Příklad stanovení chyby nepřímého měření. Výpočet chyb nepřímých měření

Vzorce pro výpočet chyb v nepřímých měřeních jsou založeny na konceptech diferenciálního počtu.

Nechť závislost množství Y z naměřené hodnoty Z má jednoduchý tvar: .

Tady a jsou konstanty, jejichž hodnoty jsou známé. Pokud se z zvýší nebo sníží o určité číslo, změní se odpovídajícím způsobem na:

Pokud je chyba naměřené hodnoty Z, pak podle toho dojde k chybě ve vypočítané hodnotě Y.

Získejte vzorec pro absolutní chybu v obecném případě funkce jedné proměnné. Nechť má graf této funkce tvar podle obr. 1. Přesná hodnota argumentu z 0 odpovídá přesné hodnotě funkce y 0 = f(z 0).

Naměřená hodnota argumentu se liší od přesné hodnoty argumentu o Δz kvůli chybám měření. Hodnota funkce se bude lišit od přesné hodnoty o Δy.

Z geometrického významu derivace jako tečny úhlu sklonu tečny ke křivce v daném bodě (obr. 1) vyplývá:

. (10)

Vzorec pro relativní chybu nepřímého měření v případě funkce jedné proměnné bude:
. (11)

Uvážíme-li, že diferenciál funkce je roven , dostaneme

(12)

Pokud je nepřímé měření funkcí m proměnné , pak bude chyba nepřímého měření záviset na chybách přímých měření. Označujeme částečnou chybu spojenou s chybou měření argumentu . To se rovná inkrementaci funkce jejím inkrementováním za předpokladu, že všechny ostatní argumenty jsou nezměněny. Dílčí absolutní chybu podle (10) tedy zapíšeme v následujícím tvaru:

(13)

Pro nalezení dílčí chyby nepřímého měření je tedy nutné podle (13) vynásobit parciální derivaci chybou přímého měření. Při výpočtu parciální derivace funkce vzhledem k jsou zbývající argumenty považovány za konstantní.

Výsledná absolutní chyba nepřímého měření je určena vzorcem, který zahrnuje druhé mocniny dílčích chyb

nepřímé měření:

nebo s přihlédnutím k (13)

(14)

Relativní chyba nepřímého měření je určena vzorcem:

Nebo s přihlédnutím k (11) a (12)

. (15)

Pomocí (14) a (15) je nalezena jedna z chyb, absolutní nebo relativní, v závislosti na výhodnosti výpočtů. Má-li tedy pracovní vzorec například podobu součinu, podílu měřených veličin, je snadné vzít logaritmus a použít vzorec (15) k určení relativní chyby nepřímého měření. Poté vypočítejte absolutní chybu pomocí vzorce (16):

Pro ilustraci výše uvedeného postupu stanovení chyby nepřímých měření se vraťme k virtuální laboratorní práci „Stanovení zrychlení volného pádu pomocí matematického kyvadla“.

Pracovní vzorec (1) má tvar poměru naměřených veličin:

Začněme proto definicí relativní chyby. Chcete-li to provést, vezměte logaritmus tohoto výrazu a poté vypočítejte parciální derivace:

; ; .

Dosazení do vzorce (15) vede ke vzorci pro relativní chybu nepřímého měření:

(17)

Po dosazení výsledků přímých měření

{ ; ) v (17) dostáváme:

(18)

Pro výpočet absolutní chyby použijeme výraz (16) a dříve vypočtenou hodnotu (9) zrychlení volného pádu G:

Výsledek výpočtu absolutní chyby se zaokrouhlí na jedno platné číslo. Vypočtená hodnota absolutní chyby určuje přesnost záznamu konečného výsledku:

, α ≈ 1. (19)

V tomto případě je pravděpodobnost spolehlivosti určena pravděpodobností spolehlivosti těch přímých měření, která rozhodujícím způsobem přispěla k chybě nepřímého měření. V tomto případě se jedná o dobová měření.

Tedy s pravděpodobností blízkou 1 hodnota G leží v rozmezí od 8 do 12.

Pro získání přesnější hodnoty gravitačního zrychlení G je nutné zlepšit metodiku měření. Za tímto účelem je nutné snížit relativní chybu, která je, jak vyplývá ze vzorce (18), určena především chybou měření času.

K tomu je potřeba změřit dobu ne jednoho úplného kmitu, ale např. 10 úplných kmitů. Potom, jak vyplývá z (2), vzorec relativní chyby bude mít tvar:

. (20)

Tabulka 4 uvádí výsledky měření času pro N = 10

Za hodnotu L Vezměme výsledky měření z tabulky 2. Dosazením výsledků přímých měření do vzorce (20) zjistíme relativní chybu nepřímého měření:

Pomocí vzorce (2) vypočteme hodnotu nepřímo měřené veličiny:

.

.

Konečný výsledek je zapsán takto:

; ; .

Tento příklad ukazuje roli vzorce relativní chyby v analýze možných směrů pro zlepšení technik měření.

Pokud požadovanou fyzikální veličinu nelze změřit přímo zařízením, ale vyjadřuje se prostřednictvím naměřených veličin pomocí vzorce, pak se taková měření nazývají nepřímý.

Stejně jako u přímých měření můžete vypočítat střední absolutní (aritmetickou střední) chybu nebo střední kvadraturu nepřímých měření.

Obecná pravidla pro výpočet chyb pro oba případy jsou odvozena pomocí diferenciálního počtu.

Nechť fyzikální veličinu j( X, y, z, ...) je funkcí řady nezávislých argumentů x, y, z, ..., z nichž každý může být stanoven experimentálně. Přímým měřením se určují veličiny a odhadují se jejich průměrné absolutní chyby nebo střední kvadratické chyby.

Průměrná absolutní chyba nepřímých měření fyzikální veličiny j se vypočítá pomocí vzorce

kde jsou parciální derivace φ vzhledem k x, y, z, vypočítané pro průměrné hodnoty odpovídajících argumentů.

Protože vzorec používá absolutní hodnoty všech členů součtu, výraz pro odhaduje maximální chybu při měření funkce pro dané maximální chyby nezávislých proměnných.

j. střední kvadratická chyba nepřímých měření fyzikální veličiny

j. Relativní maximální chyba nepřímých měření fyzikální veličiny

kde atd.

Podobně můžeme zapsat relativní střední kvadraturu nepřímých měření j

Pokud vzorec představuje výraz vhodný pro logaritmizaci (tj. součin, zlomek, mocninu), pak je vhodnější nejprve vypočítat relativní chybu. Chcete-li to provést (v případě průměrné absolutní chyby), musíte provést následující.

1. Vezměte logaritmus výrazu pro nepřímé měření fyzikální veličiny.

2. Rozlišujte to.

3. Spojte všechny pojmy se stejným diferenciálem a vyjměte jej ze závorek.

4. Vezměte výraz před různými modulo diferenciály.

5. Formálně nahraďte diferenciální symboly symboly absolutní chyby D.

Pak, když znáte e, můžete vypočítat absolutní chybu Dj pomocí vzorce

Příklad 1 Odvození vzorce pro výpočet maximální relativní chyby nepřímých měření objemu válce.

Výraz pro nepřímé měření fyzikální veličiny (původní vzorec)

Velikost průměru D a výška válce h měřeno přímo přístroji s přímou chybou měření, resp D a D h.

Vezměme logaritmus původního vzorce a dostaneme

Derivujme výslednou rovnici

Nahrazením diferenciálních symbolů symboly absolutní chyby D získáme konečně vzorec pro výpočet maximální relativní chyby nepřímých měření objemu válce.

V laboratorní praxi je většina měření nepřímá a veličina, která nás zajímá, je funkcí jedné nebo více přímo měřených veličin:

N= ƒ (x, y, z, ...) (13)

Jak vyplývá z teorie pravděpodobnosti, průměrná hodnota veličiny se určí dosazením průměrných hodnot přímo měřených veličin do vzorce (13), tzn.

¯ N= ƒ (¯ x, ¯ y, ¯ z, ...) (14)

Je nutné najít absolutní a relativní chyby této funkce, pokud jsou známy chyby nezávislých proměnných.

Uvažujme dva extrémní případy, kdy jsou chyby buď systematické, nebo náhodné. Nepanuje shoda ohledně výpočtu systematické chyby v nepřímých měřeních. Pokud však vyjdeme z definice systematické chyby jako maximální možné chyby, pak je vhodné najít systematická chyba podle vzorců

(15) popř

Kde

parciální derivační funkce N= ƒ(x, y, z, ...) s ohledem na argument x, y, z..., nalezený za předpokladu, že všechny ostatní argumenty, kromě toho, u kterého je derivace nalezena, jsou konstantní ;
δx, δy, δz systematické chyby argumentů.

Vzorec (15) je vhodné použít, pokud má funkce tvar součtu nebo rozdílu argumentů. Výraz (16) je vhodné použít, pokud má funkce tvar součinu nebo podílu argumentů.

Najít náhodná chyba Pro nepřímá měření byste měli použít vzorce:

(17) popř

kde Δx, Δy, Δz, ... intervaly spolehlivosti při daných pravděpodobností spolehlivosti (spolehlivosti) pro argumenty x, y, z, ... . Je třeba mít na paměti, že intervaly spolehlivosti Δx, Δy, Δz, ... musí být brány se stejnou pravděpodobností spolehlivosti P 1 = P 2 = ... = P n = P.

V tomto případě spolehlivost pro interval spolehlivosti Δ N bude také P.

Vzorec (17) je vhodné použít, pokud je funkce N= ƒ(x, y, z, ...) má tvar součtu nebo rozdílu argumentů. Vzorec (18) je vhodné použít, pokud je funkce N= ƒ(x, y, z, ...) má tvar součinu nebo podílu argumentů.

Často se pozoruje, že systematická chyba a náhodná chyba jsou blízko sebe a obě stejně určují přesnost výsledku. V tomto případě je celková chyba ∑ nalezena jako kvadratický součet náhodných Δ a systematických δ chyb s pravděpodobností ne menší než P, kde P je pravděpodobnost spolehlivosti náhodné chyby:

Při provádění nepřímých měření za nereprodukovatelných podmínek funkce se najde pro každé jednotlivé měření a vypočítá se interval spolehlivosti pro získání hodnot požadované veličiny stejnou metodou jako u přímých měření.

Je třeba poznamenat, že v případě funkční závislosti vyjádřené vzorcem vhodným pro logaritmizaci je snazší nejprve určit relativní chybu a poté z výrazu Δ N = ε ¯ N najít absolutní chybu.

Před zahájením měření je třeba vždy promyslet následné výpočty a zapsat si vzorce, podle kterých se budou počítat chyby. Tyto vzorce vám umožní pochopit, která měření by měla být prováděna obzvláště pečlivě a která nevyžadují velké úsilí.

Při zpracování výsledků nepřímých měření se navrhuje následující pořadí operací:

1. Všechny veličiny zjištěné přímým měřením zpracujte v souladu s pravidly pro zpracování výsledků přímých měření. V tomto případě nastavte stejnou hodnotu spolehlivosti P pro všechny měřené veličiny.
2. Přesnost výsledku nepřímých měření vyhodnoťte pomocí vzorců (15) (16), kde vypočítejte derivace pro průměrné hodnoty veličin.
   Pokud chyba jednotlivých měření vstupuje do výsledku diferenciace vícekrát, pak je nutné seskupit všechny členy obsahující stejný diferenciál a výrazy v závorkách předcházející diferenciálu vzít modulo; podepsat d nahradit Δ (nebo δ).
3. Pokud jsou náhodné a systematické chyby svou velikostí blízko sebe, sečtěte je podle pravidla sčítání chyb. Pokud je jedna z chyb třikrát nebo vícekrát menší než druhá, zahoďte tu menší.
4. Výsledek měření zapište do formuláře:

   N= ƒ (¯ x, ¯ y, ¯ z, ...) ± Δƒ.

5. Určete relativní chybu výsledku série nepřímých měření

   ε = Δƒ · 100 %.
   ¯¯ ƒ¯

   Uveďme příklady výpočtu chyby nepřímého měření.

   Příklad 1 Objem válce se zjistí pomocí vzorce

   V = π d 2 h,
   

   4

   kde d průměr válce, h výška válce.

   Obě tyto veličiny jsou určeny přímo. Nechť měření těchto veličin poskytne následující výsledky:

   d = (4,01 ± 0,03) mm,

   h = (8,65 ± 0,02) mm, se stejnou spolehlivostí P = 0,95.

   Průměrná hodnota objemu podle (14) je rovna

   V = 3,14 · (4,01) 2 · 8,65 = 109,19 mm
   

   4

   Pomocí výrazu (18) máme:

   ln V = ln π + 2 lnd + lnh - ln4;

   ;

   Protože měření byla provedena mikrometrem, jehož hodnota dělení je 0,01 mm, systematické chyby
   5d = 5h = 0,01 mm. Na základě (16) bude systematická chyba δV

   Systematická chyba se tedy ukazuje jako srovnatelná s tou náhodnou

Ve většině případů je během experimentu měřeno několik veličin několika přístroji a pro získání konečného výsledku je třeba tato měření zpracovat pomocí matematických operací: sčítání, násobení atd. Proto je nutné hodnotit přesnost experimentu jako celku výpočtem mezních a středních čtvercových chyb experimentu.

Pravidla pro výpočet maximální relativní experimentální chyby:

1. Chyba součtu je mezi největší a nejmenší z relativních chyb členů. Obvykle se bere v úvahu buď největší chyba, nebo aritmetický průměr (v laboratorní práci budeme používat aritmetický průměr).

2. Chyba součinu nebo kvocientu se rovná součtu relativních chyb faktorů nebo dělitele a dělitele.

3. Chyba n stupeň základny v n krát relativní chyba báze.

Pro výpočet střední kvadratické chyby výsledku nepřímých měření je nutné zajistit nezávislost výsledků měření. V tomto případě střední kvadratická chyba při výpočtu hodnoty W, což je funkce přímo měřených parametrů X, y, z, ... je určeno vzorcem:

kde jsou parciální derivace funkce vypočtené při průměrných hodnotách parametrů X, y, z, …, - opravené odchylky, resp X, y, z, ….

Příklad. Stanovení chyby nepřímých měření

V důsledku opakovaných měření byly získány průměrné hodnoty a střední kvadratické chyby 3 vzájemně nezávislých parametrů:

a) maximální relativní chyba měření a maximální relativní chyba při určování funkce

b) střední hodnota a střední kvadratická chyba určení funkce

a) Najděte maximální relativní chyby měření X, y, z podle vzorce (13):

Maximální relativní chyba při určování funkce

Zjistíme, podle pravidel pro výpočet maximální relativní chyby experimentu:

b) Vypočítejte průměrnou hodnotu funkce

Pro výpočet střední kvadratické chyby při určování funkce pomocí vzorce (14) najdeme parciální derivace:

a vypočítat je na průměrných hodnotách X, y, z:

Dosazením do vzorce (14) dostaneme:

4. Výpočet charakteristik lineárního regresního modelu

Jednou z účinných metod pro stanovení vztahů mezi faktory je korelační-regresní analýza.

Úkolem korelačně-regresní metody je najít empirickou rovnici, která charakterizuje vztah mezi výsledným parametrem Y s určitým vstupním faktorem X.

Jako forma komunikace Y A X Lineární závislost je široce používána díky své jednoduchosti ve výpočtech a také kvůli tomu, že na ni lze redukovat mnoho dalších typů závislostí.

Výpočet lineárního regresního modelu zahrnuje následující kroky:

1. Výpočet teoretické lineární regresní rovnice;

2. Posouzení pevnosti spojení, výpočet korelačního koeficientu;

3. Posouzení významnosti korelačního koeficientu;

4. Posouzení významnosti koeficientů regresní rovnice;

5. Stanovení adekvátnosti regresní rovnice a mezí spolehlivosti.

Lineární regrese Y na X má tvar:

kde α a β jsou regresní parametry (β se nazývá regresní koeficient).

Statistické odhady regresních parametrů α a β se volí tak, aby se hodnoty vypočtené vzorcem co nejvíce blížily empirickým hodnotám. Jako měřítko blízkosti je zvolen součet čtverců odchylek. Metoda zjišťování parametrů minimalizací součtu čtverců odchylek empirických hodnot od teoretických hodnot ve stejných bodech se nazývá metoda nejmenších čtverců.

Optimální hodnoty parametrů získané touto metodou se určují podle vzorců:

kde a jsou průměrné hodnoty X A Y, které se počítají pomocí vzorců:

S ohledem na (15) zapíšeme empirickou regresní přímku ve tvaru:

Síla lineární korelační závislosti Y A X charakterizuje korelační koeficient r. Součinitel r se pohybuje od do 1. Čím blíže k , tím silnější je lineární vztah Y A X, v omezujícím případě if existuje přesná lineární funkční závislost Y z X. Pokud, pak Y A X nekorelovat. Odhadem korelačního koeficientu r slouží jako výběrový korelační koeficient, který se vypočítá podle vzorce:

Korelační koeficient stanovený z výběrových dat se nemusí shodovat se skutečnou hodnotou odpovídající obecné populaci. K testování statistické hypotézy o významnosti výběrového korelačního koeficientu použijte t-Studentův t-test, jehož pozorovaná hodnota se vypočítá pomocí vzorce:

Kritická hodnota t-kritéria pro počet stupňů volnosti a hladinu významnosti α zjistíme z tabulek kritických bodů Studentova rozdělení. Pokud , pak se předpoklad o nulové hodnotě korelačního koeficientu nepotvrdí a výběrový korelační koeficient je významný. Pokud , pak hodnotu r blízko nule.

Pro odhad parametrů obsažených v regresní rovnici (16) se při řešení praktických problémů můžeme omezit na konstrukci intervalů spolehlivosti. Pro danou spolehlivost γ jsou intervaly spolehlivosti pro parametry a β určeny pomocí vzorců:

kde je kritická hodnota t-kritérium pro počet stupňů volnosti a hladinu významnosti, které se zjistí z tabulek kritických bodů Studentova rozdělení, - druhá odmocnina zbytkového rozptylu, která se zjistí ze vzorce:

Po získání empirické regresní rovnice zkontrolujte, jak dobře odpovídá výsledkům pozorování. K testování hypotézy o významnosti regresní rovnice použijte F- Fisherovo kritérium, jehož pozorovaná hodnota se vypočítá pomocí vzorce:

kde je opravený rozptyl Y, který se vypočítá podle vzorce:

Kritická hodnota F-kritéria pro počet stupňů volnosti a hladinu významnosti α zjistíme z tabulek kritických bodů Fisher-Snedecorova rozdělení. Pokud , pak se hypotéza o nevýznamnosti regresní rovnice nepotvrdila a rovnice odpovídá výsledkům pozorování. Pokud , pak je výsledná rovnice nevýznamná.

Další charakteristikou míry toho, jak dobře empirická rovnice popisuje daný systém pozorování, je koeficient determinace d, který se vypočítá podle vzorce:

Čím bližší je koeficient d na jednu, tím lepší popis.

Jakmile je model vytvořen, používá se pro analýzu a prognózy. Prognóza se provádí dosazením faktoru do rovnice (17). Výsledný bodový odhad je:

Interval spolehlivosti pro předpokládanou hodnotu je:

kde je kritická hodnota t-kritérium pro počet stupňů volnosti a hladinu významnosti, které se zjistí z tabulek kritických bodů Studentova rozdělení.

Příklad. Vytvoření modelu lineární regrese

Na základě pozorovacích dat určete parametry lineární regresní rovnice Y na X. Najděte regresní a korelační koeficienty a otestujte hypotézu o významnosti výběrového korelačního koeficientu. Najděte intervaly spolehlivosti pro parametry regresní rovnice. Určete koeficient determinace. Otestujte hypotézu o významnosti výsledné regresní rovnice. Najděte hodnotu předpokládanou modelem y na x=x 0 a najděte pro ni interval spolehlivosti. Vezměte hladinu významnosti rovnou 0,05.

X
Y	0,5	0,7	0,9	1,1	1,4	1,4	1,7	1,9

Pro získání parametrů regresní rovnice si vytvořte tabulku. tabulka 2

	0,5 0,7 0,9 1,1 1,4 1,4 1,7 1,9	-40 -28 -11	-0,7 -0,5 -0,3 -0,1 0,2 0,2 0,5 0,7		0,49 0,25 0,09 0,01 0,04 0,04 0,25 0,49	3,3 -0,2 1,8 2,6 10,5 23,8	0,43 0,661 0,998 1,239 1,373 1,450 1,604 1,854	0,0049 0,0015 0,0077 0,0193 0,0007 0,0025 0,0092 0,0021
	9,6				1,66	83,8		0,0479

Poslední řádek tabulky ukazuje součty sloupců použitých ve výpočtech.

Pojďme najít průměrné hodnoty X A Y podle vzorce (16):

Vypočítejme regresní koeficient pomocí vzorce (15):

A získáme empirickou regresní rovnici dosazením do (17):

Pomocí vzorce (28) vypočítáme teoretické hodnoty a vyplníme poslední dva sloupce tabulky 2.

Vypočítejme korelační koeficient pomocí vzorce (18):

A otestujme hypotézu o jeho významu. Zjištěnou hodnotu kritéria zjistíme pomocí vzorce (19):

Pomocí tabulky kritických bodů Studentova rozdělení najdeme kritický bod Studentova rozdělení s počtem stupňů volnosti a hladinou významnosti Y A X jsou spojeny lineární korelací.

Pro určení intervalů spolehlivosti parametrů rovnice lineární regrese (28) zjistíme zbytkový rozptyl pomocí vzorce (22):

Dosazením do vzorce (20) získáme interval spolehlivosti Výpočtem získáme intervalový odhad pro se spolehlivostí

Získáme interval spolehlivosti pro použití vzorce (21):

Takže odhad intervalu pro parametr se spolehlivostí

Ověřme hypotézu o významnosti výsledné regresní rovnice. Pro výpočet pozorované hodnoty F-kritéria najdeme opravený rozptyl Y pomocí vzorce (24): Dosazením do vzorce (23) získáme: Pomocí tabulky kritických bodů Fisher-Snedecorova rozdělení pro počet stupňů volnosti a na hladině významnosti zjistíme Porovnáním pozorovaných a kritických hodnot. F-kritéria, získáme tedy, že rovnice je významná.

Pro posouzení přiměřenosti lineárního modelu k pozorovaným hodnotám zjišťujeme také koeficient determinace pomocí vzorce (25):

Tento výsledek je interpretován následovně: 97,1% variabilita Y vysvětlit změnou faktoru X a zbývající náhodné faktory tvoří 2,9 % variability. Tento závěr však platí pouze pro uvažovaný rozsah hodnot X.

Pro prognózování používáme rovnici (28). S bodovým odhadem za y získáme dosazením do vzorce (28): Interval spolehlivosti pro, který získáme ze vzorce (27):

Nakonec intervalový odhad pro se spolehlivostí

Nechť jsou známé dvě nezávisle měřené fyzikální veličiny a s chybami resp. Pak platí následující pravidla:

1. Absolutní chyba součtu (rozdílu) je součtem absolutních chyb. Tedy pokud

Přiměřenější odhad (s přihlédnutím k tomu, že hodnoty jsou nezávislé a je nepravděpodobné, že jejich skutečné hodnoty budou současně na koncích rozsahů) se získá pomocí vzorce:

Na všech školních olympiádách je povoleno použití kteréhokoli z těchto dvou vzorců. Podobné vzorce platí pro případ několika (více než dvou) termínů.

Příklad:

Nechte hodnotu ,

.

2. Relativní chyba součinu (kvocient) je součtem relativních chyb.

Tedy pokud

Stejně jako v předchozím případě by byl vzorec rozumnější

Podobné vzorce platí pro případ několika (více než dvou) faktorů.

V důsledku sečtení dvou veličin se tedy nejprve vypočítá absolutní chyba veličiny a poté lze vypočítat relativní chybu.

Příklad:

Nechte hodnotu ,

3. Pravidlo pro umocňování. Pokud, tak.

Příklad:

4. Pravidlo násobení konstantou. Pokud .

Příklad:

5. Složitější funkce veličin jsou rozčleněny na jednodušší výpočty, jejichž chyby lze vypočítat pomocí výše uvedených vzorců.

Příklad:

Nechat

6. Pokud je výpočetní vzorec složitý a nelze jej redukovat na výše popsaný případ, pak školáci obeznámení s pojmem parciální derivace mohou najít chybu nepřímého měření takto: nechť , pak

nebo jednodušší odhad:

Příklad:

Nechat

7. Školáci, kteří nejsou obeznámeni s derivacemi, mohou použít hraniční metodu, která se skládá z následujícího: dejte nám vědět, že pro každou veličinu existuje rozmezí, ve kterém leží její skutečná hodnota. Vypočítejme minimální a maximální možnou hodnotu hodnoty v oblasti, kde jsou hodnoty specifikovány:

Pro absolutní chybu hodnoty bereme poloviční rozdíl maximální a minimální hodnoty:

Příklad:

Nechat

Pravidla zaokrouhlování

Při zpracování výsledků měření je často nutné zaokrouhlování. V tomto případě je nutné zajistit, aby chyba vznikající při zaokrouhlování byla minimálně o řád menší než ostatní chyby. Ponechání příliš mnoha významných čísel je však také špatné, protože to znamená ztrátu drahocenného času. Ve většině případů stačí chybu zaokrouhlit na dvě platné číslice a výsledek ve stejném pořadí jako chyba. Při psaní konečné odpovědi je zvykem ponechat v chybě pouze jednu platnou číslici, kromě případu, kdy je tato číslice jedna, pak je třeba v chybě ponechat dvě významné číslice. Pořadí čísla se také často vyjímá ze závorek, takže první platná číslice čísla zůstává buď v jednotkovém pořadí, nebo v řádu desetin.

Předpokládejme například, že byl změřen Youngův modul oceli a hliníku a byly získány následující hodnoty (před zaokrouhlením):

, , , .

Správně napsaná konečná odpověď pak bude vypadat takto:

Grafy

V mnoha úlohách navržených na fyzikálních olympiádách pro školáky je nutné odstranit závislost jedné fyzikální veličiny na druhé a následně tuto závislost analyzovat (porovnat experimentální závislost s teoretickou, určit neznámé parametry teoretické závislosti). Graf je nejpohodlnější a nejvizuálnější způsob, jak prezentovat data a dále je analyzovat. Proto bodovací kritéria pro většinu experimentálních problémů zahrnují body za vykreslení grafu, i když graf není v podmínce výslovně vyžadován. Pokud tedy při řešení problému pochybujete, zda daná úloha vyžaduje sestrojení grafu či nikoli, vyberte si graf.

Pravidla pro konstrukci grafu

1. Graf je nakreslen na milimetrový papír. Pokud milimetrový papír nebyl poskytnut ihned na experimentálním kole olympiády, je třeba o něj požádat organizátory.

2. Graf musí být nahoře podepsán, aby bylo vždy možné zjistit, který účastník tento graf sestavil. Práce by měla naznačit, že byl sestaven vhodný graf pro případ, že by se graf během kontroly ztratil.

3. Orientace milimetrového papíru může být na šířku nebo na výšku.

4. Graf musí mít souřadnicové osy. Vertikální osa je na levé straně grafu a vodorovná osa je dole.

5. Vertikální osa by měla odpovídat hodnotám funkcí a horizontální osa hodnotám argumentů.

6. Osy na grafu jsou nakresleny s odsazením 1-2 cm od okraje milimetrového papíru.

7. Každá osa musí být označena, tj. fyzikální veličina vynesená podél této osy a (oddělená čárkou) musí být uvedena jednotka jejího měření. Záznamy ve tvaru " ", " " a " " jsou ekvivalentní, ale preferují se první dvě možnosti. Vodorovná osa je podepsána vlevo na horním konci a svislá osa je podepsána dole na pravém konci.

8. Osy se nemusí protínat v bodě (0,0).

9. Měřítko grafu a poloha počátku na souřadnicových osách se volí tak, aby vykreslené body byly umístěny pokud možno po celé ploše listu. V tomto případě se nuly souřadnicových os nemusí na grafu vůbec objevit.

10. Čáry nakreslené na milimetrový papír přes centimetr by měly padat na zaokrouhlené hodnoty. Je vhodné pracovat s grafem, pokud 1 cm na milimetrovém papíru odpovídá 1, 2, 4, 5 * 10 n jednotkám měření podél dané osy. Některé oddíly na ose je třeba podepsat. Podepsané oddíly musí být ve stejné vzdálenosti od sebe. Na ose musí být alespoň 4 označené oddíly a ne více než 10.

11. Body musí být zakresleny do grafu tak, aby byly jasně a jasně viditelné. Aby se ukázalo, že hodnota vynesená do grafu má chybu, jsou z každého bodu nakresleny segmenty nahoru a dolů, doprava a doleva. Délka vodorovných úseků odpovídá chybě hodnoty vynesené podél vodorovné osy, délka svislých úseků odpovídá chybě hodnoty vynesené podél svislé osy. Tím jsou označeny oblasti definice experimentálního bodu, nazývané chybové kříže. Chybové křížky je nutné vynést do grafu, kromě následujících případů: v zadání problému je dán přímý pokyn nevyhodnocovat chyby, je chyba menší než 1 mm na stupnici odpovídající osy. V druhém případě je nutné uvést, že chyba v hodnotách je příliš malá na to, aby mohla být vykreslena podél této osy. V takových případech se má za to, že velikost bodu odpovídá chybě měření.

12. Snažte se zajistit, aby váš rozvrh byl pohodlný, srozumitelný a úhledný. Postavte ji tužkou, abyste mohli opravit chyby. Neoznačujte odpovídající hodnotu vedle bodu – tím by se graf zpřeházel. Pokud je na stejném grafu zobrazeno více vztahů, použijte pro body různé symboly nebo barvy. K určení, který typ experimentálních bodů odpovídá které závislosti, použijte legendu grafu. Přeškrtnutí na grafu je povoleno (pokud selhala guma nebo nebyla po ruce dobrá tužka), ale musí být provedena opatrně. Neměli byste používat korektor mrtvice - vypadá to ošklivě.

Poznámka: Všechna výše uvedená pravidla platí pouze z důvodu pohodlí při práci s rozvrhem. Při kontrole prací na olympiádách však porota používá tato pravidla jako formální kritérium: stupnice je špatně zvolena - mínus půl bodu. Proto by tato pravidla měla být na olympiádě přísně dodržována.

Příklad:

Vpravo je graf sestavený nikoli podle kritérií, ale vlevo, sestavený podle výše uvedených pravidel.