\[(\Large(\text(الزوايا المركزية والزوايا المحيطية)))\]

تعريفات

الزاوية المركزية هي الزاوية التي يقع رأسها في مركز الدائرة.

الزاوية المحيطية هي الزاوية التي يقع رأسها على دائرة.

قياس درجة قوس الدائرة هو قياس درجة الزاوية المركزية المقابلة لها.

نظرية

قياس درجة الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس درجة القوس الذي تقع عليه.

دليل

وسنجري البرهان على مرحلتين: أولا، سنثبت صحة القول في الحالة التي يكون فيها أحد أضلاع الزاوية المحيطية قطرا. لتكن النقطة \(B\) هي رأس الزاوية المحيطية \(ABC\) و \(BC\) هي قطر الدائرة:

المثلث \(AOB\) متساوي الساقين، \(AO = OB\) ، \(\angle AOC\) خارجي، إذن \(\الزاوية AOC = \الزاوية OAB + \الزاوية ABO = 2\الزاوية ABC\)، أين \(\الزاوية ABC = 0.5\cdot\angle AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

الآن فكر في زاوية منقوشة عشوائية \(ABC\) . لنرسم قطر الدائرة \(BD\) من رأس الزاوية المحيطية. هناك نوعان من الحالات الممكنة:

1) يقطع القطر الزاوية إلى زاويتين \(\angle ABD, \angle CBD\) (لكل منهما النظرية صحيحة كما هو موضح أعلاه، وبالتالي فهي صحيحة أيضًا بالنسبة للزاوية الأصلية، وهي مجموع هذه اثنان وبالتالي يساوي نصف مجموع الأقواس التي ترتكز عليها، أي يساوي نصف القوس الذي ترتكز عليه). أرز. 1.

2) لم يقطع القطر الزاوية إلى زاويتين، فلدينا زاويتان منقوشتان جديدتان \(\angle ABD، \angle CBD\)، يحتوي جانبهما على القطر، وبالتالي فإن النظرية صحيحة بالنسبة لهما، إذن ينطبق أيضًا على الزاوية الأصلية (التي تساوي الفرق بين هاتين الزاويتين، مما يعني أنها تساوي نصف الفرق بين الأقواس التي ترتكز عليها، أي تساوي نصف القوس الذي ترتكز عليه) . أرز. 2.

عواقب

1. الزوايا المحيطية المقابلة لنفس القوس متساوية.

2. الزاوية المحيطية المقابلة لنصف دائرة هي زاوية قائمة.

3. الزاوية المحيطية تساوي نصف الزاوية المركزية المقابلة لنفس القوس.

\[(\Large(\text( مماس الدائرة)))\]

تعريفات

هناك ثلاثة أنواع الموقف النسبيالخط المستقيم والدائرة:

1) الخط المستقيم \(أ\) يقطع الدائرة في نقطتين. يسمى هذا الخط بالخط القاطع. في هذه الحالة تكون المسافة \(d\) من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم أقل من نصف قطر \(R\) الدائرة (الشكل 3).

2) الخط المستقيم \(ب\) يقطع الدائرة عند نقطة واحدة. يسمى هذا الخط المماس، وتسمى النقطة المشتركة بينهما \(B\) نقطة التماس. في هذه الحالة \(d=R\) (الشكل 4).

نظرية

1. مماس الدائرة يكون عمودياً على نصف القطر المرسوم لنقطة التماس.

2. إذا مر مستقيم بنهاية نصف قطر الدائرة وكان عمودياً على نصف القطر هذا فإنه مماس للدائرة.

عاقبة

قطع المماس المرسومة من نقطة واحدة إلى الدائرة متساوية.

دليل

دعونا نرسم مماسين \(KA\) و \(KB\) للدائرة من النقطة \(K\):

هذا يعني أن \(OA\perp KA, OB\perp KB\) يشبه نصف القطر. المثلثات الصحيحة\(\triangle KAO\) و \(\triangle KBO\) متساويان في الساق والوتر، لذلك \(KA=KB\) .

عاقبة

يقع مركز الدائرة \(O\) على منصف الزاوية \(AKB\) المكونة من مماسين مرسومين من نفس النقطة \(K\) .

\[(\Large(\text(نظريات متعلقة بالزوايا))))\]

نظرية الزاوية بين القاطعات

الزاوية بين قاطعين مرسومين من نفس النقطة تساوي نصف الفرق في درجات الأقواس الأكبر والأصغر التي قطعوها.

دليل

اجعل \(M\) هي النقطة التي يتم رسم قاطعين منها كما هو موضح في الشكل:

دعونا نظهر ذلك \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\angle DAB\) هي الزاوية الخارجية للمثلث \(MAD\)، إذن \(\زاوية DAB = \زاوية DMB + \زاوية MDA\)، أين \(\زاوية DMB = \زاوية DAB - \زاوية MDA\)، لكن الزوايا \(\angle DAB\) و \(\angle MDA\) مدرجة، إذن \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\)، وهو ما كان يحتاج إلى إثبات.

نظرية الزاوية بين الأوتار المتقاطعة

الزاوية بين وترين متقاطعين تساوي نصف مجموع درجات الأقواس التي يقطعونها: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

دليل

\(\angle BMA = \angle CMD\) بشكل عمودي.

من المثلث \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

لكن \(\زاوية AMD = 180^\circ - \زاوية CMD\)، ومنه نستنتج ذلك \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ ابتسم\فوق(قرص مضغوط)).\]

نظرية الزاوية بين الوتر والظل

الزاوية بين المماس والوتر المار بنقطة التماس تساوي نصف درجة قياس القوس المقابل للوتر.

دليل

دع الخط المستقيم \(a\) يلامس الدائرة عند النقطة \(A\)، \(AB\) هو وتر هذه الدائرة، \(O\) هو مركزها. دع السطر الذي يحتوي على \(OB\) يتقاطع مع \(a\) عند النقطة \(M\) . دعونا نثبت ذلك \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

دعنا نشير إلى \(\angle OAB = \alpha\) . بما أن \(OA\) و\(OB\) هما أنصاف أقطار، فإن \(OA = OB\) و \(\زاوية OBA = \زاوية OAB = \alpha\). هكذا، \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

نظرًا لأن \(OA\) هو نصف القطر المرسوم إلى نقطة الظل، فإن \(OA\perp a\)، أي \(\angle OAM = 90^\circ\)، لذلك، \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

نظرية الأقواس التي تقابلها أوتار متساوية

الأوتار المتساوية تقابل أقواسًا متساوية أصغر من نصف الدائرة.

والعكس صحيح: الأقواس المتساوية تقابلها أوتار متساوية.

دليل

1) دع \(AB=CD\) . دعونا نثبت أن نصف الدائرة أصغر من القوس .

من ثلاث جهات، \(\angle AOB=\angle COD\) . ولكن \(\angle AOB, \angle COD\) - الزوايا المركزية المدعومة بأقواس \(\buildrel\smile\over(AB)، \buildrel\smile\over(CD)\)وفقا لذلك، ثم \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) إذا \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\)، الذي - التي \(\مثلث AOB=\مثلث COD\)على الجانبين \(AO=BO=CO=DO\) والزاوية بينهما \(\angle AOB=\angle COD\) . لذلك، و \(AB=CD\) .

نظرية

إذا كان نصف القطر ينصف الوتر، فهو عمودي عليه.

والعكس صحيح أيضًا: إذا كان نصف القطر عموديًا على الوتر، فإنه عند نقطة التقاطع ينصفه.

دليل

1) دع \(AN=NB\) . دعونا نثبت أن \(OQ\perp AB\) .

ضع في اعتبارك \(\مثلث AOB\): إنه متساوي الساقين، لأنه \(OA=OB\) – نصف قطر الدائرة. لأن \(ON\) هو الوسيط المرسوم على القاعدة، وهو أيضًا الارتفاع، وبالتالي \(ON\perp AB\) .

2) دع \(OQ\perp AB\) . دعونا نثبت أن \(AN=NB\) .

وبالمثل، \(\triangle AOB\) متساوي الساقين، \(ON\) هو الارتفاع، وبالتالي، \(ON\) هو الوسيط. ولذلك، \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(النظريات المتعلقة بأطوال المقاطع))))\]

نظرية منتج قطع الوتر

إذا تقاطع وتران من دائرة، فإن حاصل ضرب قطعتي الوتر الواحد يساوي حاصل ضرب قطعتي الوتر الآخر.

دليل

دع الوترين \(AB\) و \(CD\) يتقاطعان عند النقطة \(E\) .

خذ بعين الاعتبار المثلثين \(ADE\) و \(CBE\) . في هذه المثلثات، الزاويتان \(1\) و \(2\) متساويتان، حيث أنهما محصورتان وتقعان على نفس القوس \(BD\)، والزاويتان \(3\) و \(4\) متساويتان كعمودي. المثلثان \(ADE\) و \(CBE\) متشابهان (استنادًا إلى المعيار الأول لتشابه المثلثات).

ثم \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\)، من حيث \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

نظرية الظل والقاطع

مربع قطعة المماس يساوي حاصل ضرب القاطع وجزءه الخارجي.

دليل

دع المماس يمر عبر النقطة \(M\) ثم المس الدائرة عند النقطة \(A\) . دع القاطع يمر عبر النقطة \(M\) ويتقاطع مع الدائرة عند النقطتين \(B\) و \(C\) بحيث يصبح \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

خذ بعين الاعتبار المثلثين \(\MBA\) و\(MCA\) : \(\angle M\) شائعان، \(\زاوية BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). وفقا لنظرية الزاوية بين المماس والقاطع، \(\زاوية BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \زاوية BCA\). وبالتالي فإن المثلثين \(MBA\) و\(MCA\) متشابهان في زاويتين.

من تشابه المثلثين \(MBA\) و \(MCA\) لدينا: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\)، وهو ما يعادل \(MB\cdot MC = MA^2\) .

عاقبة

حاصل ضرب القاطع المرسوم من النقطة \(O\) بجزئه الخارجي لا يعتمد على اختيار القاطع المرسوم من النقطة \(O\) .

مفهوم الزاوية المحيطية والمركزية

دعونا أولا نقدم مفهوم الزاوية المركزية.

ملاحظة 1

لاحظ أن قياس درجة الزاوية المركزية يساوي قياس درجة القوس الذي تقع عليه.

دعونا الآن نقدم مفهوم الزاوية المحيطية.

التعريف 2

الزاوية التي يقع رأسها على دائرة ويتقاطع ضلعاها مع نفس الدائرة تسمى زاوية محيطية (الشكل 2).

الشكل 2. الزاوية المنقوشة

نظرية الزاوية المنقوشة

النظرية 1

قياس درجة الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس درجة القوس الذي تقع عليه.

دليل.

دعونا نحصل على دائرة مركزها النقطة $O$. دعنا نشير إلى الزاوية المنقوشة $ACB$ (الشكل 2). الحالات الثلاث التالية ممكنة:

• راي $CO$ يتزامن مع أي جانب من الزاوية. دع هذا يكون الجانب $CB$ (الشكل 3).

الشكل 3.

في هذه الحالة، القوس $AB$ أقل من $(180)^(()^\circ )$، لذلك، الزاوية المركزية$AOB$ يساوي القوس $AB$. بما أن $AO=OC=r$، فإن المثلث $AOC$ متساوي الساقين. وهذا يعني أن زاويتي القاعدة $CAO$ و$ACO$ متساويتان. وفقا لنظرية الزاوية الخارجية للمثلث، لدينا:

• Ray $CO$ يقسم الزاوية الداخلية إلى زاويتين. دعها تتقاطع مع الدائرة عند النقطة $D$ (الشكل 4).

الشكل 4.

نحن نحصل

• Ray $CO$ لا يقسم الزاوية الداخلية إلى زاويتين ولا يتطابق مع أي من أضلاعها (الشكل 5).

الشكل 5.

دعونا نفكر في الزاويتين $ACD$ و$DCB$ بشكل منفصل. وبحسب ما تم إثباته في النقطة 1 نحصل على

نحن نحصل

لقد تم إثبات النظرية.

هيا نعطي عواقبمن هذه النظرية.

النتيجة الطبيعية 1:الزوايا المحيطية التي تقع على نفس القوس تكون متساوية.

النتيجة الطبيعية 2:الزاوية المحيطية التي تقابل القطر هي زاوية قائمة.

أولا، دعونا نفهم الفرق بين الدائرة والدائرة. ولرؤية هذا الاختلاف، يكفي أن نفكر في ماهية كلا الرقمين. هذه هي عدد لا حصر له من النقاط على المستوى، وتقع على مسافة متساوية من نقطة مركزية واحدة. ولكن إذا كانت الدائرة تتكون من المساحة الداخلية، فهو لا ينتمي إلى الدائرة. اتضح أن الدائرة عبارة عن دائرة تحدها (دائرة (ص))، وعدد لا يحصى من النقاط الموجودة داخل الدائرة.

بالنسبة لأي نقطة L تقع على الدائرة، تنطبق المساواة OL=R. (طول القطعة OL يساوي نصف قطر الدائرة).

القطعة التي تصل بين نقطتين على الدائرة هي وتر.

الوتر الذي يمر مباشرة بمركز الدائرة هو قطر الدائرةهذه الدائرة (د). يمكن حساب القطر باستخدام الصيغة: D=2R

محيطمحسوبة بالصيغة: C=2\pi R

مساحة الدائرة: S=\pi R^(2)

قوس الدائرةويسمى الجزء الذي يقع بين نقطتيه منه. تحدد هاتان النقطتان قوسين من الدائرة. يحمل القرص المضغوط الوتر قوسين: CMD وCLD. الحبال المتطابقة تقابل أقواسًا متساوية.

الزاوية المركزيةتسمى الزاوية التي تقع بين نصفي قطرين .

طول القوسيمكن العثور عليها باستخدام الصيغة:

1. استخدام مقياس الدرجة: القرص المضغوط = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. باستخدام قياس الراديان: CD = \alpha R

القطر المتعامد على الوتر يقسم الوتر والأقواس المنقبضة به إلى النصف.

إذا تقاطع الأوتار AB و CD للدائرة عند النقطة N، فإن منتجات شرائح الأوتار المفصولة بالنقطة N تكون متساوية مع بعضها البعض.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

مماس لدائرة

مماس لدائرةمن المعتاد تسمية خط مستقيم له نقطة مشتركة مع الدائرة.

إذا كان الخط يحتوي على نقطتين مشتركتين، فإنه يسمى قاطع.

إذا قمت برسم نصف القطر إلى نقطة المماس، فسيكون عموديًا على مماس الدائرة.

لنرسم مماسين من هذه النقطة إلى دائرتنا. اتضح أن شرائح الظل ستكون متساوية، وسيكون مركز الدائرة موجودا على منصف الزاوية مع قمة الرأس عند هذه النقطة.

أس = سي بي

والآن لنرسم مماسًا وقاطعًا للدائرة من نقطتنا. نحصل على أن مربع طول القطعة المماسية سيكون مساويًا لمنتج القطعة القاطعة بأكملها وجزءها الخارجي.

AC^(2) = CD \cdot BC

يمكننا أن نستنتج: منتج قطعة كاملة من القاطع الأول وجزءه الخارجي يساوي منتج قطعة كاملة من القاطع الثاني وجزءه الخارجي.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

زوايا في دائرة

إن قياسات درجات الزاوية المركزية والقوس الذي تقع عليه متساوية.

\زاوية COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

زاوية مكتوبةهي الزاوية التي يقع رأسها على دائرة، وجوانبها تحتوي على أوتار.

ويمكنك حسابه بمعرفة حجم القوس، فهو يساوي نصف هذا القوس.

\زاوية AOB = 2 \زاوية ADB

بناءً على القطر، الزاوية المنقوشة، الزاوية القائمة.

\زاوية CBD = \زاوية CED = \زاوية CAD = 90^ (\circ)

الزوايا المحيطية التي لها نفس القوس متطابقة.

الزوايا المحيطية المرتكزة على وتر واحد متطابقة أو مجموعها يساوي 180^ (\circ) .

\زاوية ADB + \زاوية AKB = 180^ (\circ)

\زاوية ADB = \زاوية AEB = \زاوية AFB

على نفس الدائرة توجد رؤوس المثلثات ذات الزوايا المتطابقة وقاعدة معينة.

الزاوية ذات الرأس داخل الدائرة وتقع بين وترين تساوي نصف مجموع القيم الزاوية لأقواس الدائرة الموجودة ضمن الزوايا المعطاة والرأسية.

\زاوية DMC = \زاوية ADM + \زاوية DAM = \frac(1)(2) \يسار (\cup DmC + \cup AlB \يمين)

الزاوية التي رأسها خارج الدائرة وتقع بين قاطعين تساوي نصف الفرق في القيم الزاوية لأقواس الدائرة الموجودة داخل الزاوية.

\زاوية M = \زاوية CBD - \زاوية ACB = \frac(1)(2) \يسار (\cup DmC - \cup AlB \يمين)

دائرة مكتوبة

دائرة مكتوبةهي دائرة مماسة لجوانب المضلع.

عند النقطة التي تتقاطع فيها منصفات زوايا المضلع يقع مركزه.

لا يجوز إدراج دائرة في كل مضلع.

تم العثور على مساحة المضلع الذي يحتوي على دائرة منقوشة بالصيغة:

س = العلاقات العامة،

p هو نصف محيط المضلع،

r هو نصف قطر الدائرة المنقوشة.

ويترتب على ذلك أن نصف قطر الدائرة المنقوشة يساوي:

ص = \frac(S)(ع)

يكون مجموع أطوال الأضلاع المتقابلة متماثلاً إذا كانت الدائرة مدرجة في شكل رباعي محدب. والعكس صحيح: تدخل الدائرة في شكل رباعي محدب إذا كان مجموع أطوال الأضلاع المتقابلة متطابقًا.

أ ب + تيار مستمر = م + ق.م

من الممكن كتابة دائرة في أي من المثلثات. واحدة فقط . عند النقطة التي يتقاطع فيها المنصفان زوايا داخليةالشكل، سيكون مركز هذه الدائرة المنقوشة.

يتم حساب نصف قطر الدائرة المنقوشة بالصيغة:

ص = \frac(S)(ع) ,

حيث p = \frac(a + b + c)(2)

دائرة حولها

إذا مرت دائرة عبر كل قمة من مضلع، فعادة ما تسمى هذه الدائرة وصف حول المضلع.

عند نقطة تقاطع المنصفات المتعامدة لجوانب هذا الشكل سيكون مركز الدائرة المحيطة.

يمكن العثور على نصف القطر عن طريق حسابه على أنه نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث المحدد بواسطة أي رؤوس ثلاثية للمضلع.

هناك الشرط التالي: لا يمكن وصف الدائرة حول شكل رباعي إلا إذا كان مجموع الزوايا المقابلة لها يساوي 180^( \circ) .

\الزاوية A + \الزاوية C = \الزاوية B + \الزاوية D = 180^ (\circ)

حول أي مثلث يمكنك وصف دائرة، واحدة فقط. سيكون مركز هذه الدائرة عند النقطة التي تتقاطع فيها المنصفات المتعامدة لجوانب المثلث.

يمكن حساب نصف قطر الدائرة المحددة باستخدام الصيغ:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

أ، ب، ج هي أطوال أضلاع المثلث،

S هي مساحة المثلث.

نظرية بطليموس

وأخيرا، النظر في نظرية بطليموس.

تنص نظرية بطليموس على أن حاصل ضرب الأقطار يساوي مجموع حاصل ضرب الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي الدائري.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

مستوى متوسط

الدائرة والزاوية المحيطية. دليل مرئي (2019)

الشروط الأساسية.

ما مدى تذكرك لجميع الأسماء المرتبطة بالدائرة؟ فقط في حالة، دعونا نذكرك - انظر إلى الصور - قم بتحديث معلوماتك.

أولاً - مركز الدائرة هو النقطة التي تكون المسافات بينها وبين جميع نقاط الدائرة متساوية.

ثانيًا - نصف القطر - قطعة مستقيمة تصل المركز بنقطة على الدائرة.

هناك الكثير من أنصاف الأقطار (ما يعادل عدد النقاط الموجودة على الدائرة)، ولكن جميع أنصاف الأقطار لها نفس الطول.

في بعض الأحيان لفترة قصيرة نصف القطريسمونه بالضبط طول الجزء"المركز هو نقطة على الدائرة" وليس القطعة نفسها.

وهذا ما يحدث إذا قمت بتوصيل نقطتين على دائرة؟ أيضا شريحة؟

لذلك، يسمى هذا الجزء "وتر".

كما هو الحال في حالة نصف القطر، غالبًا ما يكون القطر هو طول القطعة التي تربط نقطتين على الدائرة وتمر عبر المركز. بالمناسبة، كيف يرتبط القطر ونصف القطر؟ انظر بحذر. بالطبع، نصف القطر يساوي نصف القطر.

بالإضافة إلى الحبال، هناك أيضا قاطعة.

تذكر أبسط شيء؟

الزاوية المركزية هي الزاوية بين نصفي قطرين.

والآن - الزاوية المنقوشة

الزاوية المحيطية - الزاوية المحصورة بين وترين متقاطعين عند نقطة على الدائرة.

في هذه الحالة، يقولون أن الزاوية المحيطية تقع على قوس (أو على وتر).

انظر الى الصورة:

قياسات الأقواس والزوايا.

محيط. يتم قياس الأقواس والزوايا بالدرجات والراديان. أولا، حول الدرجات. لا توجد مشاكل بالنسبة للزوايا - عليك أن تتعلم كيفية قياس القوس بالدرجات.

قياس الدرجة (حجم القوس) هو القيمة (بالدرجات) للزاوية المركزية المقابلة

ما معنى كلمة "مناسب" هنا؟ دعونا ننظر بعناية:

هل ترى قوسين وزاويتين مركزيتين؟ حسنًا، القوس الأكبر يتوافق مع زاوية أكبر (ولا بأس أن تكون أكبر)، والقوس الأصغر يتوافق مع زاوية أصغر.

لذا، فقد اتفقنا على أن القوس يحتوي على نفس عدد درجات الزاوية المركزية المقابلة له.

والآن عن الشيء المخيف - حول الراديان!

أي نوع من الوحش هذا "الراديان"؟

تخيل هذا: الراديان هي وسيلة لقياس الزوايا... بنصف القطر!

زاوية الراديان هي زاوية مركزية طول قوسها يساوي نصف قطر الدائرة.

ثم يطرح السؤال: كم عدد الراديان الموجود في الزاوية المستقيمة؟

بمعنى آخر: كم عدد أنصاف الأقطار "الملائمة" في نصف الدائرة؟ أو بطريقة أخرى: كم مرة يكون طول نصف الدائرة أكبر من نصف القطر؟

طرح العلماء هذا السؤال في اليونان القديمة.

وهكذا، وبعد بحث طويل، اكتشفوا أن نسبة المحيط إلى نصف القطر لا ينبغي التعبير عنها بأرقام "بشرية" مثل، وما إلى ذلك.

وليس من الممكن حتى التعبير عن هذا الموقف من خلال الجذور. أي أنه يتبين أنه من المستحيل القول بأن نصف الدائرة أكبر من نصف القطر مرات أو مرات! هل يمكنك أن تتخيل مدى روعة اكتشاف الناس لهذا الأمر لأول مرة؟! بالنسبة لنسبة طول نصف الدائرة إلى نصف القطر، لم تكن الأرقام "العادية" كافية. كان علي أن أدخل رسالة.

إذن - هذا رقم يعبر عن نسبة طول نصف الدائرة إلى نصف القطر.

الآن يمكننا الإجابة على السؤال: كم عدد الراديان الموجود في الزاوية المستقيمة؟ أنه يحتوي على راديان. على وجه التحديد لأن نصف الدائرة أكبر من نصف القطر مرات.

الناس القدماء (وليسوا القدماء) على مر القرون (!) حاولت حساب هذا الرقم الغامض بشكل أكثر دقة، للتعبير عنه بشكل أفضل (على الأقل تقريبًا) من خلال الأرقام "العادية". والآن نحن كسالى بشكل لا يصدق - علامتان بعد يوم حافل تكفيان لنا، لقد اعتدنا على ذلك

فكر في الأمر، فهذا يعني، على سبيل المثال، أن طول الدائرة التي يبلغ قطرها واحدًا يساوي تقريبًا، ولكن من المستحيل ببساطة تسجيل هذا الطول الدقيق برقم "بشري" - فأنت بحاجة إلى حرف. ومن ثم فإن هذا المحيط سيكون متساويًا. وبالطبع، محيط نصف القطر متساوي.

دعنا نعود إلى الراديان.

لقد اكتشفنا بالفعل أن الزاوية المستقيمة تحتوي على راديان.

ما لدينا:

هذا يعني أنني سعيد، أي أنا سعيد. بنفس الطريقة، يتم الحصول على لوحة ذات الزوايا الأكثر شعبية.

العلاقة بين قيم الزوايا المحيطية والمركزية.

هناك حقيقة مذهلة:

الزاوية المحيطية هي نصف حجم الزاوية المركزية المقابلة لها.

انظر كيف يبدو هذا البيان في الصورة. الزاوية المركزية "المقابلة" هي التي يتطابق طرفاها مع طرفي الزاوية المحيطية، ويكون رأسها في المركز. وفي الوقت نفسه، يجب أن "تنظر" الزاوية المركزية "المقابلة" إلى نفس الوتر () مثل الزاوية المنقوشة.

لماذا هو كذلك؟ دعونا معرفة ذلك أولا حالة بسيطة. دع أحد الحبال يمر عبر المركز. يحدث مثل هذا في بعض الأحيان، أليس كذلك؟

ماذا يحدث هنا؟ دعونا نفكر. إنها متساوية الساقين - بعد كل شيء، و- نصف القطر. لذلك (وصفتهم).

الآن دعونا ننظر. هذه هي الزاوية الخارجية ل! تذكر أن الزاوية الخارجية يساوي المبالغاثنان داخليان غير متجاورين، واكتب:

إنه! تأثير غير متوقع. ولكن هناك أيضًا زاوية مركزية للنقش.

وهذا يعني أنهم في هذه الحالة أثبتوا أن الزاوية المركزية هي ضعف الزاوية المحيطية. لكنه يؤلم كثيرا حالة خاصة: أليس صحيحا أن الوتر لا يمر دائما مباشرة عبر المركز؟ لكن لا بأس، الآن هذه الحالة تحديدًا ستساعدنا كثيرًا. انظر: الحالة الثانية: دع المركز يكمن في الداخل.

دعونا نفعل هذا: ارسم القطر. وبعد ذلك... نرى صورتين تم تحليلهما بالفعل في الحالة الأولى. لذلك لدينا ذلك بالفعل

وهذا يعني (في الرسم، أ)

حسنًا، هذا يترك الحالة الأخيرة: المركز خارج الزاوية.

نحن نفعل نفس الشيء: ارسم القطر من خلال النقطة. كل شيء هو نفسه، ولكن بدلا من المبلغ هناك فرق.

هذا كل شئ!

لنستنتج الآن نتيجتين رئيسيتين وهامتين للغاية من عبارة أن الزاوية المحيطية هي نصف الزاوية المركزية.

النتيجة الطبيعية 1

جميع الزوايا المحيطية المبنية على قوس واحد متساوية مع بعضها البعض.

نوضح:

هناك عدد لا يحصى من الزوايا المحيطية المبنية على نفس القوس (لدينا هذا القوس)، قد تبدو مختلفة تمامًا، لكنها جميعها لها نفس الزاوية المركزية ()، مما يعني أن كل هذه الزوايا المحيطية متساوية فيما بينها.

النتيجة الطبيعية 2

الزاوية المقابلة للقطر هي زاوية قائمة.

انظر: ما هي الزاوية المركزية؟

بالتأكيد، . لكنه متساو! حسنًا، إذن (بالإضافة إلى العديد من الزوايا المنقوشة التي ترتكز عليها) فهي متساوية.

الزاوية بين وترين وقاطعين

ولكن ماذا لو كانت الزاوية التي نهتم بها ليست منقوشة وليست مركزية، ولكن على سبيل المثال، على النحو التالي:

او مثل هذا؟

هل من الممكن التعبير عنها بطريقة ما من خلال بعض الزوايا المركزية؟ اتضح أن هذا ممكن. انظر: نحن مهتمون.

أ) (كركن خارجي ل). لكن - منقوش، يرتكز على القوس -. - منقوشة ترتكز على القوس - .

للجمال يقولون:

الزاوية بين الأوتار تساوي نصف مجموع القيم الزاوية للأقواس المحاطة بهذه الزاوية.

لقد كتبوا هذا للإيجاز، ولكن بالطبع، عند استخدام هذه الصيغة، عليك أن تضع في اعتبارك الزوايا المركزية

ب) والآن - "في الخارج"! كيف تكون؟ نعم، نفس الشيء تقريبا! الآن فقط (مرة أخرى نطبق خاصية الزاوية الخارجية لـ). هذا هو الآن.

وهذا يعني... دعونا نضفي الجمال والإيجاز على الملاحظات والصياغة:

الزاوية بين القاطعات تساوي نصف الفرق في القيم الزاوية للأقواس المحيطة بهذه الزاوية.

حسنًا، أنت الآن مسلح بكل المعرفة الأساسية حول الزوايا المرتبطة بالدائرة. المضي قدما، واتخاذ التحديات!

دائرة وزاوية داخلية. مستوى متوسط

حتى الطفل البالغ من العمر خمس سنوات يعرف ما هي الدائرة، أليس كذلك؟ علماء الرياضيات، كما هو الحال دائما، لديهم تعريف غامض حول هذا الموضوع، لكننا لن نعطيه (انظر)، بل دعونا نتذكر ما تسمى النقاط والخطوط والزوايا المرتبطة بالدائرة.

شروط هامة

أولاً:

مركز الدائرة- النقطة التي تكون جميع نقاط الدائرة على مسافة واحدة منها.

ثانيًا:

هناك تعبير آخر مقبول: "الوتر يتعاقد مع القوس". هنا في الشكل، على سبيل المثال، يقابل الوتر القوس. وإذا مر الوتر فجأة عبر المركز، فإنه يكون له اسم خاص: "القطر".

بالمناسبة، كيف يرتبط القطر ونصف القطر؟ انظر بحذر. بالطبع،

والآن - أسماء الزوايا.

طبيعي، أليس كذلك؟ وتمتد أضلاع الزاوية من المركز - مما يعني أن الزاوية مركزية.

هذا هو المكان الذي تنشأ فيه الصعوبات في بعض الأحيان. انتبه - لا يتم إدراج أي زاوية داخل الدائرة،ولكن فقط الشخص الذي "يقع" رأسه على الدائرة نفسها.

دعونا نرى الفرق في الصور:

ويقولون بطريقة أخرى:

هناك نقطة واحدة صعبة هنا. ما هي الزاوية المركزية "المقابلة" أو "الخاصة"؟ مجرد زاوية رأسها في مركز الدائرة وطرفاها عند طرفي القوس؟ ليس بالتأكيد بهذه الطريقة. انظر إلى الرسم.

ومع ذلك، فإن إحداها لا تبدو وكأنها زاوية، بل إنها أكبر. لكن المثلث لا يمكن أن يحتوي على زوايا أكثر، لكن الدائرة قد تكون كذلك! لذلك: القوس الأصغر AB يتوافق مع زاوية أصغر (برتقالية)، والقوس الأكبر يتوافق مع زاوية أكبر. تماما مثل ذلك، أليس كذلك؟

العلاقة بين قياسات الزوايا المحيطية والمركزية

وتذكر هذا البيان المهم جدا:

في الكتب المدرسية يحبون كتابة هذه الحقيقة نفسها مثل هذا:

أليس صحيحًا أن الصيغة أبسط مع الزاوية المركزية؟

ولكن مع ذلك، دعونا نجد المراسلات بين الصيغتين، وفي الوقت نفسه نتعلم كيف نجد في الرسومات الزاوية المركزية "المقابلة" والقوس الذي "ترتكز عليه" الزاوية المنقوشة.

انظر: هذه دائرة وزاوية محيطية:

أين تقع الزاوية المركزية "المقابلة" لها؟

دعونا ننظر مرة أخرى:

ما هي القاعدة؟

لكن! في هذه الحالة، من المهم أن "تنظر" الزوايا المنقوشة والمركزية إلى القوس من جانب واحد. على سبيل المثال:

ومن الغريب أنه أزرق! لأن القوس طويل، أطول من نصف الدائرة! لذلك لا تخلط أبدا!

ما هي النتيجة التي يمكن استخلاصها من "نصف" الزاوية المحيطية؟

لكن على سبيل المثال:

الزاوية المقابلة للقطر

لقد لاحظت بالفعل أن علماء الرياضيات يحبون التحدث عن نفس الأشياء. بكلمات مختلفة؟ لماذا يحتاجون هذا؟ كما ترون، لغة الرياضيات، على الرغم من أنها رسمية، إلا أنها حية، وبالتالي، كما هو الحال في اللغة العادية، في كل مرة تريد أن تقولها بطريقة أكثر ملاءمة. حسنًا، لقد رأينا بالفعل ما تعنيه عبارة "الزاوية التي تقع على قوس". وتخيل أن نفس الصورة تسمى "الزاوية ترتكز على وتر". على ماذا؟ نعم بالطبع لمن يشد هذا القوس!

متى يكون الاعتماد على الوتر أكثر ملاءمة من الاعتماد على القوس؟

حسنًا، على وجه الخصوص، عندما يكون هذا الوتر عبارة عن قطر.

هناك عبارة بسيطة وجميلة ومفيدة بشكل مدهش لمثل هذه الحالة!

انظر: هذه هي الدائرة والقطر والزاوية التي تقع عليها.

دائرة وزاوية داخلية. باختصار عن الأشياء الرئيسية

1. المفاهيم الأساسية.

3. قياسات الأقواس والزوايا.

زاوية الراديان هي زاوية مركزية طول قوسها يساوي نصف قطر الدائرة.

هذا رقم يعبر عن نسبة طول نصف الدائرة إلى نصف قطرها.

محيط نصف القطر يساوي.

4. العلاقة بين قيم الزوايا المحيطية والمركزية.

الزاوية المركزية- هي الزاوية التي تتكون من نصفي قطرين دائرة. مثال على الزاوية المركزية هي الزاوية AOB، وBOC، وCOE، وما إلى ذلك.

عن الزاوية المركزيةو قوسويقال إن المبرمة بين طرفيها تطابقبعضها البعض.

1. إذا الزوايا المركزية أقواسمتساوون.

2. إذا الزوايا المركزيةلا يستويان، فأكبرهما يقابل الأكبر منهما قوس.

دع AOB و COD يكونان اثنين الزوايا المركزية،متساوية أو غير متساوية. لنقم بتدوير القطاع AOB حول المركز في الاتجاه المشار إليه بالسهم، بحيث يتطابق نصف القطر OA مع OC. ثم، إذا كانت الزوايا المركزية متساوية، فإن نصف القطر OA سوف يتطابق مع OD والقوس AB مع القوس CD. .

وهذا يعني أن هذه الأقواس ستكون متساوية.

لو الزوايا المركزيةغير متساويين، فإن نصف القطر OB لن يسير على طول OD، ولكن في اتجاه آخر، على سبيل المثال، على طول OE أو OF. في كلتا الحالتين زاوية أكبرومن الواضح أن القوس الكبير يتوافق أيضًا.

النظرية التي أثبتناها لدائرة واحدة تظل صحيحة بالنسبة لها دوائر متساويةلأن هذه الدوائر لا يختلف بعضها عن بعض إلا في موضعها.

العروض العكسيةسيكون صحيحا أيضا . في دائرة واحدة أو في دوائر متساوية:

1. إذا أقواسمتساويان ثم ما يقابلهما الزوايا المركزيةمتساوون.

2. إذا أقواسلا يستويان، فأكبرهما يقابل الأكبر منهما الزاوية المركزية.

في دائرة واحدة أو في دوائر متساوية، ترتبط الزوايا المركزية بالأقواس المقابلة لها. أو إعادة الصياغة نحصل على تلك الزاوية المركزية متناسبالقوس المقابل له.