Какое из предложенных уравнений движения гармонического колебания. Гармонические колебания и их характеристики

>> Гармонические колебания

§ 22 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Зная, как связаны между собой ускорение и координата колеблющегося тела, можно на основе математического анализа найти зависимость координаты от времени.

Ускорение - вторая производная координаты по времени. Мгновенная скорость точки, как вам известно из курса математики , представляет собой производную координаты точки по времени. Ускорение точки - это производная ее скорости по времени, или вторая производная координаты по времени. Поэтому уравнение (3.4) можно записать так:

где х" - вторая производная координаты по времени. Согласно уравнению (3.11) при свободных колебаниях координата х изменяется со временем так, что вторая производная координаты по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку.

Из курса математики известно, что вторые производные синуса и косинуса по их аргументу пропорциональны самим функциям, взятым с противоположным знаком. В математическом анализе доказывается, что никакие другие функции таким свойством не обладают. Все это позволяет с полным основанием утверждать, что координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону синуса или пасинуса. На рисунке 3.6 показано изменение координаты точки со временем по закону косинуса .

Периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями.

Амплитуда колебаний. Амплитудой гармонических колебаний называется модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.

Амплитуда может иметь различные значения в зависимости от того, насколько мы смещаем тело от положения равновесия в начальный момент времени, или от того, какая скорость сообщается телу. Амплитуда определяется начальными условиями, а точнее энергией, сообщаемой телу. Но максимальные значения модуля синуса и модуля косинуса равны единице. Поэтому решение уравнения (3.11) не может выражаться просто синусом или косинусом. Оно должно иметь вид произведения амплитуды колебаний х m на синус или косинус.

Решение уравнения, описывающего свободные колебания . Запишем решение уравнения (3.11) в следующем виде:

а вторая производная будет равна:

Мы получили уравнение (3.11). Следовательно, функция (3.12) есть решение исходного уравнения (3.11). Решением этого уравнения будет также функция

График зависимости координаты тела от времени согласно (3.14) представляет собой косинусоиду (см. рис. 3.6).

Период и частота гармонических колебаний . При колебаниях движения тела периодически повторяются. Промежуток времени Т, за который система совершает один полный цикл колебаний, называется периодом колебаний.

Зная период, можно определить частоту колебаний, т. е. число колебаний в единицу времени, например за секунду. Если одно колебание совершается за время Т, то число колебаний за секунду

В Международной системе единиц (СИ) частота колебаний равна единице, если за секунду совершается одно колебание. Единица частоты называется герцем (сокращенно: Гц) в честь немецкого физика Г. Герца.

Число колебаний за 2 с равно:

Величина - циклическая, или круговая, частота колебаний. Если в уравнении (3.14) время t равно одному периоду, то T = 2. Таким образом, если в момент времени t = 0 х = х m , то и в момент времени t = Т х = х m , т. е. через промежуток времени, равный одному периоду, колебания повторяются.

Частоту свободных колебаний нааынают собственной частотой колебательной системы 1 .

Зависимость частоты и периода свободных колебаний от свойств системы. Собственная частота колебаний тела, прикрепленного к пружине, согласно уравнению (3.13) равна:

Она тем больше, чем больше жесткость пружины k, и тем меньше, чем больше масса тела m. Это легко понять: жесткая пружина сообщает телу большее ускорение, быстрее меняет скорость тела. А чем тело массивнее, тем медленнее оно наменяет скорость под влиянием силы. Период колебаний равен:

Располагая набором пружин различной жесткости и телами различной массы, нетрудно убедиться на опыте, что формулы (3.13) и (3.18) правильно описывают характер зависимости и Т от k и m.

Замечательно, что период колебаний тела на пружине и период колебаний маятника при малых углах отклонения не зависят от амплитуды колебаний.

Модуль коэффициента пропорциональности между ускорением t , и смещением х в уравнении (3.10), описывающем колебания маятника, представляет собой, как и в уравнении (3.11), квадрат циклической частоты. Следовательно, собственная частота колебаний математического маятника при малых углах отклонения нити от вертикали зависит от длины маятника и ускорения свободного падения:

Эта формула была впервые получена и проверена на опыте голландским ученым Г. Гюйгенсом - современником И. Ньютона. Она справедлива только для малых углов отклонения нити.

1 Часто в дальнейшем для краткости мы будем называть циклическую частоту просто частотой. Отличить циклическую частоту от обычной частоты можно по обозначениям.

Период колебаний возрастает с увеличением длины маятника . От массы маятника он не зависит. Это легко проверить на опыте с различными маятниками. Зависимость периода колебаний от ускорения свободного падения также можно обнаружить. Чем меньше g, тем больше период колебаний маятника и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так, часы с маятником в виде груза на стержне отстанут за сутки почти на 3 с, если их поднять из подвала на верхний этаж Московского университета (высота 200 м). И это только за счет уменьшения ускорения свободного падения с высотой.

Зависимость периода колебаний маятника от значения g используется на практике. Измеряя период колебаний, можно очень точно определить g. Ускорение свободного падения меняется с географической широтой. Но и на данной широте оно не везде одинаково. Ведь плотность земной коры не всюду одинакова. В районах, где залегают плотные породы, ускорение g несколько большее. Это учитывают при поисках полезных ископаемых.

Так, железная руда обладает повышенной плотностью по сравнению с обычными породами. Проведенные под руководством академика А. А. Михайлова измерения ускорения свободного падения под Курском позволили уточнить места залегания железной руды. Сначала они были обнаружены посредством магнитных измерений.

Свойства механических колебаний используются в устройствах большинства электронных весов. Взвешиваемое тело кладут на платформу, под которой установлена жесткая пружина. В результате возникают механические колебания, частота которых измеряется соответствующим датчиком. Микропроцессор, связанный с этим датчиком, переводит частоту колебаний в массу взвешиваемого тела, так как эта частота зависит от массы.

Полученные формулы (3.18) и (3.20) для периода колебаний свидетельствуют о том, что период гармонических колебаний зависит от параметров системы (жесткости пружины, длины нити и т. д.)

Мякишев Г. Я., Физика. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / Г. Я. Мякишев, Б. В. Буховцев, В. М. Чаругин; под ред. В. И. Николаева, Н. А. Парфентьевой. - 17-е изд., перераб. и доп. - М. : Просвещение, 2008. - 399 с: ил.

Полный перечень тем по классам, календарный план согласно школьной программе по физике онлайн , видеоматериал по физике для 11 класса скачать

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Колебания - повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия.

Гармоническое колебание - колебания, при которых физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид

где х - смещение (отклонение) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t; А - амплитуда колебаний, это величина, определяющая максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия; ω - циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний происходящих в течение 2π секунд - полная фаза колебаний, 0- начальная фаза колебаний.

Амплитуда - максимальное значение смещения или изменения переменной величины от среднего значения при колебательном или волновом движении.

Амплитуда и начальная фаза колебаний определяется начальными условиями движения, т.е. положением и скоростью материальной точки в момент t=0.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде

амплитуда звуковых волн и аудиосигналов обычно относится к амплитуде давления воздуха в волне, но иногда описывается как амплитуда смещения относительно равновесия (воздуха или диафрагмы говорящего)

Чaстота - физическая величина, характеристика периодического процесса, равная числу полных циклов процесса, совершённых за единицу времени. Частота колебаний в звуковых волнах определяется частотой колебаний источника. Колебания высокой частоты затухают быстрее низкочастотных.

Величина, обратная частоте колебаний называется периодом Т.

Период колебаний- длительность одного полного цикла колебаний.

В системе координат из точки 0 проведём вектор А̅, проекция которого на ось ОХ равна Аcosϕ. Если вектор А̅ будет равномерно вращаться с угловой скоростью ω˳ против часовой стрелки, то ϕ=ω˳t +ϕ˳, где ϕ˳ начальное значение ϕ(фазы колебаний), то амплитуда колебаний есть модуль равномерно вращающегося вектора А̅, фаза колебаний (ϕ)- угол между вектором А̅ и осью ОХ, начальная фаза(ϕ˳) -начальное значение этого угла, угловая частота колебаний(ω) – угловая скорость вращения вектора А̅..

2. Характеристики волновых процессов: фронт волны, луч, скорость волны, длина волны . Продольные и поперечные волны; примеры.

Поверхность, разделяющая в данный момент времени уже охваченную и ещё не охваченную колебаниями среду,называется фронт волны. Во всех точках такой поверхности после ухода фронта волны устанавливаются колебания,одинаковые по фазе.

Луч-это перпендикуляр к фронту волны. Акустические лучи, подобно световым, прямолинейны в однородной среде. Отражаются и преломляются на границе раздела 2-х сред.

Длина волны- расстояние между двумя ближайшими друг к другу точками, колеблющимися в одинаковых фазах, обычно длина волны обозначается греческой буквой . По аналогии с волнами, возникающими в воде от брошенного камня, длиной волны является расстояние между двумя соседними гребнями волны. Одна из основных характеристик колебаний. Измеряется в единицах расстояния (метры, сантиметры и т. п.)

• продольные волны (волны сжатия, P-волны) - частицы среды колеблются параллельно (по) направлению распространения волны (как, например, в случае распространения звука);
• поперечные волны (волны сдвига, S-волны) - частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны (электромагнитные волны, волны на поверхностях разделения сред);

Угловая частота колебаний(ω) – угловая скорость вращения вектора А̅(Ѵ), смещение х колеблющейся точки – проекция вектора А̅ на ось ОХ.

Ѵ=dx/dt=-Aω˳sin(ω˳t+ϕ˳)=-Ѵmsin(ω˳t+ϕ˳),гдеVm=Аω˳ ―максимальная скорость (амплитуда скорости)

3. Свободные и вынужденные колебания. Собственная частота колебаний системы. Явление резонанса. Примеры.

Свободными (собственными) колебаниями называют такие, которые совершаются без внешних воздействий за счет первоначально полученной теплом энергии. Характерными моделями таких механических колебаний являются материальная точка на пружине (пружинный маятник) и материальная точка на нерастяжимой нити (математический маятник).

В этих примерах колебания возникают либо за счет первоначальной энергии (отклонение материальной точки от положения равновесия и движения без начальной скорости), либо за счет кинетической (телу сообщается скорость в начальном положении равновесия), либо за счет и той и другой энергии (сообщение скорости телу, отклоненному от положения равновесия).

Рассмотрим пружинный маятник. В положении равновесия упругая сила F1

уравновешивает силу тяжести mg . Если оттянуть пружину на расстояние x, то на материальную точку будет действовать большая упругая сила. Изменение значения упругой силы (F), согласно закону Гука, пропорционально изменению длины пружины или смещению x точки: F= - rx

Другой пример. Математический маятник отклонения от положения равновесия га такой небольшой угол α , чтобы можно было считать траекторию движения материальной точки прямой линией, совпадающей с осью OX. При этом выполняется приближенное равенство: α ≈sin α≈ tgα ≈x/L

Незатухающие колебания. Рассмотрим модель, в которой пренебрегают силой сопротивления.
Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями движения, т.е. положением и скоростью материальной точки момент t=0.
Среди различных видов колебаний гармоническое колебание является наиболее простой формой.

Таким образом, материальная точка, подвешенная на пружине или нити, совершает гармонические колебания, если не учитывать силы сопротивления.

Период колебаний может быть найден из формулы: T=1/v=2П/ω0

Затухающие колебания. В реальном случае на колеблющееся тело действуют силы сопротивления (трения), характер движения изменяется, и колебание становится затухающим.

Применительно к одномерному движению последней формуле придадим следующий вид: Fс= - r * dx/dt

Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэффициентом затухания: чем сильнее тормозящее действие среды, тем больше ß и тем быстрее уменьшается амплитуда. На практически, однако, степень затухания часто характеризуются логарифмическим декрементом затухания, понимая под эти величину, равную натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, разделенных интервалом времени, равным периоду колебаний следовательно, коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания связаны достаточно простой зависимостью: λ=ßT

При сильном затухании из формулы видно, что период колебания является мнимой величиной. Движение в этом случае уже не будет периодическим и называется апериодическим.

Вынужденные колебания. Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.

Предположим, что на материальную точку, кроме упругой силы и силы трения, действует внешняя вынуждающая сила F=F0 cos ωt

Амплитуда вынужденного колебания прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и имеет сложную зависимость от коэффициента затухания среды и круговых частот собственного и вынужденного колебаний. Если ω0 и ß для системы заданы, то амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называемой резонансной Само явление – достижение максимальной амплитуды вынужденных колебаний для заданных ω0 и ß – называют резонансом.

Резонансную круговую частоту можно найти из условия минимума знаменателя в: ωрез=√ωₒ- 2ß

Механический резонанс сожжет быть как полезным, так и вредным явлением. Вредное действие связано главным образом с разрушение, которое он может вызывать. Так, в технике, учитывая разные вибрации, необходимо предусматривать возможное возникновение резонансных условий, в противном случае могут быть разрушения и катастрофы. Тела обычно имеют несколько собственных частот колебаний и соответственно несколько резонансных частот.

Резонансные явления при действии внешних механических колебаний происходят во внутренних органах. В этом, видимо, одна из причин отрицательного воздействия инфразвуковых колебаний и вибраций на организм человека.

6.Звуковые методы исследования в медицине: перкуссия, аускультация. Фонокардиография.

Звук может быть источником информации о состоянии внутренних органов человека, поэтому в медицине хорошо распространены такие методы изучения состояния пациента, как аускультация, перкуссия и фонокардиография

Аускультация

Для аускультация используют стетоскоп или фонендоскоп. Фонендоскоп состоит из полой капсулы с передающей звук мембраной, прикладываемой к телу больного, от нее идут резиновые трубки к уху врача. В капсуле возникает резонанс столба воздуха, вследствие чего усиливается звучание и улучшается аускультация. При аускультации легких выслушивают дыхательные шумы, разные хрипы, характерные для заболеваний. Также можно прослушивать сердце, кишечник и желудок.

Перкуссия

В этом методе выслушивают звучание отдельных частей тела при простукивании их. Представим замкнутую полость внутри какого-нибудь тела, заполненную воздухом. Если вызвать в этом теле звуковые колебания, то при определенной частоте звука воздух в полости начнет резонировать, выделяя и усиливая тон,соответствующий размеру и положению полости. Тело человека можно представить как совокупность газонаполненных(легкие) , жидких(внутренние органы) и твердых(кости) объемов. При ударе по поверхности тела возникают колебания, частоты которых имеют широкий диапазон. Из этого диапазона одни колебания погаснут довольно быстро, другие же, совпадающие с собственными колебаниями пустот, усилятся и вследствие резонанса будут слышимы.

Фонокардиография

Применяется для диагностики состояния сердечной деятельности. Метод заключается в графической регистрации тонов и шумов сердца и их диагностической интерпретации. Фонокардиограф состоит из микрофона, усилителя, системы частотных фильтров и регистрирующего устройства.

9. Ультразвуковые методы исследования (УЗИ) в медицинской диагностике.

1) Методы диагностики и исследования

Относят локационные методы с использованием главным образом импульсивного излучения. Это эхоэнцефалография – определение опухолей и отека головного мозга. Ультразвуковая кардиография – измерение размеров сердца в динамике; в офтальмологии – ультразвуковая локация для определения размеров глазных сред.

2)Методы воздействия

Ультразвуковая физиотерапия – механическое и тепловое воздействие на ткань.

11. Ударная волна. Получение и использование ударных волн в медицине.
Ударная волна – поверхность разрыва, которая движется относительно газа и при пересечении которой давление, плотность, температура и скорость испытывают скачок.
При больших возмущениях (взрыв, сверхзвуковое движение тел, мощный электрический разряд и т.п.) скорость колеблющихся частиц среды может стать сравнимой со скоростью звука, возникает ударнаяволна .

Ударная волна может обладать значительной энергией , так, при ядерном взрыве на образование ударной волны в окружающей среде затрачивается около 50% энергии взрыва. Поэтому ударная волна, достигая биологических и технических объектов, способна причинить смерть, увечья и разрушения.

В медицинской технике используются ударные волны , представляющие собой чрезвычайно короткий, мощный импульс давления с высокими амплитудами давления и малой компонентой растяжения. Они генерируются вне тела пациента и передаются вглубь тела, производя терапевтический эффект, предусмотренный специализацией модели оборудования: дробление мочевых камней, лечение болевых зон и последствий травм опорно-двигательного аппарата, стимуляцию восстановления сердечной мышцы после инфаркта миокарда, разглаживание целлюлитных образований и т. д.

ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ

§1 Кинематика гармонического колебания

Процессы, повторяющиеся во времени называются колебаниями.

В зависимости от природы колебательного процесса и механизма возбуждения бывают: механические колебания (колебания маятников, струн, зданий, земной поверхности и т.д.); электромагнитные колебания (колебания переменного тока, колебания векторов и в электромагнитной волне и т.д.); электромеханические колебания (колебания мембраны телефона, диффузора громкоговорителя и др.); колебания ядер и молекул в результате теплового движения в атомах.

Рассмотрим отрезок [ОД] (радиус-вектор), совершающий вращательное движение вокруг точки 0. Длина |ОД| = A . Вращение происходит с постоянной угловой скоростью ω 0 . Тогда угол φ между радиус-вектором и осью x меняется со временем по закону

где φ 0 - угол между [ОД] и осью х в момент времени t = 0. Проекция отрезка [ОД] на ось х в момент времени t = 0

а в произвольный момент времени

(1)

Таким образом, проекция отрезка [ОД] на ось х совершает колебания, происходящие вдоль оси х , и эти колебания описываются законом косинуса (формула (1)).

Колебания, которые описываются законом косинуса

или синуса

называется гармоническими .

Гармонические колебания являются периодическими , т.к. значение величины х (и у) повторяется через равные промежутки времени.

Если отрезок [ОД] находится з низшем положении по рисунку, т.е. точка Д совпадает с точкой Р , то его проекция на ось х равна нулю. Назовем такое положение отрезка [ОД] положением равновесия. Тогда можно сказать, что величина х описывает смещение колеблющейся точки из положения равновесия. Максимальное смещение от положения равновесия называется амплитудой колебания

Величина

которая стоит под знаком косинуса называется фазой. Фаза определяет смещение от положения равновесия в произвольный момент времени t . Фаза в начальный момент времени t = 0 , равная φ 0 называется начальной фазой.

Т

Промежуток времени, за который совершается одно полное колебание, называется периодом колебаний Т . Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний ν.

Через промежуток времени, равный периоду Т , т.е. при увеличении аргумента косинуса на ω 0 Т , движение повторяется, и косинус принимает прежнее значение

т.к. период косинуса равен 2π , то, следовательно, ω 0 Т = 2π

таким образом, ω 0 - это число колебаний тела за 2π секунд. ω 0 - циклическая или круговая частота .

рисунок гармонического колебания

А - амплитуда, Т - период, х - смещение, t - время.

Скорость колеблющейся точки найдем, продифференцировав уравне-ние смещения х (t ) по времени

т.е. скорость v отличается по фазе от смещения х на π /2.

Ускорение - первая производная от скорости (вторая производная от смещения) по времени

т.е. ускорение а отличается от смещения по фазе на π.

Построим график х( t ) , у( t ) и а( t ) в одной смете координат (для простоты примем φ 0 = 0 и ω 0 = 1)

Свободными или собственными называются колебания, которые происходят в системе предоставленной самой себе после того, как она была выведена из положения равновесия.

(лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется ша-рик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.

Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах , санти-метрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как макси-мальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).

Период колебаний.

Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, соверша-ющая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.

Другими словами, период колебаний (Т ) — это время, за которое совершается одно полное ко-лебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.

За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четы-рем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах , минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).

Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющей-ся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармоничес-ких колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяю-щихся величин, например, для затухающих колебаний .

Частота колебаний.

Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с .

Единица частоты в СИ названа герцем (Гц ) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v ) равна 1 Гц , то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:

В теории колебаний пользуются также понятием циклической , или круговой частоты ω . Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:

.

Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.

Колебательным называется любое периодически повторяющееся движение. Поэтому зависимости координаты и скорости тела от времени при колебаниях описываются периодическими функциями времени. В школьном курсе физики рассматриваются такие колебания, в которых зависимости и скорости тела представляют собой тригонометрические функции , или их комбинацию, где - некоторое число. Такие колебания на-зываются гармоническими (функции и часто называют гармоническими функциями). Для решения задач на колебания, входящих в программу единого государственного экзамена по физике, нужно знать определения основных характеристик колебательного движения: амплитуды, периода, частоты, круговой (или циклической) частоты и фазы колебаний. Дадим эти определения и свяжем перечисленные величины с параметрами зависимости координаты тела от времени , которая в случае гармонических колебаний всегда может быть представлена в виде

где , и - некоторые числа.

Амплитудой колебаний называется максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия. Поскольку максимальное и минимальное значение косинуса в (11.1) равно ±1, то амплитуда колебаний тела, совершающего колебания (11.1), равна величине . Период колебаний - это минимальное время, через которое движение тела повторяется. Для зависимости (11.1) период можно установить из следующих соображений. Косинус - периодическая функция с периодом . Поэтому движение полностью повторяется через такое значение , что . Отсюда получаем

Круговой (или циклической) частотой колебаний называется число колебаний, совершаемых за единиц времени. Из формулы (11.3) заключаем, что круговой частотой является величина из формулы (11.1).

Фазой колебаний называется аргумент тригонометрической функции, описывающей зависимость координаты от времени. Из формулы (11.1) видим, что фаза колебаний тела, движение которого описывается зависимостью (11.1), равна . Значение фазы колебаний в момент времени = 0 называется начальной фазой. Для зависимости (11.1) начальная фаза колебаний равна величине . Очевидно, начальная фаза колебаний зависит от выбора начала отсчета времени (момента = 0), которое всегда является условным. Изменением начала отсчета времени начальная фаза колебаний всегда может быть «сделана» равной нулю, а синус в формуле (11.1) «превращен» в косинус или наоборот.

В программу единого государственного экзамена входит также знание формул для частоты колебаний пружинного и математического маятников. Пружинным маятником принято называть тело, которое может совершать колебания на гладкой горизонтальной поверхности под действием пружины, второй конец которой закреплен (левый рисунок). Математическим маятником называется массивное тело, размерами которого можно пренебречь, совершающее колебания на длинной, невесомой и нерастяжимой нити (правый рисунок). Название этой системы – «математический маятник» связано с тем, что она представляет собой абстрактную математическую модель реального (физического ) маятника. Необходимо помнить формулы для периода (или частоты) колебаний пружинного и математического маятников. Для пружинного маятника

где - длина нити, - ускорение свободного падения. Рассмотрим применение этих определений и законов на примере решения задач.

Чтобы найти циклическую частоту колебаний груза в задаче 11.1.1 найдем сначала период колебаний, а затем воспользуемся формулой (11.2). Поскольку 10 м 28 с - это 628 с, и за это время груз совершает 100 колебаний, период колебаний груза равен 6,28 с. Поэтому циклическая частота колебаний равна 1 c -1 (ответ 2 ). В задаче 11.1.2 груз за 600 с совершил 60 колебаний, поэтому частота колебаний - 0,1 с -1 (ответ 1 ).

Чтобы понять, какой путь пройдет груз за 2,5 периода (задача 11.1.3 ), проследим за его движением. Через период груз вернется назад в точку максимального отклонения, совершив полное колебание. Поэтому за это время груз пройдет расстояние, равное четырем амплитудам: до положения равновесия - одна амплитуда, от положения равновесия до точки максимального отклонения в другую сторону - вторая, назад в положение равновесия - третья, из положения равновесия в начальную точку - четвертая. За второй период груз снова пройдет четыре амплитуды, а за оставшиеся половину периода - две амплитуды. Поэтому пройденный путь равен десяти амплитудам (ответ 4 ).

Величина перемещения тела - расстояние от начальной точки до конечной. За 2,5 периода в задаче 11.1.4 тело успеет совершить два полных и половину полного колебания, т.е. окажется на максимальном отклонении, но с другой стороны от положения равновесия. Поэтому величина перемещения равна двум амплитудам (ответ 3 ).

По определению фаза колебаний - это аргумент тригонометрической функции, которой описывается зависимость координаты колеблющегося тела от времени. Поэтому правильный ответ в задаче 11.1.5 - 3 .

Период - это время полного колебания. Это значит, что возвращение тела назад в ту же точку, из которой тело начало движение, еще не означает, что прошел период: тело должно вернуться в ту же точку с той же скоростью. Например, тело, начав колебания из положения равновесия, за период успеет отклониться на максимальную величину в одну сторону, вернуться назад, отклонится на максимум в другую сторону и снова вернуться назад. Поэтому за период тело успеет два раза отклониться на максимальную величину от положения равновесия и вернуться обратно. Следовательно, на прохождение от положения равновесия до точки максимального отклонения (задача 11.1.6 ) тело затрачивает четвертую часть периода (ответ 3 ).

Гармоническими называются такие колебания, при которых зависимость координаты колеблющегося тела от времени описывается тригонометрической (синус или косинус) функцией времени. В задаче 11.1.7 таковыми являются функции и , несмотря на то, что входящие в них параметры обозначены как 2 и 2 . Функция же - тригонометрическая функция квадрата времени. Поэтому гармоническими являются колебания только величин и (ответ 4 ).

При гармонических колебаниях скорость тела изменяется по закону , где - амплитуда колебаний скорости (начало отсчета времени выбрано так, чтобы начальная фаза колебаний равнялась бы нулю). Отсюда находим зависимость кинетической энергии тела от времени
(задача 11.1.8 ). Используя далее известную тригонометрическую формулу, получаем

Из этой формулы следует, что кинетическая энергия тела изменяется при гармонических колебаниях также по гармоническому закону, но с удвоенной частотой (ответ 2 ).

За соотношением между кинетической энергий груза и потенциальной энергией пружины (задача 11.1.9 ) легко проследить из следующих соображений. Когда тело отклонено на максимальную величину от положения равновесия, скорость тела равна нулю, и, следовательно, потенциальная энергия пружины больше кинетической энергии груза. Напротив, когда тело проходит положение равновесия, потенциальная энергия пружины равна нулю, и, следовательно, кинетическая энергия больше потенциальной. Поэтому между прохождением положения равновесия и максимальным отклонением кинетическая и потенциальная энергия один раз сравниваются. А поскольку за период тело четыре раза проходит от положения равновесия до максимального отклонения или обратно, то за период кинетическая энергия груза и потенциальная энергия пружины сравниваются друг с другом четыре раза (ответ 2 ).

Амплитуду колебаний скорости (задача 11.1.10 ) проще всего найти по закону сохранения энергии. В точке максимального отклонения энергия колебательной системы равна потенциальной энергии пружины , где - коэффициент жесткости пружины, - амплитуда колебаний. При прохождении положения равновесия энергия тела равна кинетической энергии , где - масса тела, - скорость тела при прохождении положения равновесия, которая является максимальной скоростью тела в процессе колебаний и, следовательно, представляет собой амплитуду колебаний скорости. Приравнивая эти энергии, находим

(ответ 4 ).

Из формулы (11.5) заключаем (задача 11.2.2 ), что от массы математического маятника его период не зависит, а при увеличении длины в 4 раза период колебаний увеличивается в 2 раза (ответ 1 ).

Часы - это колебательный процесс, который используется для измерения интервалов времени (задача 11.2.3 ). Слова часы «спешат» означают, что период этого процесса меньше того, каким он должен быть. Поэтому для уточнения хода этих часов необходимо увеличить период процесса. Согласно формуле (11.5) для увеличения периода колебаний математического маятника необходимо увеличить его длину (ответ 3 ).

Чтобы найти амплитуду колебаний в задаче 11.2.4 , необходимо представить зависимость координаты тела от времени в виде одной тригонометрической функции. Для данной в условии функции это можно сделать с помощью введения дополнительного угла. Умножая и деля эту функцию на и используя формулу сложения тригонометрических функций, получим

где - такой угол, что . Из этой формулы следует, что амплитуда колебаний тела - (ответ 4 ).