أكبر وأصغر قيم دالة لمتغيرين في منطقة مغلقة. أكبر وأصغر قيمة للدالة

في هذا المقال سأتحدث عنه خوارزمية للعثور على أكبر وأصغر قيمةالوظائف والحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط.

من الناحية النظرية سيكون بالتأكيد مفيدًا لنا جدول مشتقو قواعد التمايز. كل هذا على هذه اللوحة:

خوارزمية للعثور على أكبر وأصغر قيمة.

من الأنسب بالنسبة لي أن أشرح بمثال محدد. يعتبر:

مثال:أوجد أكبر قيمة للدالة y=x^5+20x^3–65x في المقطع [–4;0].

الخطوة 1.نحن نأخذ المشتقة.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

الخطوة 2.العثور على النقاط القصوى.

النقطة القصوىنسمي تلك النقاط التي تصل عندها الدالة إلى قيمتها الكبرى أو الصغرى.

للعثور على النقاط القصوى، عليك مساواة مشتقة الدالة بالصفر (y" = 0)

5س^4 + 60س^2 - 65 = 0

الآن نحل هذه المعادلة التربيعية والجذور الموجودة هي نقاطنا القصوى.

أقوم بحل هذه المعادلات عن طريق استبدال t = x^2، ثم 5t^2 + 60t - 65 = 0.

دعونا نختصر المعادلة بمقدار 5، فنحصل على: t^2 + 12t - 13 = 0

د = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + جذر(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - جذر(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

نقوم بإجراء التغيير العكسي x^2 = t:

X_(1 و 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 و 4) = ±sqrt(-13) (نستبعد أنه لا يمكن أن يكون هناك أرقام سلبية، ما لم نتحدث بالطبع عن الأعداد المركبة)

الإجمالي: x_(1) = 1 وx_(2) = -1 - هذه هي نقاطنا القصوى.

الخطوه 3.تحديد أعظم و أصغر قيمة.

طريقة الاستبدال.

في هذه الحالة، تم إعطاؤنا القطعة [b] [-4;0]. النقطة x=1 غير متضمنة في هذا الجزء. لذلك نحن لا نفكر في ذلك. لكن بالإضافة إلى النقطة x=-1، نحتاج أيضًا إلى مراعاة الحدود اليسرى واليمنى للقطعة، أي النقطتين -4 و0. وللقيام بذلك، نستبدل كل هذه النقاط الثلاث في الدالة الأصلية. لاحظ أن الأصل هو الموجود في الشرط (y=x^5+20x^3–65x)، ويبدأ بعض الأشخاص باستبداله في المشتق...

ص(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [ب]44
ص(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
ص(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

وهذا يعني أن أكبر قيمة للدالة هي [b]44 وتتحقق عند النقطة [b]-1، والتي تسمى النقطة القصوى للدالة على المقطع [-4؛ 0].

قررنا وحصلنا على إجابة، نحن رائعون، يمكنك الاسترخاء. لكن توقف! ألا تعتقد أن حساب y(-4) أمر صعب للغاية إلى حد ما؟ في ظروف الوقت المحدود، من الأفضل استخدام طريقة أخرى، أسميها هذا:

من خلال فترات ثبات الإشارة.

تم العثور على هذه الفترات لمشتقة الدالة، أي لمعادلتنا التربيعية.

أفعل ذلك مثل هذا. أرسم شريحة موجهة. أضع النقاط: -4، -1، 0، 1. على الرغم من عدم تضمين 1 في المقطع المحدد، إلا أنه لا يزال من الضروري الإشارة إليه من أجل تحديد فترات ثبات الإشارة بشكل صحيح. لنأخذ عددًا أكبر من 1 عدة مرات، مثل 100، ونعوضه ذهنيًا في المعادلة التربيعية 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. حتى بدون حساب أي شيء، يصبح من الواضح أنه عند النقطة 100 الدالة لديها علامة زائد. وهذا يعني أنه للفترات من 1 إلى 100 يكون لها علامة زائد. عند المرور بالرقم 1 (ننتقل من اليمين إلى اليسار)، ستغير الدالة الإشارة إلى ناقص. عند المرور عبر النقطة 0، ستحتفظ الدالة بعلامتها، لأن هذه ليست سوى حدود المقطع، وليس جذر المعادلة. عند المرور عبر -1، ستغير الدالة الإشارة مرة أخرى إلى علامة الجمع.

من الناحية النظرية نعلم أنه حيث يوجد مشتق الدالة (وقد رسمنا هذا بالضبط لها) تغير الإشارة من زائد إلى ناقص (النقطة -1 في حالتنا)تصل الوظيفة الحد الأقصى المحلي له (ص(-1)=44، كما تم حسابه سابقًا)على هذا المقطع (وهذا أمر مفهوم جدًا منطقيًا، فقد توقفت الدالة عن الزيادة لأنها وصلت إلى الحد الأقصى وبدأت في الانخفاض).

وبناء على ذلك، حيث مشتق الدالة تغيير الإشارة من ناقص إلى زائد، يتحقق الحد الأدنى المحلي للدالة. نعم، نعم، وجدنا أيضًا أن الحد الأدنى المحلي للنقطة هو 1، وy(1) هو الحد الأدنى لقيمة الدالة في المقطع، على سبيل المثال من -1 إلى +∞. يرجى ملاحظة أن هذا ليس سوى الحد الأدنى المحلي، أي الحد الأدنى لشريحة معينة. نظرًا لأن الحد الأدنى الحقيقي (العالمي) للدالة سيصل إلى مكان ما هناك، عند -∞.

في رأيي الطريقة الأولى أبسط من الناحية النظرية، والثانية أبسط من وجهة نظر العمليات الحسابية، ولكنها أكثر تعقيدًا من وجهة نظر النظرية. بعد كل شيء، في بعض الأحيان توجد حالات عندما لا تغير الدالة الإشارة عند المرور عبر جذر المعادلة، وبشكل عام يمكنك الخلط بين هذه الحدود القصوى والدنيا المحلية والعالمية، على الرغم من أنه سيتعين عليك إتقان هذا جيدًا على أي حال إذا كنت أخطط لدخول إحدى الجامعات التقنية (ولماذا يجب أن أقبلها؟ الملف الشخصي لامتحان الدولة الموحدةوحل هذه المشكلة). لكن الممارسة والممارسة الوحيدة هي التي ستعلمك حل مثل هذه المشكلات مرة واحدة وإلى الأبد. ويمكنك التدريب على موقعنا. هنا .

إذا كان لديك أي أسئلة أو شيء غير واضح، تأكد من طرحه. يسعدني الرد عليك وإجراء التغييرات والإضافات على المقالة. تذكر أننا نصنع هذا الموقع معًا!

دع الدالة $z=f(x,y)$ محددة ومستمرة في بعض الحدود منطقة مغلقة$د$. اسمحوا في هذا المجال ل هذه الوظيفةله مشتقات جزئية محدودة من الدرجة الأولى (ربما باستثناء عدد محدود من النقاط). للعثور على أكبر وأصغر قيم دالة لمتغيرين في منطقة مغلقة معينة، يلزم ثلاث خطوات من خوارزمية بسيطة.

خوارزمية للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة $z=f(x,y)$ في مجال مغلق $D$.

1. ابحث عن النقاط الحرجة للدالة $z=f(x,y)$ التي تنتمي إلى المجال $D$. حساب قيم الوظيفة عند النقاط الحرجة.
2. التحقق من سلوك الدالة $z=f(x,y)$ على حدود المنطقة $D$، وإيجاد نقاط القيم القصوى والصغرى الممكنة. احسب قيم الوظيفة عند النقاط التي تم الحصول عليها.
3. من قيم الدالة التي تم الحصول عليها في الفقرتين السابقتين، حدد الأكبر والأصغر.

ما هي النقاط الحرجة؟ اظهر المخفي

تحت نقاط حرجةتشير ضمنيًا إلى نقاط تكون فيها المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى مساوية للصفر (أي $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ و$\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) أو على الأقل لا يوجد مشتق جزئي واحد.

غالبًا ما يتم استدعاء النقاط التي تكون عندها المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى مساوية للصفر نقاط ثابتة. وبالتالي، فإن النقاط الثابتة هي مجموعة فرعية من النقاط الحرجة.

المثال رقم 1

ابحث عن القيم الأكبر والأصغر للدالة $z=x^2+2xy-y^2-4x$ في منطقة مغلقة، محدودة بالخطوط$x=3$، $y=0$ و $y=x+1$.

سوف نتبع ما سبق، ولكن أولاً سنتعامل مع رسم منطقة معينة، والتي سنشير إليها بالحرف $D$. نحن معطى معادلات من ثلاثةالخطوط المستقيمة التي تحد هذه المنطقة. يمر الخط المستقيم $x=3$ عبر النقطة $(3;0)$ بالتوازي مع المحور الإحداثي (محور Oy). الخط المستقيم $y=0$ هو معادلة محور الإحداثي السيني (محور الثور). حسنًا، لبناء الخط $y=x+1$، سنجد نقطتين سنرسم من خلالهما هذا الخط. يمكنك بالطبع استبدال قيمتين عشوائيتين بدلاً من $x$. على سبيل المثال، بالتعويض $x=10$، نحصل على: $y=x+1=10+1=11$. لقد وجدنا النقطة $(10;11)$ الواقعة على السطر $y=x+1$. ومع ذلك، فمن الأفضل العثور على تلك النقاط التي يتقاطع عندها الخط المستقيم $y=x+1$ مع الخطين $x=3$ و$y=0$. لماذا هذا أفضل؟ لأننا سنقتل عصفورين بحجر واحد: سنحصل على نقطتين لبناء الخط المستقيم $y=x+1$ وفي نفس الوقت نكتشف عند أي نقاط يتقاطع هذا الخط المستقيم مع الخطوط الأخرى التي تحد المنطقة المحددة. يتقاطع السطر $y=x+1$ مع السطر $x=3$ عند النقطة $(3;4)$، ويتقاطع السطر $y=0$ عند النقطة $(-1;0)$. وحتى لا تشوش سير الحل بالتفسيرات المساعدة، سأضع مسألة الحصول على هاتين النقطتين في ملاحظة.

كيف تم الحصول على النقاط $(3;4)$ و$(-1;0)$؟ اظهر المخفي

لنبدأ من نقطة تقاطع الخطين $y=x+1$ و$x=3$. تنتمي إحداثيات النقطة المطلوبة إلى كل من الخطين المستقيمين الأول والثاني، لذلك للعثور على الإحداثيات المجهولة، عليك حل نظام المعادلات:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

الحل لمثل هذا النظام تافه: بالتعويض $x=3$ في المعادلة الأولى التي سنحصل عليها: $y=3+1=4$. النقطة $(3;4)$ هي نقطة التقاطع المطلوبة للخطين $y=x+1$ و$x=3$.

الآن دعونا نجد نقطة تقاطع الخطين $y=x+1$ و$y=0$. دعونا مرة أخرى نؤلف ونحل نظام المعادلات:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

بالتعويض $y=0$ في المعادلة الأولى، نحصل على: $0=x+1$، $x=-1$. النقطة $(-1;0)$ هي نقطة التقاطع المطلوبة للخطين $y=x+1$ و$y=0$ (المحور x).

كل شيء جاهز لبناء رسم سيبدو كما يلي:

يبدو سؤال المذكرة واضحا، لأنه يمكن رؤية كل شيء من الصورة. ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن الرسم لا يمكن أن يكون بمثابة دليل. الرسم لأغراض توضيحية فقط.

تم تعريف منطقتنا باستخدام معادلات الخطوط التي تربطها. من الواضح أن هذه الخطوط تحدد المثلث، أليس كذلك؟ أم أنها ليست واضحة تماما؟ أو ربما تم إعطاؤنا مساحة مختلفة، يحدها نفس الخطوط:

طبعا الشرط يقول أن المنطقة مغلقة وبالتالي الصورة المعروضة غير صحيحة. ولكن لتجنب مثل هذا الغموض، فمن الأفضل تعريف المناطق على أساس عدم المساواة. هل نحن مهتمون بجزء المستوى الواقع تحت الخط المستقيم $y=x+1$؟ حسنًا، $y ≥ x+1$. هل يجب أن تقع منطقتنا فوق الخط $y=0$؟ عظيم، وهذا يعني $y ≥ 0$. بالمناسبة، يمكن بسهولة دمج المتباينتين الأخيرتين في متباينة واحدة: $0 ≥ y ≥ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≥ y ≥ x+1;\\ & x ≥ 3. \end(aligned) \right. $$

تحدد أوجه عدم المساواة هذه المنطقة $D$، وتحددها بشكل لا لبس فيه، دون السماح بأي غموض. ولكن كيف يساعدنا هذا في الإجابة على السؤال المذكور في بداية المذكرة؟ سيساعد ذلك أيضًا :) نحتاج إلى التحقق مما إذا كانت النقطة $M_1(1;1)$ تنتمي إلى المنطقة $D$. دعونا نستبدل $x=1$ و$y=1$ في نظام المتباينات الذي يحدد هذه المنطقة. إذا تحققت المتباينتان، فإن النقطة تقع داخل المنطقة. إذا لم يتم استيفاء إحدى المتباينات على الأقل، فإن النقطة لا تنتمي إلى المنطقة. لذا:

$$ \left \( \begin(محاذاة) & 0 ≥ 1 ≥ 1+1;\\ & 1 ≥ 3. \end(محاذاة) \right. \;\; \left \( \begin(محاذاة) & 0 ≥ 1 ≥ 2;\\ & 1 ≥ 3. \end(محاذاة) \right $$.

كلا عدم المساواة صحيحة. النقطة $M_1(1;1)$ تنتمي إلى المنطقة $D$.

والآن جاء دور دراسة سلوك الدالة عند حدود المنطقة، أي. لنذهب إلى . لنبدأ بالخط المستقيم $y=0$.

يحد الخط المستقيم $y=0$ (محور الإحداثي السيني) المنطقة $D$ تحت الشرط $-1 ≥ x ≥ 3$. دعونا نستبدل $y=0$ بـ $y=0$ وظيفة معينة$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. نشير إلى دالة متغير واحد $x$ تم الحصول عليه نتيجة الاستبدال كـ $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

الآن بالنسبة للدالة $f_1(x)$، نحتاج إلى العثور على أكبر وأصغر القيم في الفترة $-1 ≥ x ≥ 3$. لنجد مشتقة هذه الدالة ونساويها بالصفر:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

تنتمي القيمة $x=2$ إلى المقطع $-1 ≥ x ≥ 3$، لذلك سنضيف أيضًا $M_2(2;0)$ إلى قائمة النقاط. بالإضافة إلى ذلك، دعونا نحسب قيم الدالة $z$ في نهايات المقطع $-1 ≥ x ≥ 3$، أي. عند النقطتين $M_3(-1;0)$ و$M_4(3;0)$. بالمناسبة، إذا كانت النقطة $M_2$ لا تنتمي إلى المقطع قيد النظر، فلن تكون هناك حاجة بالطبع لحساب قيمة الدالة $z$ فيها.

لذلك، دعونا نحسب قيم الدالة $z$ عند النقاط $M_2$، $M_3$، $M_4$. يمكنك بالطبع استبدال إحداثيات هذه النقاط في التعبير الأصلي $z=x^2+2xy-y^2-4x$. على سبيل المثال، بالنسبة للنقطة $M_2$ نحصل على:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

ومع ذلك، يمكن تبسيط الحسابات قليلا. للقيام بذلك، يجدر بنا أن نتذكر أنه في المقطع $M_3M_4$ لدينا $z(x,y)=f_1(x)$. سأكتبها بالتفصيل:

\begin(محاذاة) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(محاذاة)

بالطبع، عادة لا تكون هناك حاجة لمثل هذه السجلات التفصيلية، وفي المستقبل سنكتب جميع الحسابات بإيجاز:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

الآن دعونا ننتقل إلى الخط المستقيم $x=3$. يحد هذا الخط المستقيم المنطقة $D$ تحت الشرط $0 ≥ y ≥ 4$. لنستبدل $x=3$ في الدالة المعطاة $z$. نتيجة لهذا الاستبدال نحصل على الدالة $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

بالنسبة للدالة $f_2(y)$ نحتاج إلى العثور على أكبر وأصغر القيم في الفاصل الزمني $0 ≥ y ≥ 4$. لنجد مشتقة هذه الدالة ونساويها بالصفر:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

تنتمي القيمة $y=3$ إلى المقطع $0 ≥ y ≥ 4$، لذلك سنضيف أيضًا $M_5(3;3)$ إلى النقاط التي تم العثور عليها مسبقًا. بالإضافة إلى ذلك، من الضروري حساب قيمة الدالة $z$ عند النقاط الموجودة في نهايات المقطع $0 ≥ y ≥ 4$، أي. عند النقطتين $M_4(3;0)$ و$M_6(3;4)$. عند النقطة $M_4(3;0)$ قمنا بالفعل بحساب قيمة $z$. دعونا نحسب قيمة الدالة $z$ عند النقطتين $M_5$ و$M_6$. اسمحوا لي أن أذكرك أنه في المقطع $M_4M_6$ لدينا $z(x,y)=f_2(y)$، وبالتالي:

\begin(محاذاة) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(محاذاة)

وأخيرًا، ضع في اعتبارك الحد الأخير للمنطقة $D$، أي. خط مستقيم $y=x+1$. يحد هذا الخط المستقيم المنطقة $D$ تحت الشرط $-1 ≥ x ≥ 3$. بالتعويض $y=x+1$ في الدالة $z$، سيكون لدينا:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

مرة أخرى لدينا دالة ذات متغير واحد $x$. ومرة أخرى نحتاج إلى إيجاد القيم الأكبر والأصغر لهذه الدالة على الفترة $-1 ≥ x ≥ 3$. لنجد مشتقة الدالة $f_(3)(x)$ ونساويها بالصفر:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

تنتمي القيمة $x=1$ إلى الفاصل الزمني $-1 ≥ x ≥ 3$. إذا كان $x=1$، فإن $y=x+1=2$. دعونا نضيف $M_7(1;2)$ إلى قائمة النقاط ونكتشف قيمة الدالة $z$ في هذه المرحلة. النقاط في نهايات المقطع $-1 ≥ x ≥ 3$، أي. تم أخذ النقطتين $M_3(-1;0)$ و$M_6(3;4)$ في الاعتبار سابقًا، وقد وجدنا بالفعل قيمة الدالة فيهما.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

اكتملت الخطوة الثانية من الحل. لقد حصلنا على سبع قيم:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

دعونا ننتقل إلى . باختيار القيم الأكبر والأصغر من الأرقام التي تم الحصول عليها في الفقرة الثالثة سيكون لدينا:

$$z_(دقيقة)=-4; \; z_(الحد الأقصى)=6.$$

تم حل المشكلة، كل ما تبقى هو كتابة الجواب.

إجابة: $z_(دقيقة)=-4; \; z_(الحد الأقصى)=6$.

المثال رقم 2

ابحث عن القيم الأكبر والأصغر للدالة $z=x^2+y^2-12x+16y$ في المنطقة $x^2+y^2 ≥ 25$.

أولا، دعونا نبني الرسم. تحدد المعادلة $x^2+y^2=25$ (هذا هو الخط الحدودي لمنطقة معينة) دائرة مركزها عند نقطة الأصل (أي عند النقطة $(0;0)$) ونصف قطرها 5. إن المتراجحة $x^2 +y^2 ≥ $25 تحقق جميع النقاط الموجودة داخل الدائرة المذكورة وعلى متنها.

سوف نتصرف وفقا لذلك. دعونا نجد المشتقات الجزئية ونكتشف النقاط الحرجة.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

لا توجد نقاط لا توجد فيها المشتقات الجزئية الموجودة. دعونا نتعرف على النقاط التي تساوي فيها المشتقتان الجزئيتان الصفر في نفس الوقت، أي. دعونا نجد النقاط الثابتة.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8 \end(محاذاة) \right $$.

لقد حصلنا على نقطة ثابتة $(6;-8)$. ومع ذلك، فإن النقطة التي تم العثور عليها لا تنتمي إلى المنطقة $D$. من السهل إظهار ذلك دون اللجوء إلى الرسم. دعونا نتحقق مما إذا كانت المتباينة $x^2+y^2 ≥ 25$ صامدة، والتي تحدد منطقتنا $D$. إذا كان $x=6$، $y=-8$، فإن $x^2+y^2=36+64=100$، أي. عدم المساواة $x^2+y^2 ≥ 25$ لا يصمد. الخلاصة: النقطة $(6;-8)$ لا تنتمي إلى المنطقة $D$.

لذلك، لا توجد نقاط حرجة داخل المنطقة $D$. دعنا ننتقل إلى... نحن بحاجة إلى دراسة سلوك الدالة على حدود منطقة معينة، أي. على الدائرة $x^2+y^2=25$. يمكننا بالطبع التعبير عن $y$ بدلالة $x$، ثم استبدال التعبير الناتج في الدالة $z$. من معادلة الدائرة نحصل على: $y=\sqrt(25-x^2)$ أو $y=-\sqrt(25-x^2)$. بالتعويض، على سبيل المثال، $y=\sqrt(25-x^2)$ في الدالة المعطاة، سيكون لدينا:

$$ ض=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2)؛ \;\; -5×× ≥ 5.$$

وسيكون الحل الإضافي مطابقاً تماماً لدراسة سلوك الدالة عند حدود المنطقة في المثال السابق رقم 1. ومع ذلك، يبدو لي أكثر منطقية لتطبيق طريقة لاغرانج في هذه الحالة. سنكون مهتمين فقط بالجزء الأول من هذه الطريقة. بعد تطبيق الجزء الأول من طريقة لاغرانج، سنحصل على نقاط سنقوم عندها بفحص الدالة $z$ لمعرفة القيم الدنيا والقصوى.

نحن نؤلف وظيفة لاغرانج:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

نجد المشتقات الجزئية لدالة لاغرانج ونؤلف نظام المعادلات المقابل:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (محاذاة) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 \;\; \left \( \begin(محاذاة) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end(محاذاة)\right.$ $

لحل هذا النظام، دعونا نشير على الفور إلى أن $\lambda\neq -1$. لماذا $\lambda\neq -1$؟ دعونا نحاول التعويض $\lambda=-1$ في المعادلة الأولى:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; س-س=6; \; 0=6. $$

يشير التناقض الناتج $0=6$ إلى أن القيمة $\lambda=-1$ غير مقبولة. الإخراج: $\lambda\neq -1$. لنعبر عن $x$ و $y$ بدلالة $\lambda$:

\begin(محاذاة) & x+\lambda x=6;\; x(1+\لامدا)=6;\; س=\فارك(6)(1+\لامدا). \\ & y+\lambda y=-8;\; ذ(1+\لامدا)=-8;\; ص=\frac(-8)(1+\لامدا). \end(محاذاة)

أعتقد أنه أصبح من الواضح هنا سبب اشتراطنا الشرط $\lambda\neq -1$ على وجه التحديد. وقد تم ذلك لملاءمة التعبير $1+\lambda$ في المقامات دون أي تدخل. أي للتأكد من أن المقام $1+\lambda\neq 0$.

دعونا نستبدل التعبيرات الناتجة عن $x$ و $y$ في المعادلة الثالثة للنظام، أي. في $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\لامدا)^2)+\فارك(64)((1+\لامدا)^2)=25;\\ \فارك(100)((1+\لامدا)^2)=25 ; \; (1+\لامدا)^2=4. $$

ويترتب على المساواة الناتجة أن $1+\lambda=2$ أو $1+\lambda=-2$. وبالتالي لدينا قيمتان للمعلمة $\lambda$، وهما: $\lambda_1=1$، $\lambda_2=-3$. وبناء على ذلك، نحصل على زوجين من القيم $x$ و $y$:

\begin(محاذاة) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(محاذاة)

وبذلك نكون قد حصلنا على نقطتين من أقصى الشرط الممكن، أي. $M_1(3;-4)$ و $M_2(-3;4)$. لنجد قيم الدالة $z$ عند النقطتين $M_1$ و $M_2$:

\begin(محاذاة) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(محاذاة)

يجب أن نختار القيم الأكبر والأصغر من تلك التي حصلنا عليها في الخطوتين الأولى والثانية. ولكن في في هذه الحالةالاختيار صغير :) لدينا:

$$ z_(دقيقة)=-75; \; ض_(الحد الأقصى)=125. $$

إجابة: $z_(دقيقة)=-75; \; z_(الحد الأقصى)=125 دولارًا.

دع الوظيفة ص =F(X)مستمرة على الفترة [ أ، ب]. وكما هو معروف فإن مثل هذه الدالة تصل إلى قيمها القصوى والدنيا على هذه القطعة. يمكن للدالة أن تأخذ هذه القيم إما عند النقطة الداخلية للمقطع [ أ، ب]، أو على حدود المقطع.

للعثور على أكبر وأصغر قيم دالة على المقطع [ أ، ب] ضروري:

1) أوجد النقاط الحرجة للدالة في الفترة ( أ، ب);

2) حساب قيم الوظيفة عند النقاط الحرجة الموجودة؛

3) احسب قيم الدالة في نهايات المقطع أي متى س=أو س = ب;

4) من جميع القيم المحسوبة للدالة، حدد الأكبر والأصغر.

مثال.العثور على أكبر وأصغر قيم للدالة

على الجزء.

البحث عن النقاط الحرجة:

تقع هذه النقاط داخل القطعة ; ذ(1) = ‒ 3; ذ(2) = ‒ 4; ذ(0) = ‒ 8; ذ(3) = 1;

عند هذه النقطة س= 3 وعند هذه النقطة س= 0.

دراسة دالة التحدب ونقطة الانقلاب.

وظيفة ذ = F (س) مُسَمًّى محدبما بين أثنين (أ, ب) ، إذا كان الرسم البياني الخاص به يقع تحت المماس المرسوم عند أي نقطة في هذه الفترة، ويسمى محدب إلى الأسفل (مقعر)، إذا كان الرسم البياني الخاص به يقع فوق المماس.

تسمى النقطة التي يتم من خلالها استبدال التحدب بالتقعر أو العكس نقطة الأنحراف.

خوارزمية فحص التحدب ونقطة الانعطاف:

1. أوجد النقاط الحرجة من النوع الثاني، أي النقاط التي يكون عندها المشتق الثاني يساوي صفراً أو غير موجود.

2. رسم النقاط الحرجة على خط الأعداد، وتقسيمها إلى فترات. أوجد إشارة المشتقة الثانية في كل فترة؛ إذا كانت الدالة محدبة لأعلى، وإذا كانت الدالة محدبة لأسفل.

3. إذا تغيرت الإشارة عند المرور بنقطة حرجة من النوع الثاني، وعند هذه النقطة يكون المشتق الثاني يساوي الصفر، فهذه النقطة هي نقطة الانعطاف. العثور على الإحداثيات لها.

الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة. دراسة دالة للخطوط المقاربة.

تعريف.يسمى الخط المقارب للرسم البياني للدالة مستقيم، والتي لها خاصية أن المسافة من أي نقطة على الرسم البياني إلى هذا الخط تميل إلى الصفر عندما تتحرك النقطة على الرسم البياني إلى أجل غير مسمى من الأصل.

هناك ثلاثة أنواع من الخطوط المقاربة: عمودي وأفقي ومائل.

تعريف.يسمى الخط المستقيم الخط المقارب الرأسيالرسومات الوظيفية ص = و(س)، إذا كان أحد الحدود أحادية الجانب على الأقل للدالة عند هذه النقطة يساوي ما لا نهاية، فهذا يعني

أين هي نقطة انقطاع الدالة، أي أنها لا تنتمي إلى مجال التعريف.

مثال.

د ( ذ) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

س= 2 - نقطة الكسر.

تعريف.مستقيم ص =أمُسَمًّى الخط المقارب الأفقيالرسومات الوظيفية ص = و(س)في ، إذا

مثال.

تعريف.مستقيم ص =كس +ب (ك≠ 0) يسمى الخط المقاربالرسومات الوظيفية ص = و(س)في ، أين

مخطط عام لدراسة الدوال وبناء الرسوم البيانية.

خوارزمية البحث الدالةص = و(س) :

1. ابحث عن مجال الوظيفة د (ذ).

2. ابحث (إن أمكن) عن نقاط تقاطع الرسم البياني مع محاور الإحداثيات (إذا س= 0 وفي ذ = 0).

3. افحص التساوي والغرابة في الوظيفة ( ذ (‒ س) = ذ (س) ‒ التكافؤ. ذ(‒ س) = ‒ ذ (س) ‒ غريب).

4. ابحث عن الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة.

5. ابحث عن فترات رتابة الوظيفة.

6. أوجد الحدود القصوى للدالة.

7. أوجد فترات التحدب (التقعر) ونقاط انعطاف الرسم البياني للدالة.

8. بناءً على البحث الذي تم إجراؤه، قم بإنشاء رسم بياني للوظيفة.

مثال.استكشاف الوظيفة وبناء الرسم البياني الخاص بها.

1) د (ذ) =

س= 4 - نقطة الكسر.

2) متى س = 0,

(0; - 5) – نقطة التقاطع مع أوه.

في ذ = 0,

3) ذ(‒ س)= وظيفة منظر عام(لا حتى ولا فرديا).

4) نحن نفحص الخطوط المقاربة.

أ) عمودي

ب) أفقي

ج) العثور على الخطوط المقاربة المائلة حيث

- معادلة الخط المقارب المائل

5) في هذه المعادلة ليس من الضروري إيجاد فترات رتابة الدالة.

6)

تقسم هذه النقاط الحرجة مجال تعريف الدالة بأكمله إلى الفترة (˗∞; ˗2)، (˗2; 4)، (4; 10) و (10; +∞). من الملائم تقديم النتائج التي تم الحصول عليها في شكل الجدول التالي.

كيفية العثور على أكبر وأصغر قيم للدالة على القطعة؟

لهذا نحن نتبع خوارزمية معروفة:

1 . العثور على وظائف ODZ.

2 . إيجاد مشتقة الدالة

3 . معادلة المشتقة بالصفر

4 . نجد الفترات التي يحتفظ خلالها المشتق بإشارته، ومنها نحدد فترات الزيادة والنقصان للدالة:

إذا كان مشتق الدالة في الفترة I هو 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} يزيد خلال هذه الفترة.

إذا كنت مشتقًا للدالة في الفترة، فستكون الدالة يتناقص خلال هذه الفترة.

5 . نجد الحد الأقصى والحد الأدنى من نقاط الوظيفة.

في عند النقطة القصوى للدالة، تشير تغييرات المشتقة من "+" إلى "-".

في النقطة الدنيا للوظيفةعلامة التغييرات المشتقة من "-" إلى "+".

6 . نجد قيمة الدالة في نهايات القطعة،

• ثم نقارن قيمة الدالة في نهايات المقطع وفي النقاط القصوى و اختر أكبرها إذا كنت تريد العثور على أكبر قيمة للدالة
• أو قارن قيمة الدالة في نهايات المقطع وفي الحد الأدنى من النقاط و اختر أصغرها إذا كنت تريد العثور على أصغر قيمة للدالة

ومع ذلك، اعتمادًا على كيفية تصرف الوظيفة على المقطع، يمكن تقليل هذه الخوارزمية بشكل كبير.

النظر في الوظيفة . يبدو الرسم البياني لهذه الوظيفة كما يلي:

دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة لحل المشكلات من بنك المهام المفتوح لـ

1 . المهمة ب15 (رقم 26695)

على الجزء.

1. يتم تعريف الدالة لجميع القيم الحقيقية لـ x

من الواضح أن هذه المعادلة ليس لها حلول، والمشتقة موجبة لجميع قيم x. وبالتالي، تزيد الدالة وتأخذ القيمة الأكبر عند الطرف الأيمن من الفترة، أي عند x=0.

الجواب: 5.

2 . المهمة ب15 (رقم 26702)

أوجد أكبر قيمة للدالة على الجزء.

1. وظائف ODZ عنوان = "x(pi)/2+(pi)k، k(in)(bbZ)">!}

المشتق يساوي الصفر عند ، ومع ذلك، عند هذه النقاط لا يتغير الإشارة:

لذلك، العنوان = "3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} يزيد ويأخذ القيمة الأكبر في الطرف الأيمن من الفاصل الزمني، عند .

لتوضيح سبب عدم تغير إشارة المشتقة، نقوم بتحويل التعبير الخاص بالمشتقة كما يلي:

Title="y^(رئيسي)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

الجواب: 5.

3. المهمة ب15 (رقم 26708)

أوجد أصغر قيمة للدالة في القطعة.

1. وظائف ODZ: العنوان = "x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

دعونا نحدد جذور هذه المعادلة على الدائرة المثلثية.

يحتوي الفاصل الزمني على رقمين: و

دعونا نضع لافتات. للقيام بذلك، نحدد إشارة المشتقة عند النقطة x=0: . عند المرور عبر النقاط و، علامة التغييرات المشتقة.

دعونا نصور التغير في علامات مشتق الدالة على خط الإحداثيات:

من الواضح أن النقطة هي نقطة الحد الأدنى (التي تشير عندها التغييرات المشتقة من "-" إلى "+")، وللعثور على أصغر قيمة للدالة على المقطع، تحتاج إلى مقارنة قيم الدالة عند الحد الأدنى للنقطة وفي الطرف الأيسر من المقطع، .

دعونا نرى كيفية فحص دالة باستخدام الرسم البياني. اتضح أنه من خلال النظر إلى الرسم البياني، يمكننا معرفة كل ما يهمنا، وهي:

• مجال الوظيفة
• نطاق الوظيفة
• وظيفة الأصفار
• فترات الزيادة والنقصان
• الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط
• أكبر وأصغر قيمة للدالة على القطعة.

دعونا نوضح المصطلحات:

الإحداثي السينيهو الإحداثي الأفقي للنقطة.
تنسيق- الإحداثيات العمودية.
محور الإحداثي السيني - المحور الافقي، وغالبا ما يطلق عليه المحور.
المحور ص- المحور الرأسي، أو المحور.

دعوى- متغير مستقل تعتمد عليه قيم الدالة. يشار في أغلب الأحيان.
بمعنى آخر، نختار ونستبدل الوظائف في الصيغة ونحصل على .

اِختِصاصوظائف - مجموعة قيم الوسيطات (وهذه فقط) التي توجد بها الوظيفة.
تمت الإشارة إليه بواسطة: أو .

في الشكل الذي لدينا، مجال تعريف الدالة هو القطعة. في هذا الجزء يتم رسم الرسم البياني للوظيفة. هذا هو المكان الوحيد الذي توجد فيه هذه الوظيفة.

نطاق الوظيفةهي مجموعة القيم التي يأخذها المتغير. في الشكل الخاص بنا، هذا مقطع - من القيمة الأدنى إلى القيمة الأعلى.

وظيفة الأصفار- النقاط التي تكون فيها قيمة الدالة صفراً. في الشكل لدينا هذه هي النقاط و .

قيم الوظيفة إيجابيةأين . في الشكل لدينا هذه هي الفواصل الزمنية و .
قيم الوظيفة سلبيةأين . بالنسبة لنا، هذا هو الفاصل الزمني (أو الفاصل الزمني) من إلى .

أهم المفاهيم - وظيفة متزايدة ومتناقصةعلى مجموعة ما. كمجموعة، يمكنك أخذ قطعة، أو فاصل زمني، أو اتحاد فترات، أو خط الأعداد بأكمله.

وظيفة يزيد

بمعنى آخر، كلما زاد، زاد، أي أن الرسم البياني يتجه إلى اليمين وإلى الأعلى.

وظيفة يتناقصعلى مجموعة إذا كانت لأية وتنتمي إلى المجموعة، فإن عدم المساواة يعني عدم المساواة.

بالنسبة للدالة المتناقصة، تتوافق القيمة الأكبر مع القيمة الأصغر. الرسم البياني يذهب إلى اليمين وإلى الأسفل.

في الشكل الذي لدينا، تزيد الدالة على الفترة وتتناقص على الفترات و.

دعونا نحدد ما هو عليه الحد الأقصى والحد الأدنى من نقاط الوظيفة.

النقطة القصوى- وهي نقطة داخلية من مجال التعريف، بحيث تكون قيمة الدالة فيها أكبر منها في جميع النقاط القريبة منها بدرجة كافية.
بمعنى آخر، النقطة القصوى هي النقطة التي تكون عندها قيمة الدالة أكثرمنه في الدول المجاورة. هذا "تل" محلي على الرسم البياني.

في الشكل لدينا هناك نقطة قصوى.

النقطة الدنيا- نقطة داخلية من مجال التعريف بحيث تكون قيمة الدالة فيها أقل منها في جميع النقاط القريبة منها بدرجة كافية.
أي أن النقطة الدنيا تكون بحيث تكون قيمة الدالة فيها أقل من قيمة جيرانها. هذه "ثغرة" محلية على الرسم البياني.

في الشكل لدينا هناك نقطة الحد الأدنى.

النقطة هي الحدود. إنها ليست نقطة داخلية لمجال التعريف وبالتالي لا تتناسب مع تعريف النقطة القصوى. بعد كل شيء، ليس لديها جيران على اليسار. وبنفس الطريقة، لا يمكن أن يكون هناك نقطة دنيا على الرسم البياني لدينا.

يتم استدعاء الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط معًا النقاط القصوى للوظيفة. في حالتنا هذا هو و .

ماذا تفعل إذا كنت بحاجة إلى العثور على، على سبيل المثال، وظيفة الحد الأدنىعلى الجزء؟ الجواب في هذه الحالة هو : . لأن وظيفة الحد الأدنىهي قيمته عند النقطة الدنيا.

وبالمثل، فإن الحد الأقصى لوظيفتنا هو . يتم الوصول إليه عند النقطة.

يمكننا القول أن الحدود القصوى للدالة تساوي و .

في بعض الأحيان تتطلب المشاكل العثور عليها أكبر وأصغر قيم للدالةعلى شريحة معينة. أنها لا تتزامن بالضرورة مع التطرف.

في حالتنا هذه أصغر قيمة دالةعلى المقطع يساوي ويتزامن مع الحد الأدنى من الوظيفة. لكن قيمته العظمى في هذا الجزء تساوي . يتم الوصول إليه في الطرف الأيسر من الجزء.

وعلى أية حال، فإن القيم الأكبر والأصغر وظيفة مستمرةعلى مقطع يتم تحقيقه إما عند النقاط القصوى أو في نهايات المقطع.