مفهوم المنشور. صيغ حجم المنشور بأنواعه المختلفة: منتظم، مستقيم، ومائل

الحجم هو سمة لأي شكل له أبعاد غير صفرية في أبعاد الفضاء الثلاثة. في هذه المقالة، من وجهة نظر القياس المجسم (هندسة الأشكال المكانية)، سننظر إلى المنشور ونوضح كيفية العثور على أحجام أنواع مختلفة من المنشورات.

القياس المجسم لديه إجابة دقيقة على هذا السؤال. يُفهم المنشور فيه على أنه شكل يتكون من وجهين متطابقين متعدد الأضلاع والعديد من متوازيات الأضلاع. الصورة أدناه توضح أربعة منشورات مختلفة.

يمكن الحصول على كل واحد منهم على النحو التالي: عليك أن تأخذ مضلعًا (مثلثًا أو رباعيًا أو ما إلى ذلك) وقطعة بطول معين. ثم يجب نقل كل قمة للمضلع باستخدام مقاطع متوازية إلى مستوى آخر. في المستوى الجديد، الذي سيكون موازيًا للمستوى الأصلي، سيتم الحصول على مضلع جديد، مشابه للمضلع المحدد في البداية.

يمكن أن تكون المنشورات من أنواع مختلفة. لذلك، يمكن أن تكون مستقيمة ومائلة ومنتظمة. إذا كانت الحافة الجانبية للمنشور (القطعة التي تربط رؤوس القواعد) متعامدة مع قواعد الشكل، فإن الأخيرة تكون مستقيمة. وعليه، إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط، فإننا نتحدث عن منشور مائل. الشكل المنتظم هو منشور مستقيم ذو قاعدتين متساويتين ومتساوية الأضلاع.

حجم المنشورات العادية

لنبدأ من البداية حالة بسيطة. دعونا نعطي صيغة حجم المنشور المنتظم الذي له قاعدة عددية n. صيغة الحجم V لأي شخصية من الفئة قيد النظر لها الشكل التالي:

أي أنه لتحديد الحجم يكفي حساب مساحة إحدى القواعد S o وضربها في الارتفاع h في الشكل.

في حالة المنشور المنتظم، نرمز إلى طول ضلع قاعدته بالحرف a، والارتفاع الذي يساوي طول الحافة الجانبية بالحرف h. إذا كانت القاعدة عبارة عن n-gon منتظم، فمن الأسهل لحساب مساحتها استخدام الصيغة العامة التالية:

S n = n/4*a2*ctg(pi/n).

من خلال استبدال عدد الجوانب n وطول أحد الجوانب a في المعادلة، يمكنك حساب مساحة القاعدة n-gonal. لاحظ أن دالة ظل التمام هنا يتم حسابها للزاوية pi/n، والتي يتم التعبير عنها بالراديان.

مع الأخذ في الاعتبار المساواة المكتوبة لـ S n، نحصل على الصيغة النهائية لحجم المنشور العادي:

V n = n/4*a2*h*ctg(pi/n).

لكل حالة محددة، يمكنك كتابة الصيغ المقابلة لـ V، ولكنها جميعها تتبع بشكل لا لبس فيه التعبير العام المكتوب. على سبيل المثال، ل المنشور الرباعيمنتظم، وهو في الحالة العامة متوازي مستطيل، نحصل على:

V 4 = 4/4*a2*h*ctg(pi/4) = a2*h.

إذا أخذنا h=a في هذا التعبير، فسنحصل على صيغة حجم المكعب.

حجم المنشورات المستقيمة

نلاحظ على الفور أنه بالنسبة للأشكال المستقيمة، لا توجد صيغة عامة لحساب الحجم، والتي تم تقديمها أعلاه للمنشورات العادية. عند العثور على القيمة قيد النظر، ينبغي استخدام التعبير الأصلي:

هنا h هو طول الحافة الجانبية، كما في الحالة السابقة. أما بالنسبة لمنطقة القاعدة S o فيمكن أن تأخذ أكبر قدر ممكن معان مختلفة. تتلخص مشكلة حساب حجم المنشور المستقيم في إيجاد مساحة قاعدته.

يجب أن يتم حساب قيمة S o بناءً على خصائص القاعدة نفسها. على سبيل المثال، إذا كان مثلثًا، فيمكن حساب المساحة على النحو التالي:

هنا h a هو قياس المثلث، أي أن ارتفاعه ينخفض ​​إلى القاعدة a.

إذا كانت القاعدة رباعية الأضلاع، فيمكن أن تكون شبه منحرف أو متوازي أضلاع أو مستطيل أو من النوع التعسفي تمامًا. في كل هذه الحالات، يجب عليك استخدام صيغة قياس المساحة المناسبة لتحديد المنطقة. على سبيل المثال، بالنسبة لشبه المنحرف، تبدو هذه الصيغة كما يلي:

S o4 = 1/2*(أ 1 + أ 2)*ح أ .

حيث h a هو ارتفاع شبه المنحرف، وa 1 وa 2 هما طولا ضلعيه المتوازيين.

لتحديد مساحة المضلعات الأكبر من ترتيب عالي، ينبغي تقسيمها إلى أرقام بسيطة(مثلثات، رباعيات) وحساب مجموع مساحات الأخير.

حجم المنشورات المائلة

هذه هي أصعب حالة لحساب حجم المنشور. تنطبق أيضًا الصيغة العامة لهذه الأرقام:

ومع ذلك، إلى صعوبة العثور على مساحة القاعدة التي تمثل مضلعًا من أي نوع، تضاف مشكلة تحديد ارتفاع الشكل. في المنشور المائل يكون دائمًا أقل من طول الحافة الجانبية.

أسهل طريقة للعثور على هذا الارتفاع هي معرفة أي زاوية في الشكل (مسطحة أو ثنائية السطوح). إذا تم إعطاء مثل هذه الزاوية، فيجب عليك استخدامها للبناء داخل المنشور مثلث قائم، والتي من شأنها أن تحتوي على الارتفاع h كأحد الجوانب، وباستخدام الدوال المثلثيةونظرية فيثاغورس، أوجد قيمة h.

مشكلة هندسية لتحديد الحجم

منشور منتظم قاعدته مثلث، ارتفاعه ١٤ سم وطول ضلعه ٥ سم، ما حجمه؟ منشور ثلاثي?

منذ أن كنا نتحدث عن الرقم الصحيحفلدينا الحق في استخدام الصيغة المعروفة. لدينا:

V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151.55 سم3.

المنشور الثلاثي هو شكل متماثل إلى حد ما، وغالبا ما يستخدم شكله في مختلف الهياكل المعمارية. يستخدم هذا المنشور الزجاجي في البصريات.

مفهوم المنشور. صيغ حجم المنشور بأنواعه المختلفة: منتظم، مستقيم، ومائل. حل المشكلة - كل ما يتعلق بالسفر إلى الموقع

مقدار المنشور المائل

وتنقسم جميع المنشورات إلى مستقيم و يميل .

المنشور المستقيم، القاعدة

الذي يخدم الصحيح

يسمى المضلع

صحيح نشور زجاجي.

خصائص المنشور العادي:

1. قواعد المنشور المنتظم هي مضلعات منتظمة. 2. الأوجه الجانبية للمنشور المنتظم مستطيلات متساوية. 3. الحواف الجانبية للمنشور العادي متساوية .

بريزم المقطع العرضي.

القسم المتعامد للمنشور هو قسم يتكون من مستوى متعامد مع الحافة الجانبية.

السطح الجانبي للمنشور يساوي ناتج محيط المقطع المتعامد وطول الحافة الجانبية.

S b = P orth.section C

1. المسافات بين الأضلاع المائلة

المنشور الثلاثي يساوي: 2 سم، 3 سم، 4 سم

السطح الجانبي للمنشور 45 سم 2 .العثور على الحافة الجانبية.

حل:

يوجد في المقطع العمودي للمنشور مثلث محيطه 2+3+4=9

وهذا يعني أن الحافة الجانبية تساوي 45:9 = 5 (سم)

العثور على عناصر غير معروفة

مثلث منتظم

الموشورات

حسب العناصر المحددة في الجدول.

الإجابات.

شكرا لك على الدرس.

العمل في المنزل.

"حجم الأجسام" - Ф(x). ف(x1). حجم المنشور المائل والهرم والمخروط. و (الحادي عشر). واو (×2). أ × ب ×. عندما تكون a = x وb = x، يمكن أن تتحول النقطة إلى مقطع، على سبيل المثال، عندما x = a.

"حجم المفهوم" - 1. تبلغ المساحة الإجمالية للمكعب 6 م2. أو أن حجم متوازي المستطيلات يساوي حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع. حجم الاسطوانة يساوي منتج مساحة القاعدة والارتفاع. خلال الدرس، يتم تنفيذ أعمال الاختبار المتمايزة باستخدام الاختبارات. أحجام الأجسام الهندسية.

"المجلدات" - التمرين 7. التمرين 8*. الأضلاع الجانبية تساوي 3 وتشكل زاوية 45 درجة مع مستوى القاعدة. حجم المنشور المائل هو 3. وجه الموازي عبارة عن معين ذو ضلع 1 و زاوية حادة 60 درجة. حجم المنشور المائل 1. الإجابة: مستوى يمر عبر مراكز التماثل لمتوازيي السطوح. مبدأ كافاليري.

"أحجام الأجسام" - حجم الهرم يساوي ثلث حاصل ضرب القاعدة والارتفاع. حجم الهرم. حجم الاسطوانة. 2010 ح. الخامس = 1 / 3S * ح. كميات من الهيئات المماثلة. الخامس=أ*ب*ج. حجم المنشور المستقيم. أحجام الهيئات. عاقبة. حجم المنشور المائل. حجم المنشور المائل يساوي منتج مساحة القاعدة والارتفاع. حجم الاسطوانة يساوي منتج مساحة القاعدة والارتفاع.

وجهان منها عبارة عن مضلعات متساوية تقع في مستويات متوازية، والأوجه المتبقية عبارة عن متوازيات أضلاع لها جوانب مشتركة مع هذه المضلعات. تسمى متوازيات الأضلاع هذه الوجوه الجانبية للمنشور، ويسمى المضلعان المتبقيان قاعدتيه.

المنشور هو حالة خاصة من الاسطوانة. متوازي السطوح هو حالة خاصة للمنشور.

المنشور له الخصائص التالية:

أي مقطع من المنشور بمستوي موازي لقاعدته يقسم هذا المنشور إلى منشورين بحيث تكون نسبة الأسطح الجانبية إلى نسبة أحجام هذه المنشورات مساوية لنسبة أطوال حوافها الجانبية. أي مقطع من المنشور بمستوي موازي لحافته الجانبية يقسم هذا المنشور إلى منشورين بحيث تكون نسبة أحجام هذين المنشورين مساوية لنسبة أطوال حوافهما الجانبية. أي مقطع من المنشور بمستوي موازي لحافته الجانبية يقسم هذا المنشور إلى منشورين بحيث تكون نسبة أحجام هذين المنشورين مساوية لنسبة مساحات قاعدتهما.

أنواع المنشور

المنشور المستقيم.تكون الحواف الجانبية للمنشور المستقيم متعامدة مع مستوى القاعدة.

المنشور المائل.تقع الحواف الجانبية للمنشور المائل بالنسبة للمستوى الأساسي بزاوية مختلفة عن $90^\circ$.

المنشور الصحيح.قاعدة المنشور القائم هي مضلع منتظم. وجوهها الجانبية مستطيلات متساوية.

متعدد السطوح شبه المنتظم هو منشور منتظم، وجوه جانبيةوهي مربعات.

حجم المنشور المستقيم

لاشتقاق صيغة لحساب حجم المنشور المنتظم، لنأخذ منشورًا به مثلث في قاعدته. دعونا نبنيه إلى متوازي مستطيل (الشكل 1).

الشكل 1. يمتد رباعي السطوح إلى متوازي السطوح

عرفنا من الفصل السابق أن حجم متوازي السطوح المستطيل يساوي:

لأن يتكون متوازي السطوح الناتج من المنشور الأصلي ومنشور متساويين في الحجم، فإن حجم المنشور الأصلي سيكون مساويًا لـ

حيث $a$، $b$، $c$ هي أطوال الجوانب $AB$، $BC$، $AC$، على التوالي، وحاصل ضربها يساوي مساحة قاعدة المنشور الأصلي، ثم نكتب فيها منظر عامصيغة لإيجاد حجم المنشور المستقيم:

حيث $S_(main)$ هي مساحة قاعدة المنشور، $H$ هو الارتفاع المرسوم على قاعدة المنشور.

تنطبق هذه الصيغة على المنشور المستقيم الذي يوجد في قاعدته أي مضلع.

حجم المنشور المائل

لاشتقاق صيغة إيجاد حجم المنشور المائل، فكر في المنشور الثلاثي المائل $ABCDFE$. دعونا نرسم مستوى $\alpha $ من خلال الحافة $DC$، بشكل عمودي على القاعدة $ABCD$ للمنشور الأصلي، ونبني منشورًا مثلثيًا مقطوعًا (الشكل 2).

الشكل 2. المنشور المائل، المستوى $\alpha $

الآن من خلال الحافة $AB$ نرسم المستوى $\beta $ الموازي للمستوى $\alpha $ (الشكل 3).

الشكل 3. المنشور المائل، $\alpha $ و $\beta $

إذا طبقنا هذا التحويل على الأوجه المائلة مرة أخرى، فسنحصل على منشور تكون فيه جميع الأوجه الجانبية متعامدة مع القاعدة. ومرة أخرى تكون النتيجة منشورًا مستقيمًا.

إذا تعرض لتحول مماثل (استكمل أولاً بالمنشور المقطوع الأول، ثم قطع المنشور المقطوع الثاني)، فسيتم دمج المنشورات المكتملة والمقطعة عن طريق النقل الموازي إلى المقطع $AB$. ويترتب على ذلك أن الأرقام لها نفس الحجم.

وبالتالي فإن حجم المنشور المستقيم المبني يساوي حجم المنشور المائل الأصلي.

حجم المنشور المائل يساوي منتج مساحة القاعدة والارتفاع:

خاتمة

يتم العثور على حجم أي منشور (مائل ومستقيم) بالصيغة:

حيث $a\cdot b$ هي مساحة القاعدة، و $c$ هو ارتفاع المنشور.

"منشور الجسم الهندسي" - متوازي مستطيل. مستطيل. أقسام قطرية. نظرية فيثاغورس. مجموع المناطق. القمم. قاعدة المنشور. ما اسم المنشور الموضح في الشكل؟ معركة رياضية. حل. نشور زجاجي. ما المنشور الذي يسمى المنشور المستقيم؟ تلقى المعرفة. قطري المنشور الثلاثي المنتظم.

"شكل المنشور" - تعريف المنشور. المنشور المائل والمستقيم. دعونا أولا نثبت نظرية المنشور الثلاثي. أنواع المنشور. حجم المنشور المائل. نشور زجاجي. مساحة السطح الجانبية للمنشور. إجمالي مساحة سطح المنشور. دعونا الآن نثبت نظرية المنشور التعسفي. المنشور الصحيح.

"حجم المنشور" - المنطقة S من قاعدة المنشور الأصلي. حل المشكلة. أهداف الدرس. حجم المنشور الأصلي يساوي حاصل الضرب S · h. حجم المنشور المستقيم. يمكن تقسيم المنشور إلى منشورات مثلثة مستقيمة بارتفاع h. مفهوم المنشور. رسم ارتفاع المثلث ABC أسئلة. دراسة النظرية حول حجم المنشور. الخطوات الأساسية لإثبات نظرية المنشور المباشر؟

"مفهوم المنشور" - إجمالي مساحة سطح المنشور. المنشور المستقيم. مساحة السطح الجانبية للمنشور. مضلع. أقسام المنشور. المنشور الصحيح. المنشورات التي واجهتها في الحياة. المنشورات الثلاثية. دليل. حجم المنشور المائل. تعريف المنشور. المنشور المائل والمستقيم. أنواع المنشور. نشور زجاجي.

"خصائص المنشور" - هل هناك منشورات مائلة يمكن أن تُدرج فيها الكرة؟ خصائص المنشور. الحالة مصاغة لمنشور مستقيم. اسطوانة. نشور زجاجي. قسم من الاسطوانة. ثلاثة صيغة جيب التمام. قاعدة. منشور ثلاثي. نظرية الجيب للزوايا ثلاثية السطوح. حافة المنشور الثلاثي. ما هي أنواع المنشورات التي يمكن دائمًا وصف الكرة حولها؟

"مفهوم متعدد السطوح المنشور" - يتم تشكيل متوازي الأضلاع في القسم. عاقبة. خصائص المنشور. مصطلح "المنشور" أصل يونانيويعني حرفيا "منشار" (الجسم). مساحة سطح المنشور ومساحة السطح الجانبية للمنشور. يسمى هذا القسم بالقسم القطري للمنشور. معطى: طول ضلع قاعدة المنشور الثلاثي المنتظم 8 سم، وطول الحافة الجانبية 6 سم.