differenz der Vektoren ein → und b → ist die Summe der Vektoren ein → und - b → .

Um die Aktion der Multiplikation eines Vektors mit einer bestimmten Zahl k auszuführen, müssen die folgenden Regeln berücksichtigt werden:
- wenn k > 1, dann dehnt diese Zahl den Vektor um k-mal;
- wenn 0< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в 1k mal;
- wenn k< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- wenn k = 1, dann bleibt der Vektor gleich;
- Wenn einer der Faktoren ein Nullvektor oder eine Zahl gleich Null ist, ist das Ergebnis der Multiplikation ein Nullvektor.

Ausgangsdaten:
1) Vektor ein → und die Zahl k = 2;
2) Vektor b → und Zahl k = - 1 3 .

Geometrisch sieht das Ergebnis der Multiplikation nach den obigen Regeln so aus:

Die oben beschriebenen Operationen auf Vektoren haben Eigenschaften, von denen einige offensichtlich sind, während andere geometrisch begründet werden können.

Eingabe: Vektoren ein → , b → , c → und beliebige reelle Zahlen λ und μ.

Die Eigenschaften der Kommutativität und Assoziativität ermöglichen es, Vektoren in beliebiger Reihenfolge hinzuzufügen.

Die aufgeführten Eigenschaften von Operationen erlauben es, die notwendigen Transformationen von vektornumerischen Ausdrücken analog zu den üblichen numerischen durchzuführen. Schauen wir uns das an einem Beispiel an.

Beispiel 1

Eine Aufgabe: vereinfache den Ausdruck a → - 2 (b → + 3 a →)
Lösung
- Mit dem zweiten Verteilungsgesetz erhalten wir: a → - 2 (b → + 3 a →) = a → - 2 b → - 2 (3 a →)
- Verwenden Sie die assoziative Eigenschaft der Multiplikation, der Ausdruck hat die folgende Form: a → - 2 b → - 2 (3 a →) = a → - 2 b → - (2 3) a → = a → - 2 b → - 6 ein →
- unter Verwendung des Kommutativgesetzes vertauschen wir die Terme: a → - 2 b → - 6 a → = a → - 6 a → - 2 b →
- dann erhalten wir gemäß der ersten Verteilungseigenschaft: a → - 6 a → - 2 b → = (1 - 6) a → - 2 b → = - 5 a → - 2 b → Eine kurze Aufzeichnung der Lösung sieht so aus: a → - 2 (b → + 3 a →) = a → - 2 b → - 2 3 a → = 5 a → - 2 b →
Antworten: a → - 2 (b → + 3 a →) = - 5 a → - 2 b →

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Die in dieser Lektion erworbenen Kenntnisse und Fähigkeiten werden den Schülern nicht nur im Geometrieunterricht, sondern auch im Unterricht in anderen Wissenschaften nützlich sein. Während der Lektion lernen die Schüler, wie man einen Vektor von einem bestimmten Punkt aus zeichnet. Das kann eine reguläre Geometriestunde sein, aber auch ein außerschulischer oder außerschulischer Mathematikunterricht. Diese Entwicklung wird dem Lehrer helfen, Zeit bei der Vorbereitung auf den Unterricht zum Thema "Verzögern eines Vektors von einem bestimmten Punkt" zu sparen. Es reicht ihm, die Videolektion im Unterricht zu spielen und den Stoff dann mit einer eigenen Auswahl an Übungen zu festigen.

Die Unterrichtsdauer beträgt nur 1:44 Minuten. Dies reicht jedoch aus, um Schulkindern beizubringen, den Vektor von einem bestimmten Punkt aus zu verschieben.

Die Lektion beginnt mit der Demonstration eines Vektors, dessen Anfang an einem bestimmten Punkt liegt. Sie sagen, dass der Vektor davon verschoben wird. Dann schlägt der Autor vor, gemeinsam mit ihm die Aussage zu beweisen, wonach ein Vektor, der gleich dem gegebenen und außerdem eindeutig ist, von jedem Punkt aus gezogen werden kann. Im Zuge des Beweises betrachtet der Autor jeden Fall im Detail. Erstens nimmt es die Situation an, wenn der gegebene Vektor Null ist, und zweitens, wenn der Vektor nicht Null ist. Während des Beweises werden Illustrationen in Form von Zeichnungen und Konstruktionen, mathematischer Notation, verwendet, die die mathematische Grundbildung bei Schulkindern bilden. Der Autor spricht langsam, was es den Schülern ermöglicht, während des Kommentierens parallel Notizen zu machen. Die Konstruktion, die der Autor im Zuge des Beweises der zuvor formulierten Aussage durchgeführt hat, zeigt, wie man von einem Punkt an einen Vektor konstruieren kann, der gleich dem gegebenen ist.

Wenn die Schüler die Lektion aufmerksam verfolgen und gleichzeitig Notizen machen, werden sie den Stoff leicht lernen. Darüber hinaus erzählt der Autor ausführlich, gemessen und ziemlich vollständig. Wenn Sie aus irgendeinem Grund etwas nicht gehört haben, können Sie zurückgehen und die Lektion erneut ansehen.

Nachdem Sie sich das Video-Tutorial angesehen haben, ist es ratsam, mit der Reparatur des Materials zu beginnen. Dem Lehrer wird empfohlen, Aufgaben zu diesem Thema auszuwählen, um die Fähigkeit zu erarbeiten, den Vektor von einem bestimmten Punkt aus zu verschieben.

Diese Lektion kann von den Schülern zum Selbststudium des Themas verwendet werden. Aber um sich zu festigen, müssen Sie den Lehrer kontaktieren, damit er die geeigneten Aufgaben auswählt. In der Tat ist es ohne Konsolidierung des Materials schwierig, ein positives Ergebnis im Training zu erzielen.