ما يسمى جيب تمام الزاوية الحادة للمثلث القائم. المثلث الأيمن: الجيب، جيب التمام، الظل، ظل التمام للزاوية

علم المثلثات، كعلم، نشأ في الشرق القديم. تم استخلاص النسب المثلثية الأولى من قبل علماء الفلك لإنشاء تقويم دقيق واتجاه للنجوم. وتتعلق هذه الحسابات بعلم المثلثات الكروية، بينما يدرسون في المقرر الدراسي نسبة أضلاع وزوايا المثلث المستوي.

علم المثلثات هو فرع من فروع الرياضيات الذي يتعامل مع خصائص الدوال المثلثيةوالعلاقة بين أضلاع وزوايا المثلثات.

وفي ذروة الثقافة والعلم في الألفية الأولى الميلادية، انتشرت المعرفة من الشرق القديمإلى اليونان. لكن الاكتشافات الرئيسية في علم المثلثات هي فضل رجال الخلافة العربية. وعلى وجه الخصوص، قدم العالم التركماني المرزوي دوال مثل الظل وظل التمام، وقام بتجميع الجداول الأولى لقيم الجيب والظل وظل التمام. تم تقديم مفاهيم الجيب وجيب التمام من قبل العلماء الهنود. حظي علم المثلثات باهتمام كبير في أعمال شخصيات عظيمة في العصور القديمة مثل إقليدس وأرخميدس وإراتوستينس.

الكميات الأساسية لعلم المثلثات

الوظائف المثلثية الأساسية للوسيطة الرقمية هي جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام. كل واحد منهم لديه الرسم البياني الخاص به: الجيب، وجيب التمام، والظل، وظل التمام.

تعتمد صيغ حساب قيم هذه الكميات على نظرية فيثاغورس. ومن المعروف أكثر لدى تلاميذ المدارس في الصياغة: "السراويل فيثاغورس متساوية في جميع الاتجاهات"، حيث يتم تقديم الدليل باستخدام مثال المثلث القائم متساوي الساقين.

تحدد علاقات الجيب وجيب التمام وغيرها العلاقة بين الزوايا الحادة وجوانب أي مثلث قائم الزاوية. دعونا نقدم صيغًا لحساب هذه الكميات للزاوية A وتتبع العلاقات بين الدوال المثلثية:

كما ترون، tg وctg هي وظائف عكسية. إذا تخيلنا أن الساق a هي حاصل ضرب sin A والوتر c، والساق b مثل cos A * c، فإننا نحصل على الصيغ التالية للظل وظل التمام:

الدائرة المثلثية

بيانياً يمكن تمثيل العلاقة بين الكميات المذكورة كما يلي:

محيط، في في هذه الحالة، يمثل كل شيء القيم الممكنةالزاوية α - من 0 درجة إلى 360 درجة. كما يتبين من الشكل، كل دالة تأخذ قيمة سالبة أو قيمة إيجابيةحسب حجم الزاوية . على سبيل المثال، سيكون لـ sin α علامة "+" إذا كانت α تنتمي إلى الربعين الأول والثاني من الدائرة، أي أنها تقع في النطاق من 0° إلى 180°. بالنسبة لـ α من 180° إلى 360° (الربعين الثالث والرابع)، يمكن أن تكون sin α قيمة سالبة فقط.

دعونا نحاول بناء جداول مثلثية لزوايا محددة ومعرفة معنى الكميات.

تسمى قيم α التي تساوي 30 درجة، 45 درجة، 60 درجة، 90 درجة، 180 درجة وما إلى ذلك حالات خاصة. يتم حساب قيم الدوال المثلثية الخاصة بها وتقديمها على شكل جداول خاصة.

لم يتم اختيار هذه الزوايا عشوائيا. التعيين π في الجداول مخصص للراديان. Rad هي الزاوية التي يتوافق عندها طول قوس الدائرة مع نصف قطرها. تم تقديم هذه القيمة من أجل إنشاء اعتماد عالمي؛ عند الحساب بالراديان، لا يهم الطول الفعلي لنصف القطر بالسنتيمتر.

تتوافق الزوايا في جداول الدوال المثلثية مع قيم الراديان:

لذلك، ليس من الصعب تخمين أن 2π عبارة عن دائرة كاملة أو 360 درجة.

خصائص الدوال المثلثية: الجيب وجيب التمام

من أجل النظر في الخصائص الأساسية للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام ومقارنتها، من الضروري رسم وظائفها. يمكن القيام بذلك على شكل منحنى يقع في نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد.

خذ بعين الاعتبار الجدول المقارن لخصائص الجيب وجيب التمام:

موجة جيبية	جيب التمام
ص = سينكس	ص = كوس س
أودز [-1؛ 1]	أودز [-1؛ 1]
الخطيئة x = 0، لـ x = πk، حيث k ϵ Z	cos x = 0، لـ x = π/2 + πk، حيث k ϵ Z
sin x = 1، لـ x = π/2 + 2πk، حيث k ϵ Z	cos x = 1، عند x = 2πk، حيث k ϵ Z
الخطيئة x = - 1، عند x = 3π/2 + 2πk، حيث k ϵ Z	cos x = - 1، لـ x = π + 2πk، حيث k ϵ Z
sin (-x) = - sin x، أي أن الدالة فردية	cos (-x) = cos x، أي أن الدالة زوجية
	الدالة دورية، وأصغر فترة هي 2π
sin x › 0، حيث x تنتمي إلى الربعين الأول والثاني أو من 0° إلى 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0، مع x تنتمي إلى الربعين الأول والرابع أو من 270° إلى 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0، حيث x تنتمي إلى الربعين الثالث والرابع أو من 180° إلى 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0، حيث x تنتمي إلى الربعين الثاني والثالث أو من 90° إلى 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
الزيادات في الفاصل الزمني [- π/2 + 2πk، π/2 + 2πk]	الزيادات على الفاصل الزمني [-π + 2πk، 2πk]
يتناقص على فترات [π/2 + 2πk، 3π/2 + 2πk]	يتناقص على فترات
المشتقة (الخطيئة x)' = cos x	مشتق (cos x)' = - sin x

تحديد ما إذا كانت الدالة زوجية أم لا أمر بسيط للغاية. يكفي أن نتخيل دائرة مثلثية مع علامات الكميات المثلثية و "طي" الرسم البياني ذهنيًا بالنسبة لمحور OX. فإذا تطابقت الإشارات كانت الدالة زوجية، وإلا كانت فردية.

يتيح لنا إدخال الراديان وقائمة الخصائص الأساسية لموجات الجيب وجيب التمام تقديم النمط التالي:

من السهل جدًا التحقق من صحة الصيغة. على سبيل المثال، بالنسبة لـ x = π/2، يكون جيب التمام هو 1، كما هو الحال مع جيب تمام x = 0. يمكن إجراء التحقق من خلال استشارة الجداول أو عن طريق تتبع منحنيات الوظائف لقيم معينة.

خصائص الظلال وأشباه التمام

تختلف الرسوم البيانية لوظائف الظل وظل التمام بشكل كبير عن وظائف الجيب وجيب التمام. القيمتان tg وctg متبادلتان.

1. ص = تان س.
2. يميل الظل إلى قيم y عند x = π/2 + πk، لكنه لا يصل إليها أبدًا.
3. أصغر فترة إيجابية للظلال هي π.
4. Tg (- x) = - tg x، أي أن الدالة فردية.
5. Tg x = 0، لـ x = πk.
6. الوظيفة تتزايد.
7. Tg x › 0، لـ x ϵ (πk، π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0، لـ x ϵ (— π/2 + πk، πk).
9. المشتق (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

ضع في اعتبارك الصورة الرسومية لظل التمام أدناه في النص.

الخصائص الرئيسية لل cotangentoids:

1. ص = سرير س.
2. على عكس وظائف الجيب وجيب التمام، في الظل Y يمكن أن تأخذ قيم مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.
3. يميل ظل التمام إلى قيم y عند x = πk، لكنه لا يصل إليها أبدًا.
4. أصغر فترة إيجابية لظل التمام هي π.
5. Ctg (- x) = - ctg x، أي أن الدالة فردية.
6. Ctg x = 0، لـ x = π/2 + πk.
7. الوظيفة آخذة في التناقص.
8. Ctg x › 0، لـ x ϵ (πk، π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0، لـ x ϵ (π/2 + πk، πk).
10. المشتق (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x صحيح

نشأ جيب الجيب وجيب التمام في الأصل من الحاجة إلى حساب الكميات في المثلثات القائمة. وقد لوحظ أنه إذا لم يتغير قياس درجات الزوايا في المثلث القائم، فإن نسبة العرض إلى الارتفاع، مهما تغير طول هذه الأضلاع، تظل كما هي دائمًا.

هذه هي الطريقة التي تم بها تقديم مفاهيم الجيب وجيب التمام. التجويف زاوية حادةفي المثلث القائم الزاوية هي نسبة الضلع المقابل إلى الوتر، وجيب التمام هو نسبة الضلع المجاور للوتر.

نظريات جيب التمام والجيب

ولكن يمكن استخدام جيب التمام وجيب التمام لأكثر من مجرد المثلثات القائمة. للعثور على قيمة زاوية منفرجة أو حادة أو جانب أي مثلث، يكفي تطبيق نظرية جيب التمام والجيب.

نظرية جيب التمام بسيطة للغاية: "مربع جانب المثلث يساوي المبلغمربعي الجانبين الآخرين ناقص ضعف ناتج هذين الجانبين في جيب تمام الزاوية بينهما.

هناك تفسيران لنظرية الجيب: صغير وممتد. وبحسب الصغرى: «في المثلث تكون الزوايا متناسبة مع الأضلاع المتقابلة». غالبًا ما يتم توسيع هذه النظرية بسبب خاصية الدائرة المحدودة للمثلث: "في المثلث، تتناسب الزوايا مع الأضلاع المقابلة، ونسبتها تساوي قطر الدائرة المحدودة".

المشتقات

المشتق هو أداة رياضية توضح مدى سرعة تغير الدالة بالنسبة إلى التغير في وسيطتها. تُستخدم المشتقات في الهندسة وفي عدد من التخصصات الفنية.

عند حل المشكلات، تحتاج إلى معرفة القيم الجدولية لمشتقات الدوال المثلثية: الجيب وجيب التمام. مشتق جيب التمام هو جيب التمام، وجيب التمام هو جيب التمام، ولكن مع علامة الطرح.

التطبيق في الرياضيات

تُستخدم الجيوب وجيب التمام بشكل خاص في حل المثلثات القائمة والمسائل المتعلقة بها.

تنعكس راحة الجيوب وجيب التمام أيضًا في التكنولوجيا. كان من السهل تقييم الزوايا والأضلاع باستخدام نظريتي جيب التمام والجيب، مما أدى إلى تقسيم الأشكال والأشياء المعقدة إلى مثلثات "بسيطة". المهندسون الذين يتعاملون غالبًا مع حسابات نسب العرض إلى الارتفاع ومقاييس الدرجات يقضون الكثير من الوقت والجهد في حساب جيب التمام وجيب الزوايا غير الجدولية.

ثم جاءت جداول براديس للإنقاذ، حيث تحتوي على آلاف قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام زوايا مختلفة. في الزمن السوفييتيأجبر بعض المعلمين طلابهم على حفظ صفحات جداول براديس.

الراديان هي القيمة الزاوية للقوس الذي يساوي طوله نصف القطر أو 57.295779513 درجة.

الدرجة (في الهندسة) - جزء 1/360 من الدائرة أو جزء 1/90 من الزاوية القائمة.

π = 3.141592653589793238462... (القيمة التقريبية لـ Pi).

جدول جيب التمام للزوايا: 0°، 30°، 45°، 60°، 90°، 120°، 135°، 150°، 180°، 210°، 225°، 240°، 270°، 300°، 315°، 330 درجة، 360 درجة.

الزاوية x (بالدرجات)	0°	30 درجة	45 درجة	60 درجة	90 درجة	120 درجة	135 درجة	150 درجة	180 درجة	210 درجة	225 درجة	240 درجة	270 درجة	300 درجة	315 درجة	330 درجة	360 درجة
الزاوية x (بالراديان)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 × π/3	3 × π/4	5 × π/6	π	7 × π/6	5 × π/4	4 × π/3	3 × π/2	5 × π/3	7 × π/4	11 × π/6	2 × π
كوس س	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

يعتقد المعلمون أن كل طالب يجب أن يكون قادرًا على إجراء العمليات الحسابية الصيغ المثلثية، ولكن ليس كل معلم يشرح ما هو الجيب وجيب التمام. ما هو معناها، أين يتم استخدامها؟ لماذا نتحدث عن المثلثات والكتاب المدرسي يظهر دائرة؟ دعونا نحاول ربط كل الحقائق معًا.

مادة دراسية

تبدأ دراسة علم المثلثات عادة في الصفوف 7-8 المدرسة الثانوية. في هذا الوقت، يتم شرح للطلاب ماهية جيب التمام وجيب التمام ويطلب منهم حل المشكلات الهندسية باستخدام هاتين الدوال. لاحقًا، ظهرت صيغ وتعبيرات أكثر تعقيدًا تحتاج إلى تحويل جبريًا (صيغ الزاوية المزدوجة ونصف الزاوية، وظائف الطاقة) ، يتم العمل بدائرة مثلثية.

ومع ذلك، لا يتمكن المعلمون دائمًا من شرح معنى المفاهيم المستخدمة وقابلية تطبيق الصيغ بوضوح. ولذلك فإن الطالب في كثير من الأحيان لا يرى المغزى من هذا الموضوع، وسرعان ما يتم نسيان المعلومات المحفوظة. ومع ذلك، بمجرد أن تشرح لطالب في المدرسة الثانوية، على سبيل المثال، العلاقة بين الوظيفة والحركة التذبذبية، سيتم تذكر الاتصال المنطقي لسنوات عديدة، وستصبح النكات حول عدم جدوى الموضوع شيئًا من الماضي.

الاستخدام

من أجل الفضول، دعونا ننظر في مختلف فروع الفيزياء. هل تريد تحديد مدى القذيفة؟ أم أنك تحسب قوة الاحتكاك بين جسم وسطح معين؟ تأرجح البندول، ومشاهدة الأشعة التي تمر عبر الزجاج، وحساب الحث؟ تظهر المفاهيم المثلثية في أي صيغة تقريبًا. إذن ما هو الجيب وجيب التمام؟

تعريفات

جيب الزاوية هو نسبة الضلع المقابل إلى الوتر، وجيب التمام هو نسبة الضلع المجاور إلى نفس الوتر. لا يوجد شيء معقد على الإطلاق هنا. ربما يرتبك الطلاب عادةً بالقيم التي يرونها في جدول علم المثلثات لأنها تتضمن جذورًا تربيعية. نعم، للحصول على الكسور العشرية منها ليست مريحة للغاية، ولكن من قال أن جميع الأرقام في الرياضيات يجب أن تكون متساوية؟

في الواقع، يمكنك العثور على تلميح مضحك في كتب مسائل علم المثلثات: معظم الإجابات هنا زوجية، وفي أسوأ الحالات، تحتوي على جذر اثنين أو ثلاثة. الاستنتاج بسيط: إذا تبين أن إجابتك عبارة عن كسر "متعدد الطوابق"، فتحقق جيدًا من الحل بحثًا عن الأخطاء في الحسابات أو الاستدلال. وعلى الأرجح سوف تجدهم.

ماذا تتذكر

مثل أي علم، يحتوي علم المثلثات على بيانات يجب تعلمها.

أولاً، يجب عليك حفظ القيم العددية لجيب المثلث القائم الزاوية، وجيب التمام 0 و90، وكذلك 30 و45 و60 درجة. وتوجد هذه المؤشرات في تسعة من أصل عشرة مشاكل مدرسية. من خلال النظر إلى هذه القيم في الكتاب المدرسي، ستخسر الكثير من الوقت، ولن يكون هناك مكان للنظر إليها على الإطلاق أثناء الاختبار أو الامتحان.

يجب أن نتذكر أن قيمة كلتا الدالتين لا يمكن أن تتجاوز واحدة. إذا حصلت في أي مكان في حساباتك على قيمة خارج النطاق 0-1، توقف وحاول المشكلة مرة أخرى.

مجموع مربعات الجيب وجيب التمام يساوي واحدًا. إذا وجدت إحدى القيم بالفعل، فاستخدم هذه الصيغة للعثور على القيمة المتبقية.

نظريات

هناك نوعان من النظريات الأساسية في علم المثلثات الأساسية: الجيوب وجيب التمام.

تنص الأولى على أن نسبة كل ضلع من أضلاع المثلث إلى جيب الزاوية المقابلة لها هي نفسها. والثاني هو أنه يمكن الحصول على مربع أي ضلع عن طريق جمع مربعي الضلعين المتبقيين وطرح حاصل ضربهما في جيب تمام الزاوية بينهما.

وبالتالي، إذا عوضنا بقيمة زاوية 90 درجة في نظرية جيب التمام، فسنحصل على... نظرية فيثاغورس. الآن، إذا كنت بحاجة إلى حساب مساحة شكل ليس مثلثًا قائمًا، فلا داعي للقلق بعد الآن - فالنظريتان اللتان تمت مناقشتهما ستعملان على تبسيط حل المشكلة بشكل كبير.

أهداف و غايات

سيصبح تعلم علم المثلثات أسهل بكثير عندما تدرك حقيقة واحدة بسيطة: تهدف جميع الإجراءات التي تقوم بها إلى تحقيق هدف واحد فقط. يمكن العثور على أي معلمات للمثلث إذا كنت تعرف الحد الأدنى من المعلومات عنه - يمكن أن تكون هذه قيمة زاوية واحدة وطول ضلعين أو، على سبيل المثال، ثلاثة جوانب.

لتحديد جيب التمام وجيب التمام والظل لأي زاوية، هذه البيانات كافية، وبمساعدتهم يمكنك بسهولة حساب مساحة الشكل. دائمًا تقريبًا، تتطلب الإجابة إحدى القيم المذكورة، ويمكن العثور عليها باستخدام نفس الصيغ.

التناقضات في تعلم علم المثلثات

أحد الأسئلة المربكة التي يفضل الطلاب تجنبها هو اكتشاف الروابط بين المفاهيم المختلفة في علم المثلثات. يبدو أن المثلثات تستخدم لدراسة جيب التمام وجيب التمام للزوايا، ولكن لسبب ما، غالبًا ما توجد الرموز في الشكل ذو الدائرة. بالإضافة إلى ذلك، هناك رسم بياني يشبه الموجة غير مفهوم تمامًا يسمى الموجة الجيبية، وليس له أي تشابه خارجي مع أي دائرة أو مثلثات.

علاوة على ذلك، يتم قياس الزوايا إما بالدرجات أو بالراديان، ويظهر الرقم Pi، المكتوب ببساطة كـ 3.14 (بدون وحدات)، لسبب ما في الصيغ، وهو ما يعادل 180 درجة. كيف يرتبط كل هذا؟

الوحدات

لماذا باي بالضبط 3.14؟ هل تتذكر ما هو هذا المعنى؟ هذا هو عدد أنصاف الأقطار التي تناسب قوسًا على نصف دائرة. إذا كان قطر الدائرة 2 سم، فسيكون محيطها 3.14*2، أو 6.28.

النقطة الثانية: ربما لاحظت التشابه بين كلمتي "راديان" و"نصف القطر". والحقيقة هي أن الراديان الواحد يساوي عدديًا الزاوية المأخوذة من مركز الدائرة إلى قوس يبلغ طوله نصف قطر واحد.

الآن سنجمع بين المعرفة المكتسبة ونفهم سبب كتابة "Pi في النصف" أعلى محور الإحداثيات في علم المثلثات، وكتابة "Pi" على اليسار. هذه قيمة زاوية تقاس بالراديان، لأن نصف الدائرة يساوي 180 درجة، أو 3.14 راديان. وحيثما توجد درجات، توجد الجيب وجيب التمام. من السهل رسم مثلث من النقطة المطلوبة، مع وضع الأجزاء جانبًا في المركز ومحور الإحداثيات.

دعونا ننظر إلى المستقبل

يتعامل علم المثلثات الذي تمت دراسته في المدرسة مع نظام الإحداثيات المستقيم، حيث، بغض النظر عن مدى غرابة الأمر، فإن الخط المستقيم هو خط مستقيم.

ولكن هناك المزيد طرق معقدةالعمل مع الفضاء: مجموع زوايا المثلث هنا سيكون أكثر من 180 درجة، وسيبدو الخط المستقيم في نظرنا كقوس حقيقي.

دعونا ننتقل من الكلمات إلى العمل! خذ تفاحة. اصنع ثلاث قطع بالسكين بحيث تحصل على مثلث عند النظر إليه من الأعلى. أخرج قطعة التفاح الناتجة وانظر إلى "الأضلاع" حيث ينتهي القشر. إنهم ليسوا مستقيمين على الإطلاق. يمكن تسمية الفاكهة الموجودة بين يديك بشكل تقليدي بأنها مستديرة، لكن تخيل الآن مدى تعقيد الصيغ التي يمكنك من خلالها العثور على مساحة القطعة المقطوعة. لكن بعض المتخصصين يحلون مثل هذه المشاكل كل يوم.

الدوال المثلثية في الحياة

هل لاحظت أن أقصر طريق للطائرة من النقطة أ إلى النقطة ب على سطح كوكبنا له شكل قوسي واضح؟ السبب بسيط: الأرض كروية، مما يعني أنه لا يمكنك حساب الكثير باستخدام المثلثات - عليك استخدام صيغ أكثر تعقيدًا.

لا يمكنك الاستغناء عن جيب التمام/جيب التمام للزاوية الحادة في أي أسئلة تتعلق بالفضاء. ومن المثير للاهتمام أن مجموعة كبيرة من العوامل تجتمع هنا: الدوال المثلثية مطلوبة عند حساب حركة الكواكب على طول الدوائر والأشكال الناقصية والمسارات المختلفة ذات الأشكال الأكثر تعقيدًا؛ عملية إطلاق الصواريخ والأقمار الصناعية والمكوكات ومركبات البحث؛ مراقبة النجوم البعيدة ودراسة المجرات التي لن يتمكن الإنسان من الوصول إليها في المستقبل المنظور.

بشكل عام، مجال نشاط الشخص الذي يعرف علم المثلثات واسع جدًا، ويبدو أنه سيتوسع بمرور الوقت.

خاتمة

لقد تعلمنا اليوم، أو على الأقل كررنا، ما هو الجيب وجيب التمام. هذه هي المفاهيم التي لا داعي للخوف منها - فقط أريدها وسوف تفهم معناها. تذكر أن علم المثلثات ليس هدفًا، ولكنه مجرد أداة يمكن استخدامها لتلبية احتياجات الإنسان الحقيقية: بناء المنازل، وضمان السلامة المرورية، وحتى استكشاف اتساع الكون.

في الواقع، قد يبدو العلم نفسه مملًا، ولكن بمجرد أن تجد فيه طريقة لتحقيق أهدافك الخاصة وتحقيق الذات، ستصبح عملية التعلم مثيرة للاهتمام، وسيزداد دافعك الشخصي.

بالنسبة للواجب المنزلي، حاول إيجاد طرق لتطبيق الدوال المثلثية في مجال الاهتمام الذي يثير اهتمامك شخصيًا. تخيل، استخدم خيالك، وبعد ذلك ربما تجد أن المعرفة الجديدة ستكون مفيدة لك في المستقبل. وإلى جانب ذلك، الرياضيات مفيدة ل التنمية العامةالتفكير.

علم المثلثات هو فرع من فروع العلوم الرياضية التي تدرس الدوال المثلثية واستخدامها في الهندسة. بدأ تطوير علم المثلثات في الأيام الماضية اليونان القديمة. خلال العصور الوسطى، قدم علماء من الشرق الأوسط والهند مساهمات مهمة في تطوير هذا العلم.

هذه المقالة مخصصة ل مفاهيم أساسيةوتعاريف علم المثلثات. ويناقش تعريفات الدوال المثلثية الأساسية: جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام. يتم شرح معناها وتوضيحها في سياق الهندسة.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

في البداية، تم التعبير عن تعريفات الدوال المثلثية التي تكون حجتها زاوية من حيث نسبة أضلاع المثلث القائم الزاوية.

تعريفات الدوال المثلثية

جيب الزاوية (sin α) هو نسبة الساق المقابلة لهذه الزاوية إلى الوتر.

جيب تمام الزاوية (cos α) - نسبة الساق المجاورة إلى الوتر.

زاوية الظل (t g α) - نسبة الجانب المقابل إلى الجانب المجاور.

زاوية ظل التمام (c t g α) - نسبة الجانب المجاور إلى الجانب الآخر.

هذه التعريفات معطاة للزاوية الحادة للمثلث القائم الزاوية!

دعونا نعطي مثالا.

في المثلث ABC مع الزاوية القائمة C، جيب الزاوية A يساوي نسبة الضلع BC إلى الوتر AB.

تسمح لك تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام بحساب قيم هذه الوظائف من الأطوال المعروفة لأضلاع المثلث.

من المهم أن نتذكر!

نطاق قيم الجيب وجيب التمام هو من -1 إلى 1. وبعبارة أخرى، يأخذ الجيب وجيب التمام القيم من -1 إلى 1. نطاق قيم الظل وظل التمام هو خط الأعداد بأكمله، أي أن هذه الوظائف يمكن أن تأخذ أي قيم.

تنطبق التعريفات الواردة أعلاه على الزوايا الحادة. في علم المثلثات، تم تقديم مفهوم زاوية الدوران، والتي لا تقتصر قيمتها، على عكس الزاوية الحادة، على 0 إلى 90 درجة. ويتم التعبير عن زاوية الدوران بالدرجات أو الراديان بأي رقم حقيقي من - ∞ إلى + ∞ .

في هذا السياق، يمكننا تحديد الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية ذات حجم تعسفي. دعونا نتخيل دائرة وحدة مركزها هو أصل نظام الإحداثيات الديكارتية.

النقطة الأولية A ذات الإحداثيات (1، 0) تدور حول مركز دائرة الوحدة بزاوية معينة α وتتجه إلى النقطة A 1. يتم تقديم التعريف من حيث إحداثيات النقطة A 1 (x، y).

جيب (خطيئة) لزاوية الدوران

جيب زاوية الدوران α هو إحداثي النقطة A 1 (x, y). الخطيئة α = ذ

جيب التمام (cos) لزاوية الدوران

جيب التمام لزاوية الدوران α هو حدود النقطة A 1 (x، y). كوس α = س

الظل (tg) لزاوية الدوران

ظل زاوية الدوران α هو نسبة إحداثيات النقطة A 1 (x، y) إلى الإحداثي المحوري. تي ز α = ص س

ظل التمام (ctg) لزاوية الدوران

ظل التمام لزاوية الدوران α هو نسبة حدود النقطة A 1 (x، y) إلى الإحداثي. ج تي ز α = س ص

يتم تعريف الجيب وجيب التمام لأي زاوية دوران. وهذا أمر منطقي، لأنه يمكن تحديد الإحداثي والإحداثي للنقطة بعد الدوران بأي زاوية. الوضع مختلف مع الظل وظل التمام. يكون المماس غير محدد عندما تذهب نقطة ما بعد الدوران إلى نقطة ذات حدود صفرية (0، 1) و (0، - 1). في مثل هذه الحالات، التعبير عن الظل t g α = y x ببساطة لا معنى له، لأنه يحتوي على القسمة على صفر. الوضع مشابه مع ظل التمام. والفرق هو أن ظل التمام لا يتم تعريفه في الحالات التي يكون فيها إحداثي النقطة يساوي الصفر.

من المهم أن نتذكر!

يتم تعريف الجيب وجيب التمام لأي زوايا α.

يتم تعريف الظل لجميع الزوايا باستثناء α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

يتم تعريف ظل التمام لجميع الزوايا باستثناء α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

عندما تقرر أمثلة عمليةلا تقل "جيب زاوية الدوران α". لقد تم ببساطة حذف عبارة "زاوية الدوران"، مما يعني أنه من الواضح بالفعل من السياق ما تتم مناقشته.

أعداد

ماذا عن تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لعدد، وليس زاوية الدوران؟

جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام لعدد

جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لعدد رهو رقم يساوي على التوالي جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام رراديان.

على سبيل المثال، جيب العدد 10 π يساوي جيب زاوية الدوران 10 π راد.

هناك طريقة أخرى لتحديد جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لأي رقم. دعونا نلقي نظرة فاحصة على ذلك.

أي عدد حقيقي رترتبط نقطة على دائرة الوحدة بالمركز عند أصل نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل. يتم تحديد الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام من خلال إحداثيات هذه النقطة.

نقطة البداية على الدائرة هي النقطة (أ) بإحداثيات (1، 0).

رقم موجب، عدد إيجابي ر

عدد السلبي ريتوافق مع النقطة التي ستذهب إليها نقطة البداية إذا تحركت حول الدائرة عكس اتجاه عقارب الساعة ومرت المسار t.

الآن بعد أن تم إنشاء العلاقة بين الرقم ونقطة على الدائرة، ننتقل إلى تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام.

جيب (الخطيئة) من ر

جيب الرقم ر- إحداثية نقطة على دائرة الوحدة المقابلة للرقم ر. الخطيئة ر = ذ

جيب التمام (كوس) ر

جيب التمام لعدد ر- نهاية نقطة دائرة الوحدة المقابلة للرقم ر. كوس ر = س

الظل (tg) من ر

ظل الرقم ر- نسبة الإحداثيات إلى حدود نقطة ما على دائرة الوحدة المقابلة للرقم ر. t g t = y x = sin t cos t

تتوافق أحدث التعريفات مع التعريف الوارد في بداية هذه الفقرة ولا تتعارض معه. أشر على الدائرة المقابلة للرقم ر، يتزامن مع النقطة التي تذهب إليها نقطة البداية بعد الدوران بزاوية رراديان.

الدوال المثلثية للوسيطة الزاوية والرقمية

كل قيمة للزاوية α تتوافق مع قيمة معينة لجيب وجيب التمام لهذه الزاوية. تمامًا مثل جميع الزوايا α بخلاف α = 90 ° + 180 ° k، k ∈ Z (α = π 2 + π k، k ∈ Z) تتوافق مع قيمة ظل معينة. يتم تعريف ظل التمام، كما هو مذكور أعلاه، لجميع α باستثناء α = 180° k، k ∈ Z (α = π k، k ∈ Z).

يمكننا القول أن sin α، cos α، t g α، c t g α هي دوال للزاوية ألفا، أو دوال للوسيطة الزاوية.

وبالمثل، يمكننا التحدث عن الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام كوظائف للوسيطة العددية. كل عدد حقيقي ريتوافق مع قيمة معينة لجيب أو جيب تمام الرقم ر. جميع الأرقام غير π 2 + π · k, k ∈ Z، تتوافق مع قيمة الظل. يتم تعريف ظل التمام، بالمثل، لجميع الأرقام باستثناء π · k، k ∈ Z.

الوظائف الأساسية لعلم المثلثات

جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام هي الوظائف المثلثية الأساسية.

عادةً ما يكون واضحًا من السياق أي وسيطة للدالة المثلثية (الحجة الزاوية أو حجة رقمية) نحن نتعامل مع.

دعنا نعود إلى التعريفات المقدمة في البداية وزاوية ألفا، التي تقع في النطاق من 0 إلى 90 درجة. تتوافق التعريفات المثلثية للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام تمامًا مع التعريفات الهندسية المقدمة من خلال نسب العرض إلى الارتفاع للمثلث القائم الزاوية. دعونا نظهر ذلك.

لنأخذ دائرة وحدة مركزها في نظام الإحداثيات الديكارتية المستطيل. لنقم بتدوير نقطة البداية A (1، 0) بزاوية تصل إلى 90 درجة ونرسم خطًا عموديًا على محور الإحداثي المحوري من النقطة الناتجة A 1 (x، y). في المثلث الأيمن الناتج، الزاوية A 1 O H تساوي زاوية الدوران α، طول الساق O H يساوي حدود النقطة A 1 (x، y). طول الساق المقابلة للزاوية يساوي إحداثي النقطة A 1 (x، y)، وطول الوتر يساوي واحدًا، لأنه نصف قطر دائرة الوحدة.

وفقا للتعريف من الهندسة، فإن جيب الزاوية α يساوي نسبة الجانب المقابل إلى الوتر.

الخطيئة α = أ 1 ح O أ 1 = ص 1 = ص

هذا يعني أن تحديد جيب الزاوية الحادة في المثلث القائم من خلال نسبة العرض إلى الارتفاع يعادل تحديد جيب زاوية الدوران α، مع وجود ألفا في النطاق من 0 إلى 90 درجة.

وبالمثل، يمكن إظهار تطابق التعريفات لجيب التمام والظل وظل التمام.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

ترتبط مفاهيم الجيب ()، وجيب التمام ()، والظل ()، وظل التمام () ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الزاوية. من أجل الحصول على فهم جيد لهذه المفاهيم المعقدة التي تبدو للوهلة الأولى (والتي تسبب حالة من الرعب لدى العديد من تلاميذ المدارس)، وللتأكد من أن "الشيطان ليس فظيعًا كما هو مرسوم"، فلنبدأ من بداية جدًا وفهم مفهوم الزاوية.

مفهوم الزاوية: راديان، درجة

دعونا ننظر إلى الصورة. لقد "تحول" المتجه بالنسبة إلى النقطة بمقدار معين. إذن، سيكون قياس هذا الدوران بالنسبة إلى الموضع الأولي ركن.

ماذا تريد أن تعرف أيضًا عن مفهوم الزاوية؟ حسنا، بالطبع، وحدات الزاوية!

يمكن قياس الزاوية، في كل من الهندسة وعلم المثلثات، بالدرجات والراديان.

تسمى الزاوية (درجة واحدة). الزاوية المركزيةفي دائرة، مبنية على قوس دائري يساوي جزء من الدائرة. وهكذا فإن الدائرة بأكملها تتكون من “قطع” من الأقواس الدائرية، أو أن الزاوية الموصوفة بالدائرة متساوية.

أي أن الشكل أعلاه يوضح زاوية مساوية، أي أن هذه الزاوية ترتكز على قوس دائري بحجم محيطه.

الزاوية بالراديان هي الزاوية المركزية في دائرة يقابلها قوس دائري طوله يساوي نصف قطر الدائرة. حسنًا، هل اكتشفت ذلك؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فلنكتشف ذلك من الرسم.

إذن، يوضح الشكل زاوية تساوي الراديان، أي أن هذه الزاوية ترتكز على قوس دائري طوله يساوي نصف قطر الدائرة (الطول يساوي الطول أو نصف القطر يساوي نصف القطر) طول القوس). وبالتالي، يتم حساب طول القوس بالصيغة:

أين الزاوية المركزية بالراديان؟

حسنًا، بمعرفة ذلك، هل يمكنك الإجابة عن عدد الراديان الموجود في الزاوية التي تصفها الدائرة؟ نعم، لهذا عليك أن تتذكر صيغة المحيط. ها هي:

حسنًا، لنربط الآن بين هاتين الصيغتين ونجد أن الزاوية التي تصفها الدائرة متساوية. وهذا يعني أنه من خلال ربط القيمة بالدرجات والراديان، نحصل على ذلك. على التوالى، . كما ترون، على عكس "الدرجات"، تم حذف كلمة "راديان"، لأن وحدة القياس عادة ما تكون واضحة من السياق.

كم عدد الراديان هناك؟ صحيح!

فهمتها؟ ثم المضي قدما وإصلاحه:

تواجه صعوبات؟ ثم ابحث إجابات:

المثلث الأيمن: الجيب، جيب التمام، الظل، ظل التمام للزاوية

لذلك، توصلنا إلى مفهوم الزاوية. ولكن ما هو جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام للزاوية؟ دعونا معرفة ذلك. للقيام بذلك، سوف يساعدنا المثلث الأيمن.

ماذا تسمى أضلاع المثلث القائم الزاوية؟ هذا صحيح، الوتر والساقان: الوتر هو الضلع الذي يقع مقابل الزاوية القائمة (في مثالنا هذا هو الضلع)؛ والساقان هما الضلعان المتبقيان و(المجاورتان لهما). زاوية مستقيمة)، وإذا نظرنا إلى الساقين بالنسبة إلى الزاوية، فإن الساق هي الساق المجاورةوالساق عكس ذلك. والآن، دعونا نجيب على السؤال: ما هي جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية؟

جيب الزاوية- هذه هي نسبة الساق المقابلة (البعيدة) إلى الوتر.

في مثلثنا.

جيب تمام الزاوية- هذه هي نسبة الساق المجاورة (المقربة) إلى الوتر.

في مثلثنا.

ظل الزاوية- هذه هي نسبة الضلع المقابل (البعيد) إلى الضلع المجاور (القريب).

في مثلثنا.

ظل التمام للزاوية- هذه هي نسبة الضلع المجاور (القريب) إلى الضلع المقابل (البعيد).

في مثلثنا.

هذه التعريفات ضرورية يتذكر! لتسهيل تذكر أي ساق يجب تقسيمها إلى ماذا، عليك أن تفهم ذلك بوضوح الظلو ظل التمامتجلس الأرجل فقط، ويظهر الوتر فقط في الداخل التجويفو جيب التمام. وبعد ذلك يمكنك التوصل إلى سلسلة من الارتباطات. على سبيل المثال، هذا:

جيب التمام → اللمس → اللمس → المجاورة؛

ظل التمام → اللمس → اللمس → المجاور.

بادئ ذي بدء، عليك أن تتذكر أن جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لأن نسب جوانب المثلث لا تعتمد على أطوال هذه الجوانب (في نفس الزاوية). لا تصدق؟ ثم تأكد من خلال النظر إلى الصورة:

خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، جيب تمام الزاوية. بحكم التعريف، من مثلث: ولكن يمكننا حساب جيب التمام لزاوية من مثلث: . كما ترون، أطوال الجوانب مختلفة، ولكن قيمة جيب التمام لزاوية واحدة هي نفسها. وبالتالي، فإن قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام تعتمد فقط على حجم الزاوية.

إذا فهمت التعريفات، فقم بالمضي قدمًا ودمجها!

بالنسبة للمثلث الموضح في الشكل أدناه نجد.

حسنا، هل حصلت عليه؟ ثم جرب ذلك بنفسك: احسب نفس الشيء بالنسبة للزاوية.

دائرة الوحدة (المثلثية).

من خلال فهم مفاهيم الدرجات والراديان، اعتبرنا دائرة نصف قطرها يساوي. تسمى هذه الدائرة أعزب. سيكون مفيدًا جدًا عند دراسة علم المثلثات. لذلك، دعونا ننظر إليها بمزيد من التفصيل.

كما ترون، تم إنشاء هذه الدائرة في نظام الإحداثيات الديكارتية. نصف قطر الدائرة يساوي واحدًا، بينما يقع مركز الدائرة عند أصل الإحداثيات، ويتم تثبيت الموضع الأولي لمتجه نصف القطر على طول الاتجاه الموجب للمحور (في مثالنا، هذا هو نصف القطر).

كل نقطة على الدائرة تقابل رقمين: إحداثي المحور وإحداثي المحور. ما هي هذه الأرقام الإحداثية؟ وبشكل عام ما علاقتهم بالموضوع المطروح؟ للقيام بذلك، علينا أن نتذكر المثلث القائم الزاوية. في الشكل أعلاه، يمكنك رؤية مثلثين قائمين بالكامل. النظر في مثلث. وهو مستطيل لأنه عمودي على المحور.

ما هو المثلث يساوي؟ صحيح. بالإضافة إلى ذلك، نحن نعلم أن هذا هو نصف قطر دائرة الوحدة، وهو ما يعني . لنعوض بهذه القيمة في صيغة جيب التمام. إليك ما يحدث:

ما هو المثلث يساوي؟ حسنا بالطبع، ! استبدل قيمة نصف القطر في هذه الصيغة واحصل على:

إذًا، هل يمكنك معرفة إحداثيات نقطة تنتمي إلى دائرة؟ حسنا، بأي حال من الأحوال؟ ماذا لو أدركت ذلك وما هي إلا أرقام؟ ما الإحداثيات التي تتوافق معها؟ حسنا، بالطبع، الإحداثيات! وما الإحداثيات التي تتوافق معها؟ هذا صحيح، الإحداثيات! وهكذا الفترة.

ما هي إذن وتساوي؟ هذا صحيح، دعونا نستخدم التعريفات المقابلة للظل وظل التمام ونحصل على ذلك، أ.

ماذا لو كانت الزاوية أكبر؟ على سبيل المثال، كما في هذه الصورة:

ما الذي تغير في هذا المثال؟ دعونا معرفة ذلك. للقيام بذلك، دعونا ننتقل مرة أخرى إلى المثلث الأيمن. خذ بعين الاعتبار مثلثًا قائمًا: الزاوية (المجاورة للزاوية). ما هي قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية؟ هذا صحيح، نحن نلتزم بالتعريفات المقابلة للدوال المثلثية:

حسنًا، كما ترون، فإن قيمة جيب الزاوية لا تزال تتوافق مع الإحداثيات؛ قيمة جيب التمام للزاوية - الإحداثيات؛ وقيم الظل وظل التمام للنسب المقابلة. وبالتالي، تنطبق هذه العلاقات على أي دوران لمتجه نصف القطر.

لقد سبق أن ذكرنا أن الموضع الأولي لمتجه نصف القطر يقع على طول الاتجاه الموجب للمحور. لقد قمنا حتى الآن بتدوير هذا المتجه عكس اتجاه عقارب الساعة، لكن ماذا يحدث إذا قمنا بتدويره في اتجاه عقارب الساعة؟ لا شيء غير عادي، ستحصل أيضًا على زاوية ذات قيمة معينة، لكنها فقط ستكون سلبية. وبالتالي، عند تدوير ناقل نصف القطر عكس اتجاه عقارب الساعة، نحصل على زوايا إيجابية، وعند الدوران في اتجاه عقارب الساعة - سلبي.

إذن، نحن نعلم أن الدورة الكاملة لمتجه نصف القطر حول الدائرة هي أو. هل من الممكن تدوير ناقل نصف القطر إلى أو إلى؟ حسنا بالطبع يمكنك! في الحالة الأولى، فإن متجه نصف القطر سيقوم بدورة كاملة ويتوقف عند الموضع أو.

في الحالة الثانية، أي أن متجه نصف القطر سيقوم بثلاث دورات كاملة ويتوقف عند الموضع أو.

وبالتالي، من الأمثلة المذكورة أعلاه يمكننا أن نستنتج أن الزوايا التي تختلف بـ أو (حيث يوجد أي عدد صحيح) تتوافق مع نفس موضع متجه نصف القطر.

الشكل أدناه يوضح زاوية. نفس الصورة تتوافق مع الزاوية، الخ. هذه القائمة يمكن أن تستمر إلى أجل غير مسمى. يمكن كتابة كل هذه الزوايا بالصيغة العامة أو (أين يوجد أي عدد صحيح)

الآن، بعد معرفة تعريفات الدوال المثلثية الأساسية واستخدام دائرة الوحدة، حاول الإجابة على ما هي القيم:

إليك دائرة الوحدة لمساعدتك:

تواجه صعوبات؟ ثم دعونا معرفة ذلك. لذلك نحن نعرف أن:

ومن هنا، نحدد إحداثيات النقاط المقابلة لقياسات زوايا معينة. حسنًا، لنبدأ بالترتيب: الزاوية عند تتوافق مع نقطة ذات إحداثيات، وبالتالي:

غير موجود؛

علاوة على ذلك، فإن الالتزام بنفس المنطق، نكتشف أن الزوايا تتوافق مع النقاط ذات الإحداثيات، على التوالي. بمعرفة ذلك، من السهل تحديد قيم الدوال المثلثية عند النقاط المقابلة. جربه بنفسك أولاً، ثم تحقق من الإجابات.

الإجابات:

غير موجود

غير موجود

غير موجود

غير موجود

وبذلك يمكننا عمل الجدول التالي:

ليست هناك حاجة لتذكر كل هذه القيم. يكفي أن نتذكر المراسلات بين إحداثيات النقاط على دائرة الوحدة وقيم الدوال المثلثية:

لكن قيم الدوال المثلثية للزوايا في و، الواردة في الجدول أدناه، يجب أن نتذكر:

لا تخف، الآن سنعرض لك مثالاً واحدًا من السهل جدًا تذكر القيم المقابلة:

لاستخدام هذه الطريقة، من المهم أن نتذكر قيم جيب الجيب لجميع قياسات الزاوية الثلاثة ()، وكذلك قيمة ظل الزاوية. بمعرفة هذه القيم، من السهل جدًا استعادة الجدول بأكمله - يتم نقل قيم جيب التمام وفقًا للأسهم، أي:

مع العلم بذلك، يمكنك استعادة القيم ل. سوف يتطابق البسط " " والمقام " ". يتم نقل قيم ظل التمام وفقًا للأسهم الموضحة في الشكل. إذا فهمت هذا وتذكرت الرسم التخطيطي بالأسهم، فسيكون ذلك كافيًا لتذكر جميع القيم من الجدول.

إحداثيات نقطة على الدائرة

هل من الممكن العثور على نقطة (إحداثياتها) على الدائرة، معرفة إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطرها وزاوية الدوران?

حسنا بالطبع يمكنك! دعونا نخرجها الصيغة العامة لإيجاد إحداثيات نقطة ما.

على سبيل المثال، هذه دائرة أمامنا:

لقد علمنا أن النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات نقطة تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة بالدرجات.

كما يتبين من الشكل، فإن إحداثيات النقطة تتوافق مع طول القطعة. طول القطعة يتوافق مع إحداثيات مركز الدائرة، أي أنها متساوية. يمكن التعبير عن طول المقطع باستخدام تعريف جيب التمام:

ثم لدينا ذلك لإحداثي النقطة.

وباستخدام نفس المنطق، نجد قيمة الإحداثيات y للنقطة. هكذا،

لذلك، في منظر عاميتم تحديد إحداثيات النقاط بواسطة الصيغ:

إحداثيات مركز الدائرة،

نصف قطر الدائرة,

زاوية دوران نصف قطر المتجه.

كما ترون، بالنسبة لدائرة الوحدة التي ندرسها، تم تقليل هذه الصيغ بشكل كبير، حيث أن إحداثيات المركز تساوي الصفر ونصف القطر يساوي واحدًا:

حسنًا، دعونا نجرب هذه الصيغ من خلال التدرب على إيجاد النقاط على الدائرة؟

1. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.

2. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.

3. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.

4. النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات النقطة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير متجه نصف القطر الأولي.

5. النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات النقطة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير متجه نصف القطر الأولي.

هل تواجه مشكلة في العثور على إحداثيات نقطة على الدائرة؟

قم بحل هذه الأمثلة الخمسة (أو كن جيدًا في حلها) وسوف تتعلم كيفية العثور عليها!

1.

يمكنك ملاحظة ذلك. لكننا نعرف ما يقابل الثورة الكاملة لنقطة البداية. وبالتالي فإن النقطة المطلوبة ستكون في نفس الوضع الذي كانت عليه عند التحول إليها. وبمعرفة ذلك نجد الإحداثيات المطلوبة للنقطة:

2. تتمركز دائرة الوحدة عند نقطة، مما يعني أنه يمكننا استخدام صيغ مبسطة:

يمكنك ملاحظة ذلك. نحن نعرف ما يتوافق مع اثنين السرعة الكاملةنقطة البداية. وبالتالي فإن النقطة المطلوبة ستكون في نفس الوضع الذي كانت عليه عند التحول إليها. وبمعرفة ذلك نجد الإحداثيات المطلوبة للنقطة:

الجيب وجيب التمام هما قيمتان في الجدول. ونتذكر معانيها ونحصل على:

وبالتالي، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.

3. تتمركز دائرة الوحدة عند نقطة، مما يعني أنه يمكننا استخدام صيغ مبسطة:

يمكنك ملاحظة ذلك. دعونا نصور المثال المعني في الشكل:

نصف القطر يجعل الزوايا متساوية مع المحور ومعه. مع العلم أن قيمتي جيب التمام والجيب متساويتان في الجدول، وبعد تحديد أن جيب التمام هنا يأخذ قيمة سالبة والجيب يأخذ قيمة موجبة، لدينا:

تتم مناقشة هذه الأمثلة بمزيد من التفصيل عند دراسة صيغ تقليل الدوال المثلثية في الموضوع.

وبالتالي، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.

4.

زاوية دوران نصف قطر المتجه (حسب الحالة)

لتحديد العلامات المقابلة للجيب وجيب التمام، نقوم ببناء دائرة الوحدة والزاوية:

كما ترون، القيمة، أي موجبة، والقيمة، أي، سلبية. وبمعرفة القيم الجدولية للدوال المثلثية المقابلة نحصل على ما يلي:

دعنا نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في صيغتنا ونجد الإحداثيات:

وبالتالي، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.

5. لحل هذه المشكلة، نستخدم الصيغ في الصورة العامة، حيث

إحداثيات مركز الدائرة (في مثالنا،

نصف قطر الدائرة (حسب الحالة)

زاوية دوران نصف قطر المتجه (حسب الحالة).

دعنا نستبدل جميع القيم في الصيغة ونحصل على:

و - قيم الجدول. دعونا نتذكرها ونستبدلها في الصيغة:

وبالتالي، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.

الملخص والصيغ الأساسية

جيب الزاوية هو نسبة الساق المقابلة (البعيدة) إلى الوتر.

جيب تمام الزاوية هو نسبة الساق المجاورة (المقربة) إلى الوتر.

ظل الزاوية هو نسبة الجانب المقابل (البعيد) إلى الجانب المجاور (القريب).

ظل التمام للزاوية هو نسبة الضلع المجاور (القريب) إلى الضلع المقابل (البعيد).