العقدة والنوك المكونة من رقمين، الخوارزمية الإقليدية. المضاعف المشترك الأصغر (LCM)

الرقم الثاني: ب=

فاصل الألفبدون فاصل مسافة "´

نتيجة:

أكبر القاسم المشتركجي سي دي( أ,ب)=6

المضاعف المشترك الأصغر لـ LCM( أ,ب)=468

أعظم عدد طبيعي، والتي يتم من خلالها تقسيم الرقمين a و b بدون باقي القاسم المشترك الأكبر(GCD) من هذه الأرقام. يُشار إليه بـ gcd(a,b) أو (a,b) أو gcd(a,b) أو hcf(a,b).

أقل مضاعف مشتركالمضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين a وb هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على a وb بدون باقي. يُشار إليه بـ LCM(a,b) أو lcm(a,b).

يتم استدعاء الأعداد الصحيحة a و b رئيسي متبادل، إذا لم يكن لديهم قواسم مشتركة غير +1 و −1.

القاسم المشترك الأكبر

دع اثنين يعطى أرقام إيجابية أ 1 و أ 2 1). مطلوب إيجاد القاسم المشترك لهذه الأرقام، أي. العثور على مثل هذا الرقم λ ، الذي يقسم الأرقام أ 1 و أ 2 في نفس الوقت. دعونا نصف الخوارزمية.

1) في هذه المقالة سيتم فهم كلمة رقم على أنها عدد صحيح.

يترك أ 1 ≥ أ 2 ودع

أين م 1 , أ 3 هي بعض الأعداد الصحيحة، أ 3 <أ 2(باقي القسمة أ 1 لكل أ 2 ينبغي أن يكون أقل أ 2).

دعونا نتظاهر بذلك λ يقسم أ 1 و أ 2 ثم λ يقسم م 1 أ 2 و λ يقسم أ 1 −م 1 أ 2 =أ 3 (البيان 2 من مقال "قابلية قسمة الأعداد. اختبار قابلية القسمة"). ويترتب على ذلك أن كل قاسم مشترك أ 1 و أ 2 هو القاسم المشترك أ 2 و أ 3. والعكس صحيح أيضاً إذا λ القاسم المشترك أ 2 و أ 3 ثم م 1 أ 2 و أ 1 =م 1 أ 2 +أ 3 قابل للقسمة أيضًا λ . وبالتالي القاسم المشترك أ 2 و أ 3 هو أيضًا قاسم مشترك أ 1 و أ 2. لأن أ 3 <أ 2 ≤أ 1، إذن يمكننا القول أن حل مشكلة إيجاد القاسم المشترك للأعداد أ 1 و أ 2 تم اختزالها إلى مشكلة أبسط تتمثل في إيجاد القاسم المشترك للأرقام أ 2 و أ 3 .

لو أ 3 ≠0، ثم يمكننا القسمة أ 2 على أ 3. ثم

,

أين م 1 و أ 4 هي بعض الأعداد الصحيحة، ( أ 4 باقي من القسمة أ 2 على أ 3 (أ 4 <أ 3)). ومن خلال تفكير مماثل نتوصل إلى استنتاج مفاده أن القواسم المشتركة للأعداد أ 3 و أ 4 يتزامن مع القواسم المشتركة للأرقام أ 2 و أ 3، وأيضا مع القواسم المشتركة أ 1 و أ 2. لأن أ 1 , أ 2 , أ 3 , أ 4، ... هي أعداد تتناقص باستمرار، وبما أن هناك عددًا محدودًا من الأعداد الصحيحة بينها أ 2 و0، ثم في مرحلة ما ن، باقي القسمة أعدم أ n+1 ستكون مساوية للصفر ( أن +2 = 0).

.

كل قاسم مشترك λ أعداد أ 1 و أ 2 هو أيضًا مقسوم على الأرقام أ 2 و أ 3 , أ 3 و أ 4 , .... أن و أن+1 . والعكس صحيح أيضًا، وهو قواسم مشتركة للأعداد أن و أ n+1 هي أيضًا مقسومات للأرقام أن −1 و أن ، .... ، أ 2 و أ 3 , أ 1 و أ 2. لكن القاسم المشترك للأرقام أن و أ n+1 هو رقم أن+1، لأن أن و أ n+1 قابلة للقسمة على أن+1 (تذكر ذلك أن +2 = 0). لذلك أ n+1 هو أيضًا مقسوم على الأرقام أ 1 و أ 2 .

لاحظ أن الرقم أ n+1 هو المقسوم الأكبر على الأرقام أن و أ n+1 ، منذ المقسوم عليه الأكبر أ n+1 هو نفسه أن+1 . لو أيمكن تمثيل n+1 كحاصل ضرب أعداد صحيحة، فهذه الأرقام هي أيضًا قواسم مشتركة للأرقام أ 1 و أ 2. رقم أيتم استدعاء n+1 القاسم المشترك الأكبرأعداد أ 1 و أ 2 .

أعداد أ 1 و أ 2 يمكن أن تكون أرقامًا موجبة أو سالبة. إذا كان أحد الأرقام يساوي صفرًا، فإن القاسم المشترك الأكبر لهذه الأرقام سيكون مساويًا للقيمة المطلقة للرقم الآخر. القاسم المشترك الأكبر للأعداد الصفرية غير محدد.

تسمى الخوارزمية المذكورة أعلاه الخوارزمية الإقليديةلإيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين.

مثال على إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين

أوجد القاسم المشترك الأكبر لعددين 630 و 434.

• الخطوة 1. اقسم الرقم 630 على 434. والباقي هو 196.
• الخطوة 2. اقسم الرقم 434 على 196. والباقي هو 42.
• الخطوة 3. اقسم الرقم 196 على 42. والباقي هو 28.
• الخطوة 4. اقسم الرقم 42 على 28. والباقي هو 14.
• الخطوة 5. اقسم الرقم 28 على 14. والباقي هو 0.

في الخطوة 5، يكون باقي القسمة هو 0. وبالتالي، فإن القاسم المشترك الأكبر للرقمين 630 و434 هو 14. لاحظ أن الرقمين 2 و7 هما أيضًا قواسم للرقمين 630 و434.

أرقام كوبريم

تعريف 1. دع القاسم المشترك الأكبر للأرقام أ 1 و أ 2 يساوي واحد. ثم يتم استدعاء هذه الأرقام الأعداد الأولية المتبادلة، ليس لها قاسم مشترك.

نظرية 1. لو أ 1 و أ 2 أرقام أولية، و λ رقم ما، ثم أي قاسم مشترك للأرقام LA 1 و أ 2 هو أيضًا قاسم مشترك للأرقام λ و أ 2 .

دليل. خذ بعين الاعتبار الخوارزمية الإقليدية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر للأرقام أ 1 و أ 2 (انظر أعلاه).

.

ويترتب على شروط النظرية أن القاسم المشترك الأكبر للأعداد أ 1 و أ 2 وبالتالي أن و أ n+1 هو 1. هذا هو أن+1 =1.

دعونا نضرب كل هذه المساواة في λ ، ثم

.

دع القاسم المشترك أ 1 λ و أ 2 نعم δ . ثم δ يتم تضمينه كمضاعف في أ 1 λ , م 1 أ 2 λ و في أ 1 λ -م 1 أ 2 λ =أ 3 λ (انظر "قابلية تقسيم الأرقام"، البيان 2). إضافي δ يتم تضمينه كمضاعف في أ 2 λ و م 2 أ 3 λ ، وبالتالي فهو عامل أ 2 λ -م 2 أ 3 λ =أ 4 λ .

بالتفكير بهذه الطريقة، نحن مقتنعون بذلك δ يتم تضمينه كمضاعف في أن −1 λ و من −1 أن λ ، وبالتالي في أن −1 λ −من −1 أن λ =أن+1 λ . لأن أن+1=1 إذن δ يتم تضمينه كمضاعف في λ . ولذلك الرقم δ هو القاسم المشترك للأرقام λ و أ 2 .

دعونا نفكر في حالات خاصة للنظرية 1.

عاقبة 1. يترك أو جالأعداد الأولية نسبية ب. ثم منتجاتهم تيار مترددهو عدد أولي بالنسبة ل ب.

حقًا. من النظرية 1 تيار مترددو بلها نفس القواسم المشتركة مثل جو ب. لكن الأرقام جو ببسيطة نسبيا، أي. لديك قاسم مشترك واحد 1. ثم تيار مترددو بلدينا أيضًا قاسم مشترك واحد 1. لذلك تيار مترددو ببسيطة بشكل متبادل.

عاقبة 2. يترك أو بأرقام coprim والسماح بيقسم أك. ثم بيقسم و ك.

حقًا. من شرط الموافقة أكو بلها قاسم مشترك ب. بموجب النظرية 1، بيجب أن يكون القاسم المشترك بو ك. لذلك بيقسم ك.

يمكن تعميم النتيجة الطبيعية 1.

عاقبة 3. 1. دع الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 , ..., أم هي أولية بالنسبة للعدد ب. ثم أ 1 أ 2 , أ 1 أ 2 · أ 3 , ..., أ 1 أ 2 أ 3 ··· أم، حاصل ضرب هذه الأعداد أولي بالنسبة للعدد ب.

2. دعونا يكون لدينا صفين من الأرقام

بحيث يكون كل رقم في السلسلة الأولى أوليًا بنسبة كل رقم في السلسلة الثانية. ثم المنتج

تحتاج إلى العثور على أرقام قابلة للقسمة على كل من هذه الأرقام.

إذا كان الرقم يقبل القسمة على أ 1، ففيه الشكل سا 1 حيث سبعض العدد. لو سهو القاسم المشترك الأكبر للأعداد أ 1 و أ 2، ثم

أين س 1 هو عدد صحيح. ثم

يكون المضاعفات الأقل شيوعا للأرقام أ 1 و أ 2 .

أ 1 و أ 2 أولية نسبيًا، ثم المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 و أ 2:

علينا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.

مما سبق يترتب على ذلك أي مضاعف للأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 يجب أن يكون من مضاعفات الأرقام ε و أ 3 والعودة. دع المضاعف المشترك الأصغر للأرقام ε و أ 3 نعم ε 1 . التالي، مضاعفات الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 , أ 4 يجب أن يكون من مضاعفات الأرقام ε 1 و أ 4 . دع المضاعف المشترك الأصغر للأرقام ε 1 و أ 4 نعم ε 2. وهكذا وجدنا أن جميع الأعداد مضاعفات أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أم تتزامن مع مضاعفات عدد معين ε n، وهو ما يسمى المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة.

في حالة خاصة عندما تكون الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أ m أولية نسبيًا، ثم المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 , أ 2 كما هو موضح أعلاه، له الشكل (3). التالي منذ ذلك الحين أ 3 الأولية بالنسبة للأرقام أ 1 , أ 2 ثم أ 3 عدد أولي أ 1 · أ 2 (النتيجة الطبيعية 1). يعني المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 ,أ 2 ,أ 3 هو رقم أ 1 · أ 2 · أ 3. وبالتفكير بطريقة مماثلة، نصل إلى العبارات التالية.

إفادة 1. المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أم يساوي منتجهم أ 1 · أ 2 · أ 3 ··· أم.

إفادة 2. أي رقم يقبل القسمة على كل من الأعداد الأولية أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أم قابل للقسمة أيضًا على منتجهم أ 1 · أ 2 · أ 3 ··· أم.

دعونا نفكر في حل المشكلة التالية. خطوة الصبي 75 سم، وخطوة الفتاة 60 سم، ومن الضروري إيجاد أصغر مسافة يقطع فيها كل منهما عددًا صحيحًا من الخطوات.

حل.يجب أن يكون المسار بأكمله الذي سيمر به الأطفال قابلاً للقسمة على 60 و70، حيث يجب على كل منهم أن يتخذ عددًا صحيحًا من الخطوات. بمعنى آخر، يجب أن تكون الإجابة من مضاعفات العددين 75 و60.

أولًا، سوف نكتب جميع مضاعفات العدد 75. فنحصل على:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

الآن دعونا نكتب الأعداد التي ستكون من مضاعفات العدد 60. ونحصل على:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

الآن نجد الأرقام الموجودة في كلا الصفين.

• المضاعفات الشائعة للأرقام ستكون 300، 600، إلخ.

أصغرها هو الرقم 300. وفي هذه الحالة، سيتم تسميتها بالمضاعف المشترك الأصغر للرقمين 75 و 60.

بالعودة إلى حالة المشكلة، فإن أصغر مسافة سيقطع فيها الرجال عددًا صحيحًا من الخطوات ستكون 300 سم، وسيقطع الصبي هذا المسار في 4 خطوات، وستحتاج الفتاة إلى اتخاذ 5 خطوات.

تحديد المضاعف المشترك الأصغر

• المضاعف المشترك الأصغر لعددين طبيعيين a وb هو أصغر عدد طبيعي يكون مضاعفًا لكل من a وb.

من أجل العثور على المضاعف المشترك الأصغر لعددين، ليس من الضروري كتابة جميع مضاعفات هذه الأرقام على التوالي.

يمكنك استخدام الطريقة التالية.

كيفية العثور على المضاعف المشترك الأصغر

تحتاج أولاً إلى تحليل هذه الأرقام إلى عوامل أولية.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

الآن دعونا نكتب جميع العوامل الموجودة في مفكوك الرقم الأول (2،2،3،5) ونضيف إليها جميع العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الثاني (5).

ونتيجة لذلك، نحصل على سلسلة من الأعداد الأولية: 2،2،3،5،5. سيكون منتج هذه الأرقام هو العامل المشترك الأصغر لهذه الأرقام. 2*2*3*5*5 = 300.

المخطط العام لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر

• 1. قسمة الأعداد إلى عوامل أولية.
• 2. اكتب العوامل الأولية التي تشكل جزءًا من أحدها.
• 3. أضف إلى هذه العوامل كل ما هو في توسعة العوامل الأخرى، ولكن ليس في العامل المحدد.
• 4. أوجد حاصل ضرب جميع العوامل المكتوبة.

هذه الطريقة عالمية. ويمكن استخدامه للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لأي عدد من الأعداد الطبيعية.

لفهم كيفية حساب LCM، يجب عليك أولاً تحديد معنى مصطلح "متعدد".

مضاعف A هو عدد طبيعي يقبل القسمة على A بدون باقي، وبالتالي، يمكن اعتبار الأعداد التي تكون من مضاعفات 5 15، 20، 25، وهكذا.

يمكن أن يكون هناك عدد محدود من المقسومات على رقم معين، ولكن هناك عدد لا حصر له من المضاعفات.

المضاعف المشترك للأعداد الطبيعية هو العدد الذي يقبل القسمة عليها دون ترك باقي.

كيفية العثور على المضاعف المشترك الأصغر للأرقام

المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للأعداد (اثنان أو ثلاثة أو أكثر) هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على جميع هذه الأرقام.

للعثور على LOC، يمكنك استخدام عدة طرق.

بالنسبة للأعداد الصغيرة، من المناسب كتابة جميع مضاعفات هذه الأرقام على سطر واحد حتى تجد شيئًا مشتركًا بينها. يُشار إلى المضاعفات بالحرف الكبير K.

على سبيل المثال، يمكن كتابة مضاعفات العدد 4 على النحو التالي:

ك (4) = (8،12، 16، 20، 24، ...)

ك (6) = (12، 18، 24، ...)

وهكذا، يمكنك أن ترى أن المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 4 و 6 هو الرقم 24. ويتم هذا الترميز على النحو التالي:

المضاعف المشترك الأصغر(4، 6) = 24

إذا كانت الأرقام كبيرة، ابحث عن المضاعف المشترك لثلاثة أرقام أو أكثر، فمن الأفضل استخدام طريقة أخرى لحساب LCM.

لإكمال المهمة، تحتاج إلى تحليل الأرقام المعطاة إلى عوامل أولية.

تحتاج أولاً إلى كتابة تحليل أكبر رقم على السطر والباقي تحته.

قد يحتوي تحليل كل رقم على عدد مختلف من العوامل.

على سبيل المثال، دعونا نحلل العددين 50 و20 إلى عوامل أولية.

في مفكوك الرقم الأصغر، يجب عليك إبراز العوامل المفقودة في مفك الرقم الأكبر الأول، ثم إضافتها إليه. في المثال المعروض، اثنان مفقود.

يمكنك الآن حساب المضاعف المشترك الأصغر للعددين 20 و50.

م م م (20، 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

وبالتالي، فإن حاصل ضرب العوامل الأولية للعدد الأكبر وعوامل العدد الثاني التي لم تكن متضمنة في مفكوك العدد الأكبر سيكون المضاعف المشترك الأصغر.

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر، يجب عليك تحليلها كلها إلى عوامل أولية، كما في الحالة السابقة.

على سبيل المثال، يمكنك العثور على المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 16، 24، 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

وبالتالي، لم يتم تضمين اثنين فقط من مفك ستة عشر في تحليل عدد أكبر (واحد في مفك أربعة وعشرين).

وبالتالي، فإنها تحتاج إلى إضافتها إلى توسيع عدد أكبر.

م م (12، 16، 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

هناك حالات خاصة لتحديد المضاعف المشترك الأصغر. لذلك، إذا كان من الممكن قسمة أحد الأرقام دون باقي على آخر، فإن أكبر هذه الأرقام سيكون المضاعف المشترك الأصغر.

على سبيل المثال، المضاعف المشترك الأصغر للعدد اثني عشر وأربعة وعشرين هو أربعة وعشرون.

إذا كان من الضروري العثور على المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية التي ليس لها قواسم متطابقة، فسيكون المضاعف المشترك الأصغر الخاص بها مساويًا لمنتجها.

على سبيل المثال، المضاعف المشترك الأصغر (10، 11) = 110.

لكن العديد من الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة أيضًا على أعداد طبيعية أخرى.

على سبيل المثال:

الرقم 12 قابل للقسمة على 1، على 2، على 3، على 4، على 6، على 12؛

الرقم 36 يقبل القسمة على 1، على 2، على 3، على 4، على 6، على 12، على 18، على 36.

يتم استدعاء الأرقام التي يكون الرقم قابلاً للقسمة على الكل (لـ 12 هذه هي 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 12) مقسومات الأرقام. مقسوم على عدد طبيعي أ- عدد طبيعي يقسم عددا معلوما أدون أن يترك أثرا. يسمى العدد الطبيعي الذي له أكثر من مقسومين مركب .

يرجى ملاحظة أن الرقمين 12 و36 لهما عوامل مشتركة. هذه الأرقام هي: 1، 2، 3، 4، 6، 12. القاسم الأكبر لهذه الأرقام هو 12. القاسم المشترك لهذين الرقمين أو ب- هذا هو الرقم الذي يتم قسمة كلا الرقمين بدون باقي أو ب.

مضاعفات مشتركةعدة أرقام هو رقم قابل للقسمة على كل من هذه الأرقام. على سبيل المثال، الأعداد 9 و 18 و 45 لها مضاعف مشترك هو 180. لكن 90 و 360 هي أيضًا مضاعفاتها المشتركة. من بين جميع المضاعفات المشتركة، يوجد دائمًا أصغر واحد، وهو في هذه الحالة هو 90. ويسمى هذا الرقم الأصغرالمضاعف المشترك (CMM).

يكون LCM دائمًا رقمًا طبيعيًا يجب أن يكون أكبر من أكبر الأرقام التي تم تعريفه لها.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM). ملكيات.

التبادلية:

الترابط:

على وجه الخصوص، إذا كانت و أعدادًا أولية، فإن:

المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين مو نهو المقسوم على جميع المضاعفات المشتركة الأخرى مو ن. علاوة على ذلك، مجموعة المضاعفات المشتركة م، نيتزامن مع مجموعة مضاعفات LCM( م، ن).

يمكن التعبير عن التقاربات من حيث بعض الوظائف النظرية للأعداد.

لذا، وظيفة تشيبيشيف. و:

يأتي هذا من تعريف وخصائص وظيفة لانداو ز (ن).

ما يترتب على قانون توزيع الأعداد الأولية.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM).

شهادة عدم الممانعة( أ، ب) يمكن حسابها بعدة طرق:

1. إذا كان القاسم المشترك الأكبر معروفًا، فيمكنك استخدام اتصاله مع LCM:

2. ليعرف التحلل القانوني لكلا العددين إلى عوامل أولية:

أين ص1 ،...،ص ك- الأعداد الأولية المختلفة، و د 1،...،د كو ه 1،...،ه ك- الأعداد الصحيحة غير السالبة (يمكن أن تكون أصفارًا إذا لم يكن العدد الأولي المقابل في التوسعة).

ثم شهادة عدم الممانعة ( أ,ب) يتم حسابه بواسطة الصيغة:

بمعنى آخر، يحتوي تحليل LCM على جميع العوامل الأولية المضمنة في تحليل واحد على الأقل من الأرقام أ، ب، ويتم أخذ أكبر الأسين لهذا المضاعف.

مثال:

يمكن اختزال حساب المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام إلى عدة حسابات متسلسلة للمضاعف المشترك الأصغر لعددين:

قاعدة.للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لسلسلة من الأرقام، تحتاج إلى:

- تحليل الأرقام إلى عوامل أولية؛

- نقل التحليل الأكبر (حاصل ضرب عوامل العدد الأكبر من المعطاة) إلى عوامل حاصل الضرب المطلوب، ثم إضافة عوامل من التحليل لأرقام أخرى لا تظهر في الرقم الأول أو تظهر فيه مرات أقل؛

— المنتج الناتج للعوامل الأولية سيكون المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة.

أي عددين طبيعيين أو أكثر يكون لهما المضاعف المشترك الأصغر الخاص بهما. إذا كانت الأرقام ليست مضاعفات بعضها البعض أو ليس لها نفس العوامل في المفكوك، فإن المضاعف المشترك الأصغر الخاص بها يساوي حاصل ضرب هذه الأرقام.

يتم إضافة العوامل الأولية للرقم 28 (2، 2، 7) إلى العامل 3 (الرقم 21)، وسيكون الناتج الناتج (84) هو أصغر رقم يقبل القسمة على 21 و28.

يتم استكمال العوامل الأولية لأكبر عدد 30 بالعامل 5 للرقم 25، ويكون الناتج الناتج 150 أكبر من أكبر عدد 30 ويقبل القسمة على جميع الأرقام المعطاة دون باقي. هذا هو أصغر منتج ممكن (150، 250، 300...) وهو مضاعف لجميع الأرقام المعطاة.

الأعداد 2،3،11،37 هي أعداد أولية، لذا فإن المضاعف المشترك الأصغر لها يساوي حاصل ضرب الأعداد المعطاة.

قاعدة. لحساب المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية، عليك ضرب كل هذه الأرقام معًا.

خيار اخر:

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعدة أرقام تحتاج إلى:

1) تمثيل كل عدد كحاصل ضرب عوامله الأولية، على سبيل المثال:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) اكتب قوى جميع العوامل الأولية:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) اكتب جميع المقسومات الأولية (المضاعفات) لكل من هذه الأرقام؛

4) اختر الدرجة الأكبر لكل منها الموجودة في جميع مفكوك هذه الأعداد؛

5) مضاعفة هذه القوى.

مثال. أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام: 168، 180، 3024.

حل. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

نكتب القوى العظمى لجميع المقسومات الأولية ونضربها:

عدم الممانعة = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

تعريف.يسمى أكبر عدد طبيعي يتم من خلاله قسمة العددين a وb بدون باقي القاسم المشترك الأكبر (GCD)هذه الارقام.

دعونا نجد القاسم المشترك الأكبر للرقمين 24 و 35.
قواسم العدد 24 هي الأرقام 1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24، وقاسمات 35 هي الأرقام 1، 5، 7، 35.
نرى أن الرقمين 24 و 35 لهما قاسم مشترك واحد فقط - الرقم 1. تسمى هذه الأرقام رئيسي متبادل.

تعريف.يتم استدعاء الأعداد الطبيعية رئيسي متبادلإذا كان القاسم المشترك الأكبر (GCD) هو 1.

القاسم المشترك الأكبر (GCD)يمكن إيجادها دون كتابة جميع قواسم الأعداد المعطاة.

بتحليل العددين 48 و 36 نحصل على:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
من العوامل المتضمنة في مفك الأول من هذه الأعداد، نقوم بشطب تلك التي لم تدخل في مفك الرقم الثاني (أي اثنين).
العوامل المتبقية هي 2 * 2 * 3. حاصل ضربهم يساوي 12. هذا الرقم هو القاسم المشترك الأكبر للرقمين 48 و 36. كما تم العثور على القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أرقام أو أكثر.

لايجاد القاسم المشترك الأكبر

2) من العوامل المدرجة في توسيع أحد هذه الأرقام، شطب تلك التي لم يتم تضمينها في توسيع الأرقام الأخرى؛
3) أوجد حاصل ضرب العوامل المتبقية.

إذا كانت جميع الأعداد المعطاة قابلة للقسمة على واحد منها، فإن هذا الرقم يكون كذلك القاسم المشترك الأكبرأرقام معينة.
على سبيل المثال، القاسم المشترك الأكبر للأرقام 15 و45 و75 و180 هو الرقم 15، حيث أن جميع الأرقام الأخرى قابلة للقسمة عليه: 45 و75 و180.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM)

تعريف. المضاعف المشترك الأصغر (LCM)الأعداد الطبيعية a وb هي أصغر عدد طبيعي يكون مضاعفًا لكل من a وb. يمكن العثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للرقمين 75 و60 دون كتابة مضاعفات هذه الأرقام على التوالي. للقيام بذلك، دعونا نحلل 75 و60 إلى عوامل أولية: 75 = 3 * 5 * 5، و60 = 2 * 2 * 3 * 5.
لنكتب العوامل المتضمنة في مفك الرقم الأول من هذه الأرقام، ونضيف إليها العوامل المفقودة 2 و2 من مفك الرقم الثاني (أي نجمع العاملين).
نحصل على خمسة عوامل 2 * 2 * 3 * 5 * 5، وحاصل ضربها هو 300. وهذا الرقم هو المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 75 و 60.

ويجدون أيضًا المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

ل العثور على المضاعف المشترك الأصغرعدة أعداد طبيعية، تحتاج إلى:
1) تحليلها إلى عوامل أولية؛
2) اكتب العوامل المتضمنة في توسيع أحد الأرقام؛
3) أضف إليها العوامل المفقودة من مفكوكات الأعداد المتبقية؛
4) أوجد حاصل ضرب العوامل الناتجة.

لاحظ أنه إذا كان أحد هذه الأرقام قابلاً للقسمة على جميع الأرقام الأخرى، فإن هذا الرقم هو المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام.
على سبيل المثال، المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 12 و15 و20 و60 هو 60 لأنه يقبل القسمة على كل هذه الأرقام.

درس فيثاغورس (القرن السادس قبل الميلاد) وطلابه مسألة قابلية قسمة الأعداد. لقد أطلقوا على الرقم الذي يساوي مجموع قواسمه (بدون الرقم نفسه) عددًا مثاليًا. على سبيل المثال، الأرقام 6 (6 = 1 + 2 + 3)، 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) مثالية. الأعداد المثالية التالية هي 496، 8128، 33،550،336، وكان الفيثاغوريون يعرفون الأعداد الثلاثة الأولى فقط. الرابع - 8128 - أصبح معروفا في القرن الأول. ن. ه. الخامس - 33.550.336 - تم العثور عليه في القرن الخامس عشر. بحلول عام 1983، كان هناك 27 رقمًا مثاليًا معروفًا بالفعل. لكن العلماء ما زالوا لا يعرفون ما إذا كان هناك أرقام مثالية فردية أو ما إذا كان هناك عدد مثالي أكبر.
يعود اهتمام علماء الرياضيات القدماء بالأعداد الأولية إلى أن أي عدد إما أن يكون أوليا أو يمكن تمثيله كحاصل أعداد أولية، أي أن الأعداد الأولية تشبه الطوب الذي تبنى منه بقية الأعداد الطبيعية.
ربما لاحظت أن الأعداد الأولية في سلسلة الأعداد الطبيعية تحدث بشكل غير متساو - في بعض أجزاء السلسلة يوجد عدد أكبر منها، وفي أجزاء أخرى - أقل. لكن كلما تحركنا على طول سلسلة الأعداد، أصبحت الأعداد الأولية أقل شيوعًا. السؤال الذي يطرح نفسه: هل هناك عدد أولي أخير (أكبر)؟ أثبت عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس (القرن الثالث قبل الميلاد) في كتابه "العناصر"، الذي كان الكتاب المدرسي الرئيسي للرياضيات لمدة ألفي عام، أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية، أي أن وراء كل عدد أولي يوجد عدد أولي أكبر رقم.
للعثور على الأعداد الأولية، توصل عالم رياضيات يوناني آخر في نفس الوقت، إراتوستينس، إلى هذه الطريقة. لقد كتب جميع الأرقام من 1 إلى رقم ما، ثم شطب واحدًا، وهو ليس عددًا أوليًا ولا مركبًا، ثم شطب من خلال واحد جميع الأرقام التي تأتي بعد 2 (الأعداد التي هي مضاعفات 2، أي 4، 6، 8، الخ). أول رقم متبقي بعد 2 كان 3. ثم، بعد اثنين، تم شطب جميع الأرقام التي تأتي بعد 3 (الأرقام التي كانت من مضاعفات 3، أي 6، 9، 12، وما إلى ذلك). في النهاية بقيت الأعداد الأولية فقط غير متقاطعة.