خصائص صيغ الجيب وجيب التمام. الهويات المثلثية الأساسية وصيغها واشتقاقها
لن أحاول إقناعك بعدم كتابة أوراق الغش. يكتب! بما في ذلك أوراق الغش في علم المثلثات. أخطط لاحقًا لشرح سبب الحاجة إلى أوراق الغش وسبب فائدة أوراق الغش. وهنا معلومات حول كيفية عدم التعلم، ولكن تذكر بعض الصيغ المثلثية. إذن - علم المثلثات بدون ورقة غش نستخدم الارتباطات للحفظ.
1. صيغ الإضافة:
جيب التمام دائمًا "يأتي في أزواج": جيب التمام، جيب التمام، جيب التمام.
وشيء آخر: جيب التمام "غير كاف". "كل شيء ليس على ما يرام" بالنسبة لهم، فيغيرون الإشارة: "-" إلى "+"، والعكس صحيح.
الجيوب الأنفية - "مزيج": جيب التمام، جيب التمام، جيب التمام.
2. صيغ الجمع والفرق:
جيب التمام دائمًا "يأتي في أزواج". بإضافة اثنين من جيب التمام - "koloboks"، نحصل على زوج من جيب التمام - "koloboks". وبالطرح، بالتأكيد لن نحصل على أي كولوبوك. نحصل على بضع الجيوب. أيضا مع ناقص المقبلة.
الجيوب الأنفية - "مزيج" :
3. صيغ تحويل المنتج إلى مجموع وفرق.
متى نحصل على زوج جيب التمام؟ عندما نضيف جيب التمام. لهذا
متى نحصل على زوجين من الجيوب؟ عند طرح جيب التمام. من هنا:
يتم الحصول على "الخلط" عند إضافة وطرح الجيوب. ما هو أكثر متعة: إضافة أو طرح؟ هذا صحيح، أضعاف. وللصيغة يأخذون إضافة:
في الصيغتين الأولى والثالثة، يكون المجموع بين قوسين. إعادة ترتيب أماكن المصطلحات لا يغير المجموع. الترتيب مهم فقط للصيغة الثانية. ولكن، لكي لا نخلط، ولسهولة التذكر، في جميع الصيغ الثلاثة الموجودة بين القوسين الأولين، نأخذ الفرق
وثانيا - المبلغ
تمنحك أوراق الغش الموجودة في جيبك راحة البال: إذا نسيت الصيغة، يمكنك نسخها. وهي تمنحك الثقة: إذا فشلت في استخدام ورقة الغش، فيمكنك تذكر الصيغ بسهولة.
يتم إعطاء العلاقات بين الدوال المثلثية الأساسية - الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام الصيغ المثلثية. وبما أن هناك الكثير من الروابط بين الدوال المثلثية، فإن هذا يفسر وفرة الصيغ المثلثية. تربط بعض الصيغ الدوال المثلثية لنفس الزاوية، والبعض الآخر - وظائف زاوية متعددة، والبعض الآخر - يسمح لك بتقليل الدرجة، والرابع - يعبر عن جميع الوظائف من خلال ظل نصف زاوية، وما إلى ذلك.
في هذه المقالة سوف نقوم بإدراج جميع الصيغ المثلثية الأساسية بالترتيب، والتي تكون كافية لحل الغالبية العظمى من مشاكل علم المثلثات. ولسهولة الحفظ والاستخدام، سنجمعها حسب الغرض وندخلها في جداول.
التنقل في الصفحة.
الهويات المثلثية الأساسية
الهويات المثلثية الأساسيةتحديد العلاقة بين الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة. وهي تنبع من تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، وكذلك مفهوم دائرة الوحدة. إنها تسمح لك بالتعبير عن دالة مثلثية واحدة بدلالة أي دالة أخرى.
للحصول على وصف تفصيلي لصيغ علم المثلثات هذه واشتقاقها وأمثلة للتطبيق، راجع المقالة.
صيغ التخفيض
صيغ التخفيضتتبع من خصائص الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، أي أنها تعكس خاصية دورية الدوال المثلثية، وخاصية التماثل، وكذلك خاصية التحول بزاوية معينة. تتيح لك هذه الصيغ المثلثية الانتقال من العمل بزوايا عشوائية إلى العمل بزوايا تتراوح من صفر إلى 90 درجة.
يمكن دراسة الأساس المنطقي لهذه الصيغ وقاعدة تذكيرية لحفظها وأمثلة لتطبيقها في المقالة.
صيغ الإضافة
صيغ الجمع المثلثيةوضح كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لمجموع أو الفرق بين زاويتين بدلالة الدوال المثلثية لتلك الزوايا. تعمل هذه الصيغ كأساس لاشتقاق الصيغ المثلثية التالية.
صيغ ثنائية وثلاثية وما إلى ذلك. زاوية
صيغ ثنائية وثلاثية وما إلى ذلك. الزاوية (وتسمى أيضًا صيغ الزوايا المتعددة) توضح كيفية حساب الدوال المثلثية للثنائي والثلاثي وما إلى ذلك. يتم التعبير عن الزوايا () بدلالة الدوال المثلثية لزاوية واحدة. يعتمد اشتقاقها على صيغ الجمع.
يتم جمع معلومات أكثر تفصيلاً في صيغ المقالة للثنائي والثلاثي وما إلى ذلك. زاوية
صيغ نصف الزاوية
صيغ نصف الزاويةوضح كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لنصف زاوية بدلالة جيب تمام الزاوية بأكملها. تتبع هذه الصيغ المثلثية صيغ الزاوية المزدوجة.
يمكن العثور على استنتاجاتهم وأمثلة التطبيق في المقالة.
صيغ تخفيض الدرجة
الصيغ المثلثية لتقليل الدرجاتتم تصميمها لتسهيل الانتقال من القوى الطبيعية للدوال المثلثية إلى جيب التمام وجيب التمام في الدرجة الأولى ولكن بزوايا متعددة. وبعبارة أخرى، فهي تسمح لك بتقليل صلاحيات الدوال المثلثية إلى الأولى.
صيغ لمجموع واختلاف الدوال المثلثية
الغرض الرئيسي صيغ لمجموع وفرق الدوال المثلثيةهو الانتقال إلى حاصل ضرب الدوال، وهو أمر مفيد جدًا عند تبسيط التعبيرات المثلثية. وتستخدم هذه الصيغ أيضًا على نطاق واسع في حلها المعادلات المثلثية، لأنها تسمح لك بتحليل مجموع وفرق الجيب وجيب التمام.
صيغ لمنتج الجيب وجيب التمام والجيب بواسطة جيب التمام
يتم الانتقال من منتج الدوال المثلثية إلى المجموع أو الفرق باستخدام صيغ منتج الجيب وجيب التمام وجيب التمام.
حقوق الطبع والنشر من قبل Smartstudents
كل الحقوق محفوظة.
محمية بموجب قانون حق المؤلف. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من موقع www.site، بما في ذلك المواد الداخلية والمظهر، بأي شكل من الأشكال أو استخدامه دون الحصول على إذن كتابي مسبق من صاحب حقوق الطبع والنشر.
امتحان الدولة الموحدة لمدة 4؟ لن تنفجر من السعادة؟
السؤال كما يقولون مثير للاهتمام... من الممكن، من الممكن أن تنجح بـ 4! وفي نفس الوقت لا تنفجر... الشرط الأساسي هو ممارسة الرياضة بانتظام. هنا هو الإعداد الأساسي لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات. مع كل أسرار وأسرار امتحان الدولة الموحدة، والتي لن تقرأ عنها في الكتب المدرسية... ادرس هذا القسم، وحل المزيد من المهام من مصادر مختلفة - وكل شيء سينجح! من المفترض أن القسم الأساسي "A C يكفيك!" لا يسبب لك أي مشاكل. ولكن إذا فجأة... اتبع الروابط، لا تكن كسولاً!
وسنبدأ بموضوع عظيم ورهيب.
علم المثلثات
انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")
هذا الموضوع يسبب الكثير من المشاكل للطلاب. تعتبر واحدة من أشد. ما هي جيب التمام وجيب التمام؟ ما هي الظل وظل التمام؟ ما هي دائرة الأرقام؟بمجرد طرح هذه الأسئلة غير المؤذية، يتحول لون الشخص إلى اللون الشاحب ويحاول تحويل مجرى الحديث... ولكن دون جدوى. هذه مفاهيم بسيطة. وهذا الموضوع ليس أصعب من غيره. كل ما عليك فعله هو أن تفهم بوضوح الإجابات على هذه الأسئلة بالذات منذ البداية. انها مهمة جدا. إذا فهمت، سوف تحب علم المثلثات. لذا،
ما هي جيب التمام وجيب التمام؟ ما هي الظل وظل التمام؟
لنبدأ بالعصور القديمة. لا تقلق، سنتعرف على علم المثلثات العشرين قرنا في حوالي 15 دقيقة، ودون أن نلاحظ ذلك، سنكرر قطعة من علم الهندسة من الصف الثامن.
لنرسم مثلثًا قائمًا بأضلاعه أ، ب، جوالزاوية X. ها هو.
دعني أذكرك أن الجوانب التي تشكل زاوية قائمة تسمى الأرجل. أ و ج- الساقين. هناك اثنان منهم. الجانب المتبقي يسمى الوتر. مع- الوتر.
مثلث ومثلث، مجرد التفكير! ماذا تفعل معه؟ لكن القدماء عرفوا ماذا يفعلون! دعونا نكرر أفعالهم. دعونا قياس الجانب الخامس. في الشكل، يتم رسم الخلايا بشكل خاص، كما في مهام امتحان الدولة الموحدةيحدث ذلك. الخامسجانب يساوي أربع خلايا. نعم. دعونا قياس الجانبأ.
ثلاث خلايا. الآن دعونا نقسم طول الجانبأ الخامسلكل طول الجانب الآن دعونا نقسم طول الجانب. أو، كما يقولون أيضًا، دعونا نتخذ هذا الموقف الخامس. ل= 3/4.
أ/ت الخامسعلى العكس من ذلك، يمكنك تقسيم يساوي أربع خلايا. نعم. دعونا قياس الجانبعلى الخامسنحصل على 4/3. يستطيع اقسم علىمع. معالوتر من المستحيل العد بالخلايا، لكنه يساوي 5. لقد حصلنا على ذلكجودة عالية
= 4/5. باختصار، يمكنك تقسيم أطوال الجوانب على بعضها البعض والحصول على بعض الأرقام. وماذا في ذلك؟ ما الفائدة في هذانشاط مثير للاهتمام
؟ لا شيء حتى الآن. تمرين لا معنى له، بصراحة.) الآن دعونا نفعل هذا. دعونا نوسع المثلث. دعونا تمديد الجانبينفي ومع Xولكن لكي يبقى المثلث مستطيلاً. ركن ، بطبيعة الحال، لا يتغير. لرؤية ذلك، قم بتمرير مؤشر الماوس فوق الصورة، أو المسها (إذا كان لديك جهاز لوحي). حفلاتأ، ب، ج سوف يتحول إلىم، ن، ك
وبالطبع ستتغير أطوال الجوانب.
لكن علاقتهم ليست كذلك! لسلوك لكان: = 3/4، أصبحم / ن = 6/8 = 3/4. العلاقات مع الأطراف الأخرى ذات الصلة هي أيضا لن يتغير . يمكنك تغيير أطوال أضلاع المثلث القائم كما تريد، الزيادة أو النقصان، – دون تغيير الزاوية x العلاقة بين الأطراف المعنية لن تتغير
ولكن هذا بالفعل مهم جدا! نسب الجوانب في المثلث القائم لا تعتمد بأي شكل من الأشكال على أطوال الجوانب (في نفس الزاوية). وهذا أمر مهم للغاية لدرجة أن العلاقة بين الطرفين اكتسبت اسمًا خاصًا بها. أسمائكم، إذا جاز التعبير.) قابلني.
ما هو جيب الزاوية x ؟ هذه هي نسبة الضلع المقابل للوتر:
سينكس = أ/ج
ما هو جيب تمام الزاوية x ؟ إنه موقف الساق المجاورةإلى الوتر:
معcom.osx= جودة عالية
ما هو الظل x ؟ هذه هي نسبة الجانب المقابل إلى المجاور:
تغكس =ل
ما هو ظل التمام للزاوية x ؟ هذه هي نسبة الضلع المجاور إلى المقابل:
ctgx = v/a
كل شيء بسيط جدا. جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام هي بعض الأرقام. بلا أبعاد. مجرد أرقام. كل زاوية لها خاصتها.
لماذا أكرر كل شيء بشكل ممل؟ ثم ما هذا بحاجة إلى أن نتذكر. من المهم أن تتذكر. يمكن جعل الحفظ أسهل. هل عبارة "لنبدأ من بعيد..." مألوفة؟ لذا ابدأ من بعيد.
التجويفالزاوية هي نسبة بعيدمن زاوية الساق إلى الوتر. جيب التمام– نسبة الجار إلى الوتر.
الظلالزاوية هي نسبة بعيدمن زاوية الساق إلى الزاوية القريبة. ظل التمام- والعكس صحيح.
إنه أسهل، أليس كذلك؟
حسنًا ، إذا كنت تتذكر أنه في الظل وظل التمام لا يوجد سوى أرجل ، وفي جيب التمام وجيب التمام يظهر الوتر ، فسيصبح كل شيء بسيطًا للغاية.
وتسمى أيضًا هذه العائلة المجيدة بأكملها - جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام الدوال المثلثية.
الآن سؤال للنظر فيه.
لماذا نقول جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام ركن؟نحن نتحدث عن العلاقة بين الطرفين، مثل... ما علاقتها بها؟ ركن؟
دعونا ننظر إلى الصورة الثانية. بالضبط نفس أول واحد.
حرك مؤشر الفأرة فوق الصورة. لقد غيرت الزاوية X. زاد عليه من س إلى س.لقد تغيرت كل العلاقات! سلوك لكان 3/4، والنسبة المقابلة تلفزيونأصبح 6/4.
وجميع العلاقات الأخرى أصبحت مختلفة!
ولذلك فإن نسب الأضلاع لا تعتمد بأي شكل من الأشكال على أطوالها (عند زاوية واحدة x)، بل تعتمد بشكل حاد على هذه الزاوية ذاتها! ومنه فقط.لذلك، تشير مصطلحات جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام إلى ركن.الزاوية هنا هي الزاوية الرئيسية.
يجب أن يكون مفهوما بوضوح أن الزاوية مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بوظائفها المثلثية. كل زاوية لها جيب التمام وجيب التمام الخاص بها. وكل شخص تقريبًا لديه ظل التمام وظل التمام الخاص به.انه مهم. من المعتقد أنه إذا حصلنا على زاوية، فإن جيبها وجيب تمامها وظلها وظل تمامها نعلم ! والعكس صحيح. بمعلومية جيب الزاوية، أو أي دالة مثلثية أخرى، فهذا يعني أننا نعرف الزاوية.
توجد جداول خاصة حيث يتم وصف وظائفها المثلثية لكل زاوية. يطلق عليهم جداول براديس. تم تجميعها منذ وقت طويل جدا. عندما لم تكن هناك آلات حاسبة أو أجهزة كمبيوتر بعد.
بالطبع، من المستحيل تذكر الدوال المثلثية لجميع الزوايا. مطلوب منك أن تعرفهم فقط من زوايا قليلة، المزيد عن هذا لاحقًا. لكن التعويذة أنا أعرف الزاوية، مما يعني أنني أعرف دوالها المثلثية" -يعمل دائما!
لذلك قمنا بتكرار قطعة من الهندسة من الصف الثامن. هل نحتاجها لامتحان الدولة الموحدة؟ ضروري. هذه مشكلة نموذجية من امتحان الدولة الموحدة. لحل هذه المشكلة يكفي الصف الثامن. الصورة المعطاة:
الجميع. لا يوجد المزيد من البيانات. علينا إيجاد طول جانب الطائرة.
الخلايا لا تساعد كثيرًا، فالمثلث تم وضعه بطريقة غير صحيحة.... أعتقد عن قصد... من المعلومات يوجد طول الوتر. 8 خلايا. لسبب ما، أعطيت الزاوية.
هذا هو المكان الذي يجب أن تتذكر فيه على الفور علم المثلثات. هناك زاوية، مما يعني أننا نعرف جميع دوالها المثلثية. أي من الوظائف الأربع يجب أن نستخدمها؟ دعونا نرى، ماذا نعرف؟ نحن نعرف الوتر والزاوية، لكن علينا إيجادهما مجاورالقسطرة إلى هذه الزاوية! من الواضح أن جيب التمام يجب أن يوضع موضع التنفيذ! ها نحن. نحن نكتب ببساطة، من خلال تعريف جيب التمام (النسبة مجاورالساق إلى الوتر):
كوسC = قبل الميلاد/8
الزاوية C لدينا هي 60 درجة، وجيب تمامها هو 1/2. عليك أن تعرف هذا، دون أي الجداول! إنه:
1/2 = ق/8
ابتدائي معادلة خط مستقيم. مجهول - شمس. أولئك الذين نسوا كيفية حل المعادلات يلقون نظرة على الرابط والباقي يحل:
قبل الميلاد = 4
عندما أدرك القدماء أن كل زاوية لها مجموعتها الخاصة من الدوال المثلثية، كان لديهم سؤال معقول. هل يرتبط الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام بطريقة أو بأخرى ببعضها البعض؟بحيث معرفة وظيفة زاوية واحدة، يمكنك العثور على الآخرين؟ دون حساب الزاوية نفسها؟
لقد كانوا مضطربين للغاية ...)
العلاقة بين الدوال المثلثية لزاوية واحدة.
وبطبيعة الحال، الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لنفس الزاوية ترتبط ببعضها البعض. يتم إعطاء أي اتصال بين التعبيرات في الرياضيات عن طريق الصيغ. في علم المثلثات هناك عدد هائل من الصيغ. ولكن هنا سوف ننظر إلى أبسطها. تسمى هذه الصيغ: الهويات المثلثية الأساسية.ها هم:
أنت بحاجة إلى معرفة هذه الصيغ بدقة. بدونهم لا يوجد شيء يمكن القيام به في علم المثلثات بشكل عام. ثلاث هويات مساعدة أخرى تتبع هذه الهويات الأساسية:
أحذرك على الفور من أن الصيغ الثلاث الأخيرة تسقط بسرعة من ذاكرتك. لسبب ما.) يمكنك بالطبع استخلاص هذه الصيغ من الصيغ الثلاثة الأولى. ولكن في وقت عصيب... أنت تفهم.)
في المسائل القياسية، مثل تلك الموجودة أدناه، هناك طريقة لتجنب هذه الصيغ القابلة للنسيان. و تقليل الأخطاء بشكل كبيربسبب النسيان، وفي الحسابات أيضاً. هذه الممارسة موجودة في القسم 555، درس "العلاقات بين الدوال المثلثية ذات الزاوية نفسها".
في أي المهام وكيف يتم استخدام الهويات المثلثية الأساسية؟ المهمة الأكثر شيوعًا هي العثور على دالة زاوية ما إذا تم إعطاء أخرى. في امتحان الدولة الموحدة توجد مثل هذه المهمة من سنة إلى أخرى.) على سبيل المثال:
أوجد قيمة sinx إذا كانت x زاوية حادة وcosx=0.8.
المهمة تكاد تكون أولية. نحن نبحث عن صيغة تحتوي على الجيب وجيب التمام. هنا هي الصيغة:
خطيئة 2 س + جتا 2 س = 1
نعوض هنا بقيمة معروفة، وهي 0.8 بدلًا من جيب التمام:
خطيئة 2 س + 0.8 2 = 1
حسنا، نحن نحسب كالعادة:
خطيئة 2 س + 0.64 = 1
خطيئة 2 × = 1 - 0.64
هذا كل شيء عمليا. لقد قمنا بحساب مربع جيب الجيب، وكل ما تبقى هو استخراج الجذر التربيعي والإجابة جاهزة! جذر 0.36 هو 0.6.
المهمة تكاد تكون أولية. لكن كلمة "تقريبًا" موجودة لسبب ما... والحقيقة هي أن الإجابة sinx= - 0.6 مناسبة أيضًا... (-0.6) 2 ستكون أيضًا 0.36.
هناك إجابتان مختلفتان. وتحتاج إلى واحدة. والثاني غير صحيح. كيف تكون!؟ نعم كالعادة.) اقرأ المهمة بعناية. لسبب ما يقول:... إذا كانت x زاوية حادة..وفي المهام كل كلمة لها معنى نعم... هذه العبارة معلومات إضافية للحل.
الزاوية الحادة هي الزاوية التي قياسها أقل من 90 درجة. وفي مثل هذه الزوايا الجميعالدوال المثلثية - جيب التمام وجيب التمام والظل مع ظل التمام - إيجابي.أولئك. نحن ببساطة نتجاهل الإجابة السلبية هنا. لدينا الحق.
في الواقع، لا يحتاج طلاب الصف الثامن إلى مثل هذه التفاصيل الدقيقة. إنها تعمل فقط مع المثلثات القائمة، حيث يمكن أن تكون الزوايا حادة فقط. وهم لا يعلمون أيها السعداء أن هناك زوايا سالبة وزوايا قياسها 1000 درجة... وكل هذه الزوايا الرهيبة لها وظائفها المثلثية الخاصة بها، موجب وسالب...
ولكن بالنسبة لطلاب المدارس الثانوية، دون مراعاة العلامة - بأي حال من الأحوال. إن كثرة المعرفة تضاعف الأحزان، نعم...) ومن أجل القرار الصائبيجب أن تحتوي المهمة على معلومات إضافية (إذا لزم الأمر). على سبيل المثال، يمكن تقديمه عن طريق الإدخال التالي:
أو بطريقة أخرى. سترى في الأمثلة أدناه.) لحل هذه الأمثلة عليك أن تعرفها في أي ربع تقع الزاوية المعطاة x وما الإشارة التي تحملها الدالة المثلثية المطلوبة في هذا الربع؟
تمت مناقشة أساسيات علم المثلثات في الدروس حول ماهية الدائرة المثلثية، وقياس الزوايا على هذه الدائرة، وقياس الراديان للزاوية. في بعض الأحيان تحتاج إلى معرفة جدول الجيب وجيب التمام للظلال وظل التمام.
لذلك دعونا نلاحظ الشيء الأكثر أهمية:
1. تذكر تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. وسيكون من المفيد جدا.
2. نحن نفهم بوضوح: أن الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام مرتبطون بإحكام بالزوايا. نحن نعرف شيئًا واحدًا، مما يعني أننا نعرف شيئًا آخر.
3. نحن نفهم بوضوح: يرتبط جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة ببعضها البعض من خلال الهويات المثلثية الأساسية. نحن نعرف دالة واحدة، مما يعني أنه يمكننا (إذا كانت لدينا المعلومات الإضافية اللازمة) حساب جميع الوظائف الأخرى.
الآن دعونا نقرر كالعادة. أولا، المهام في نطاق الصف الثامن. ولكن يمكن لطلاب المدارس الثانوية القيام بذلك أيضًا ...)
1. احسب قيمة tgA إذا كانت ctgA = 0.4.
2. β هي زاوية في المثلث القائم. أوجد قيمة tanβ إذا كانت sinβ = 12/13.
3. تعريف جيب زاوية حادةس إذا كان tgx = 4/3.
4. ابحث عن معنى العبارة:
6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°
5. ابحث عن معنى العبارة:
(1-cosx)(1+cosx)، إذا كان sinx = 0.3
الإجابات (مفصولة بفواصل منقوطة، في حالة من الفوضى):
0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5
حدث؟ عظيم! يمكن لطلاب الصف الثامن بالفعل الحصول على درجات A.)
ألم ينجح كل شيء؟ المهام 2 و 3 ليست جيدة جدًا إلى حدٍ ما...؟ لا مشكلة! هناك تقنية واحدة جميلة لمثل هذه المهام. يمكن حل كل شيء عمليًا بدون صيغ على الإطلاق! وبالتالي بدون أخطاء. تم وصف هذه التقنية في الدرس: "العلاقات بين الدوال المثلثية لزاوية واحدة" في القسم 555. يتم أيضًا التعامل مع جميع المهام الأخرى هناك.
وكانت هذه مشاكل مثل امتحان الدولة الموحدة، ولكن في نسخة مجردة. امتحان الدولة الموحدة - خفيف). والآن نفس المهام تقريبا، ولكن في شكل كامل. لطلاب المدارس الثانوية المثقلين بالمعرفة.)
6. أوجد قيمة tanβ إذا كانت sinβ = 12/13 و
7. حدد sinx إذا كانت tgx = 4/3، وx تنتمي إلى الفاصل الزمني (- 540°؛ - 450°).
8. أوجد قيمة التعبير sinβ cosβ إذا كانت ctgβ = 1.
الإجابات (في حالة من الفوضى):
0,8; 0,5; -2,4.
هنا في المسألة 6 لم يتم تحديد الزاوية بشكل واضح جداً... لكن في المشكلة 8 لم يتم تحديدها على الإطلاق! وهذا عن قصد). معلومات إضافيةليس فقط مأخوذًا من المهمة، ولكن أيضًا من الرأس.) ولكن إذا قررت، فسيتم ضمان مهمة واحدة صحيحة!
ماذا لو لم تقرر؟ حسنًا... حسنًا، القسم 555 سيساعد هنا. هناك حلول لجميع هذه المهام موصوفة بالتفصيل، ومن الصعب عدم فهمها.
يوفر هذا الدرس فهمًا محدودًا للغاية للدوال المثلثية. ضمن الصف الثامن. وما زال لدى الكبار أسئلة..
على سبيل المثال، إذا كانت الزاوية X(أنظر إلى الصورة الثانية في هذه الصفحة) - أجعلها غبية!؟ المثلث سوف ينهار تماما! اذا ماذا يجب ان نفعل؟ لن يكون هناك ساق ولا وتر... لقد اختفى الجيب...
لو لم يجد القدماء طريقة للخروج من هذا الوضع، لما كان لدينا الآن هواتف محمولة أو تلفزيون أو كهرباء. نعم نعم! الأساس النظري لكل هذه الأشياء بدون دوال مثلثية هو صفر بدون عصا. ولكن الشعب القديم لم يخيب. كيف خرجوا هو في الدرس التالي.
إذا أعجبك هذا الموقع...
بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)
يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)
يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.
ملاحظات هامة!
1. إذا رأيت gobbledygook بدلاً من الصيغ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. كيفية القيام بذلك في متصفحك مكتوبة هنا:
2. قبل أن تبدأ بقراءة المقال، انتبه لمتصفحنا للأكثر مورد مفيدل
جيب التمام، جيب التمام، الظل، ظل التمام
ترتبط مفاهيم الجيب ()، وجيب التمام ()، والظل ()، وظل التمام () ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الزاوية. من أجل الحصول على فهم جيد لهذه المفاهيم المعقدة التي تبدو للوهلة الأولى (والتي تسبب حالة من الرعب لدى العديد من تلاميذ المدارس)، وللتأكد من أن "الشيطان ليس فظيعًا كما هو مرسوم"، فلنبدأ من بداية جدًا وفهم مفهوم الزاوية.
مفهوم الزاوية: راديان، درجة
دعونا ننظر إلى الصورة. لقد "تحول" المتجه بالنسبة إلى النقطة بمقدار معين. إذن، سيكون قياس هذا الدوران بالنسبة إلى الموضع الأولي ركن.
ماذا تريد أن تعرف أيضًا عن مفهوم الزاوية؟ حسنا، بالطبع، وحدات الزاوية!
يمكن قياس الزاوية، في كل من الهندسة وعلم المثلثات، بالدرجات والراديان.
تسمى الزاوية (درجة واحدة). الزاوية المركزيةفي دائرة، مبنية على قوس دائري يساوي جزء من الدائرة. وهكذا فإن الدائرة بأكملها تتكون من “قطع” من الأقواس الدائرية، أو أن الزاوية الموصوفة بالدائرة متساوية.
أي أن الشكل أعلاه يوضح زاوية مساوية، أي أن هذه الزاوية ترتكز على قوس دائري بحجم محيطه.
الزاوية بالراديان هي الزاوية المركزية في دائرة يقابلها قوس دائري طوله يساوي نصف قطر الدائرة. حسنًا، هل اكتشفت ذلك؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فلنكتشف ذلك من الرسم.
إذن، يوضح الشكل زاوية تساوي الراديان، أي أن هذه الزاوية ترتكز على قوس دائري طوله يساوي نصف قطر الدائرة (الطول يساوي الطول أو نصف القطر يساوي نصف القطر) طول القوس). وبالتالي، يتم حساب طول القوس بالصيغة:
أين الزاوية المركزية بالراديان؟
حسنًا، بمعرفة ذلك، هل يمكنك الإجابة عن عدد الراديان الموجود في الزاوية التي تصفها الدائرة؟ نعم، لهذا عليك أن تتذكر صيغة المحيط. ها هي:
حسنًا، لنربط الآن بين هاتين الصيغتين ونجد أن الزاوية التي تصفها الدائرة متساوية. وهذا يعني أنه من خلال ربط القيمة بالدرجات والراديان، نحصل على ذلك. على التوالى، . كما ترون، على عكس "الدرجات"، تم حذف كلمة "راديان"، لأن وحدة القياس عادة ما تكون واضحة من السياق.
كم عدد الراديان هناك؟ صحيح!
فهمتها؟ ثم المضي قدما وإصلاحه:
تواجه صعوبات؟ ثم ابحث إجابات:
المثلث الأيمن: الجيب، جيب التمام، الظل، ظل التمام للزاوية
لذلك، توصلنا إلى مفهوم الزاوية. ولكن ما هو جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام للزاوية؟ دعونا معرفة ذلك. للقيام بذلك، سوف يساعدنا المثلث الأيمن.
ماذا تسمى أضلاع المثلث القائم الزاوية؟ هذا صحيح، الوتر والساقان: الوتر هو الضلع الذي يقع مقابل الزاوية القائمة (في مثالنا هذا هو الضلع)؛ والساقان هما الضلعان المتبقيان و(المجاورتان لهما). زاوية مستقيمة)، وإذا نظرنا إلى الساقين بالنسبة إلى الزاوية، فإن الساق هي الساق المجاورة، والساق هي العكس. والآن، دعونا نجيب على السؤال: ما هي جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية؟
جيب الزاوية- هذه هي نسبة الساق المقابلة (البعيدة) إلى الوتر.
في مثلثنا.
جيب تمام الزاوية- هذه هي نسبة الساق المجاورة (المقربة) إلى الوتر.
في مثلثنا.
ظل الزاوية- هذه هي نسبة الضلع المقابل (البعيد) إلى الضلع المجاور (القريب).
في مثلثنا.
ظل التمام للزاوية- هذه هي نسبة الضلع المجاور (القريب) إلى الضلع المقابل (البعيد).
في مثلثنا.
هذه التعريفات ضرورية يتذكر! لتسهيل تذكر أي ساق يجب تقسيمها إلى ماذا، عليك أن تفهم ذلك بوضوح الظلو ظل التمامتجلس الأرجل فقط، ويظهر الوتر فقط في الداخل التجويفو جيب التمام. وبعد ذلك يمكنك التوصل إلى سلسلة من الارتباطات. على سبيل المثال، هذا:
جيب التمام → اللمس → اللمس → المجاورة؛
ظل التمام → اللمس → اللمس → المجاور.
بادئ ذي بدء، عليك أن تتذكر أن جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لأن نسب جوانب المثلث لا تعتمد على أطوال هذه الجوانب (في نفس الزاوية). لا تصدق؟ ثم تأكد من خلال النظر إلى الصورة:
خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، جيب تمام الزاوية. بحكم التعريف، من مثلث: ولكن يمكننا حساب جيب التمام لزاوية من مثلث: . كما ترون، أطوال الجوانب مختلفة، ولكن قيمة جيب التمام لزاوية واحدة هي نفسها. وبالتالي، فإن قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام تعتمد فقط على حجم الزاوية.
إذا فهمت التعريفات، فقم بالمضي قدمًا ودمجها!
بالنسبة للمثلث الموضح في الشكل أدناه نجد.
حسنا، هل حصلت عليه؟ ثم جرب ذلك بنفسك: احسب نفس الشيء بالنسبة للزاوية.
دائرة الوحدة (المثلثية).
من خلال فهم مفاهيم الدرجات والراديان، اعتبرنا دائرة نصف قطرها يساوي. تسمى هذه الدائرة أعزب. سيكون مفيدًا جدًا عند دراسة علم المثلثات. لذلك، دعونا ننظر إليها بمزيد من التفصيل.
كما ترون، تم إنشاء هذه الدائرة في نظام الإحداثيات الديكارتية. نصف قطر الدائرة يساوي واحدًا، بينما يقع مركز الدائرة عند أصل الإحداثيات، ويتم تثبيت الموضع الأولي لمتجه نصف القطر على طول الاتجاه الموجب للمحور (في مثالنا، هذا هو نصف القطر).
كل نقطة على الدائرة تقابل رقمين: إحداثي المحور وإحداثي المحور. ما هي هذه الأرقام الإحداثية؟ وبشكل عام ما علاقتهم بالموضوع المطروح؟ للقيام بذلك، علينا أن نتذكر المثلث القائم الزاوية. في الشكل أعلاه، يمكنك رؤية مثلثين قائمين بالكامل. النظر في مثلث. وهو مستطيل لأنه عمودي على المحور.
ما هو المثلث يساوي؟ صحيح. بالإضافة إلى ذلك، نحن نعلم أن هذا هو نصف قطر دائرة الوحدة، وهو ما يعني . لنعوض بهذه القيمة في صيغة جيب التمام. إليك ما يحدث:
ما هو المثلث يساوي؟ حسنا بالطبع، ! استبدل قيمة نصف القطر في هذه الصيغة واحصل على:
إذًا، هل يمكنك معرفة إحداثيات نقطة تنتمي إلى دائرة؟ حسنا، بأي حال من الأحوال؟ ماذا لو أدركت ذلك وما هي إلا أرقام؟ ما الإحداثيات التي تتوافق معها؟ حسنا، بالطبع، الإحداثيات! وما الإحداثيات التي تتوافق معها؟ هذا صحيح، الإحداثيات! وهكذا الفترة.
ما هي إذن وتساوي؟ هذا صحيح، دعونا نستخدم التعريفات المقابلة للظل وظل التمام ونحصل على ذلك، أ.
ماذا لو كانت الزاوية أكبر؟ على سبيل المثال، كما في هذه الصورة:
ما الذي تغير في هذا المثال؟ دعونا معرفة ذلك. للقيام بذلك، دعونا ننتقل مرة أخرى إلى المثلث الأيمن. خذ بعين الاعتبار المثلث القائم: الزاوية (المجاورة للزاوية). ما هي قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية؟ هذا صحيح، نحن نلتزم بالتعريفات المقابلة للدوال المثلثية:
حسنًا، كما ترون، فإن قيمة جيب الزاوية لا تزال تتوافق مع الإحداثيات؛ قيمة جيب التمام للزاوية - الإحداثيات؛ وقيم الظل وظل التمام للنسب المقابلة. وبالتالي، تنطبق هذه العلاقات على أي دوران لمتجه نصف القطر.
لقد ذكرنا بالفعل أن الموضع الأولي لمتجه نصف القطر يقع على طول الاتجاه الموجب للمحور. لقد قمنا حتى الآن بتدوير هذا المتجه عكس اتجاه عقارب الساعة، لكن ماذا يحدث إذا قمنا بتدويره في اتجاه عقارب الساعة؟ لا شيء غير عادي، ستحصل أيضًا على زاوية ذات قيمة معينة، لكنها فقط ستكون سلبية. وبالتالي، عند تدوير ناقل نصف القطر عكس اتجاه عقارب الساعة، نحصل على زوايا إيجابية، وعند الدوران في اتجاه عقارب الساعة - سلبي.
إذن، نحن نعلم أن الدورة الكاملة لمتجه نصف القطر حول الدائرة هي أو. هل من الممكن تدوير ناقل نصف القطر إلى أو إلى؟ حسنا بالطبع يمكنك! في الحالة الأولى، فإن متجه نصف القطر سيقوم بدورة كاملة ويتوقف عند الموضع أو.
وفي الحالة الثانية، فإن متجه نصف القطر سيكون ثلاثة الثورات الكاملةويتوقف في الموضع أو .
وبالتالي، من الأمثلة المذكورة أعلاه يمكننا أن نستنتج أن الزوايا التي تختلف بـ أو (حيث يوجد أي عدد صحيح) تتوافق مع نفس موضع متجه نصف القطر.
الشكل أدناه يوضح زاوية. نفس الصورة تتوافق مع الزاوية، الخ. هذه القائمة يمكن أن تستمر إلى أجل غير مسمى. يمكن كتابة كل هذه الزوايا بالصيغة العامة أو (أين يوجد أي عدد صحيح)
الآن، بعد معرفة تعريفات الدوال المثلثية الأساسية واستخدام دائرة الوحدة، حاول الإجابة على ما هي القيم:
إليك دائرة الوحدة لمساعدتك:
تواجه صعوبات؟ ثم دعونا معرفة ذلك. لذلك نحن نعرف أن:
ومن هنا، نحدد إحداثيات النقاط المقابلة لقياسات زوايا معينة. حسنًا، لنبدأ بالترتيب: الزاوية عند تتوافق مع نقطة ذات إحداثيات، وبالتالي:
غير موجود؛
علاوة على ذلك، فإن الالتزام بنفس المنطق، نكتشف أن الزوايا تتوافق مع النقاط ذات الإحداثيات، على التوالي. بمعرفة ذلك، من السهل تحديد قيم الدوال المثلثية عند النقاط المقابلة. جربه بنفسك أولاً، ثم تحقق من الإجابات.
الإجابات:
وبذلك يمكننا عمل الجدول التالي:
ليست هناك حاجة لتذكر كل هذه القيم. يكفي أن نتذكر المراسلات بين إحداثيات النقاط على دائرة الوحدة وقيم الدوال المثلثية:
لكن قيم الدوال المثلثية للزوايا في و، الواردة في الجدول أدناه، يجب أن نتذكر:
لا تخف، الآن سنعرض لك مثالاً واحدًا من السهل جدًا تذكر القيم المقابلة:
لاستخدام هذه الطريقة، من المهم أن نتذكر قيم جيب الجيب لجميع قياسات الزاوية الثلاثة ()، وكذلك قيمة ظل الزاوية. بمعرفة هذه القيم، من السهل جدًا استعادة الجدول بأكمله - يتم نقل قيم جيب التمام وفقًا للأسهم، أي:
مع العلم بذلك، يمكنك استعادة القيم ل. سوف يتطابق البسط " " والمقام " ". يتم نقل قيم ظل التمام وفقًا للأسهم الموضحة في الشكل. إذا فهمت هذا وتذكرت الرسم التخطيطي بالأسهم، فسيكون ذلك كافيًا لتذكر جميع القيم من الجدول.
إحداثيات نقطة على الدائرة
هل من الممكن العثور على نقطة (إحداثياتها) على الدائرة، معرفة إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطرها وزاوية الدوران?
حسنا بالطبع يمكنك! دعونا نخرجها الصيغة العامة لإيجاد إحداثيات نقطة ما.
على سبيل المثال، هذه دائرة أمامنا:
لقد علمنا أن النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات نقطة تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة بالدرجات.
كما يتبين من الشكل، فإن إحداثيات النقطة تتوافق مع طول القطعة. طول القطعة يتوافق مع إحداثيات مركز الدائرة، أي أنها متساوية. يمكن التعبير عن طول المقطع باستخدام تعريف جيب التمام:
ثم لدينا ذلك لإحداثي النقطة.
وباستخدام نفس المنطق، نجد قيمة الإحداثيات y للنقطة. هكذا،
لذلك، في منظر عاميتم تحديد إحداثيات النقاط بواسطة الصيغ:
إحداثيات مركز الدائرة،
نصف قطر الدائرة,
زاوية دوران نصف قطر المتجه.
كما ترون، بالنسبة لدائرة الوحدة التي ندرسها، تم تقليل هذه الصيغ بشكل كبير، حيث أن إحداثيات المركز تساوي الصفر ونصف القطر يساوي واحدًا:
حسنًا، دعونا نجرب هذه الصيغ من خلال التدرب على إيجاد النقاط على الدائرة؟
1. ابحث عن إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.
2. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.
3. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.
4. النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات النقطة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير متجه نصف القطر الأولي.
5. النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات النقطة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير متجه نصف القطر الأولي.
هل تواجه صعوبة في العثور على إحداثيات نقطة على الدائرة؟
قم بحل هذه الأمثلة الخمسة (أو كن جيدًا في حلها) وسوف تتعلم كيفية العثور عليها!
الملخص والصيغ الأساسية
جيب الزاوية هو نسبة الساق المقابلة (البعيدة) إلى الوتر.
جيب تمام الزاوية هو نسبة الساق المجاورة (المقربة) إلى الوتر.
ظل الزاوية هو نسبة الجانب المقابل (البعيد) إلى الجانب المجاور (القريب).
ظل التمام للزاوية هو نسبة الضلع المجاور (القريب) إلى الضلع المقابل (البعيد).
حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.
لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!
الآن الشيء الأكثر أهمية.
لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.
المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..
لماذا؟
للنجاح اجتياز امتحان الدولة الموحدة، للقبول في الكلية بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.
لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..
الناس الذين تلقوا على تعليم جيد، يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يحصلوا عليها. هذه إحصائيات.
ولكن هذا ليس الشيء الرئيسي.
الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقا؟ لا أعرف...
لكن فكر بنفسك..
ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟
احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.
لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.
سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.
وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.
يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.
ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول تحليل تفصيلي وتقرر، تقرر، تقرر!
يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.
لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.
كيف؟ هناك خياران:
- فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
- فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - شراء كتاب مدرسي - 499 روبية
نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.
يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.
ختاماً...
إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.
إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.
البحث عن المشاكل وحلها!
تتمركز عند النقطة أ.
α هي الزاوية المعبر عنها بالراديان.
الظل ( تان ألفا) هي دالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر وضلع المثلث القائم، وتساوي نسبة طول الضلع المقابل |BC| إلى طول الساق المجاورة |AB| .
ظل التمام ( سي تي جي ألفا) هي دالة مثلثية تعتمد على الزاوية α بين الوتر وضلع المثلث القائم، وتساوي نسبة طول الضلع المجاور |AB| لطول الساق المقابلة |BC| .
الظل
أين ن- جميع.
في الأدب الغربي، يُشار إلى الظل على النحو التالي:
.
;
;
.
الرسم البياني لدالة الظل، y = tan x
ظل التمام
أين ن- جميع.
في الأدب الغربي، يُشار إلى ظل التمام على النحو التالي:
.
يتم قبول الرموز التالية أيضًا:
;
;
.
رسم بياني لدالة ظل التمام، y = ctg x
خصائص الظل وظل التمام
الدورية
وظائف ص = تيراغرام سو ص = سي تي جي ×تكون دورية مع الفترة π.
التكافؤ
وظائف الظل وظل التمام غريبة.
مجالات التعريف والقيم، متزايدة، متناقصة
دوال الظل وظل التمام متصلة في مجال تعريفها (انظر إثبات الاستمرارية). يتم عرض الخصائص الرئيسية للظل وظل التمام في الجدول ( ن- جميع).
| ص = تيراغرام س | ص = سي تي جي × | |
| النطاق والاستمرارية | ||
| مدى من القيم | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| في ازدياد | - | |
| تنازلي | - | |
| النهايات | - | - |
| أصفار، ص = 0 | ||
| نقاط التقاطع مع المحور الإحداثي x = 0 | ص = 0 | - |
الصيغ
التعبيرات باستخدام الجيب وجيب التمام
;
;
;
;
;
صيغ الظل وظل التمام من المجموع والفرق
من السهل الحصول على الصيغ المتبقية، على سبيل المثال
منتج الظلال
صيغة لمجموع وفرق الظلال
يعرض هذا الجدول قيم الظلال وظل التمام لقيم معينة للوسيطة. 
التعبيرات باستخدام الأعداد المركبة
التعبيرات من خلال الوظائف الزائدية
;
;
المشتقات
; .
.
مشتق الترتيب n بالنسبة للمتغير x للدالة:
.
اشتقاق الصيغ للظل > > > ; لظل التمام > > >
التكاملات
توسعات السلسلة
للحصول على توسيع المماس في قوى x، عليك أن تأخذ عدة شروط للتوسع سلسلة الطاقةللوظائف الخطيئة سو كوس سوتقسيم هذه كثيرات الحدود على بعضها البعض، . وهذا ينتج الصيغ التالية.
في .
في .
أين مليار- أرقام برنولي. يتم تحديدها إما من علاقة التكرار:
;
;
أين .
أو حسب صيغة لابلاس: 
وظائف عكسية
الوظائف العكسية للظل وظل التمام هي ظل قوسي وظل ظل قوسي، على التوالي.
قوس قطبي، قوس قطبي
، أين ن- جميع.
ظل التمام القوسي، القوسي
، أين ن- جميع.
مراجع:
في. برونشتاين، ك.أ. سيمنديايف، دليل الرياضيات للمهندسين وطلاب الجامعات، "لان"، 2009.
ج. كورن، دليل الرياضيات للعلماء والمهندسين، 2012.
منشورات حول هذا الموضوع
-
الأمير أسكولد في تاريخ كييف روس
أسكولد ودير أميران أسطوريان حكما مدينة كييف في نهاية القرن التاسع، واعتنقا المسيحية ووضعا أسس الإمبراطورية الروسية القديمة.
-
"الكذبة البيضاء": لماذا لا يعترف الروم الكاثوليك بأنهم ليسوا أرثوذكس؟
كاتدرائية كييف البطريركية لقيامة المسيح.