يتم تكليف تلاميذ المدارس بالكثير من المهام في الرياضيات. من بينها، في كثير من الأحيان هناك مشاكل في الصياغة التالية: هناك معنيان. كيفية العثور على المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة؟ من الضروري أن تكون قادرا على أداء مثل هذه المهام، حيث يتم استخدام المهارات المكتسبة للعمل مع الكسور متى قواسم مختلفة. في هذه المقالة سوف ننظر في كيفية العثور على LOC والمفاهيم الأساسية.

قبل العثور على إجابة سؤال كيفية العثور على LCM، تحتاج إلى تعريف المصطلح متعدد. في أغلب الأحيان، تبدو صياغة هذا المفهوم كما يلي: مضاعف قيمة معينة A هو رقم طبيعي قابل للقسمة على A بدون باقي، لذلك، بالنسبة لـ 4، ستكون المضاعفات 8، 12، 16، 20. وهكذا إلى الحد المطلوب.

في هذه الحالة، يمكن أن يكون عدد المقسومات لقيمة معينة محدودا، ولكن المضاعفات كثيرة بلا حدود. هناك أيضًا نفس القيمة للقيم الطبيعية. وهذا مؤشر مقسم إليهم بلا باقي. بعد أن فهمنا مفهوم القيمة الأصغر لمؤشرات معينة، دعنا ننتقل إلى كيفية العثور عليها.

العثور على شهادة عدم الممانعة

أقل مضاعف لاثنين أو أكثر من الأسس هو أصغر عدد طبيعي قابل للقسمة بالكامل على جميع الأرقام المحددة.

هناك عدة طرق للعثور على مثل هذه القيمة، يعتبر الطرق التالية:

1. إذا كانت الأعداد صغيرة، فاكتب على سطر كل ما يقبل القسمة عليها. استمر في القيام بذلك حتى تجد شيئًا مشتركًا بينهم. في الكتابة، يتم الإشارة إليهما بالحرف K. على سبيل المثال، بالنسبة للعددين 4 و3، أصغر مضاعف هو 12.
2. إذا كانت هذه الأرقام كبيرة أو كنت بحاجة إلى إيجاد مضاعفات 3 قيم أو أكثر، فيجب عليك استخدام أسلوب آخر يتضمن تحليل الأرقام إلى عوامل أولية. أولا، ضع أكبر واحد مدرج، ثم كل الآخرين. كل واحد منهم لديه عدد خاص به من المضاعفات. على سبيل المثال، دعونا نحلل 20 (2*2*5) و50 (5*5*2). بالنسبة للعامل الأصغر، ضع خطًا تحت العوامل وأضفها إلى العامل الأكبر. ستكون النتيجة 100، وهو المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المذكورة أعلاه.
3. عند العثور على 3 أرقام (16 و24 و36) تكون المبادئ هي نفسها بالنسبة للرقمين الآخرين. دعونا نوسع كل واحدة منها: 16 = 2*2*2*2، 24=2*2*2*3، 36=2*2*3*3. اثنان فقط من مفكوك العدد 16 لم يدخلا في مفكوك الأكبر نجمعهما ونحصل على 144 وهي أصغر نتيجة للقيم العددية المشار إليها سابقا.

الآن أصبحنا نعرف التقنية العامة المتبعة لإيجاد أصغر قيمة لقيمتين أو ثلاث قيم أو أكثر. ومع ذلك، هناك أيضًا طرق خاصة، مما يساعد في البحث عن NOC إذا لم تساعد الإصدارات السابقة.

كيفية العثور على GCD وNOC.

طرق البحث الخاصة

كما هو الحال مع أي قسم رياضي، هناك حالات خاصة لإيجاد LCM تساعد في مواقف محددة:

• إذا كان أحد الأرقام قابلاً للقسمة على الأرقام الأخرى دون باقي، فإن أقل مضاعف لهذه الأرقام يساويه (المضاعف المشترك الأصغر لـ 60 و15 هو 15)؛
• الأعداد الأولية نسبيًا ليس لها عوامل أولية مشتركة. أصغر قيمة لها تساوي منتج هذه الأرقام. وبالتالي، بالنسبة للأرقام 7 و 8 سيكون 56؛
• تنطبق نفس القاعدة على حالات أخرى، بما في ذلك الحالات الخاصة، والتي يمكن قراءتها في الأدبيات المتخصصة. وينبغي أن يشمل ذلك أيضًا حالات تحليل الأعداد المركبة، والتي هي موضوع المقالات الفردية وحتى أطروحات المرشحين.

الحالات الخاصة أقل شيوعًا من الأمثلة القياسية. ولكن بفضلهم، يمكنك تعلم كيفية العمل مع الكسور بدرجات متفاوتة من التعقيد. هذا ينطبق بشكل خاص على الكسور، حيث توجد قواسم غير متساوية.

أمثلة قليلة

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة التي ستساعدك على فهم مبدأ إيجاد المضاعف الأصغر:

1. ابحث عن LOC (35، 40). نقوم أولاً بتحليل 35 = 5*7، ثم 40 = 5*8. أضف 8 إلى أصغر رقم واحصل على LOC 280.
2. شهادة عدم الممانعة (45 ؛ 54). نقوم بتحليل كل واحد منهم: 45 = 3*3*5 و 54 = 3*3*6. نضيف الرقم 6 إلى 45. نحصل على المضاعف المشترك الأصغر يساوي 270.
3. حسنًا المثال الأخير. هناك 5 و 4. لا يوجد مضاعفات أولية لهما، لذا فإن المضاعف المشترك الأصغر في هذه الحالة سيكون حاصل ضربهما، وهو يساوي 20.

بفضل الأمثلة، يمكنك فهم كيفية وجود NOC، وما هي الفروق الدقيقة وما هو معنى هذه التلاعبات.

يعد العثور على شهادة عدم الممانعة أسهل بكثير مما قد يبدو في البداية. للقيام بذلك، يتم استخدام كل من التوسع البسيط والضرب قيم بسيطةبعضها البعض. تساعد القدرة على العمل مع هذا القسم من الرياضيات في مزيد من الدراسة للموضوعات الرياضية، وخاصة الكسور بدرجات متفاوتة من التعقيد.

ولا تنسوا حل الأمثلة بشكل دوري أساليب مختلفةوهذا يطور الجهاز المنطقي ويسمح لك بتذكر العديد من المصطلحات. تعلم كيفية العثور على مثل هذا الأس وستكون قادرًا على القيام بعمل جيد في بقية أقسام الرياضيات. تعلم الرياضيات سعيدة!

فيديو

سيساعدك هذا الفيديو على فهم وتذكر كيفية العثور على المضاعف المشترك الأصغر.

كيفية العثور على المضاعف المشترك الأصغر؟

نحتاج إلى إيجاد كل عامل من العددين اللذين نجد لهما المضاعف المشترك الأصغر، ثم نضرب العوامل المتطابقة في الرقمين الأول والثاني في بعضها البعض. ستكون نتيجة المنتج هي المضاعف المطلوب.

على سبيل المثال، لدينا الرقمان 3 و5 ونحتاج إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر. نحن بحاجة للتكاثروثلاثة وخمسة لجميع الارقام ابتداء من 1 2 3 ...وهكذا حتى نرى نفس العدد في كلا المكانين.

اضرب ثلاثة واحصل على: 3، 6، 9، 12، 15

اضرب في خمسة واحصل على: 5، 10، 15

طريقة التحليل الأولي هي الطريقة الأكثر كلاسيكية للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعدة أرقام. هذه الطريقة موضحة بشكل واضح وبسيط في الفيديو التالي:

تعد عمليات الجمع والضرب والقسمة والاختزال إلى قاسم مشترك وغيرها من العمليات الحسابية أمرًا بالغ الأهمية نشاط مثير، أنا معجب بشكل خاص بالأمثلة التي تشغل صفحة كاملة.

إذن أوجد المضاعف المشترك لعددين، وهو أصغر رقم يقسم عليه الرقمان. أود أن أشير إلى أنه ليس من الضروري اللجوء إلى الصيغ في المستقبل للعثور على ما تبحث عنه، إذا كنت تستطيع العد في رأسك (وهذا يمكن تدريبه)، فإن الأرقام نفسها تنبثق في رأسك و ثم تتكسر الكسور مثل المكسرات.

في البداية، دعونا نتعلم أنه يمكنك ضرب رقمين في بعضهما البعض، ومن ثم تقليل هذا الرقم والقسمة بالتناوب على هذين الرقمين، لذلك سوف نجد أصغر مضاعف.

على سبيل المثال، رقمان 15 و 6. اضربهما واحصل على 90. هذا واضح عدد أكبر. علاوة على ذلك، 15 يقبل القسمة على 3 و6 يقبل القسمة على 3، مما يعني أننا نقسم أيضًا 90 على 3. نحصل على 30. نحاول أن 30 نقسم 15 يساوي 2. و30 نقسم 6 يساوي 5. بما أن 2 هي النهاية، يصبح الأمر من الواضح أن أقل مضاعف للأرقام هو 15 و 6 سيكون 30.

مع أعداد أكبر سيكون الأمر أكثر صعوبة قليلاً. ولكن إذا كنت تعرف الأرقام التي تعطي صفرًا متبقيًا عند القسمة أو الضرب، فمن حيث المبدأ، لا توجد صعوبات كبيرة.

• كيفية العثور على NOC

  إليك مقطع فيديو سيعطيك طريقتين للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM). بعد التدريب على استخدام الطريقة الأولى من الطرق المقترحة، يمكنك أن تفهم بشكل أفضل ما هو المضاعف المشترك الأصغر.

أقدم طريقة أخرى للعثور على المضاعف المشترك الأصغر. دعونا ننظر إليها مع مثال واضح.

أنت بحاجة إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام في وقت واحد: 16 و20 و28.

• نحن نمثل كل رقم كمنتج لعوامله الأولية:
• نكتب قوى جميع العوامل الأولية:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• نختار جميع المقسومات الأولية (المضاعفات) ذات القوى الكبرى ونضربها ونجد المضاعف المشترك الأصغر:

المضاعف المشترك الأصغر = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

م م م (16، 20، 28) = 560.

وهكذا كانت نتيجة الحساب هي الرقم 560. وهو المضاعف المشترك الأصغر، أي أنه يقبل القسمة على كل رقم من الأعداد الثلاثة دون باقي.

المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم الذي يمكن تقسيمه إلى عدة أرقام معينة دون ترك باقي. من أجل حساب مثل هذا الرقم، عليك أن تأخذ كل رقم وتحلله إلى عوامل بسيطة. تتم إزالة تلك الأرقام المطابقة. يترك الجميع واحدًا تلو الآخر، ويضربهم فيما بينهم بالتناوب ويحصل على المضاعف المطلوب - المضاعف المشترك الأقل.

المؤسسة الوطنية للنفط، أو أقل مضاعف مشترك، هو أصغر عدد طبيعي مكون من رقمين أو أكثر يقبل القسمة على كل رقم من الأرقام المحددة دون باقي.

فيما يلي مثال لكيفية العثور على المضاعف المشترك الأصغر للعددين 30 و42.

• الخطوة الأولى هي تحليل هذه الأرقام إلى عوامل أولية.

ل 30 هو 2 × 3 × 5.

بالنسبة إلى 42، هذا هو 2 × 3 × 7. وبما أن 2 و 3 موجودان في مفكوك الرقم 30، فإننا نقوم بشطبهما.

• نكتب العوامل المتضمنة في مفكوك الرقم 30. هذا هو 2 × 3 × 5.
• الآن علينا أن نضربهم في العامل المفقود، الذي لدينا عند فك 42، وهو 7. نحصل على 2 × 3 × 5 × 7.
• نجد ما يساوي 2 × 3 × 5 × 7 ونحصل على 210.

ونتيجة لذلك، نجد أن المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 30 و42 هو 210.

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر، تحتاج إلى تنفيذ عدة خطوات بسيطة بالتسلسل. دعونا ننظر إلى هذا باستخدام رقمين كمثال: 8 و12

1. نقوم بتحليل كلا الرقمين إلى عوامل أولية: 8=2*2*2 و12=3*2*2
2. نقوم بتبسيط نفس العوامل لأحد الأرقام. في حالتنا، 2 * 2 متطابقة، دعونا نختصرها للرقم 12، عندها سيتبقى للرقم 12 عامل واحد: 3.
3. أوجد حاصل ضرب جميع العوامل المتبقية: 2*2*2*3=24

وبالفحص نتأكد أن 24 يقبل القسمة على 8 و12، وهذا هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على كل من هذه الأرقام. نحن هنا تم العثور على المضاعف المشترك الأصغر.

سأحاول الشرح باستخدام الرقمين 6 و8 كمثال. المضاعف المشترك الأصغر هو الرقم الذي يمكن قسمته على هذين الرقمين (في حالتنا، 6 و8) ولن يكون هناك باقي.

لذا، نبدأ أولًا بضرب 6 في 1، 2، 3، إلخ. و8 في 1، 2، 3، إلخ.

لكن العديد من الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة أيضًا على أعداد طبيعية أخرى.

على سبيل المثال:

الرقم 12 قابل للقسمة على 1، على 2، على 3، على 4، على 6، على 12؛

الرقم 36 يقبل القسمة على 1، على 2، على 3، على 4، على 6، على 12، على 18، على 36.

يتم استدعاء الأرقام التي يكون الرقم قابلاً للقسمة على الكل (لـ 12 هذه هي 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 12) مقسومات الأرقام. مقسوم على عدد طبيعي أ- عدد طبيعي يقسم عددا معلوما أدون أن يترك أثرا. يسمى العدد الطبيعي الذي له أكثر من مقسومين مركب .

يرجى ملاحظة أن الرقمين 12 و36 لهما عوامل مشتركة. هذه الأرقام هي: 1، 2، 3، 4، 6، 12. القاسم الأكبر لهذه الأرقام هو 12. القاسم المشترك لهذين الرقمين أو ب- هذا هو الرقم الذي يتم قسمة كلا الرقمين بدون باقي أو ب.

مضاعفات مشتركةعدة أرقام هو رقم قابل للقسمة على كل من هذه الأرقام. على سبيل المثال، الأعداد 9 و 18 و 45 لها مضاعف مشترك هو 180. لكن 90 و 360 هي أيضًا مضاعفاتها المشتركة. من بين جميع المضاعفات المشتركة يوجد دائمًا أصغر واحد في هذه الحالةهذا هو 90. هذا الرقم يسمى الأصغرالمضاعف المشترك (CMM).

يكون LCM دائمًا رقمًا طبيعيًا يجب أن يكون أكبر من أكبر الأرقام التي تم تعريفه لها.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM). ملكيات.

التبادلية:

الترابط:

على وجه الخصوص، إذا كانت و أعدادًا أولية، فإن:

المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين مو نهو المقسوم على جميع المضاعفات المشتركة الأخرى مو ن. علاوة على ذلك، مجموعة المضاعفات المشتركة م، نيتزامن مع مجموعة مضاعفات LCM( م، ن).

يمكن التعبير عن التقاربات من حيث بعض الوظائف النظرية للأعداد.

لذا، وظيفة تشيبيشيف. و:

يأتي هذا من تعريف وخصائص وظيفة لانداو ز (ن).

ما يلي من قانون التوزيع الأعداد الأولية.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM).

شهادة عدم الممانعة( أ، ب) يمكن حسابها بعدة طرق:

1. إذا كان القاسم المشترك الأكبر معروفًا، فيمكنك استخدام اتصاله مع LCM:

2. ليعرف التحلل القانوني لكلا العددين إلى عوامل أولية:

أين ص1 ،...،ص ك- الأعداد الأولية المختلفة، و د 1،...،د كو ه 1،...،ه ك- الأعداد الصحيحة غير السالبة (يمكن أن تكون أصفارًا إذا لم يكن العدد الأولي المقابل في التوسعة).

ثم شهادة عدم الممانعة ( أ,ب) يتم حسابه بواسطة الصيغة:

بمعنى آخر، يحتوي تحليل LCM على جميع العوامل الأولية المضمنة في تحليل واحد على الأقل من الأرقام أ، ب، ويتم أخذ أكبر الأسين لهذا المضاعف.

مثال:

يمكن اختزال حساب المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام إلى عدة حسابات متسلسلة للمضاعف المشترك الأصغر لعددين:

قاعدة.للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لسلسلة من الأرقام، تحتاج إلى:

- تحليل الأرقام إلى عوامل أولية؛

- نقل التحليل الأكبر (حاصل ضرب عوامل العدد الأكبر من المعطاة) إلى عوامل حاصل الضرب المطلوب، ثم إضافة عوامل من التحليل لأرقام أخرى لا تظهر في الرقم الأول أو تظهر فيه مرات أقل؛

— المنتج الناتج للعوامل الأولية سيكون المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة.

أي اثنان أو أكثر الأعداد الطبيعيةلديهم شهادة عدم الممانعة الخاصة بهم. إذا كانت الأرقام ليست مضاعفات بعضها البعض أو ليس لها نفس العوامل في المفكوك، فإن المضاعف المشترك الأصغر الخاص بها يساوي حاصل ضرب هذه الأرقام.

العوامل الأولية للرقم 28 (2، 2، 7) مكملة بالعامل 3 (الرقم 21)، وسيكون الناتج (84) أصغر عددوهو يقبل القسمة على 21 و 28.

يتم استكمال العوامل الأولية لأكبر عدد 30 بالعامل 5 للرقم 25، ويكون الناتج الناتج 150 أكبر من أكبر عدد 30 ويقبل القسمة على جميع الأرقام المعطاة دون باقي. هذا هو أصغر منتج ممكن (150، 250، 300...) وهو مضاعف لجميع الأرقام المعطاة.

الأعداد 2،3،11،37 هي أعداد أولية، لذا فإن المضاعف المشترك الأصغر لها يساوي حاصل ضرب الأعداد المعطاة.

قاعدة. لحساب المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية، عليك ضرب كل هذه الأرقام معًا.

خيار اخر:

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعدة أرقام تحتاج إلى:

1) تمثيل كل عدد كحاصل ضرب عوامله الأولية، على سبيل المثال:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) اكتب قوى جميع العوامل الأولية:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) اكتب جميع المقسومات الأولية (المضاعفات) لكل من هذه الأرقام؛

4) اختر الدرجة الأكبر لكل منها الموجودة في جميع مفكوك هذه الأعداد؛

5) مضاعفة هذه القوى.

مثال. أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام: 168، 180، 3024.

حل. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

نكتب القوى العظمى لجميع المقسومات الأولية ونضربها:

عدم الممانعة = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

لكن العديد من الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة أيضًا على أعداد طبيعية أخرى.

على سبيل المثال:

الرقم 12 قابل للقسمة على 1، على 2، على 3، على 4، على 6، على 12؛

الرقم 36 يقبل القسمة على 1، على 2، على 3، على 4، على 6، على 12، على 18، على 36.

يتم استدعاء الأرقام التي يكون الرقم قابلاً للقسمة على الكل (لـ 12 هذه هي 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 12) مقسومات الأرقام. مقسوم على عدد طبيعي أ- عدد طبيعي يقسم عددا معلوما أدون أن يترك أثرا. يسمى العدد الطبيعي الذي له أكثر من مقسومين مركب .

يرجى ملاحظة أن الرقمين 12 و36 لهما عوامل مشتركة. هذه الأرقام هي: 1، 2، 3، 4، 6، 12. القاسم الأكبر لهذه الأرقام هو 12. القاسم المشترك لهذين الرقمين أو ب- هذا هو الرقم الذي يتم قسمة كلا الرقمين بدون باقي أو ب.

مضاعفات مشتركةعدة أرقام هو رقم قابل للقسمة على كل من هذه الأرقام. على سبيل المثال، الأعداد 9 و 18 و 45 لها مضاعف مشترك هو 180. لكن 90 و 360 هي أيضًا مضاعفاتها المشتركة. من بين جميع المضاعفات المشتركة، يوجد دائمًا أصغر واحد، وهو في هذه الحالة هو 90. ويسمى هذا الرقم الأصغرالمضاعف المشترك (CMM).

يكون LCM دائمًا رقمًا طبيعيًا يجب أن يكون أكبر من أكبر الأرقام التي تم تعريفه لها.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM). ملكيات.

التبادلية:

الترابط:

على وجه الخصوص، إذا كانت و أعدادًا أولية، فإن:

المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين مو نهو المقسوم على جميع المضاعفات المشتركة الأخرى مو ن. علاوة على ذلك، مجموعة المضاعفات المشتركة م، نيتزامن مع مجموعة مضاعفات LCM( م، ن).

يمكن التعبير عن التقاربات من حيث بعض الوظائف النظرية للأعداد.

لذا، وظيفة تشيبيشيف. و:

يأتي هذا من تعريف وخصائص وظيفة لانداو ز (ن).

ما يترتب على قانون توزيع الأعداد الأولية.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM).

شهادة عدم الممانعة( أ، ب) يمكن حسابها بعدة طرق:

1. إذا كان القاسم المشترك الأكبر معروفًا، فيمكنك استخدام اتصاله مع LCM:

2. ليعرف التحلل القانوني لكلا العددين إلى عوامل أولية:

أين ص1 ،...،ص ك- الأعداد الأولية المختلفة، و د 1،...،د كو ه 1،...،ه ك- الأعداد الصحيحة غير السالبة (يمكن أن تكون أصفارًا إذا لم يكن العدد الأولي المقابل في التوسعة).

ثم شهادة عدم الممانعة ( أ,ب) يتم حسابه بواسطة الصيغة:

بمعنى آخر، يحتوي تحليل LCM على جميع العوامل الأولية المضمنة في تحليل واحد على الأقل من الأرقام أ، ب، ويتم أخذ أكبر الأسين لهذا المضاعف.

مثال:

يمكن اختزال حساب المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام إلى عدة حسابات متسلسلة للمضاعف المشترك الأصغر لعددين:

قاعدة.للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لسلسلة من الأرقام، تحتاج إلى:

- تحليل الأرقام إلى عوامل أولية؛

- نقل التحليل الأكبر (حاصل ضرب عوامل العدد الأكبر من المعطاة) إلى عوامل حاصل الضرب المطلوب، ثم إضافة عوامل من التحليل لأرقام أخرى لا تظهر في الرقم الأول أو تظهر فيه مرات أقل؛

— المنتج الناتج للعوامل الأولية سيكون المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة.

أي عددين طبيعيين أو أكثر يكون لهما المضاعف المشترك الأصغر الخاص بهما. إذا كانت الأرقام ليست مضاعفات بعضها البعض أو ليس لها نفس العوامل في المفكوك، فإن المضاعف المشترك الأصغر الخاص بها يساوي حاصل ضرب هذه الأرقام.

يتم إضافة العوامل الأولية للرقم 28 (2، 2، 7) إلى العامل 3 (الرقم 21)، وسيكون الناتج الناتج (84) هو أصغر رقم يقبل القسمة على 21 و28.

يتم استكمال العوامل الأولية لأكبر عدد 30 بالعامل 5 للرقم 25، ويكون الناتج الناتج 150 أكبر من أكبر عدد 30 ويقبل القسمة على جميع الأرقام المعطاة دون باقي. هذا هو أصغر منتج ممكن (150، 250، 300...) وهو مضاعف لجميع الأرقام المعطاة.

الأعداد 2،3،11،37 هي أعداد أولية، لذا فإن المضاعف المشترك الأصغر لها يساوي حاصل ضرب الأعداد المعطاة.

قاعدة. لحساب المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية، عليك ضرب كل هذه الأرقام معًا.

خيار اخر:

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعدة أرقام تحتاج إلى:

1) تمثيل كل عدد كحاصل ضرب عوامله الأولية، على سبيل المثال:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) اكتب قوى جميع العوامل الأولية:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) اكتب جميع المقسومات الأولية (المضاعفات) لكل من هذه الأرقام؛

4) اختر الدرجة الأكبر لكل منها الموجودة في جميع مفكوك هذه الأعداد؛

5) مضاعفة هذه القوى.

مثال. أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام: 168، 180، 3024.

حل. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

نكتب القوى العظمى لجميع المقسومات الأولية ونضربها:

عدم الممانعة = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

كيفية العثور على LCM (المضاعف المشترك الأصغر)

المضاعف المشترك لعددين صحيحين هو عدد صحيح يقبل القسمة على كلا الرقمين المحددين دون ترك باقي.

المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين هو الأصغر بين جميع الأعداد الصحيحة التي تقبل القسمة على كلا الرقمين المحددين دون ترك باقي.

طريقة 1. يمكنك العثور على المضاعف المشترك الأصغر لكل رقم من الأرقام المحددة، وكتابة جميع الأرقام التي تم الحصول عليها بضربها بترتيب تصاعدي في 1، 2، 3، 4، وهكذا.

مثالللرقمين 6 و9
نضرب الرقم 6 بالتتابع في 1، 2، 3، 4، 5.
نحصل على: 6، 12، 18 , 24, 30
نضرب الرقم 9 بالتتابع في 1، 2، 3، 4، 5.
نحصل على: 9، 18 , 27, 36, 45
كما ترون، فإن المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 6 و9 سيكون مساويًا لـ 18.

تكون هذه الطريقة مناسبة عندما يكون كلا الرقمين صغيرين ومن السهل ضربهما بسلسلة من الأعداد الصحيحة. ومع ذلك، هناك أوقات تحتاج فيها إلى العثور على LCM لرقمين أو أرقام من ثلاثة أرقاموأيضًا عندما يكون هناك ثلاثة أرقام أولية أو أكثر.

الطريقة 2. يمكنك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد الأصلية إلى عوامل أولية.
بعد التحلل، من الضروري شطب الأرقام المتطابقة من سلسلة العوامل الأولية الناتجة. الأعداد المتبقية من الرقم الأول ستكون مضاعفاً للثاني، والأعداد المتبقية من الثاني ستكون مضاعفاً للأول.

مثالللأرقام 75 و 60.
يمكن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 75 و 60 دون كتابة مضاعفات هذين الرقمين على التوالي. للقيام بذلك، دعونا نحلل 75 و60 إلى عوامل بسيطة:
75 = 3 * 5 * 5، أ
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
كما ترى، يظهر العاملان 3 و5 في كلا الصفين. نحن "نشطبهم" عقليًا.
دعونا نكتب العوامل المتبقية المدرجة في مفكوك كل من هذه الأرقام. عند تحليل الرقم 75 يتبقى لدينا الرقم 5، وعند تحليل الرقم 60 يتبقى لدينا 2*2
هذا يعني أنه لتحديد المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 75 و60، نحتاج إلى ضرب الأرقام المتبقية من مفكوك 75 (وهذا هو 5) في 60، وضرب الأرقام المتبقية من مفكوك 60 (وهذا هو 2) * 2) في 75. أي، لسهولة الفهم، نقول إننا نضرب "بالعرض".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
هذه هي الطريقة التي وجدنا بها المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 60 و75. وهذا هو الرقم 300.

مثال. حدد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 12، 16، 24
في هذه الحالة، ستكون أفعالنا أكثر تعقيدا إلى حد ما. لكن أولًا، كما هو الحال دائمًا، دعونا نحلل جميع الأعداد إلى عوامل
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
لتحديد المضاعف المشترك الأصغر بشكل صحيح، نختار الأصغر بين جميع الأرقام (هذا هو الرقم 12) ونمر عبر عوامله بالتتابع، ونحذفها إذا واجهنا نفس العامل الذي لم يظهر بعد في واحد على الأقل من صفوف الأرقام الأخرى تم شطبها.

الخطوة 1 . نرى أن 2 * 2 يحدث في جميع سلاسل الأرقام. دعونا شطبهم.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

الخطوة 2. في العوامل الأولية للرقم 12، يبقى الرقم 3 فقط ولكنه موجود في العوامل الأولية للرقم 24. نقوم بشطب الرقم 3 من كلا الصفين، في حين لا نتوقع أي إجراءات للرقم 16. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

كما ترون، عند تحليل الرقم 12، "شطبنا" جميع الأرقام. وهذا يعني أن العثور على LOC قد اكتمل. كل ما تبقى هو حساب قيمته.
بالنسبة للرقم 12، خذ العوامل المتبقية للرقم 16 (التالي بترتيب تصاعدي)
12 * 2 * 2 = 48
هذه هي المؤسسة الوطنية للنفط

كما ترون، في هذه الحالة، كان العثور على المضاعف المشترك الأصغر أكثر صعوبة إلى حد ما، ولكن عندما تحتاج إلى العثور عليه لثلاثة أرقام أو أكثر، هذه الطريقةيسمح لك أن تفعل ذلك بشكل أسرع. ومع ذلك، كلا الطريقتين للعثور على LCM صحيحة.